2022-2023学年北京市顺义区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年北京市顺义区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在平面直角坐标系中，A(−2,1)，B(1,0)，则向量AB=( )
A. (−3,1)B. (3,−1)C. (−3,−1)D. (3,1)
2.在以下4项调查中：
①调查一个40人班级的学生每周的体育锻炼时间；
②调查某省的一种结核病的发病率；
③调查一批食品的合格率；
④调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例；
适合用全面调查的是( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
3.复数z=i(2+i)在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.已知向量a=(m,2),b=(−2,1)，若a⊥b，则实数m=( )
A. −4B. −1C. 1D. 4
5.某中学高一年级有280人，高二年级有320人，为了解该校高一高二学生对暑假生活的规划情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则高一年级应抽取的人数为( )
A. 14B. 16C. 28D. 32
6.若α，β是两个不同的平面，则“存在两条异面直线m，n，满足m//β，n//α”是“α//β”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.为了得到函数y=cs(π4−x)的图象，只需把函数y=sinx的图象( )
A. 向左平移π4个单位长度B. 向右平移π4个单位长度
C. 向左平移π2个单位长度D. 向右平移π2个单位长度
8.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=|b|=1,a⊥b，则b与c的夹角为( )
A. π4B. π2C. 3π4D. 5π6
9.如图，圆锥PO的底面直径和高均是2，过PO的中点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是( )
A. 53π
B. 36π
C. 16π
D. 512π
10.已知半圆的直径AB=2，O为圆心，圆周上有两动点C，D满足∠AOC=∠COD=θ,θ∈(0,π2).设弦CD与弦BD的长度之和y与θ的关系为y=f(θ)，则f(θ)最大值为( )
A. 3
B. 94
C. 1+ 2
D. 2 2
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.sin4π3=______.
12.已知z−是复数z的共轭复数，z−=1−3i，其中i是虚数单位，则|z|=______ .
13.在△ABC中，a=2,b=2 3,A=π6，则B=______ .
14.为了解某小区6月份的用电量情况，近过随机抽样获得其中300户居民的月用电量(单位：度)，发现都在[50,350]之间.将所有数据按照[50,100),[100,150),⋯,[300,350)分成六组，制成了如图所示的频率分布直方图.
则x=______ ；该小区居民6月份用电量的45%分位数大约是______ .
15.在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面B1BCC1内的动点，且A1F//平面AD1E，有以下四个说法：
①A1F可能与B1E相交；
②A1F与D1E不可能平行；
③A1F与BE是异面直线；
④三棱锥F−AC1D的体积为定值；
其中，所有正确说法的序号是______ .
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2sin(12x−π6).
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间；
(Ⅲ)求方程f(x)=1的解集.
17.(本小题13分)
某球员在8场篮球比赛的投篮情况如下(假设各场比赛互相独立)：
(Ⅰ)从上述比赛中随机选择一场，求该球员在本场比赛中投篮命中率超过0.5的概率；
(Ⅱ)从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求该球员的投篮命中率一场超过0.5，另一场不超过0.5的概率；
(Ⅲ)记x−是表中8场命中率的平均数，x1−是表中4个主场命中率的平均数，x1−是表中4个客场命中率的平均数，比较x−,x1−,x2−的大小.(只需写出结论)
18.(本小题14分)
已知平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点坐标为A(0,0)，B(2,0)，点C在第一象限，点D是平面内任意一点.
(Ⅰ)若A，B，C，D四点能构成一个平行四边形，求点D的坐标；(写出所有满足条件的情况)
(Ⅱ)若点E为线段BC边上一动点(包含B，C点)，求AB⋅AE的取值范围.
19.(本小题14分)
在△ABC中，2cs2B2−2sinB2csB2=1.
(Ⅰ)求∠B；
(Ⅱ)再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积.
条件①：csA=−12；
条件②：b= 2；
条件③：AB边上的高为 62.
20.(本小题15分)
如图，在四棱锥A−EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF//BC，BC=2，EF=a，∠EBC=∠FCB=60∘，O为EF的中点.
(Ⅰ)求证：BC//平面AEF；
(Ⅱ)求证：AO⊥BE；
(Ⅲ)若BE⊥平面AOC，求实数a的值.
21.(本小题14分)
设集合A为n元数集，若A的2个非空子集B，C满足：B∪C=A，B∩C=⌀，则称B，C为A的一个二阶划分.记B中所有元素之和为S(B)，C中所有元素之和为S(C).
(Ⅰ)若A={1,2,3}，求A的一个二阶划分，使得S(B)=2S(C)；
(Ⅱ)若A={1,2,⋯,10}.求证：不存在A的二阶划分B，C满足S(C)=2S(B)；
(Ⅲ)若A={1,2,⋯,n}(n≥3,n∈N*)，B，C为A的一个二阶划分，满足：①若x∈B，则2x∉B；②若x∈C，则2x∉C.
记f(n)为符合条件的B的个数，求f(n)的解析式.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵A(−2,1)，B(1,0)，
∴AB=(3,−1).
故选：B.
根据点A，B的坐标即可求出向量AB的坐标．
本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：①调查一个40人班级的学生每周的体育锻炼时间，样本较少，适合全面调查，
②③④，样本多，不适合全面调查．
故选：A.
根据已知条件，结合全面调查的定义，即可求解．
本题在考查收集数据的方法，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：z=i(2+i)=−1+2i，
故复数z在复平面内对应的点(−1,2)位于第二象限．
故选：B.
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵a⊥b，
∴a⋅b=−2m+2=0，解得m=1.
故选：C.
根据a⊥b得出a⋅b=0，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出m的值．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：280：320=7：8，
则高一年级应抽取的人数为60×77+8=28.
故选：C.
利用分层随机抽样成比例即可得．
本题考查分层随机抽样，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：如图，若α与β相交，依然存在两条异面直线m，n，满足m//β，n//α，
所以“存在两条异面直线m，n，满足m//β，n//α”是“α//β”不充分条件，
如图，若α//β，则存在两条异面直线m，n，满足m//β，n//α，
所以“存在两条异面直线m，n，满足m//β，n//α”是“α//β”的必要条件．
故选：B.
几何图形进行分析即可．
本题主要考查立体几何相关性质，结合图形可以更加清楚的进行推理，属中档题．
7.【答案】A
【解析】解：y=cs(π4−x)=sin[π2−(π4−x)]=sin(x+π4)，
故只需把函数y=sinx的图象向左平移π4个单位长度．
故选：A.
根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，以及三角函数的平移变换，即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，以及三角函数的平移变换，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：如图所示，|a|=|b|=1，a⊥b，
则以a，b为邻边构成的四边形为正方形，
所以b与a+b所成角为π4，
又a+b+c=0，所以c=−(a+b)，
故b与c的夹角为3π4.
故选：C.
由向量加法法则，可知以a，b为邻边构成的四边形为正方形，从而得到b与a+b所成角为π4，再根据题设条件，即可求得b与c的夹角．
本题考查平面向量夹角的定义和向量垂直的性质，属基础题．
9.【答案】D
【解析】解：不妨设圆锥底面半径为R，圆柱底面半径为r，
此时R=1，r=12，
则剩下几何体的体积V=V圆锥−V圆柱=13π×12×2−π×(12)2×1=5π12.
故选：D.
由题意，根据圆锥和圆柱的体积公式进行求解即可．
本题考查柱体、锥体、台体的体积，考查了逻辑推理和运算能力．
10.【答案】B
【解析】解：由题意可得，AB=2，OC=OB=1，且∠AOC=∠COD=θ,θ∈(0,π2)，
作OE⊥CD于点E，OF⊥BD于点F，
则CD=2CE=2OC⋅sinθ2=2sinθ2，
BD=2DF=2OD⋅sin[12(π−2θ)]=2sin(π2−θ)=2csθ，
则f(θ)=2sinθ2+2csθ=2sinθ2+2(1−2sin2θ2)=−4sin2θ2+2sinθ2+2，
令m=sinθ2，因为θ∈(0,π2)，则θ2∈(0,π4)，所以m=sinθ2∈(0, 22)，
所以y=f(θ)=g(m)=−4m2+2m+2，m∈(0, 22)，
对称轴为m=14∈(0, 22)，
则g(m)max=g(14)=−14+12+2=94.
故选：B.
根据题意，分别表示出BD，CD，得到函数关系式，然后换元，由二次函数的最值即可得到结果．
本题考查了三角恒等变换、正弦函数的图象及性质，难点是得出f(θ)的解析析，属于中档题．
11.【答案】− 32
【解析】解：sin4π3=sin(π+π3)=−sinπ3=− 32.
故答案为：− 32
原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简，即可得到结果．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
12.【答案】 10
【解析】解：z−=1−3i，
则z=1+3i，
|z|= 12+32= 10.
故答案为： 10.
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
13.【答案】π3或2π3
【解析】解：a=2,b=2 3,A=π6，
则由正弦定理可得，sinB=bsinAa=2 3×122= 32，
∵B∈(0,π)，
∴B=π3或2π3.
故答案为：π3或2π3.
根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
14.【答案】0.0044175
【解析】解：由频率分布直方图可知，50×(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)=1，
解得x=0.0044，
因为50×(0.0024+0.0036)=0.3<0.45，50×(0.0024+0.0036+0.0060)=0.6>0.45，
所以45%分位数落在[150,200),设其为a，
则0.3+(a−150)×0.0060=0.45，
解得a=175，
即该小区居民6月份用电量的45%分位数大约是175.
故答案为：0.0044；175.
根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，可求出x的值，再利用百分位数的定义求出45%分位数即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的计算，属于基础题．
15.【答案】①③④
【解析】解：分别取BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，A1M，A1N，
由三角形中位线的性质可得，MN//BC1//AD1，A1M//D1E，
∵AD1⊂平面AD1E，MN⊄平面AD1E，∴MN//平面AD1E，
同理可得A1M//平面AD1E，
∵A1M∩MN=M，∴平面A1MN//平面AD1E，
又∵A1F//平面AD1E，∴点F的轨迹是线段MN.
对于①，连接B1E交MN于P，当F在点P处时，A1F与B1E相交，故①正确；
对于②，当F为BB1的中点M时，A1F//D1E，故②错误；
对于③，假设A1F与BE不是异面直线，则两直线相交，
由A1F∩BF=F，BE∩BF=B，则A1F与BF可确定平面A1BF，BE与BF可确定平面BB1C1C，
而两平面不同，这与三条两两相交不共点的直线确定一个平面矛盾，假设错误，可得A1F与BE是异面直线，故③正确；
对于④，由题意可得MN//平面AC1D1，三棱锥F−AC1D1的高h为F到平面AC1D1的距离，
而F在MN上运动，则h为M到平面AC1D1的距离，为定值，底面三角形AC1D1的面积为定值，
可得三棱锥F−AC1D的体积为定值，故④正确．
故答案为：①③④．
分别取BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，A1M，A1N，可证平面A1MN//平面AD1E，结合A1F//平面AD1E，得点F的轨迹是线段MN.取特殊的点判断①②；利用反证法证明③正确；由等体积法判定④．
本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=2sin(12x−π6)的最小正周期T=2π|ϑ|=2π12=4π；
(Ⅱ)令−π2+2kπ≤12x−π6≤π2+2kπ，解得−2π3+4kπ≤x≤4π3+4kπ，k∈Z.
∴f(x)的单增区间为[−2π3+4kπ,4π3+4kπ](k∈Z)；
(Ⅲ)令f(x)=1，即2sin(12x−π6)=1，可得sin(12x−π6)=12，
∴12x−π6=2kπ+π6或12x−π6=2kπ+5π6，k∈Z.
∴x=4kπ+2π3或x=4kπ+2π，k∈Z.
∴方程f(x)=1的解集是{x|x=4kπ+2π3或x=4kπ+2π,k∈Z}.
【解析】(Ⅰ)直接由周期公式求周期；
(Ⅱ)由复合函数的单调性求解f(x)的单增区间；
(Ⅲ)由已知求解三角方程得答案．
本题考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，考查三角方程的解法，是基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)有题意可知在8场比赛中，该球员投篮命中率超过0.5的有4场，
分别是主场1，主场2，主场4，客场4.
所以在随机选择的一场比赛中，该球员投篮命中率超过0.5的概率为48=0.5；
(Ⅱ)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中，该球员的投篮命中率超过0.5”，
事件B为“在随机选择的一场客场比赛中，该球员的投篮命中率超过0.5”
事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，该球员的投篮命中率一场超过0.5，一场不超过0.5”．
则C=AB−+A−B,A,B相互独立．
由题意可知P(A)=34，P(A−)=14，P(B)=14，P(B−)=34，
故P(C)=34×34+14×14=58；
(Ⅲ)由于主场命中的次数更多，所以x−1>x−>x−2.
【解析】(Ⅰ)该球员在8场比赛中投篮命中率超过0.5的有4场，在随机选择的一场比赛中，该球员投篮命中率超过0.5的概率是0.5；
(Ⅱ)先分别求出在随机选择的一场客场和比赛中，该球员的投篮命中率超过0.5的概率，而后利用独立事件概率乘法原理计算出在随机选择的一个主场和一个客场中，该球员的投篮命中率一场超过0.5，一场不超过0.5的概率；
(Ⅲ)由于主场命中的次数更多，所以x1−>x−>x2−.
本题主要考查概率的相关计算，属中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)∵由已知，△ABC为等边三角形，又A(0,0)，B(2,0)，
点C在第一象限，∴点C的坐标为(1, 3)，
又∵A，B，C，D四点能构成一个平行四边形，
则有AC=BD或AC=DB或BC=AD三种情况，
设D(x,y)，则AC=(1, 3),BC=(−1, 3)，
若AC=BD，可得(1, 3)=(x−2,y)，
解得x=3,y= 3，此时D(3, 3)，
若AC=DB，可得(1, 3)=(2−x,−y)，
解得x=1,y=− 3，此时D(1,− 3)，
若BC=AD，可得(−1, 3)=(x,y)，
解得x=−1,y= 3，此时D(−1, 3)，
综上，点D的坐标为(3, 3)或(1,− 3)或(−1, 3)；
(Ⅱ)∵点E为BC边上一动点(包含B，C点)，
∴可设BE=λBC，则BE=λ(2,0)=(2λ,0)，
∴E(2−λ, 3λ),AE=(2−λ, 3λ)，
∴AB⋅AE=2(2−λ)+0=4−2λ，
∴当λ=0时，AB⋅AE的最大值为4，
当λ=1时，AB⋅AE的最小值为2，
∴AB⋅AE的取值范围是[2,4].
【解析】(Ⅰ)根据三种情况下对应的向量关系，分别求出点D的坐标即可；
(Ⅱ)根据点E在BC上运动，可利用共线向量设出点E坐标，在参数λ∈[0,1]的前提下求范围即可．
本题考查坐标法表示平面向量及平面向量的运算，属中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC中，因为2cs2B2−2sinB2csB2=1，即csB+1−sinB=1，
可得sinB=csB，
∵在△ABC中，0∴B=π4；
(Ⅱ)选择①②，则csA=−12,b= 2,B=π4，
则A=23π，C=π12，△ABC唯一确定，
由正弦定理可得：asinA=bsinB，
即a=sin23πsinπ4⋅ 2= 3，sinπ12=sin(π3−π4)= 22( 32−12)= 6− 24，
所以S△ABC=12absinC=12× 3× 2× 6− 24=3− 34；
选择①③，csA=−12，A∈(0,π)，可得A=23π，B=π4，则C=π12，△ABC唯一确定，
∵AB边上的高为h= 62，所以ha=sinB，即a=hsinB= 62 22= 3，
，sinC=sinπ12=sin(π3−π4)= 22( 32−12)= 6− 24，
S△ABC=12absinC=12× 3× 2× 6− 24=3− 34；
选择②③，∵AB边上的高为 62,B=π4，b= 2，
因为hb=sinA，即sinA= 62 2= 32，
∵在△ABC中，0∴A=π3或2π3，此时△ABC不唯一．
【解析】(Ⅰ)由半角公式可得B角的正余弦值相等，可得B角的大小；
(Ⅱ)选择①②，可得A角的大小，及C角的大小，可得三角形唯一，再由正弦定理可得a边的大小，代入三角形的面积公式，可得三角形的面积；
选择①③，可得A角的大小，及C角的大小，可得三角形唯一，由AB边上的高及A角的大小，可得b边大小，代入三角形的面积公式，可得该三角形的面积的值；
选择②③，由AB边的高及b的值，可得A角的正弦值，可得A角不唯一，与题意矛盾．
本题考查半角公式的应用及正弦定理的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)证明：由于EF//BC，
又由AE⊂平面AEF，BC⊄平面AEF，
则有BC//平面AEF；
(Ⅱ)证明：△AEF为等边三角形，O为EF的中点，
则有AO⊥EF，
又平面AEF⊥平面EFCB，且平面AEF∩平面EFCB=EF，
同时，AO⊂平面AEF，
则有AO⊥平面EFCB，
又由BE⊂平面EFCB，则有AO⊥BE，
(Ⅲ)延长CO交BE于点D，
如图：
由于BE⊥平面AOC，且OC⊂平面AOC，则有BE⊥OC，
由于BD⊥CD即∠EDO=90∘，
又由∠EBC=∠FCB=60∘，EF//BC，则有BE=CF，
同时，∠EBC=∠DEO=60∘，则∠FOC=∠DOE=30∘，则有OF=CF，
又O为EF的中点，EF=a，则BE=CF=OF=EO=12a，
在Rt△DEO中，DE=12EO=14a，则BD=BE+ED=3a4，
在Rt△DBC中，BD=12BC=1，即3a4=1，
解可得a=43.
【解析】(1)根据题意，由于EF//BC，由直线与平面平行的判定方法可得结论；
(2)根据题意，由面面垂直的性质可得AO⊥平面EFCB，进而由线面垂直的性质可得结论；
(3)根据题意，延长CO交BE于点D，由平行线的性质分析可得关于a的方程，解可得答案．
本题考查棱柱的结构特性，涉及直线与平面垂直、平行的判定和性质的应用，属于基础题．
21.【答案】解：(Ⅰ)因为S(B)=2S(C)，
所以S(A)=S(B)+S(C)=3S(C)=6，
所以S(C)=2，即可知C={2}，
因为B∪C=A，B∩C=⌀，
所以B={1,3}；
(Ⅱ)证明：假设存在符合条件的一个二阶划分B，C满足S(C)=2S(B)，
则S(A)=S(B)+S(C)=3S(B)，从而S(A)是3的倍数，
又A={1,2,⋯,10}，所以S(A)=1+2+⋅⋅⋅+10=55，
因为55不能被3整除，所以55不是3的倍数，
所以假设不成立，
所以不存在A的二阶划分B，C满足S(C)=2S(B)；
(Ⅲ)任取偶数x∈A，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k次以后，
商必为奇数，此时记商为m，即x=m⋅2k，其中m为奇数，
因为x∈B，则2x∉B，即2x∈C，
所以若m∈B，k为奇数时，x=m⋅2k∉B，即x∈C；当k为偶数时，x=m⋅2k∈B，
所以A中的任意一个偶数x=m⋅2k的位置都是确定的，且与m的位零相关，
所以可知B是由A中的奇数1，3，5，…的位置确定，
设Qn表示A中所有的奇数的集合，则f(n)等于Qn的子集的个数，
当n是偶数时，A中的奇数个数有n+12个，此时Qn的子集个数有2n+12个，即f(n)=2n+12，
当n是奇数时，A中的奇数个数有n2个，此时Qn的子集个数有2n2个，即f(n)=2n2，
所以f(n)={2n2,n是偶数2n+12,n是奇数.
【解析】(Ⅰ)根据二阶划分的定义，结合第一问的条件，即可求解；
(Ⅱ)首先假设存在A的二阶划分B，C满足S(B)=2S(C)，再计算S(A)=55，即可推出矛盾，即可证明；
(Ⅲ)根据二阶划分的定义，并结合奇数集合和偶数集合，即可推理求解．
本题主要考查了与集合有关的新定义问题，考查了元素与集合的关系，属于中档题．场次
投篮次数
命中次数
场次
投篮次数
命中次数
主场1
22
14
客场1
18
6
主场2
15
12
客场2
13
5
主场3
22
8
客场3
21
7
主场4
23
17
客场4
18
15