2022-2023学年天津市河东区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年天津市河东区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如果两条直线a与b有公共点，那么a与b( )
A. 平行B. 是异面直线C. 共面D. 垂直
2.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
A. 平面α内不存在与a平行的直线B. 平面α内所有直线与a相交
C. 平面α内所有直线与a异面D. 直线a与平面α至少存在一个公共点
3.已知m、n是平面α内的两条直线，则“直线l⊥m且l⊥n”是“l⊥α”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.数据x1，x2，…，xm的平均数为x−，数据y1，y2，…，yn的平均数为y−，下列选项中与i=1mxi+i=1nyim+n相等的为( )
A. x−+y−B. mm+nx−+nm+ny−
C. i=1m+n(xi+yi)m+nD. nm+nx−+mm+ny−
5.某中学调查了200名学生暑期每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于25小时的人数是( )
A. 24B. 48C. 60D. 140
6.用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数(如表).下列说法正确的是( )
A. 该四面体一定不是均匀的
B. 再抛掷一次，估计标记2的面落地概率0.72
C. 再抛掷一次，标记4的面落地
D. 再抛掷一次，估计标记3的面落地概率0.2
7.小明同学有5把钥匙，其中2把能打开门.如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为P1，如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为P2，则P1，P2的值分别为( )
A. 310，625B. 12，25C. 12，625D. 310，25
8.假设P(A)=0.6，P(B)=0.7，且A与B相互独立，则下列说法正确的个数为( )
①P(AB)=0.6
②P(A∪B)=1.3
③P(AB)=0.42
④P(A−B)=0.28
⑤P(A−B−)=0.5
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
9.某班级有男生28人，女生21人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方式从中抽出一个样本，其中女生抽取3人，则样本容量为______ .
10.从长度为1，2，4，5，7的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率为______ .
11.一个袋子中有n个红球，4个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个绿球的概率为16，则n的值为______ .
12.数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计结果如下：
甲同学：中位数为3，方差为2.8；乙同学：平均数为3.4，方差为1.04；
丙同学：中位数为3，众数为3；丁同学：平均数为3，中位数为2.
根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是______ 同学.
13.在三棱锥P−ABC中(如图所示)PA=PB=AC=AB=BC=2，PC= 5，则二面角P−AB−C的余弦值为______ .
14.下列命题中正确的为______ (写出命题序号).
①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；
②四边形可以确定一个平面；
③如果平面α//平面β且直线a//平面β，那么直线a//平面α；
④过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直；
⑤过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行.
三、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1.
(1)写出正方体中与平面ABC1D1平行的棱和与平面ABC1D1垂直的平面(不需证明)；
(2)求A1D1和平面ABC1D1所成的角的大小.
16.(本小题9分)
三个家庭组织一次聚会，每个家庭恰好都有一男一女两个孩子，如果从6个孩子中随机地选取2人参加智力游戏，那么，
(1)写出样本空间；
(2)求下列事件的概率：
(ⅰ)A=“2个孩子来自于同一个家庭”；
(ⅱ)B=“2个孩子都是男孩”
17.(本小题9分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥平面ABCD，M，N为PD，PA的中点.
(1)求证：MN//平面PBC；
(2)求证：AM⊥平面PCD.
18.(本小题9分)
人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab.其中a和b是显性基因，i是隐性基因.孩子分别继承父母一个基因，组成一个基因类型，则：
(1)若一对夫妻的血型一个是A型，一个是AB型，分析他们子女的血型是O，A，B或AB型的概率；
(2)父母为哪种血型时，孩子的血型不可能为O型(写出结论即可).
19.(本小题9分)
《天津日报》2022年11月24日报道，我市扎实推进实施深入打好污染防治攻坚战“1+3+8”行动方案，生态环境质量持续稳定向好，特别是大气环境质量改善成效显著.记者从市生态环境局获悉，1至10月份，全市PM2.5平均浓度为34微克/立方米，同比改善8.1%，优良天数222天，同比增加3天，重污染天2天，同比减少4天，为10年来最好水平.小明所在的数学兴趣小组根据2022年8月天津市空气质量指数(AQI趋势图)进行数据统计，分析空气质量指数在不同范围内的天数占一个月天数的比例，步骤为“求极差”“决定组距与组数”“数据分组”“列频率分布表”“画频率分布直方图”，请完成上述步骤，绘制频率分布直方图(横轴为空气质量指数，纵轴保留两位有效数字).
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由两条直线a与b有公共点，可得两直线为相交直线，
根据平面的性质，可得两直线a，b在同一个平面内．
故选：C.
根据平面的基本性质，即可求解．
本题主要考查了平面的基本性质及推论，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由于直线a不平行于平面α，所以直线a与平面α相交或直线a在平面α内，
直线a在平面α内时，平面α内存在与a平行的直线，故A错误；
直线a与平面α相交时，平面α内存在直线与a异面，故B错误；
直线a在平面α内时，平面α内存在与a平行的相交，故C错误；
直线a与平面α相交或直线a在平面α内，直线a与平面α至少存在一个公共点，
故D正确．
故选：D.
由于直线a不平行于平面α，所以直线a与平面α相交或直线a在平面α内，进而可以判断结果．
本题考查空间中直线与平面的位置关系的判断，属中档题．
3.【答案】B
【解析】解：由m、n是平面α内的两条直线，l⊥α⇒直线l⊥m且l⊥n，反之不成立，因为m与n不一定垂直．
∴“直线l⊥m且l⊥n”是“l⊥α”的必要不充分条件．
故选：B.
根据线面垂直的判定与性质定理即可判断出结论．
本题考查了线面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为x−=1mi=1mxi,y−=1ni=1nyi，
所以i=1mxi=mx−,i=1nyi=ny−，
则i=1mxi+i=1nyim+n=mx−+ny−m+n=mx−m+n+ny−m+n.
故选：B.
根据平均数的定义即可求出结果．
本题主要考查平均数公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由频率分布直方图可知自习时间不少于25小时的频率为(0.08+0.04)×2.5=0.3，
故这200名学生中每周的自习时间不少于25小时的人数为0.3×200=60(人).
故选：C.
首先根据频率分布直方图求出自习时间不少于25小时的频率，即可求出人数．
本题考查频率分布直方图相关知识，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：对于A选项，就算四面体是均匀的，理论上每个面落地的次数仍旧可能不一样，
在均匀的条件下，随着试验次数的增多，每个面落地的次数将会变得越来越接近，
换句话说，即使是均匀的四面体，仅仅在200次试验下，得到落地的面的统计结果也可能不一样，故A错误；
BCD选项，由于这200次实验2，3，4落在底面的频率分别为36200,42200,78200，即0.18，0.21，0.39，
对于B选项，估计的概率0.72和频率0.18差别过大，故B错误；
对于C选项，认为标记4的面必定落地，是必然事件，概率为1，但频率只有0.39，
因此不能认为必然发生，故C错误；
对于D选项，标记3的面落地概率估计是0.2，和实验频率0.21非常接近，D选项正确．
故选：D.
根据频率和概率的关系分析每个选项．
本题主要考查例如概率的概念，考查了频率和概率的关系，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：将5把钥匙分别标号为1，2，3，4，5，其中标号为4，5的钥匙是能打开门的，标号为1，2，3的钥匙是不能打开门的，
如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，即为不放回地抽取，则尝试开门两次，
第一次没打开门的样本点有{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5)}，共有12个，
其中第二次才能打开门的样本点有{(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}，共有6个，
由古典概型的概率公式可知，P1=612=12，
如果试过的钥匙又混进去，即为有放回地抽取，则尝试开门两次的样本空间为Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5}}，共有25个样本点，
其中第二次才能打开门的样本点有{(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}共有6个，
由古典概型的概率公式可知，P2=625.
故选：C.
分别列出样本空间，根据古典概型的概率公式求解即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由P(A)=0.6，P(B)=0.7，且事件A与B相互独立，
则A−与B相互独立，A−与B−相互独立，
则P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42，所以①不正确，③正确；
又由P(A−B)=P(A−)P(B)=(1−0.6)×0.7=0.28，所以④正确；
由P(A−B−)=P(A−)P(B−)=(1−0.6)(1−0.7)=0.12，所以⑤不正确；
又由事件A与B不一定时互斥事件，
所以P(A∪B)与P(A)+P(B)不一定相等，所以②不正确．
故选：B.
根据相互独立事件的概念和乘法公式，以及互斥事件的概念，逐个判定，即可求解．
本题考查相互独立事件和互斥事件的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
9.【答案】7
【解析】解：依题意，该样本的样本容量为321×(28+21)=7.
故答案为：7.
根据给定条件，利用分层抽样的意义列式计算作答．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
10.【答案】15
【解析】解：从5条线段中任取3条线段的基本事件有{(1,2,4),(1,2,5),(1,2,7),(1,4,5),(1,4,7),(1,5,7),(2,4,5),(2,4,7),(2,5,7),(4,5,7)}，
总数为10，能构成三角形的情况有：(2,4,5)，(4,5,7)，共2个基本事件，
故这三条线段能构成一个三角形的概率为210=15.
故答案为：15.
由列举法得所有基本事件，根据古典概型的概率计算公式即可求解．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
11.【答案】5
【解析】解：依题意得，根据古典概型的计算公式，16=C42Cn+42，
即Cn+42=6C42=36，即(n+4)(n+3)2=36，
整理可得(n+12)(n−5)=0，
解得n=5(负值舍去).
故答案为：5.
根据古典概型，组合数的计算公式进行求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了组合数公式的应用，属于基础题．
12.【答案】乙
【解析】解：对于甲同学，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为：x−=15(1+2+3+3+6)=3，方差为S2=15[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(3−3)2+(6−3)2]=2.8，可以出现点数6；
对于乙同学，若平均数为3.4，且出现点数6，则方差S2>15(6−3.4)2=1.352>1.04，
所以当平均数为3.4，方差为1.04时，一定不会出现点数6；
对于丙同学，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，众数为3，可以出现点数6；
对于丁同学，当投掷骰子出现的结果为2，2，2，3，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，综上，根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是乙同学．
故答案为：乙．
假设出现6点，利用特例法，结合平均数和方差的计算公式，即可求解．
本题主要考查平均数和方差的计算公式，属于基础题．
13.【答案】16
【解析】解：如图，取AB的中点M，连接PM，CM，
在△PAB中，PA=PB=AB=2，所以PM⊥AB，PM= 3，
同理可得，CM⊥AB，CM= 3，
所以∠PMC即为二面角P−AB−C的平面角．
因为PM=CM= 3，PC= 5，
在△PMC中，由余弦定理得cs∠PMC=PM2+CM2−PC22PM×CM=3+3−52× 3× 3=16，
所以二面角P−AB−C的余弦值为16.
故答案为：16.
利用二面角平面角的定义作出二面角P−AB−C的平面角，利用余弦定理求解即可．
本题考查二面角的求解，余弦定理的应用，属中档题．
14.【答案】①④
【解析】解：①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β，故①正确；
②空间四边形不能确定一个平面，故②错误；
③如果平面α//平面β且直线a//平面β，那么直线直线a⊂平面α或a//平面α，故③错误；
④过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直，故④正确；
⑤过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故⑤错误．
故答案为：①④．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
15.【答案】解：(1)正方体中与平面ABC1D1平行的棱有A1B1，CD，
正方体中与平面ABC1D1垂直的平面有平面BCC1B1，平面ADD1A1；
(2)连接A1D，交AD1于点O，
由正方体的性质可知，A1D⊥AD1，A1D⊥C1D1，
又AD1∩C1D1=D1，AD1⊂平面ABC1D1，C1D1⊂平面ABC1D1，
所以A1D⊥平面ABC1D1，
则A1D1和平面ABC1D1所成的角即为∠A1D1O，
又△A1D1O为等腰直角三角形，则∠A1D1O=45∘，
即A1D1和平面ABC1D1所成的角的大小为45∘.
【解析】(1)根据正方体的性质，直接写出答案即可；
(2)连接A1D，交AD1于点O，证明A1D⊥平面ABC1D1，可知∠A1D1O即为A1D1和平面ABC1D1，进而得解．
本题主要考查空间中线面，面面间的位置关系以及线面角的定义及其求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】解：(1)同一个家庭的男、女孩分别记为xi，yi，i=1，2，3，
则样本空间为：Ω={x1y1,x1y2,x1y3,x2y1,x2y2,x2y3,x3y1,x3y2,x3y3,x1x2,x1x3,x2x3,y1y2,y1y3,y2y3}.
(2)(ⅰ)由(1)知，n(Ω)=15，
因为A={x1y1,x2y2,x3y3}，
所以n(A)=3，
从而P(A)=n(A)n(Ω)=315=15；
(ⅱ)由(1)知，n(Ω)=15，
因为B={x1x2,x1x3,x2x3}，
所以n(B)=3，
从而P(B)=n(B)n(Ω)=315=15.
【解析】(1)利用列举法即可写出样本空间；
(2)(ⅰ)根据(1)的结论及古典概型的概率的计算公式即可求解；
(ⅱ)根据(1)的结论及古典概型的概率的计算公式即可求解．
本题考查古典概型，属于基础题．
17.【答案】(1)证明：在△PAD中，M，N为PD，PA的中点，
可得MN//AD，
又因为ABCD为正方形，
可得AD//BC，
所以MN//BC，
因为BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，
所以MN//平面PBC.
(2)证明：因为侧面PAD⊥平面ABCD，且侧面PAD∩平面ABCD=AD，
又因为CD⊂平面ABCD，且CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，
因为AM⊂平面PAD，
所以CD⊥AM，
由△PAD为等边三角形，且M为PD的中点，
所以AM⊥PD，
因为PD∩CD=D且PD，CD⊂平面PCD，
所以AM⊥平面PCD.
【解析】(1)根据题意，证得MN//BC，结合线面平行的判定定理，即可求解；
(2)根据面面垂直的性质，证得CD⊥AM，再由△PAD为等边三角形，且M的中点，得到AM⊥PD，结合线面垂直的判定定理，即可得证．
本题主要考查线面垂直的判定，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)若一对夫妻的血型一个是A型，一个是AB型，
则他们子女血型的基因的可能结果如下：aa，ab，ai，bi，aa，ab，aa，ab共8个，
O型的基因类型有0个，A型的基因类型有4个，B型的基因类型有1个，AB型的基因类型有3个，
故他们子女的血型是O的概率为0，他们子女的血型是A的概率为48=12，
他们子女的血型是B型的概率为18，他们子女的血型是AB型的概率为38；
(2)当父母的血型一个是A型，一个是AB型时，孩子的血型不可能为O型；
当父母的血型都是AB型时，子女血型的基因的可能结果如下：aa，ab，ab，bb共4个，O型的基因类型有0个，
故子女的血型是O的概率为0，即孩子的血型不可能为O型；
当父母的血型一个是B型，一个是AB型时，则子女血型的基因的可能结果如下：ab，bb，ai，bi，ab，bb，ab，bb共8个，
O型的基因类型有0个，故子女的血型是O的概率为0，即孩子的血型不可能为 O型；
当父母的血型一个是O型，一个是AB型时，则子女血型的基因的可能结果如下：ai，ai，ai，bi共4个， O型的基因类型有0个，
故子女的血型是O的概率为0，即孩子的血型不可能为O型；
综上，父母有一方是AB血型时，孩子的血型不可能为O型．
【解析】(1)列举所有基本事件，然后求出个事件包含的个数，利用古典概型概率公式求解即可；
(2)求出各个血型的概率，即可得出结论．
本题考查古典概型概率公式，是基础题．
19.【答案】解：已知空气质量指数的最大值为64，最小值为23，
所以极差为64−23=41，
则组距为7，组数为6，
频率分布表如下：
由频率分布表可得频率分布直方图，如下所示：

【解析】由题意，先求出极差，组距和组数，列出频率分布表，根据频率分布直方图的作图方法直接作图即可．
本题考查频率分布直方图，考查了数据分析和运算能力．四面体的面
1
2
3
4
频数
44
36
42
78
空气质量指数
频数
频率
[23,30)
5
531
[30,37)
4
431
[37,44)
10
1031
[44,51)
3
331
[51.58)
6
631
[58.65)
3
331