2022-2023学年北京市丰台区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年北京市丰台区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(−1,2)，b=(−2,k).若a//b，则实数k=( )
A. 1B. −1C. 4D. −4
2.设i是虚数单位，则1−ii=( )
A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i
3.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，终边关于原点O对称.若角α的终边与单位圆⊙O交于点P(23,− 53)，则csβ=( )
A. 23B. −23C. 53D. − 53
4.已知sinα=45，α∈(0,π2)，则sin(α−π4)=( )
A. 210B. − 210C. 7 210D. −7 210
5.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，在该书的第五卷“三斜求积”中，提出了由三角形的三边直接求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”把以上这段文字写成公式，就是S= 14[c2a2−(c2+a2−b22)2](其中S为三角形面积，a为小斜，b为中斜，c为大斜).在△ABC中，若a= 2，b= 3，c=3，则△ABC的面积等于( )
A. 24B. 22C. 34D. 32
6.已知m，n是两条不重合直线，α，β是两个不重合平面，则下列说法正确的是( )
A. 若m//n，n//α，则m//αB. 若α⊥β，m//α，则m⊥β
C. 若α⊥β，n⊥α，m⊥n，则m⊥βD. 若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m//α
7.将函数y=cs2x图象上的点P(π6,m)向右平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y=cs(2x−π6)的图象上，则( )
A. m=12，s的最小值为π12B. m=12，s的最小值为π6
C. m= 32，s的最小值为π12D. m= 32，s的最小值为π6
8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=3，CD=2，AD= 3，∠BAD=90∘.若P为线段AB上一动点，则CP⋅DP的最大值为( )
A. 2
B. 3
C. 6
D. 7
9.如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别为边G1G2，G2G3的中点.现沿线段SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G.在该四面体G−SEF中，作GO⊥平面SEF，垂足为O，则O是△SEF的( )
A. 垂心
B. 内心
C. 外心
D. 重心
10.如图，已知直线l1//l2，A为l1，l2之间一定点，并且点A到l1的距离为2，到l2的距离为1，B为直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C，则△ABC面积的最小值为( )
A. 1B. 32C. 2D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积等于______.
12.某运动员射击一次，命中10环的概率为0.2，命中9环的概率为0.4，则他射击一次命中的环数不超过8的概率为______ .
13.在复平面内，O是原点，向量OZ1对应的复数是z1=2−i，向量OZ2对应的复数是z2=a−2i(a∈R).若OZ1⊥OZ2，则a=______ .
14.若函数f(x)=sinx+cs(x+φ)在区间(π4,π2)上单调递增，则常数φ的一个取值为__________.
15.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为线段BD，AD1上的动点，给出下列四个结论：
①当M为线段BD的中点时，M，N两点之间距离的最小值为 2；
②当N为线段AD1的中点时，三棱锥N−MB1D1的体积为定值；
③存在点M，N，使得MN⊥平面AB1C；
④当M为靠近点B的三等分点时，平面D1AM截该正方体所得截面的周长为2 5+2 2+2.
其中所有正确结论的序号是______ .
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
在△ABC中， 3bcsA−asinB=0.
(Ⅰ)求∠A；
(Ⅱ)若c=2，且△ABC的面积为3 3，求a的值.
17.(本小题14分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，D1分别为棱AC，A1C1的中点.
(Ⅰ)求证：AD1//平面BDC1；
(Ⅱ)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求证：平面BDC1⊥平面ACC1A1.
条件①：BD⊥AD1；
条件②：BA=BC.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
18.(本小题15分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示.(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)设函数g(x)=f(x)+2cs2x，求g(x)在区间[0,π2]上的最大值以及取得最大值时x的值.
19.(本小题14分)
在新高考背景下，北京高中学生需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6个科目中选择3个科目学习并参加相应的等级性考试.为提前了解学生的选科意愿，某校在期中考试之后，组织该校高一学生进行了模拟选科.为了解物理和其他科目组合的人数分布情况，某教师整理了该校高一(1)班和高一(2)班的相关数据，如表：
其中高一(1)班共有40名学生，高一(2)班共有38名学生.假设所有学生的选择互不影响.
(Ⅰ)从该校高一(1)班和高一(2)班所有学生中随机选取1人，求此人在模拟选科中选择了“物理+化学”的概率；
(Ⅱ)从表中选择“物理+思想政治”的学生中随机选取2人参加座谈会，求这2人均来自高一(2)班的概率；
(Ⅲ)该校在本学期期末考试之后组织高一学生进行了第二次选科，现从高一(1)班和高一(2)班各随机选取1人进行访谈，发现他们在第二次选科中都选择了“物理+历史”.根据这一结果，能否认为在第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化？说明理由.
20.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，M为棱PC的中点，平面ABM与棱PD交于点N.
(Ⅰ)求证：N为棱PD的中点；
(Ⅱ)若平面PAD⊥平面ABCD，AB=4，AD=2，△PAD为等边三角形，求四棱锥P−ABMN的体积.
21.(本小题13分)
设非零向量αk=(xk,yk)，βk=(yk,−xk)(k∈N*)，并定义xk+2=αk+1⋅α1yk+2=βk+1⋅α1.
(Ⅰ)若α1=(1,2)，α2=(3,−2)，求|α1|，|α2|，|α3|；
(Ⅱ)写出|αk|，|αk+1|，|αk+2|(k∈N*)之间的等量关系，并证明；
(Ⅲ)若|α1|=|α2|=1，求证：集合{αk|k∈N*}是有限集.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：向量a=(−1,2)，b=(−2,k)，a//b，
则−k=2×(−2)，解得k=4.
故选：C.
根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：1−ii=(1−i)ii2=−1−i.
故选：D.
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为角α与角β终边关于原点O对称，
所以角β的终边与单位圆⊙O交于点Q(−23, 53)，
所以csβ=−23.
故选：B.
由题意可得角β的终边与单位圆⊙O交于点Q(−23, 53)，再利用任意角的三角函数的定义求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵sinα=45，α∈(0,π2)，
∴csα= 1−sin2α=35，
∴sin(α−π4)= 22(sinα−csα)= 22×(45−35)= 210.
故选：A.
先求出csα的值，再根据和差角公式即可得解．
本题考查三角函数的求值问题，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，若a= 2，b= 3，c=3，
则△ABC的面积S= 14[c2a2−(c2+a2−b22)2]= 14[9×2−(9+2−32)2]= 22.
故选：B.
由题意利用三角形的面积公式即可求解．
本题考查了解三角形，考查了学生的计算能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：若m//n，n//α，则m⊂α或m//α，故A错误；
若α⊥β，m//α，则m⊂β或m//β或m与β相交，相交也不一定垂直，故B错误；
若α⊥β，n⊥α，则n⊂β或n//β，又m⊥n，则m⊂β或m//β或m与β相交，相交也不一定垂直，故C错误；
若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m//α，故D正确．
故选：D.
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
7.【答案】A
【解析】解：点P在函数上，所以m=cs(2×π6)=12，则P′(cs2(x−s),12)，
由题意可得2s=π6+2kπ，k∈Z，可得s=π12+kπ，k∈Z，
所以s的最小值为π12.
故选：A.
由题意P在函数y=cs2x上，可得m的值，求出P′的坐标，由题意可得关于s的方程，可得s的最小值．
本题考查三角函数的平移变换的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(3,0)，C(2, 3)，D(0, 3)，
设P(x,0)，其中0≤x≤3，
则CP=(x−2,− 3)，DP=(x,− 3)，
∴CP⋅DP=x(x−2)+3=x2−2x+3=(x−1)2+2，
当x=3时，CP⋅DP有最大值，为6.
故选：C.
由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到CP⋅DP=(x−1)2+2，再求二次函数的最大值即可．
本题考查平面向量的坐标运算，二次函数的值域，属于中档题．
9.【答案】A
【解析】
解：如图所示为折叠完之后的几何体．
∵SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF=G，
∴SG⊥平面GEF，∴SG⊥EF.
又∵GO⊥平面SEF，∴GO⊥EF，
∵GO∩SG=G，∴EF⊥平面SGO，
∴EF⊥SO.
同理可得EO⊥SF，FO⊥SE，所以O是三条高的交线，是垂心．
故选：A.
本题主要利用直线与直线，直线与平面垂直的性质和定理解决问题．
本题利用线线垂直，线面垂直的性质和定理进行推导，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】解：如图所示，建立直角坐标系．
直线AC的斜率存在，设方程为：y=kx，k≠0.
则直线AB的方程为：y=−1kx，
∴C(2,2k)，B(−1,1k).
∴△ABC的面积S=12|AC|⋅|AB|=12 4+4k2× 1+1k2= 2+k2+1k2≥2，
当且仅当k=±1时取等号．
∴△ABC的面积最小值为2.
故选：C.
如图所示，建立直角坐标系．直线AC的斜率存在，设方程为：y=kx，k≠0，直线BC的方程为：y=−1kx，
可得△ABC的面积S=12|AC|⋅|AB|，再利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】4π
【解析】解：∵圆柱的底面半径为r=1，母线长为l=2，
∴其侧面积为S=2πrl=2π×1×2=4π.
故答案为：4π.
圆柱的底面半径为r=1，母线长为l=2，其侧面积为S=2πrl，由此能求出结果．
本题考查圆柱的体积的求法，考查圆柱的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】0.4
【解析】解：由题意，射击一次命中的环数不超过8的概率为1−0.2−0.4=0.4.
故答案为：0.4.
根据对立事件的定义求解即可．
本题考查对立事件的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
13.【答案】−1
【解析】解：向量OZ1对应的复数是z1=2−i，向量OZ2对应的复数是z2=a−2i(a∈R)，
则OZ1=(2,−1)，OZ2=(a,−2)，
∵OZ1⊥OZ2，
∴2a+(−1)×(−2)=0，解得a=−1.
故答案为：−1.
根据已知条件，结合复数的几何意义，以及向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及向量垂直的性质，属于基础题．
14.【答案】−π2(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题．
当φ=−π2+2kπ，k∈Z时，化简得到f(x)=2sinx，满足f(x)在区间(π4,π2)上单调递增，即可得到答案.
【解答】
解：由函数y=sinx的图象与性质，可得函数y=sinx在区间(π4,π2)上单调递增，
当φ=−π2+2kπ，k∈Z时，
可得f(x)=sinx+cs(x−π2+2kπ)=sinx+cs(x−π2)=2sinx，
此时函数f(x)满足在区间(π4,π2)上单调递增，
当k=0时，φ=−π2，所以常数φ的一个取值可以为−π2.
故答案为：−π2(答案不唯一).
15.【答案】②③
【解析】解：对①，当M为线段BD的中点时，如图所示，连接AC，D1C，
则M为AC的中点，△ACD1是边长为2 2的正三角形，
∴M到AD1的垂线段MN最短，此时MN=12× 32AC= 62，∴①错误；
对②，当N为线段AD1的中点时，如图，
∵N到平面DBB1D1的距离为定值，
又△MB1D1的面积也为定值，
∴三棱锥N−MB1D1的体积为定值，∴②正确；
对③，如图所示，当N与D1重合，M与B重合时，
由三垂线定理易得MN⊥AC，MN⊥AB1，
从而可得MN⊥平面AB1C，∴③正确；
对④，当M为靠近点B的三等分点时，
延长AM交BC于点P，取CC1的中点Q，
连接PQ，BC1，D1Q，
则易知AD1平行等于BC1，且PQ平行等于12BC1，
∴AD1平行等于12BC1，
∴易得平面D1AM截该正方体所得截面为等腰梯形APQD1，
又易知AD1=2 2，PQ= 2，AP=D1Q= 5，
∴平面D1AM截该正方体所得截面的周长为3 2+2 5，∴④错误．
故答案为：②③．
根据点到直线的距离最短，三棱锥的体积公式，三垂线定理及线面垂直的判定定理，平行线的传递性，即可分别求解．
本题考查正方体中的动点问题，化归转化思想，属中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)因为 3bcsA−asinB=0，由正弦定理可得 3sinBcsA−sinAsinB=0，
在三角形中，sinB≠0，
所以可得tanA= 3，A∈(0,π)
解得A=π3；
(Ⅱ)c=2，S△ABC=12bcsinA=12b×2× 32=3 3，可得b=6，
由余弦定理可得a= b2+c2−2bccsA= 36+4−2×2×6×12=2 7.
即a的值为2 7.
【解析】(Ⅰ)由正弦定理及sinB≠0，可得tanA的值，再由A角的范围，可得A角的大小；
(Ⅱ)由题意及(Ⅰ)可得b边的大小，再由余弦定理可得a边的值．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于基础题．
17.【答案】证明：(Ⅰ)D，D1分别为棱AC，A1C1的中点，可得AD=D1C1，且AD//D1C1，
即有四边形ADC1D1为平行四边形，则AD1//DC1，
AD1⊄平面BDC1，DC1⊂平面BDC1，则AD1//平面BDC1；
(Ⅱ)选条件①：BD⊥AD1.
由A1A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，可得A1A⊥BD，
而A1A∩AD1=A，所以BD⊥平面A1ACC1，
又BD⊂平面BDC1，
所以平面BDC1⊥平面ACC1A1；
选条件②：BA=BC，
又D为AC的中点，可得BD⊥AC，
又A1A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，可得A1A⊥BD，
而A1A∩AC=A，所以BD⊥平面A1ACC1，
又BD⊂平面BDC1，
所以平面BDC1⊥平面ACC1A1.
【解析】(Ⅰ)推得ADC1D1为平行四边形，由平行四边形的性质和线面平行的判定定理，可得证明；
(Ⅱ)分别选①②，由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理，可得证明．
本题考查线面平行和面面垂直的判定，考查转化思想和推理能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意可知A=2，T=4(7π12−π3)=π，ω=2πT=2，
当x=π3时取得最大值2，所以2=2sin(2×π3+φ)，
由于|φ|<π2，所以φ=−π6，
函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x−π6).
(2)∵g(x)=f(x)+2cs2x
=2sin(2x−π6)+2cs2x
= 3sin2x+cs2x
=2sin(2x+π6)，
∵x∈[0,π2]，
∴2x+π6∈[π6,7π6]，
∴sin(2x+π6)∈[−12,1]，
∴当2x+π6=7π6，即x=π2时，g(x)min=−1，
当2x+π6=π2，即x=π6时，g(x)max=2.
【解析】(1)由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=π3时取得最大值2，求出φ，即可得到函数的解析式；
(2)根据正弦函数的最值结合定义域即可求函数y=2sin(2x+π6)在区间[0,π2]上的最值．
本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，三角函数最值的求法，考查计算能力，是基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)依题意得高一(1)班和高一(2)班学生共有40+38=78人，即该随机试验的样本空间有78个样本点，
设事件A=“此人在模拟选科中选择了“物理+化学””，
则事件A包含10+15=25个样本点，
所以P(A)=2578；
(Ⅱ)依题意得高一(1)班选择“物理+思想政治”的学生有2人，分别记为A1，A2，
高一(2)班选择“物理+思想政治”的学生有3人，分别记为B1，B2，B3，
该随机试验的样本空间可以表示为：
Ω={A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3}，
即n(Ω)=10，
设事件B=“这2人均来自高一(2)班”，则B={B1B2,B1B3,B2B3}，
所以n(B)=3，故P(B)=n(B)n(Ω)=310；
(Ⅲ)设事件C=“从高一(1)随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史””，
事件D=“从高一(2)班随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史””，
事件E=“这两人在第二次选科中都选择了“物理+历史””，
假设第二次选科中选择“物理+历史”的人数没有发生变化，
则由模拟选科数据可知，P(C)=140,P(D)=138，
所以P(E)=P(CD)=P(C)P(D)=140×138=11520.
答案示例1：可以认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生变化．理由如下：
P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化；
答案示例2：无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否发生变化．理由如下：
事件E是随机事件，P(E)虽然比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，所以无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否有变化．
【解析】(Ⅰ)设事件A=“此人在模拟选科中选择了“物理+化学”，利用古典概型概率公式即可求解；
(Ⅱ)依题意得高一(1)班选择“物理+思想政治”的学生有2人，分别记为A1，A2，高一(2)班选择“物理+思想政治”的学生有3人，分别记为B1，B2，B3，通过列举法代入古典概型概率公式即可求解；
(Ⅲ)设事件C=“从高一(1)随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史””，事件D=“从高一(2)班随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史””，事件E=“这两人在第二次选科中都选择了“物理+历史””，计算出各自对应的概率即可求解．
本题考查了古典概型的概率计算，属于中档题．
20.【答案】证明：(Ⅰ)因为四边形ABCD是矩形，所以AB//CD，
又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以AB//平面PCD，
因为AB⊂平面ABMN，平面ABMN∩平面PCD=MN，
所以AB//MN，即MN//CD，
又M为棱PC的中点，所以N为棱PD的中点；
解：(Ⅱ)因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥AN，AB⊥PD，
因为△PAD为等边三角形，N为棱PD的中点，所以PD⊥AN，
因为AB∩AN=A，所以PD⊥平面ABMN，
即点P到平面ABMN的距离为PN，
因为AD=2，所以PN=1.
连接AM，则四边形ABMN的面积S=S△AMB+S△AMN=12(AB+MN)×AN=3 3，
所以四棱锥P−ABMN的体积V=13×3 3×1= 3.
【解析】(Ⅰ)由题意得到AB//平面PCD，利用线面平行的性质定理得到AB//MN，即可得证；
(Ⅱ)由题意得到AB⊥平面PAD，PD⊥平面ABMN，即点P到平面ABMN的距离为PN，连接AM，求得四边形ABMN的面积，代入四棱锥的体积公式即可求解．
本题考查了线面平行的性质定理和四棱锥的体积计算，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)|α1|= 12+22= 5，|α2|= 32+(−2)2= 13，
β2=(y2,−x2)=(−2,−3)，
α1⋅α2=−1，β2⋅α1=−8，
所以α3=(−1,−8)，|α3|= (−1)2+(−8)2= 65；
(Ⅱ)αk+2=(x1xk+1+y1yk+1,x1yk+1−y1xk+1)，
|αk+2|2=(x1xk+1+y1yk+1)2+(x1yk+1−y1xk+1)2=(xk+12+yk+12)(x12+y12)，
|αk+1|2=(xk2+yk2)(x12+y12)=xk+12+yk+12，
|αk|2=xk2+yk2，
所以有x12+y12=|αk+1|2|αk|2，
所以|αk+2|2=|αk+1|2×|αk+1|2|αk|2，
所以|αk+2|=|αk+1|2|αk|；
(Ⅲ)证明：结合(Ⅱ)可知|α3|=|α2|2|α1|=1，
以此类推|αk|=1，k∈N*，
所以集合{|αk|=1|k∈N*}只有一个元素，为有限集．
【解析】(Ⅰ)利用α1，α2求出α3即可；
(Ⅱ)用|αk|2，|αk+1|2表示|αk+2|2；
(Ⅲ)求出|α3|进而归纳出|αk|.
本题主要考查向量数量积的运算，属中档题．科目
人数
班级
物理+化学
物理+生物
物理+思想政治
物理+历史
物理+地理
高一(1)
10
6
2
1
7
高一(2)
15
9
3
1
6