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（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 专题5.2 函数的基本性质（课时训练）（原卷版+解析）
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这是一份（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 专题5.2 函数的基本性质（课时训练）（原卷版+解析），共25页。
专题5.2 函数的基本性质A组 基础巩固1．（2023·宁夏·银川唐徕回民中学高一期中）已知奇函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B．C． D．2．（2023·上海市建平中学高一期中）关于函数，下列说法正确的是（ ）A．若，则函数只有最大值没有最小值B．若，则函数只有最小值没有最大值C．若，则函数有最大值没有最小值D．若，则函数有最小值也有最大值3．（2022·上海·上外浦东附中高一月考）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）A． B．C． D．4．（2023·上海市大同中学高一期末）设是定义在上的偶函数，且在上是严格减函数，，则的解集为（ ）A． B．C． D．5．（2023·上海·高一专题练习）若函数是偶函数，则实数的值是（ ）．A．-1 B．0 C．1 D．不唯一6．（2023·上海·高一专题练习）已知函数，则（ ）A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数7．（2023·上海·高一单元测试）已知函数，则下列结论正确的是（ ）A．是偶函数，单调递增区间是B．是偶函数，单调递减区间是C．是奇函数，单调递减区间是D．是奇函数，单调递增区间是8．（2023·上海·高一单元测试）函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．9．（2022·上海·高三专题练习）下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）A． B．C． D．10．（2023·上海·高一开学考试）如果在区间上为减函数，则的取值（ ）A． B． C． D．11．（2023·上海市上南中学高三月考）设偶函数对任意，都有，且当时，，则的值是___________.12．（2023·上海·高一专题练习）函数为定义在上的奇函数，且满足，则的周期为__________．13．（2023·上海市金山中学高一月考）已知是定义域为上的奇函数，且在上严格递减，若成立，则实数a的范围是___________.14．（2023·上海市行知中学高一期中）已知函数是R上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，计算＝________．15．（2022·上海·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.16．（2023·上海市建平中学高二月考）已知为奇函数，当时，；则当，的解析式为___________.17．（2023·上海·华师大二附中高一月考）已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，__________.18．（2023·上海·高一专题练习）已知是定义在上的奇函数，且在上为增函数，若，则不等式的解集为___________19．（2023·上海师大附中高一期末）已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是_________.20．（2023·上海·高一专题练习）已知函数是定义域为的奇函数，且，则______． B组 能力提升21．（2023·上海市沪新中学高三月考）已知函数（1）当时，求的解集；（2）若函数是定义在上的奇函数，求实数的值及函数的值域；（3）在（2）的前提下，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.22．（2023·上海市陆行中学高三月考）已知函数，且.（1）求函数的解析式；（2）若在上时单调函数，求实数的取值范围. 23．（2023·上海·高一专题练习）已知函数的定义域是，且，，当时，.（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）求在区间上的解析式.24．（2023·上海·高一专题练习）已知函数.（1）证明：是偶函数；（2）求的值域. 25．（2023·上海·高一）设函数（1）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围（2）若存在，不等式成立，求实数的取值范围26．（2023·上海·高一专题练习）已知函数是定义域为上的奇函数.（1）求的值；（2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集；（3）若在上的最小值为，求的值. 专题5.2 函数的基本性质A组 基础巩固1．（2023·宁夏·银川唐徕回民中学高一期中）已知奇函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据奇函数的图象判断在各个区间的正负，再结合与异号，即得的解集.【详解】由图像可知在时，当，，当，，由为奇函数，图象关于原点对称，在时，当，；当，，又在时与同号，在时与异号故不等式的解集为：.故选：D.2．（2023·上海市建平中学高一期中）关于函数，下列说法正确的是（ ）A．若，则函数只有最大值没有最小值B．若，则函数只有最小值没有最大值C．若，则函数有最大值没有最小值D．若，则函数有最小值也有最大值【答案】D【分析】根据反比例函数的性质求出函数的最值即可.【详解】函数的定义域为，，由反比例函数的性质，得在单调递减，此时；在单调递减，此时；若，则在上取到，所以，同理，在上取到，所以，所以当，函数有最大值和最小值.故选：D3．（2022·上海·上外浦东附中高一月考）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据偶函数的性质以及函数的单调性去电掉得到关于的不等式即可求解.【详解】因为是偶函数，所以，所以等价于，因为在区间上单调递增，所以，即，解得：，所以原不等式的解集为，故选：A.4．（2023·上海市大同中学高一期末）设是定义在上的偶函数，且在上是严格减函数，，则的解集为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函数为偶函数可将不等式化为，即可利用单调性求解.【详解】是定义在上的偶函数，，则不等式为，则，在上是严格减函数，，解得或，又定义域为，故不等式的解集为.故选：C.【点睛】本题考查利用偶函数的性质解不等式，将不等式化为利用单调性求解是解题的关键.5．（2023·上海·高一专题练习）若函数是偶函数，则实数的值是（ ）．A．-1 B．0 C．1 D．不唯一【答案】C【分析】直接利用偶函数, ,代入x=1即可求出a.【详解】因为函数是偶函数,所以,即,解得: a=1故选:C【点睛】函数奇偶性的应用:(1)一般用或;(2)有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或.6．（2023·上海·高一专题练习）已知函数，则（ ）A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数【答案】A【分析】由可直接得到结果.【详解】，，为奇函数，但不是偶函数.故选：A.7．（2023·上海·高一单元测试）已知函数，则下列结论正确的是（ ）A．是偶函数，单调递增区间是B．是偶函数，单调递减区间是C．是奇函数，单调递减区间是D．是奇函数，单调递增区间是【答案】C【分析】由函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，结合分段函数、二次函数的性质可判断函数的单调性，即可得解.【详解】函数的定义域为R，因为，所以函数是奇函数；又，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增；又函数连续，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，.故选：C.8．（2023·上海·高一单元测试）函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由偶函数的性质及函数的单调性可转化条件为，即可得解.【详解】函数是上的偶函数，且在上是增函数，在上是减函数，又等价于，，或，实数的取值范围为.故选：D.9．（2022·上海·高三专题练习）下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由复合函数单调性的判断，结合指数函数、幂函数的单调性可判断AC，结合二次函数的性质可判断B，由一次函数的单调性可判断D.【详解】解：A:因为为减函数，所以为增函数；B: 对称轴为，图象开口向上，所以在上为增函数；C:因为在定义域上为减函数，所以在定义域上为增函数；D:当时，为减函数，当时，为减函数，且，所以在定义域上为减函数.故选:D.10．（2023·上海·高一开学考试）如果在区间上为减函数，则的取值（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】最高次系数含有参数，分系数为0和不为0两种情况讨论，再结合二次函数的性质即可求出答案．【详解】解：由题意，当时，可得，在上是单调递减，满足题意；当时，显然不成立；当时，要使在上为减函数，则，解得：，∴；综上： ，故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数单调性的应用，属于基础题．11．（2023·上海市上南中学高三月考）设偶函数对任意，都有，且当时，，则的值是___________.【答案】【分析】由已知推导出函数为周期函数，利用周期自变量的值变小，结合偶函数的定义和已知等式求值．【详解】由得，所以是周期函数，周期是6，又是偶函数，所以．故答案为：．12．（2023·上海·高一专题练习）函数为定义在上的奇函数，且满足，则的周期为__________．【答案】4【分析】利用奇函数及周期函数的定义即可求解.【详解】，，又为奇函数，是周期为的周期函数.故答案为：4.13．（2023·上海市金山中学高一月考）已知是定义域为上的奇函数，且在上严格递减，若成立，则实数a的范围是___________.【答案】【分析】根据函数是奇函数，把不等式变形，再利用函数的单调性，化抽象不等式为具体不等式，解之即可．【详解】解：奇函数且，，在上单调递减，，解得：，实数的取值范围为．故答案为：14．（2023·上海市行知中学高一期中）已知函数是R上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，计算＝________．【答案】1【分析】利用奇函数及其对称轴求的周期，并由奇函数求上的解析式，进而求得，应用周期性求值即可.【详解】由题意，且，∴，即，∴是周期为4的函数.令，则，而时，∴，∴，即，而.故答案为：115．（2022·上海·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.【答案】【分析】根据二次函数的单调性确定对称轴与区间的关系，同时注意分母不为0需满足上符号一致.【详解】在上单调递增，在单调递减，则，即，同时 需满足，即，解得，综上可知故答案为：【点睛】关键点点睛：注意利用二次函数对称轴与所给区间的关系求解，同时需注意时，符号必须一致是解题的关键，属于中档题.16．（2023·上海市建平中学高二月考）已知为奇函数，当时，；则当，的解析式为___________.【答案】【分析】当时，，由可得结果.【详解】当时，，.故答案为：.17．（2023·上海·华师大二附中高一月考）已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，__________.【答案】【分析】由可得，由可得解.【详解】当时，，则，又因为是定义在上的奇函数，所以，故答案为：.18．（2023·上海·高一专题练习）已知是定义在上的奇函数，且在上为增函数，若，则不等式的解集为___________【答案】【分析】根据是定义在上的奇函数，且，将不等式，转化为，利用函数在R上是增函数求解.【详解】因为是定义在上的奇函数，且，所以，所以不等式，即为，因为函数在上为增函数，则在R上是增函数，所以，解得，所以不等式的解集为，故答案为：19．（2023·上海师大附中高一期末）已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是_________.【答案】【分析】根据偶函数定义化自变量为负数，然后由单调性求解．【详解】因为是偶函数，所以不等式化为，又在区间上单调递增，所以，，，，所以．故答案为：．20．（2023·上海·高一专题练习）已知函数是定义域为的奇函数，且，则______．【答案】【分析】将所求解析式转化到已知区间解析式，根据奇函数定义就可以得到所求区间解析式.【详解】解：当时，，又时，，且是定义域为的奇函数，所以当时，，即.故答案为：.【点睛】方法点睛：根据奇偶性求函数解析式方法如下：（1）先将待求区间上的自变量转化到已知区间上；（2）利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于的方程(组)，从而得到的解析式. B组 能力提升21．（2023·上海市沪新中学高三月考）已知函数（1）当时，求的解集；（2）若函数是定义在上的奇函数，求实数的值及函数的值域；（3）在（2）的前提下，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2），值域为（3）【分析】(1)对指数型不等式求解即可；(2)利用在处有意义的奇函数的性质求即可，然后根据指数函数的值域，进一步可求得函数的值域；(3)对不等式进行参变分离，然后利用换元法和不等式恒成立的含义求解即可.（1）由题意可知，当时，，解得，故当时，求的解集为.（2）因为函数是定义在上的奇函数，所以，此时，由可知，所以函数的值域为.（3）因为，易知单调递增，故当时，易知，对不等式进行参数分离得，令，则，所以对于恒成立，令，则在上单调递增，所以，故，从而数的取值范围为.22．（2023·上海市陆行中学高三月考）已知函数，且.（1）求函数的解析式；（2）若在上时单调函数，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）【分析】（1）利用函数的对称性和二次函数的性质进行求解即可；（2）根据二次函数的性质，结合分类讨论法进行求解即可.（1）解：因为，所以函数的对称轴为：，函数的对称轴为：，所以有，即.（2）解：，该函数的对称轴为：，当时，函数在上单调递减，解得 ；当时，函数在上单调递增，解得，综上所述：实数的取值范围为.23．（2023·上海·高一专题练习）已知函数的定义域是，且，，当时，.（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）求在区间上的解析式.【答案】（1）奇函数，理由见详解；（2）【分析】（1）先求解函数的周期为2，再利用奇偶性定义证明是奇函数；（2）先求出函数在时的解析式，再利用周期性求解在区间上的解析式【详解】（1）因为函数的定义域是，关于原点对称；由得，即函数以为周期，所以，由得，所以函数是奇函数；（2）当时，，因为时，，所以，又，所以；当时，，所以；因此由（1）可得：.24．（2023·上海·高一专题练习）已知函数.（1）证明：是偶函数；（2）求的值域.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先求得函数的定义域，然后根据函数的奇偶性概念即可证明；（2）分情况讨论利用函数的单调性和对称性得出结论.【详解】解：（1）函数，定义域为，定义域关于原点对称.由知，是偶函数；（2）当时，，在上也是严格递减，故值域；当时，在上是严格递减，值域为.故时的值域为.又因为是偶函数，图像关于y轴对称，所以的值域为.25．（2023·上海·高一）设函数（1）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围（2）若存在，不等式成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【分析】（1）转化为对任意恒成立，利用最值即可得解；（2）转化为存在，使成立，利用最值即可得解.【详解】（1）因为对任意，不等式恒成立，所以，即对任意恒成立，所以.（2）因为存在，不等式成立，所以存在，使，即成立，所以【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若在上恒成立，则；②若在上恒成立，则；③若在上有解，则；④若在上有解，则；26．（2023·上海·高一专题练习）已知函数是定义域为上的奇函数.（1）求的值；（2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集；（3）若在上的最小值为，求的值.【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）．【分析】（1）因为是定义域为上的奇函数，根据奇函数性质，结合已知，即可求得答案；（2）先根据定义法判断的单调性，结合奇函数性质，即可求解不等式的解集；（3）因为，令，可得，分别讨论和，即可求得的值.【详解】（1）是定义域为上的奇函数，根据奇函数性质可得当时，可得即：解得：（2）由（1）可得：可知的定义为在上任取，且，即在上单调递增，可化简为：，即，解得或．不等式的解集为．（3）．令，则．，．当时，则当时，，解得；当时，则当时，，解得，(舍去)．综上所述，．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了根据奇偶性和单调性解不等式和根据函数最值求参数，解题关键是掌握定义法判断函数单调性的步骤和根据函数最值求参数的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
专题5.2 函数的基本性质A组 基础巩固1．（2023·宁夏·银川唐徕回民中学高一期中）已知奇函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B．C． D．2．（2023·上海市建平中学高一期中）关于函数，下列说法正确的是（ ）A．若，则函数只有最大值没有最小值B．若，则函数只有最小值没有最大值C．若，则函数有最大值没有最小值D．若，则函数有最小值也有最大值3．（2022·上海·上外浦东附中高一月考）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）A． B．C． D．4．（2023·上海市大同中学高一期末）设是定义在上的偶函数，且在上是严格减函数，，则的解集为（ ）A． B．C． D．5．（2023·上海·高一专题练习）若函数是偶函数，则实数的值是（ ）．A．-1 B．0 C．1 D．不唯一6．（2023·上海·高一专题练习）已知函数，则（ ）A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数7．（2023·上海·高一单元测试）已知函数，则下列结论正确的是（ ）A．是偶函数，单调递增区间是B．是偶函数，单调递减区间是C．是奇函数，单调递减区间是D．是奇函数，单调递增区间是8．（2023·上海·高一单元测试）函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．9．（2022·上海·高三专题练习）下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）A． B．C． D．10．（2023·上海·高一开学考试）如果在区间上为减函数，则的取值（ ）A． B． C． D．11．（2023·上海市上南中学高三月考）设偶函数对任意，都有，且当时，，则的值是___________.12．（2023·上海·高一专题练习）函数为定义在上的奇函数，且满足，则的周期为__________．13．（2023·上海市金山中学高一月考）已知是定义域为上的奇函数，且在上严格递减，若成立，则实数a的范围是___________.14．（2023·上海市行知中学高一期中）已知函数是R上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，计算＝________．15．（2022·上海·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.16．（2023·上海市建平中学高二月考）已知为奇函数，当时，；则当，的解析式为___________.17．（2023·上海·华师大二附中高一月考）已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，__________.18．（2023·上海·高一专题练习）已知是定义在上的奇函数，且在上为增函数，若，则不等式的解集为___________19．（2023·上海师大附中高一期末）已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是_________.20．（2023·上海·高一专题练习）已知函数是定义域为的奇函数，且，则______． B组 能力提升21．（2023·上海市沪新中学高三月考）已知函数（1）当时，求的解集；（2）若函数是定义在上的奇函数，求实数的值及函数的值域；（3）在（2）的前提下，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.22．（2023·上海市陆行中学高三月考）已知函数，且.（1）求函数的解析式；（2）若在上时单调函数，求实数的取值范围. 23．（2023·上海·高一专题练习）已知函数的定义域是，且，，当时，.（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）求在区间上的解析式.24．（2023·上海·高一专题练习）已知函数.（1）证明：是偶函数；（2）求的值域. 25．（2023·上海·高一）设函数（1）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围（2）若存在，不等式成立，求实数的取值范围26．（2023·上海·高一专题练习）已知函数是定义域为上的奇函数.（1）求的值；（2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集；（3）若在上的最小值为，求的值. 专题5.2 函数的基本性质A组 基础巩固1．（2023·宁夏·银川唐徕回民中学高一期中）已知奇函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据奇函数的图象判断在各个区间的正负，再结合与异号，即得的解集.【详解】由图像可知在时，当，，当，，由为奇函数，图象关于原点对称，在时，当，；当，，又在时与同号，在时与异号故不等式的解集为：.故选：D.2．（2023·上海市建平中学高一期中）关于函数，下列说法正确的是（ ）A．若，则函数只有最大值没有最小值B．若，则函数只有最小值没有最大值C．若，则函数有最大值没有最小值D．若，则函数有最小值也有最大值【答案】D【分析】根据反比例函数的性质求出函数的最值即可.【详解】函数的定义域为，，由反比例函数的性质，得在单调递减，此时；在单调递减，此时；若，则在上取到，所以，同理，在上取到，所以，所以当，函数有最大值和最小值.故选：D3．（2022·上海·上外浦东附中高一月考）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据偶函数的性质以及函数的单调性去电掉得到关于的不等式即可求解.【详解】因为是偶函数，所以，所以等价于，因为在区间上单调递增，所以，即，解得：，所以原不等式的解集为，故选：A.4．（2023·上海市大同中学高一期末）设是定义在上的偶函数，且在上是严格减函数，，则的解集为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函数为偶函数可将不等式化为，即可利用单调性求解.【详解】是定义在上的偶函数，，则不等式为，则，在上是严格减函数，，解得或，又定义域为，故不等式的解集为.故选：C.【点睛】本题考查利用偶函数的性质解不等式，将不等式化为利用单调性求解是解题的关键.5．（2023·上海·高一专题练习）若函数是偶函数，则实数的值是（ ）．A．-1 B．0 C．1 D．不唯一【答案】C【分析】直接利用偶函数, ,代入x=1即可求出a.【详解】因为函数是偶函数,所以,即,解得: a=1故选:C【点睛】函数奇偶性的应用:(1)一般用或;(2)有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或.6．（2023·上海·高一专题练习）已知函数，则（ ）A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数【答案】A【分析】由可直接得到结果.【详解】，，为奇函数，但不是偶函数.故选：A.7．（2023·上海·高一单元测试）已知函数，则下列结论正确的是（ ）A．是偶函数，单调递增区间是B．是偶函数，单调递减区间是C．是奇函数，单调递减区间是D．是奇函数，单调递增区间是【答案】C【分析】由函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，结合分段函数、二次函数的性质可判断函数的单调性，即可得解.【详解】函数的定义域为R，因为，所以函数是奇函数；又，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增；又函数连续，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，.故选：C.8．（2023·上海·高一单元测试）函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由偶函数的性质及函数的单调性可转化条件为，即可得解.【详解】函数是上的偶函数，且在上是增函数，在上是减函数，又等价于，，或，实数的取值范围为.故选：D.9．（2022·上海·高三专题练习）下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由复合函数单调性的判断，结合指数函数、幂函数的单调性可判断AC，结合二次函数的性质可判断B，由一次函数的单调性可判断D.【详解】解：A:因为为减函数，所以为增函数；B: 对称轴为，图象开口向上，所以在上为增函数；C:因为在定义域上为减函数，所以在定义域上为增函数；D:当时，为减函数，当时，为减函数，且，所以在定义域上为减函数.故选:D.10．（2023·上海·高一开学考试）如果在区间上为减函数，则的取值（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】最高次系数含有参数，分系数为0和不为0两种情况讨论，再结合二次函数的性质即可求出答案．【详解】解：由题意，当时，可得，在上是单调递减，满足题意；当时，显然不成立；当时，要使在上为减函数，则，解得：，∴；综上： ，故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数单调性的应用，属于基础题．11．（2023·上海市上南中学高三月考）设偶函数对任意，都有，且当时，，则的值是___________.【答案】【分析】由已知推导出函数为周期函数，利用周期自变量的值变小，结合偶函数的定义和已知等式求值．【详解】由得，所以是周期函数，周期是6，又是偶函数，所以．故答案为：．12．（2023·上海·高一专题练习）函数为定义在上的奇函数，且满足，则的周期为__________．【答案】4【分析】利用奇函数及周期函数的定义即可求解.【详解】，，又为奇函数，是周期为的周期函数.故答案为：4.13．（2023·上海市金山中学高一月考）已知是定义域为上的奇函数，且在上严格递减，若成立，则实数a的范围是___________.【答案】【分析】根据函数是奇函数，把不等式变形，再利用函数的单调性，化抽象不等式为具体不等式，解之即可．【详解】解：奇函数且，，在上单调递减，，解得：，实数的取值范围为．故答案为：14．（2023·上海市行知中学高一期中）已知函数是R上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，计算＝________．【答案】1【分析】利用奇函数及其对称轴求的周期，并由奇函数求上的解析式，进而求得，应用周期性求值即可.【详解】由题意，且，∴，即，∴是周期为4的函数.令，则，而时，∴，∴，即，而.故答案为：115．（2022·上海·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.【答案】【分析】根据二次函数的单调性确定对称轴与区间的关系，同时注意分母不为0需满足上符号一致.【详解】在上单调递增，在单调递减，则，即，同时 需满足，即，解得，综上可知故答案为：【点睛】关键点点睛：注意利用二次函数对称轴与所给区间的关系求解，同时需注意时，符号必须一致是解题的关键，属于中档题.16．（2023·上海市建平中学高二月考）已知为奇函数，当时，；则当，的解析式为___________.【答案】【分析】当时，，由可得结果.【详解】当时，，.故答案为：.17．（2023·上海·华师大二附中高一月考）已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，__________.【答案】【分析】由可得，由可得解.【详解】当时，，则，又因为是定义在上的奇函数，所以，故答案为：.18．（2023·上海·高一专题练习）已知是定义在上的奇函数，且在上为增函数，若，则不等式的解集为___________【答案】【分析】根据是定义在上的奇函数，且，将不等式，转化为，利用函数在R上是增函数求解.【详解】因为是定义在上的奇函数，且，所以，所以不等式，即为，因为函数在上为增函数，则在R上是增函数，所以，解得，所以不等式的解集为，故答案为：19．（2023·上海师大附中高一期末）已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是_________.【答案】【分析】根据偶函数定义化自变量为负数，然后由单调性求解．【详解】因为是偶函数，所以不等式化为，又在区间上单调递增，所以，，，，所以．故答案为：．20．（2023·上海·高一专题练习）已知函数是定义域为的奇函数，且，则______．【答案】【分析】将所求解析式转化到已知区间解析式，根据奇函数定义就可以得到所求区间解析式.【详解】解：当时，，又时，，且是定义域为的奇函数，所以当时，，即.故答案为：.【点睛】方法点睛：根据奇偶性求函数解析式方法如下：（1）先将待求区间上的自变量转化到已知区间上；（2）利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于的方程(组)，从而得到的解析式. B组 能力提升21．（2023·上海市沪新中学高三月考）已知函数（1）当时，求的解集；（2）若函数是定义在上的奇函数，求实数的值及函数的值域；（3）在（2）的前提下，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2），值域为（3）【分析】(1)对指数型不等式求解即可；(2)利用在处有意义的奇函数的性质求即可，然后根据指数函数的值域，进一步可求得函数的值域；(3)对不等式进行参变分离，然后利用换元法和不等式恒成立的含义求解即可.（1）由题意可知，当时，，解得，故当时，求的解集为.（2）因为函数是定义在上的奇函数，所以，此时，由可知，所以函数的值域为.（3）因为，易知单调递增，故当时，易知，对不等式进行参数分离得，令，则，所以对于恒成立，令，则在上单调递增，所以，故，从而数的取值范围为.22．（2023·上海市陆行中学高三月考）已知函数，且.（1）求函数的解析式；（2）若在上时单调函数，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）【分析】（1）利用函数的对称性和二次函数的性质进行求解即可；（2）根据二次函数的性质，结合分类讨论法进行求解即可.（1）解：因为，所以函数的对称轴为：，函数的对称轴为：，所以有，即.（2）解：，该函数的对称轴为：，当时，函数在上单调递减，解得 ；当时，函数在上单调递增，解得，综上所述：实数的取值范围为.23．（2023·上海·高一专题练习）已知函数的定义域是，且，，当时，.（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）求在区间上的解析式.【答案】（1）奇函数，理由见详解；（2）【分析】（1）先求解函数的周期为2，再利用奇偶性定义证明是奇函数；（2）先求出函数在时的解析式，再利用周期性求解在区间上的解析式【详解】（1）因为函数的定义域是，关于原点对称；由得，即函数以为周期，所以，由得，所以函数是奇函数；（2）当时，，因为时，，所以，又，所以；当时，，所以；因此由（1）可得：.24．（2023·上海·高一专题练习）已知函数.（1）证明：是偶函数；（2）求的值域.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先求得函数的定义域，然后根据函数的奇偶性概念即可证明；（2）分情况讨论利用函数的单调性和对称性得出结论.【详解】解：（1）函数，定义域为，定义域关于原点对称.由知，是偶函数；（2）当时，，在上也是严格递减，故值域；当时，在上是严格递减，值域为.故时的值域为.又因为是偶函数，图像关于y轴对称，所以的值域为.25．（2023·上海·高一）设函数（1）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围（2）若存在，不等式成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【分析】（1）转化为对任意恒成立，利用最值即可得解；（2）转化为存在，使成立，利用最值即可得解.【详解】（1）因为对任意，不等式恒成立，所以，即对任意恒成立，所以.（2）因为存在，不等式成立，所以存在，使，即成立，所以【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若在上恒成立，则；②若在上恒成立，则；③若在上有解，则；④若在上有解，则；26．（2023·上海·高一专题练习）已知函数是定义域为上的奇函数.（1）求的值；（2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集；（3）若在上的最小值为，求的值.【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）．【分析】（1）因为是定义域为上的奇函数，根据奇函数性质，结合已知，即可求得答案；（2）先根据定义法判断的单调性，结合奇函数性质，即可求解不等式的解集；（3）因为，令，可得，分别讨论和，即可求得的值.【详解】（1）是定义域为上的奇函数，根据奇函数性质可得当时，可得即：解得：（2）由（1）可得：可知的定义为在上任取，且，即在上单调递增，可化简为：，即，解得或．不等式的解集为．（3）．令，则．，．当时，则当时，，解得；当时，则当时，，解得，(舍去)．综上所述，．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了根据奇偶性和单调性解不等式和根据函数最值求参数，解题关键是掌握定义法判断函数单调性的步骤和根据函数最值求参数的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
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