（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 专题5.3 函数的应用（重难点突破）（原卷版+解析）

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专题5.3 函数的应用一、考情分析二、考点梳理知识点一 二分法求函数零点的近似值二分法的概念 对于在区间上连续不断且 的函数，通过不断地函数的零点所在的区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫二分法，由函数的零点与相应方程的根的关系，可用二分法来求 。2、用二分法求函数 零点近似值的步骤（给定精确度）（1）确定区间，使 。（2）求区间的中点， 。（3）计算若，则 若，则令（此时零点 ）；若则令（此时零点 ）；（4）继续实施上述步骤，直到区间 ，函数的零点总位于区间 上，当和按照给定精度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。知识点二 函数的零点与方程的根1.对于函数,我们把使的实数x叫做函数 的 .2.函数的零点就是方程 的 ，也就是函数 的图像与x轴的交点的 .3.方程 有实根函数的图像与x轴有 函数 有 .4.函数零点的存在性的判定方法5.如果函数在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 0，那么在区间（a,b）内有零点，即存在，使得 0，这个c就是方程的根.知识点三 一次函数与二次函数模型1、（1）．一次函数模型的实际应用一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．（2）．一次函数的最值求解一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．2、二次函数模型的解析式为gx＝ax2＋bx＋ca≠0.在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.3、（1）．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．（2）．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．（3）．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论知识点四 指数增长模型与对数增长模型【特别提醒】1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.三、题型突破重难点题型突破1 二分法求函数零点所在区间例1.（1）、（2022·广东·佛山一中高一期中）设函数，用二分法求方程的解，则其解在区间A． B． C． D．（2）、（2022·广东·佛山实验中学高一月考）下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）.A． B． C． D．（3）、（2023·湖南）为了求函数的一个零点，某同学利用计算器得到自变量和函数的部分对应值，如下表所示：则方程的近似解（精确度）可取___________.【变式训练1-1】、（2023·广东·汕头市潮师高级中学高一月考）函数零点所在的整区间是（ ）A． B． C． D．【变式训练1-2】．函数的一个零点所在的区间是(　 )A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)【变式训练1-3】．（2023·云南昆明八中）用二分法求函数的一个零点，算得的部分数据如下：根据此数据，可得方程的一个近似解（精确到0.01）为_________.重难点题型突破2 求函数零点的个数与方程的解个数例2．（1）、（2023·上海奉贤区致远高级中学高三月考）函数的零点的个数（ ）A．1 B．2 C．3 D．（2）、（2023·上海·华师大二附中高一期末）已知函数则方程的解得个数是（ ）A．5 B．6 C．7 D．8【变式训练2-1】．（2023·张家口市第一中学高一月考）函数的零点个数为（　　）A．0 B．1 C．2 D．3重难点题型突破3 根据零点个数或零点所在区间，求参数的范围例3．（1）、（2023·上海·高一专题练习）方程只有一个实数解，则实数m的取值范围是（ ）A． B． C． D．或（2）．（2023·云南省玉溪第一中学（文））已知函数（为自然对数的底数），若函数恰好有两个零点，则实数等于___________.【变式训练3-1】．（2023·重庆八中高三月考）己知函数，若存在两个零点，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．【变式训练3-2】．（2023·陕西高二期末（文））已知函数，若方程有且仅有两个不等的实数根，则实数的取值范围为___________.重难点题型突破4 复合函数的零点问题例4．（1）、（2023·重庆市永川北山中学校高一期末）已知函数的定义域为R，若关于x的方程有5个不同的根，则的值为（ ）A． B．16 C．5 D．15（2）．（2022·全国高三专题练习）设，函数，若函数恰有个零点，则实数的值为__________.【变式训练4-1】、（2022·重庆市万州第二高级中学高二期中（文））已知函数,若函数有5个零点，则实数的取值范围是( )A． B． C． D．【变式训练4-2】．（2022·全国高三专题练习（理））已知函数，若函数，则下列结论正确的是（ ）A．若没有零点，则B．当时，恰有1个零点C．当恰有2个零点时，的取值范围为D．当恰有3个零点时，的取值范围为重难点题型突破5 一次函数、二次函数模型例5．（1）、（2016·上海市金山中学高一月考）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物，（1）如不超过200元，则不予优惠；（2）如超过200元但不超过500元，则全款按9折优惠；（3）如超过500元，其中500元按9折给予优惠，超过500元的部分按8折给予优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元.若他只去一次购买同样价值的商品，则应付款（ ）A．472.8元 B．510.4元 C．522.8元 D．560.4元（2）、（2023·浙江浙江·高一期末）已知某炮弹飞行高度h（单位：m）与时间x（单位：s）之间的函数关系式为，则炮弹飞行高度高于的时间长为（ ）A． B． C． D．【变式训练5-1】．（2023·黑龙江·大庆实验中学高一月考）依法纳税是每个公民应尽的义务.根据《中华人民共和国个人所得税法》，自2019年1月1日起，个人综合所得税根据全年应纳税所得额和税率来确定，计算公式为：个人综合所得税=全年应纳税所得额×税率；全年应纳税所得额的计算公式为：全年应纳税所得额=全年综合所得收入额-基本减除费用(六万元)-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除；税率（见下表）：若小陈全年缴纳的个人综合所得税为1380元，其中专项扣除占全年综合所得收入额的20%，专项附加扣除和依法确定的其他扣除总计为50000元，则小陈全年综合所得收入额为___________.（单位：元）【变式训练5-2】．（2022·浙江省温州翔宇中学高一月考）生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），商品的售价是每件20元，为获取最大利润(利润收入成本)，该企业一个月应生产该商品数量为A．万件 B．万件 C．万件 D．万件重难点题型突破6 指数函数、对数函数与模函数模型例6．（1）、（2023·浙江·高一期末）（多选题）如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积与时间t(月)的关系为：.有以下几个判断，正确的是（ ）A．B．浮萍从蔓延到只需要经过1.5个月C．在第6个月，浮萍面积超过D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别为，则（2）、（2022·浙江·高三专题练习）一种药在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，答案采取四舍五入精确到）A．2.3小时 B．3.5小时 C．5.6小时 D．8.8小时例7．（2023·天津·高一期末）某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本f(x)万元，假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.（1）求利润g(x)（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.例8．（2023·上海市新川中学高一期中）工厂生产一种产品的原材料费用为每件元，若用表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件元，又该厂职工工资固定支出元．（1）当为多少时，每件产品的成本费最低，并求出每件最低成本费；（每件产品的成本费每件原材料费每件保养费）；（2）如果一年中该厂生产的这种产品的数量不超过（件），且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价与产品件数有如下关系：，试问生产多少件产品时，总利润最高？（总利润＝总销售额－总成本）例9．（2022·上海·高三专题练习）在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）满足（为自然对数的底）.（1）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的两倍时，求火箭的最大速度（单位：）结果精确到0.1）；（2）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到（结果精确到0.1）.例10．（2023·上海·曹杨二中高一月考）根据相关资料得出甲、乙两种产品利润与投入资金x（万元）的数据分别如下表和图所示，其中已知甲的利润为，乙的利润为，其中a，b，c，d，.（1）分别求出甲、乙两种产品所得的利润与投入资金x（万元）的函数解析式；（2）将300万资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于75万元，设对乙种产品投入资金m（万元），并设总利润为y（万元），如何分配投入资金，才能使总利润最大？并求出最大总利润.四、定时训练（30分钟）1．（2023·上海·高一专题练习）下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数的零点的是（ ）A． B．C． D．2．（2023·北京·人大附中高一期中）某同学用二分法求方程在内近似解的过程中，设，且计算，则该同学在下次应计算的函数值为（ ）A． B． C． D．3．（2017·北京师大附中高一期中）若函数的—个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:那么方程的一个近似根(精确度为)为（ ）A．1.275 B．1.375 C．1.415 D．1.54．（2023·浙江·浦江县第三中学高一月考）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民本月用水量为（ ）A．20m3 B．18m3C．15m3 D．14m35．（2023·重庆市云阳江口中学校高三月考）函数在区间上有两个零点，则m的取值范围是________.6．（2022·上海市松江二中高一期中）2011年9月1日起，我国实行新个人所得税率，起征点为3500元,超过部分实行超额累进税率.税率如图所示，如果校长2012年6月交了2620元的税，那么他6月份的工资为________ 元. 7．（2023·浙江浙江·高一期末）将400个进货单价为80元的商品，按90元一个售出时能全部卖出，已知这种商品每个涨价1元，其销售数就减少了20个，为了获得最大利润，售价应定为每个________元.8．（2023·上海·曹杨二中高三月考）设，函数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是___________.9．（2023·上海市实验学校高三月考）已知函数，若关于的方程有8个不同的实数根，则实数的取值范围是___________.函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)x级数全年应纳税所得额税率（%）1不超过36000元的32超过36000元至144000元的部分103超过144000元至300000元的部分204超过300000元至420000元的部分255超过420000元至660000元的部分306超过660000元至960000元的部分357超过960000元的部分45x20406080P33363942每户每月用水量水价不超过12m3的部分3元/m3超过12m3但不超过18m3的部分6元/m3超过18m3的部分9元/m3专题5.3 函数的应用一、考情分析二、考点梳理知识点一 二分法求函数零点的近似值二分法的概念 对于在区间上连续不断且 的函数，通过不断地函数的零点所在的区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫二分法，由函数的零点与相应方程的根的关系，可用二分法来求 。2、用二分法求函数 零点近似值的步骤（给定精确度）（1）确定区间，使 。（2）求区间的中点， 。（3）计算若，则 若，则令（此时零点 ）；若则令（此时零点 ）；（4）继续实施上述步骤，直到区间 ，函数的零点总位于区间 上，当和按照给定精度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。知识点二 函数的零点与方程的根1.对于函数,我们把使的实数x叫做函数 的 .2.函数的零点就是方程 的 ，也就是函数 的图像与x轴的交点的 .3.方程 有实根函数的图像与x轴有 函数 有 .4.函数零点的存在性的判定方法5.如果函数在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 0，那么在区间（a,b）内有零点，即存在，使得 0，这个c就是方程的根.知识点三 一次函数与二次函数模型1、（1）．一次函数模型的实际应用一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．（2）．一次函数的最值求解一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．2、二次函数模型的解析式为gx＝ax2＋bx＋ca≠0.在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.3、（1）．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．（2）．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．（3）．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论知识点四 指数增长模型与对数增长模型【特别提醒】1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.三、题型突破重难点题型突破1 二分法求函数零点所在区间例1.（1）、（2022·广东·佛山一中高一期中）设函数，用二分法求方程的解，则其解在区间A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二分法求区间根的方法只须找到满足即可．【详解】解： ，， 根据零点存在定理，可得方程的根落在区间内． 故选A．【点睛】本题主要考查利用二分法求方程的近似解，函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．（2）、（2022·广东·佛山实验中学高一月考）下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）.A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，由二分法的定义，可以用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的两侧函数值异号，检验各个选项中的函数，从而得出结论．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；对于B，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；对于C，，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，故不能用二分法求零点；对于D，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；故选C．【点睛】本题考查二分法的定义以及应用，注意二分法求函数零点的条件．（3）、（2023·湖南）为了求函数的一个零点，某同学利用计算器得到自变量和函数的部分对应值，如下表所示：则方程的近似解（精确度）可取___________.【答案】【分析】根据函数零点存在定理、用二分法求方程的近似解的相关知识，代值求解即可.【详解】由题表知，且，所以方程的一个近似解可取为，故答案为：.【变式训练1-1】、（2023·广东·汕头市潮师高级中学高一月考）函数零点所在的整区间是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用零点存在性定理求解即可.【详解】因为函数为单调递增函数，且，所以零点所在的区间是，故选：C．【变式训练1-2】．函数的一个零点所在的区间是(　 )A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)【答案】B【解析】由题得，，所以所以函数的一个零点所在的区间是.故选：B【变式训练1-3】．（2023·云南昆明八中）用二分法求函数的一个零点，算得的部分数据如下：根据此数据，可得方程的一个近似解（精确到0.01）为_________.【答案】.【分析】根据表格中的数据，得到函数的零点所在区间为，结合零点的存在性定理，即可求解.【详解】由表格中的数据，可得，，根据零点的存在定理，可得函数的零点所在区间为，故函数的零点的近似值为（精确到0.01），故答案为：.重难点题型突破2 求函数零点的个数与方程的解个数例2．（1）、（2023·上海奉贤区致远高级中学高三月考）函数的零点的个数（ ）A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【分析】函数的零点的个数即为的交点的个数，在同一直角坐标系中画出两个函数图像，数形结合即得解.【详解】由题意，即函数的零点的个数即为的交点的个数，在同一直角坐标系中画出两个函数图像数形结合可知，两个函数有3个交点故函数的零点的个数是3故选：C（2）、（2023·上海·华师大二附中高一期末）已知函数则方程的解得个数是（ ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】化简得出函数的表达式，方程的解得个数，即方程的实数根的个数，作出函数和的图象，结合函数图象可得出答案.【详解】当时，当时，当时，方程的解得个数，即方程的实数根的个数.在同一坐标系中作出与的图象，由，如图：函数的图象与的图象有7个交点.所以函数的零点个数是：7故选：C【变式训练2-1】．（2023·张家口市第一中学高一月考）函数的零点个数为（　　）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由题意可知零点个数转化为的交点个数，作出图象即可求解【详解】函数，由，可得，作出和的图象，由图象可得它们有2个交点，则的零点个数为2，故选：C.重难点题型突破3 根据零点个数或零点所在区间，求参数的范围例3．（1）、（2023·上海·高一专题练习）方程只有一个实数解，则实数m的取值范围是（ ）A． B． C． D．或【答案】D【分析】换元成一元二次方程，分类讨论只有一根和有两根情况．【详解】令，则方程只有一个正根，当方程有唯一根时，则，此时根为符合题意；当方程有一正一负根或一正根和0根时，有，则．综上所述，或故选：D（2）．（2023·云南省玉溪第一中学（文））已知函数（为自然对数的底数），若函数恰好有两个零点，则实数等于___________.【答案】【分析】函数恰好有两个零点等价于方程有两个根，即函数与函数的图象有两个交点，作函数图象，观察图像可得实数.【详解】∵ 函数恰好有两个零点，∴ 方程有两个根，∴ 函数与函数的图象有两个交点，当时，，，∴ 时，，函数在上为增函数，时，，函数在上为减函数，当时，，函数在上为减函数，由此可得函数的图象如下：∴ 当时，函数与函数的图象有两个交点，∴ ，故答案为：.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)•f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【变式训练3-1】．（2023·重庆八中高三月考）己知函数，若存在两个零点，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题可得的图像与的图像有2个交点，数形结合即可求出.【详解】由题，存在两个零点，等价于的图像与的图像有2个交点，画出的函数图象如下：由数形结合知，即.故选：A.【变式训练3-2】．（2023·陕西高二期末（文））已知函数，若方程有且仅有两个不等的实数根，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】作出函数的图象，得出函数的趋势，由图象可得结论．【详解】作出函数的图象，如图，由图象可知当时，的图象与直线有两个交点，即方程有且仅有两个不等的实数根．故答案为：．重难点题型突破4 复合函数的零点问题例4．（1）、（2023·重庆市永川北山中学校高一期末）已知函数的定义域为R，若关于x的方程有5个不同的根，则的值为（ ）A． B．16 C．5 D．15【答案】D【分析】根据函数解析式画出图像，结合方程根的情况，判断函数交点情况，从而求得参数的值，进而求得交点横坐标，从而解决问题.【详解】由函数解析式作出函数图像如下：由方程有5个不同的根知，必有一个解为1，即，则，则方程另一个解为，设则，故故选：D.【点睛】方法点睛：数形结合找到方程有5个不同根对应的交点情况，然后求得参数值.（2）．（2022·全国高三专题练习）设，函数，若函数恰有个零点，则实数的值为__________.【答案】【分析】分和两种情况讨论，由解出的值，然后分、解关于的方程，结合已知条件可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.【详解】①当时，由，可得，当时，由，可得或，当时，.即当时，函数只有个零点，不合乎题意；②当时，由，可得或.当时，由，可得或，方程无解，当时，由，即，，解方程可得，其中合乎题意，舍去，所以，方程在时有唯一解，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，，故，解得.综上所述，.故答案为：.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．【变式训练4-1】、（2022·重庆市万州第二高级中学高二期中（文））已知函数,若函数有5个零点，则实数的取值范围是( )A． B． C． D．【答案】C【分析】画出图像,求得函数的值域为,函数有个零点,故方程有个实根, 即函数的图像与直线有个不同的交点,对分类讨论,即可求得答案.【详解】画出图像:由图可知:函数的值域为 函数有个零点, 方程有个实根即函数的图像与直线有个不同的交点①当或时,函数的图像与直线没有交点故函数的图像与直线没有交点 函数没有零点,与题意不符,故舍去;②当时,函数的图像与直线只有一个交点即方程只有一个实根令,得或即此时函数只有两个零点和,与题意不符,故舍去;③当时,函数的图像与直线有两个交点即方程有两个实根,且则方程只有三个实根,而方程无实根即此时函数只有三个零点,与题意不符,故舍去;④当时,函数的图像与直线有三个交点即方程有三个实根方程有一个实根,方程有三个实根,方程无实根即此时函数有四个零点,与题意不符,故舍去;⑤当时,函数 的图像与直线有三个交点即方程有三个实根且 则方程有两个实根,方程有三个实根,方程无实根即此时函数只有五个零点,与题意相符合⑥当时,函数的图像与直线有两个交点即方程有两个实根,或方程有三个实根,方程无实根即此时函数有三个零点,与题意不符,故舍去综上所述,实数的取值范围是.故选:C.【点睛】本题考查了含有参数的求函数零点个数问题,解题关键是掌握将函数零点问题转为求函数交点问题,画出图像,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于难题.【变式训练4-2】．（2022·全国高三专题练习（理））已知函数，若函数，则下列结论正确的是（ ）A．若没有零点，则B．当时，恰有1个零点C．当恰有2个零点时，的取值范围为D．当恰有3个零点时，的取值范围为【答案】D【分析】作出的图象，令，可得或，分别讨论在、、、、、、、和情况下，和图象与图象交点个数，即可得零点个数，综合分析，即可得答案.【详解】作出的图象，如图所示：令，即，可得或，即或，当时，和均无解，此时无零点，当时，有且仅有一个根x=-1，无解，此时有一个零点，故A错误；当时，图象与图象有2个交点，即有2个根， ，图象与无交点，即无解，此时有2个零点；当时，图象与图象有3个交点，即有3个根，，图象与无交点，即无解，此时有3个零点；当时，图象与图象有2个交点，即有2个根，图象与图象有1个交点，此时有3个零点；故B错误当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，，图象与图象有2个交点，即有2个根，此时有3个零点；当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，，图象与图象有3个交点，即有3个根，此时有4个零点；当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，图象与图象有2个交点，即有2个根，此时有3个零点；当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，，图象与图象有1个交点，即有1个根，此时有2个零点，故C错误；综上可得：当恰有3个零点时，的取值范围为，故D正确.故选：D重难点题型突破5 一次函数、二次函数模型例5．（1）、（2016·上海市金山中学高一月考）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物，（1）如不超过200元，则不予优惠；（2）如超过200元但不超过500元，则全款按9折优惠；（3）如超过500元，其中500元按9折给予优惠，超过500元的部分按8折给予优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元.若他只去一次购买同样价值的商品，则应付款（ ）A．472.8元 B．510.4元 C．522.8元 D．560.4元【答案】D【分析】求出两次购物的原价，根据优惠活动计算应付款．【详解】解：购物500元应付款元，设第二次购物的原价为，则，故，解得．故两次购物原价为元．若一次购物638元，则应付款元．故选：．【点睛】本题考查了函数解析式与函数值的计算，属于基础题．（2）、（2023·浙江浙江·高一期末）已知某炮弹飞行高度h（单位：m）与时间x（单位：s）之间的函数关系式为，则炮弹飞行高度高于的时间长为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】令解不等式可得答案.【详解】根据题意可得，解得，则炮弹飞行高度高于的时间长为（s）.故选：A.【变式训练5-1】．（2023·黑龙江·大庆实验中学高一月考）依法纳税是每个公民应尽的义务.根据《中华人民共和国个人所得税法》，自2019年1月1日起，个人综合所得税根据全年应纳税所得额和税率来确定，计算公式为：个人综合所得税=全年应纳税所得额×税率；全年应纳税所得额的计算公式为：全年应纳税所得额=全年综合所得收入额-基本减除费用(六万元)-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除；税率（见下表）：若小陈全年缴纳的个人综合所得税为1380元，其中专项扣除占全年综合所得收入额的20%，专项附加扣除和依法确定的其他扣除总计为50000元，则小陈全年综合所得收入额为___________.（单位：元）【答案】186250【分析】根据给定信息探求出小陈全年应纳税所得额在36000元到144000之间，设小陈全年综合所得收入额为x元，列出方程求解即得.【详解】若小陈全年应纳税所得额恰好为36000元，则应缴纳个税为，若小陈全年应纳税所得额恰好为144000元，则应缴纳个税为，因，则小陈全年应纳税所得额在36000元到144000元之间，设小陈全年综合所得收入额为x元，则，即，解得，所以小陈全年综合所得收入额为186250元.故答案为：186250【变式训练5-2】．（2022·浙江省温州翔宇中学高一月考）生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），商品的售价是每件20元，为获取最大利润(利润收入成本)，该企业一个月应生产该商品数量为A．万件 B．万件 C．万件 D．万件【答案】B【分析】根据题中条件，结合利润收入成本，列出利润的表达式，再由配方法即可得出结果.【详解】由题意可得，获得最大利润时的收入是万元，成本是，所以此时的利润为，当且仅当时，取最大值.故选B【点睛】本题主要考查函数的应用，根据题意列出函数的表达式，进而可求出结果，属于基础题型.重难点题型突破6 指数函数、对数函数与模函数模型例6．（1）、（2023·浙江·高一期末）（多选题）如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积与时间t(月)的关系为：.有以下几个判断，正确的是（ ）A．B．浮萍从蔓延到只需要经过1.5个月C．在第6个月，浮萍面积超过D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别为，则【答案】ACD【分析】由图象经过点可得解析式可判断A；分别令、求出m、t做差可判断B；计算可判断C；分别计算可判断D.【详解】因为函数图象经过点，所以，所以，故A正确；当，得，当，得，所以，所以B错误；当，所以C正确；当，得，当，得，当，得，所以，所以D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了求解析式并求函数值及比较大小的问题，关键点是由图象求出函数的解析式，注意指对互化的问题，考查了学生的计算能力.（2）、（2022·浙江·高三专题练习）一种药在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，答案采取四舍五入精确到）A．2.3小时 B．3.5小时 C．5.6小时 D．8.8小时【答案】A【分析】药在血液中以每小时的比例衰减，根据指数函数模型列方程或不等式求解．【详解】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．则，，，，．故选：A．例7．（2023·天津·高一期末）某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本f(x)万元，假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.（1）求利润g(x)（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）；（2）产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.【分析】（1）依题意求出各段的函数解析式，再写成分段函数即可；（2）根据解析式求出各段函数的最大值，再取最大的即可；【详解】解：（1）由题意可知，当0＜x＜40，100x∈N时，g(x)＝300x-5x2-50x-500-1000＝-5x2+250x-1500；当x≥40，100x∈N时，综上，（2）当0＜x＜40，100x∈N时，g(x)＝-5x2+250x-1500＝-5(x-25)2+1625，且当x＝25时，g(x)取得最大值1625；当x≥40，100x∈N时，，当且仅当x＝50时，g(x)取得最大值1900.综上，当x＝50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．例8．（2023·上海市新川中学高一期中）工厂生产一种产品的原材料费用为每件元，若用表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件元，又该厂职工工资固定支出元．（1）当为多少时，每件产品的成本费最低，并求出每件最低成本费；（每件产品的成本费每件原材料费每件保养费）；（2）如果一年中该厂生产的这种产品的数量不超过（件），且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价与产品件数有如下关系：，试问生产多少件产品时，总利润最高？（总利润＝总销售额－总成本）【答案】（1）当时，每件产品的最低成本费为元；（2）当生产件产品时，总利润最高，且最高利润为元.【分析】（1）根据每件产品的成本费等于三部分成本和，建立函数关系式，再利用基本不等式求出的最小值；（2）设总利润为元，根据“总利润总销售额总的成本”求出总利润函数，利用二次函数的性质求出取最值时的值即可.【详解】（1）根据该工厂生产一种产品的成本费由三部分组成：①职工工资固定支出元；②原材料费每件元；③电力与机器保养等费用每件元.所以，.由基本不等式可得（元），当且仅当时，即当时，等号成立，因此，每件产品的最低成本费为元；（2）设总利润为元，因为每件产品的销售价与产品件数有如下关系：，所以，总销售额为，所以，，所以，当时，.因此，当生产件产品时，总利润最高，且最高利润为元.例9．（2022·上海·高三专题练习）在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）满足（为自然对数的底）.（1）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的两倍时，求火箭的最大速度（单位：）结果精确到0.1）；（2）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到（结果精确到0.1）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）将化为：，然后将代入中求解即可；（2）将代入得，然后进行指对互化求解的值.【详解】解：因为，所以，当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的两倍时，将代入得：；（2）令，即，得，解得.例10．（2023·上海·曹杨二中高一月考）根据相关资料得出甲、乙两种产品利润与投入资金x（万元）的数据分别如下表和图所示，其中已知甲的利润为，乙的利润为，其中a，b，c，d，.（1）分别求出甲、乙两种产品所得的利润与投入资金x（万元）的函数解析式；（2）将300万资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于75万元，设对乙种产品投入资金m（万元），并设总利润为y（万元），如何分配投入资金，才能使总利润最大？并求出最大总利润.【答案】（1）甲：，，乙：，；（2）当甲产品投入200万元，乙产品投入100万元时，总利润最大为130万元.【分析】（1）代入表格中的两组数据解得即可得解；代入图象中三个点的坐标解出即可得解；（2）根据题意将表示为关于的函数，求出定义域，将看成整体，利用二次函数知识可求得结果.【详解】（1）将和代入到，得，解得，所以；将，，代入到，得，解得，所以，.（2）依题意可得万元，由得，因为，，所以当，即万元时，取得最大值，最大值为万元.所以当甲产品投入200万元，乙产品投入100万元时，总利润最大为130万元.四、定时训练（30分钟）1．（2023·上海·高一专题练习）下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数的零点的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接根据图象分析，只有变号的零点才可以分二分法求解，即可得到答案；【详解】B选项中的零点不是变号零点，该零点不宜用二分法求解，故选：B.【点睛】本题考查二分法求函数零点的理解，考查数形结合思想，属于基础题.2．（2023·北京·人大附中高一期中）某同学用二分法求方程在内近似解的过程中，设，且计算，则该同学在下次应计算的函数值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二分法分析即可求解.【详解】，零点在内，下次应计算的函数值故选：C3．（2017·北京师大附中高一期中）若函数的—个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:那么方程的一个近似根(精确度为)为（ ）A．1.275 B．1.375 C．1.415 D．1.5【答案】C【分析】由函数零点存在定理确定。【详解】由二分法，表格中数据说明零点在上，只有C符合。故选：C。【点睛】本题考查零点存在定理，即连续函数，若，则在上至少有一个零点。4．（2023·浙江·浦江县第三中学高一月考）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民本月用水量为（ ）A．20m3 B．18m3C．15m3 D．14m3【答案】C【分析】利用分段函数各段上的解析式,由函数值求自变量可得.【详解】设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为元,则当时,元,不符合题意;当时,,令,解得,符合题意;当时,,不符合题意.综上所述: 此户居民本月用水量为15.故选:C【点睛】本题考查了分段函数由函数值求自变量,解题关键是仔细阅读,搞清题意,本题属于基础题.5．（2023·重庆市云阳江口中学校高三月考）函数在区间上有两个零点，则m的取值范围是________.【答案】【分析】由分离参数得，，引入函数，用导数研究函数的单调性极值后可得结论．【详解】由题意方程（）有两个实根，即在上有两个实根，设，则，当时，，递减，时，，递增，，又，而时，，∴当时，的图象与直线在上有两个交点，即原函数有两个零点．故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题关键是问题的转化，函数零点个数常常转化为方程的解的个数，再转化为函数图象与直线交点个数，为此引入新函数，研究函数的单调性，极值，确定函数图象的变化趋势后可得结论．6．（2022·上海市松江二中高一期中）2011年9月1日起，我国实行新个人所得税率，起征点为3500元,超过部分实行超额累进税率.税率如图所示，如果校长2012年6月交了2620元的税，那么他6月份的工资为________ 元. 【答案】18000【分析】利用税率分段相加求解即可【详解】设校长工资为x元，则应纳税额为元，又，，则校长工资为3500+9000+5500=18000元故答案为18000【点睛】本题考查分段函数的应用，考查对题意的理解，是基础题7．（2023·浙江浙江·高一期末）将400个进货单价为80元的商品，按90元一个售出时能全部卖出，已知这种商品每个涨价1元，其销售数就减少了20个，为了获得最大利润，售价应定为每个________元.【答案】95【分析】根据题意，转化为二次函数求最值.【详解】设售价为元，则利润为（元），所以当，即售价为95元时，利润最大.故答案为：958．（2023·上海·曹杨二中高三月考）设，函数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是___________.【答案】【分析】问题转化为函数与直线有三个不同交点，分作出函数图象，数形结合即可求解.【详解】,若函数有且仅有3个零点,则函数的图象与直线有三个不同的交点，，当且仅当时等号成立，当时，如图：即可，解得，当时, 如图：即可，解得，综上，故答案为：9．（2023·上海市实验学校高三月考）已知函数，若关于的方程有8个不同的实数根，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】作出函数的图象，利用数形结合求解，利用换元法转化为一元二次方程根的分布情况，即有两个根，满足，或有两个根，满足， 从而可求出实数的取值范围【详解】作出函数的图象如图所示，设，由图象可知，当时，有3个根，当时，有4个根，当时，有5个根，当时，有6个根，当时，有3个根，当时，有0个根，方程有8个不同的实数根，则①等价为有两个根，满足，②或者等价为有两个根，满足，设由①得，，即，解得，由②得，，则，此时由得或，满足，综上，或，故答案为：函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)x级数全年应纳税所得额税率（%）1不超过36000元的32超过36000元至144000元的部分103超过144000元至300000元的部分204超过300000元至420000元的部分255超过420000元至660000元的部分306超过660000元至960000元的部分357超过960000元的部分45x20406080P33363942每户每月用水量水价不超过12m3的部分3元/m3超过12m3但不超过18m3的部分6元/m3超过18m3的部分9元/m3