2022-2023学年天津市部分区高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年天津市部分区高二（下）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在各散点图中，两个变量具有正相关关系的是( )
A. B.
C. D.
2. 设全集U={−2,−1,0,1,2}，A={−2,−1,0}，B={0,1,2}则(∁UA)∩B=( )
A. {0}B. {−2,−1}C. {0,1,2}D. {1,2}
3. 在研究成对数据的统计相关性时下列说法错误的是( )
A. 样本相关系数为r则|r|越大，成对样本数据的线性相关程度越强
B. 用最小二乘法得到的经验回归方程y​=b​x+a​一定经过样本点中心(x−,y−)
C. 用相关指数R2来刻画模型的拟合效果时，若R2越小，则相应模型的拟合效果越好
D. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好
4. 下列运算正确的是( )
A. (sinπ12)′=csπ12B. (4x)′=x⋅4x−1
C. (x−5)′=−15x−6D. (lg2x)′=1xln2
5. 设x∈R，则“|x|<1”是“x2<1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优的概率是0.8，连续两天的空气质量为优的概率是0.6.已知某天的空气质量为优，则随后一天的空气质量为优的概率是( )
A. 0.75B. 0.7C. 0.6D. 0.45
7. 从1，2，3，4，5五个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有( )
A. 24个B. 36个C. 48个D. 54个
8. 已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次.记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的期望值为B，则A，B的值分别为( )
A. 15128,5B. 15128,10C. 15256,5D. 15256,10
9. 已知函数f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0.，g(x)=x+a，F(x)=f(x)+g(x).若F(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是( )
A. [−1,0)B. [0,+∞)C. [−1,+∞)D. [1,+∞)
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
10. 曲线y=2lnx在点(1, 0)处的切线方程为 ．
11. 在代数式( x−1x2)5的展开式中，常数项为 ．
12. 若随机变量X～B(4,p)，E(X)=43，则D(X)= ______ ．
13. 某单位有A，B两个食堂，小李周一随机选择一个食堂用餐.如果周一去A食堂，那么周二去A食堂的概率为0.4；如果周一去B食堂，那么周二去A食堂的概率为0.6.小李周二去A食堂的概率为______ ．
14. 已知a>b>1，若lgab+lgba=52，ab=ba，则a= ，b= ．
15. 已知函数f(x)=3ex1+ex，则f(x)+f(−x)= ______ ；若∀x∈(0,+∞)，不等式f(4−ax)+f(x2)≥3恒成立，则实数a的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题11.0分)
已知函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(3,18)．
(1)求a的值；
(2)求f(x)在区间[−12,2]上的最大值；
(3)若函数g(x)=f(x)−x，求证：g(x)在区间(0,1)内存在零点．
17. (本小题12.0分)
网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：2021年12月，我国网络购物用户规模达8.42亿，较2020年12月增长5968万，占网民整体的81.6%.某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额yi(单位：万元)与时间第ti年进行了统计得如下数据：
(1)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请计算相关系数r并加以说明(计算结果精确到0.01).(若|r|≥0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)
(2)试用最小二乘法求出利润y与时间t的回归方程，并预测当t=7时的利润额．
附：r=i=1n(ti−t−)(yi−y−) i=1n(ti−t−)2 i=1n(yi−y−)2=i=1ntiyi−nt−y− i=1n(ti−t−)2 i=1n(yi−y−)2，b =i=1n(ti−t−)(yi−y−)i=1n(ti−t−)2=i=1ntiyi−nt−y−i=1nti2−nt−2，a​=y−−b​t−．
参考数据：i=15tiyi=89.5， i=15(ti−t−)2= 10， i=15(yi−y−)2= 21.86， 218.6≈14.785．
18. (本小题12.0分)
为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为高一年级提供了“书法“和“剪纸”两门选修课为了了解选择“书法”或“剪纸“是否与性别有关，调查了高一年级1500名学生的选择倾向，随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如表：
(1)请将上面2×2列联表补充完整；
(2)是否有95%的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
19. (本小题12.0分)
端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中有8个粽子，其中豆沙粽2个，蜜枣粽6个，这两种粽子的外观完全相同，从中随机取出3个．
(1)求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率；
(2)设X表示取到豆沙粽的个数，求随机变量X的分布列与数学期望．
20. (本小题13.0分)
已知函数f(x)=exln(x+1)．
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)在区间[0,2)上的单调性；
(3)证明：对任意的s，t∈(0,+∞)，有f(s+t)>f(s)+f(t)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意，依次分析选项为：
对于A、是相关关系，但不是正相关关系，不符合题意；
对于B、是相关关系，也是正相关关系，符合题意；
对于C、是相关关系，是负相关关系，不符合题意；
对于D、所示的散点图中，样本点不成带状分布，这两个变量不具有线性相关关系，不符合题意．
故选：B．
根据散点图中样本点成带状分布，判断这两个变量具有线性相关关系，正相关关系的散点图是从左下角向右上角变化．
本题考查了散点图的应用问题，也考查了线性相关的判断问题，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵全集U={−2,−1,0,1,2}，A={0,−1,−2}，B={0,1,2}，
∴∁UA={1,2}，
则(∁UA)∩B={1,2}，
故选：D．
由全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：样本相关系数为r，则|r|越大，成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确；
用最小二乘法得到的经验回归方程y​=b​x+a​一定经过样本点中心(x−,y−)，故B正确；
用相关指数R2来刻画模型的拟合效果时，若R2越小，表示残差平方和越大，则相应模型的拟合效果越差，故C错误；
根据残差平方和的计算公式可知，残差平方和越小的模型拟合效果越好，故D正确．
故选：C．
根据相关系数的大小与线性相关强弱的关系可判断A；根据回归直线过样本中心点可判断B；根据残差平方和的意义和相关指数的意义可判断C，D．
本题考查了线性回归，相关系数，决定系数的意义，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：对于A项：常值函数求导，(sinπ12)′=0，所以A错；
对于B项：指数函数求导，(4x)′=4xln4，所以B错；
对于C项：幂函数求导，(x−5)′=−5x−6，所以C错；
对于D项：对数函数求导，(lg2x)′=1xln2，所以D正确．
故选：D．
利用基本初等函数求导公式判断即可．
本题主要考查基本初等函数求导公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由|x|<1，可得−1由x2<1可得，−1故“|x|<1”是“x2<1”的充要条件，
故选：C．
解不等式，根据充要条件的定义即可判断．
本题考查了充要条件的判断，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：设某天的空气质量为优的事件是A，随后一天的空气质量为优的事件是B，
则P(A)=0.8，P(AB)=0.6，
若某天的空气质量为优，则随后一天的空气质量为优的概率为：P(B|A)=P(AB)P(A)=．
故选：A．
利用条件概率公式能求出结果．
本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：先从2个偶数中选出1个，再从3个奇数中选出2个，先选后排，
共有C21C32A33=2×3×6=36(个)．
故选：B．
先选后排，计算出结果．
本题考查排列组合的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：设10门大炮击中目标的次数为X，则根据题意可得X～B(10,12)，
∴10门大炮总得分的期望值为B=10×12=5，
∴A=P(X=3)=C103×(12)3×(1−12)7=15128，
故选：A．
根据二项分布的期望及概率，即可分别求解．
本题考查二项分布的期望与概率，属基础题．
9.【答案】C
【解析】解：F(x)=f(x)+g(x)恰有2个零点，则有f(x)+x+a=0，即f(x)=−x−a，
故函数y=f(x)的图象与直线y=−x−a有2个交点，
画出函数图象，如图，

平移直线y=−x，
可以看出当−a≤1，即a≥−1时，直线y=−x−a与函数y=f(x)的图象有2个交点．
故选：C．
题目转化为函数y=f(x)的图象与直线y=−x−a有2个交点，画出图象，根据图象知−a≤1，解得答案．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】y=2x−2
【解析】
【分析】
本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出函数在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】
解：∵y=2lnx，∴y′=2x，
当x=1时，y′=2，
∴曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为y=2x−2．
故答案为y=2x−2．

11.【答案】−5
【解析】解：( x−1x2)5的展开式的通项为：Tr+1=C5r(x12)5−r(−1x2)r=C5rx5−5r2(−1)r，
令5−5r2=0，解得r=1，所以T1+1=C51(−1)1=−5，( x−1x2)5的展开式中的常数项为−5．
故答案为：−5．
写出二项式定理的通项，化简后，使得x的指数幂为0，即可求得k的值．
本题主要考查二项式定理，二项展开式的应用，属于基础题．
12.【答案】89
【解析】解：因为随机变量X～B(4,p)，E(X)=43，
由二项分布的期望的性质可知，4p=43，
所以p=13，
即X～B(4,13)，
所以D(X)=4×13×(1−13)=89，
故答案为：89．
首先根据二项分布的期望公式求解p的值，然后代入二项分布的方差公式计算可得结果．
本题主要考查了二项分布的期望与方差的计算，属于基础题．
13.【答案】0.5
【解析】解：设A1=“周一去A食堂”，B1=“周一去B食堂”，A2=“周二去A食堂”，
则P(A1)=P(B1)=0.5，P(A2|A1)=0.4，P(A2|B1)=0.6，
由全概率公式得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5．
故答案为：0.5．
利用全概率公式求解即可．
本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
14.【答案】4
2

【解析】
【分析】
本题考查对数的运算性质，以及换元法在解方程中的应用，属于拔高题．
设t=lgba并由条件求出t的范围，代入lgab+lgba=52化简后求出t的值，得到a与b的关系式代入ab=ba化简后列出方程，求出a、b的值．
【解答】
解：设t=lgba，由a>b>1知t>1，
代入lgab+lgba=52得t+1t=52，
即2t2−5t+2=0，解得t=2或t=12(舍去)，
所以lgba=2，即a=b2，
因为ab=ba，所以b2b=ba，则a=2b=b2，
解得b=2，a=4，
故答案为4；2．

15.【答案】3 (−∞,4]
【解析】解：因为f(x)=3ex1+ex，
所以f(−x)=3e−x1+e−x=3ex1+1ex=31+ex，
所以f(x)+f(−x)=3ex1+ex+31+ex=3；
因为f(x)=3ex1+ex=3(1+ex)−31+ex=3−3ex+1，
因为y=ex+1在(0,+∞)上单调递增，
所以y=3ex+1在(0,+∞)上单调递减，
所以f(x)=3−3ex+1在(0,+∞)上单调递增，
又因为不等式f(4−ax)+f(x2)≥3在(0,+∞)上恒成立，
即f(4−ax)≥3−f(x2)=f(−x2)在(0,+∞)上恒成立，
所以4−ax≥−x2在(0,+∞)上恒成立，
即a≤x+4x在(0,+∞)上恒成立，
由双勾函数的性质可知y=x+4x≥4，(x=2时，取等号)，
所以a≤4，
即a的取值范围为(−∞,4]．
故答案为：3；(−∞,4]．
根据指数的运算即可得第一空答案；先判断出f(x)在(0,+∞)上单调递增，再将原不等式转化为4−ax≥−x2在(0,+∞)上恒成立，结合双勾函数的性质求解即可．
本题考查了指数的基本运算、转化思想、双勾函数的性质，属于中档题．
16.【答案】解：(1)因为函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(3,18)．
所以a3=18，
所以a=12．
(2)因为a=12，
所以f(x)=(12)x，
所以f(x)在区间[−12,2]上单调递减，
所以f(x)在区间[−12,2]上的最大值是f(−12)=(12)−12= 2，
所以f(x)在区间[−12,2]上的最大值是 2．
(3)证明：因为g(x)=f(x)−x，
所以g(x)=(12)x−x，
因为g(0)=1>0，g(1)=−12<0，
所以g(0)g(1)<0，
又y=g(x)在区间[0,1]上的图象是一条连续的曲线，
由零点存在性定理可得：g(x)在区间(0,1)内存在零点．
【解析】(1)将点(3,18)代入解析式可得a；
(2)根据函数单调性求解最大值；
(3)根据零点存在性定理结合条件即得．
本题考查指数函数的图象及性质，考查函数零点存在定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由图表，t−=15×(1+2+3+4+5)=3，y−=15×(2.6+3.1+4.5+6.8+8.0)=5，
i=15tiyi=89.5， i=15(ti−t−)2= 10， i=15(yi−y−)2= 21.86，
所以：r=i=1n(ti−t−)(yi−y−) i=1n(ti−t−)2 i=1n(yi−y−)2=i=1ntiyi−nt−y− i=1n(ti−t−)2 i=1n(yi−y−)2=14.5 218.6=≈0.98>0.75，
故y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合．
(2)b =i=1n(ti−t−)(yi−y−)i=1n(ti−t−)2=i=1ntiyi−nt−y−i=1nti2−nt−2=14.510=1.45，
a =y−−b t−=5−1.45×3=0.65，
所以y =1.45t+0.65，
t=7时，y =1.45×7+0.65=10.8，
测该专营店在t=7时的利润为10.8万元．
【解析】(1)先利用公式计算出相关系数r，再按要求进行比较，进而得到结果；
(2)先利用公式求得b 、a ，得到利润y与时间t的回归方程，进而预测当t=7时的利润额．
本题本题考查线性回归方程的求法，考查线性回归方程的运用，是中档题．
18.【答案】解：(1)根据题意，一共抽取了100人，补全列联表如下，
(2)根据列联表数据，
K2=100×(40×20−10×30)250×50×70×30≈4.762>3.841，
所以有95%的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关．
【解析】(1)根据题意与表中数据即可完成列联表；
(2)根据公式求出K2，再对照临界值表，即可得出结论．
本题主要考查独立性检验公式，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意得既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为C21C62+C22C61C83=914．
(2)由题意得随机变量X的可能取值为0，1，2，
则P(X=0)=C20C63C83=514，P(X=1)=C21C62C83=1528，P(X=2)=C22C61C83=328，
则X的分布列如下：
故E(X)=0×514+1×1528+2×328=34．
【解析】(1)根据古典概型以及组合数的计算，即可得出答案；
(2)根据超几何分布的知识求得X的分布列，即可得出答案．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f(0)=0，即切点坐标为(0,0)，
又f′(x)=ex[ln(1+x)+11+x]，
∴切线斜率k=f′(0)=1，
∴切线方程为：y=x；
(2)因为g(x)=f′(x)=ex[ln(1+x)+11+x]，
所以g′(x)=ex[ln(1+x)+21+x−1(1+x)2]，
令h(x)=ln(1+x)+21+x−1(1+x)2，
则h′(x)=11+x−2(1+x)2+2(1+x)3=x2+1(1+x)3>0，
∴h(x)在[0,2)上单调递增，∴h(x)≥h(0)=1>0，
∴g′(x)>0在[0,2)上恒成立，∴g(x)在[0,2)上单调递增；
(3)证明：原不等式等价于f(s+t)−f(s)>f(t)−f(0)，
令m(x)=f(x+t)−f(x)，(x,t>0)，即证m(x)>m(0)，
∵m(x)=f(x+t)−f(x)=ex+tln(1+x+t)−exln(1+x)，
m′(x)=ex+tln(1+x+t)+ex+t1+x+t−exln(1+x)−ex1+x=g(x+t)−g(x)，
由(2)知g(x)=f′(x)=ex[ln(1+x)+11+x]在(0,+∞)上单调递增，
∴g(x+t)>g(x)，∴m′(x)>0，
∴m(x)在(0,+∞)上单调递增，又因为x，t>0，
∴m(x)>m(0)，所以命题得证．
【解析】(1)先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
(2)求g(x)的导数，在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
(3)令m(x)=f(x+t)−f(x)，(x,t>0)，即证m(x)>m(0)，由第二问结论可知m(x)在(0,+∞)上单调递增，即得证．
本题主要考查利用导函数研究函数切线，及证明函数不等式，属于较难题目．
ti
1
2
3
4
5
yi
2.6
3.1
4.5
6.8
8.0
选书法
选剪纸
合计
男生
40
50
女生
合计
30
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.025
k
2.706
3.841
5.024
选书法
选剪纸
共计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
共计
70
30
100
X
0
1
2
P
514
1528
328