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高中数学上教版 (2020)必修 第一册2.2 不等式的求解课后测评
展开1.(2023·上海)关于x 的不等式的解集是___________ .
2.(2023·华东师范大学第一附属中学)已知,为常数,且不等式的解集为,则不等式的解集为__________.
3.(2023·上海)不等式组的解集为________.
4.(2023·上海市奉贤中学高一月考)若关于的不等式组无解,则实数的取值范围是___________.
5.(2023·上海高一单元测试)不等式的解集为__________.
6.(2023·上海复旦附中青浦分校高一月考)若不等式对一切恒成立,则的取值范围是_________.
7.(2022·上海市嘉定区封浜高级中学高一期中)已知不等式的解集为,则不等式的解集为__________________.
8.(2023·上海市奉贤区曙光中学高一月考)设关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为______;
9.(2023·上海虹口·高一期末)不等式的解集为______.
10.(2023·上海上外浦东附中高一期末)关于x的方程的解集是__________.
11.(2023·上海黄浦·格致中学)不等式的解集为_____.
12.(2023·上海虹口·高一期末)不等式的解集为__________.
13.(2023·上海高一专题练习)下列各组不等式中同解的是( )
A.与B.与
C.与D.与
14.(2023·上海市杨思高级中学)已知关于的不等式的解集为(1,+∞),则不等式的解集为( )
A.(1,2)B.(1,2)C.(-∞,1)(2,+∞)D.(2,+∞)
15.(2022·上海高三专题练习)不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
16.(2023·上海)已知,,,则下列各式中正确的是( )
A.B.1C.2D.1
17.(2023·宝山·上海交大附中高一月考)解关于x的不等式.
18.(2022·上海)(1)解不等式组;
(2)不等式组 的整数解值只有,求实数的范围.
19.(2023·上海高三专题练习)解关于的不等式:.
20.(2023·上海高一专题练习)已知集合.
(1)若中有两个元素,求实数的取值范围;
(2)若中至多有一个元素,求实数的取值范围.
B组 能力提升
21.(2022·上海高三专题练习)关于的方程有三个不同的实根,则的最小值为( )
A.B.C.D.0
22.(2023·河南郑州·高二月考(理))若,不等式不成立,则的取值范围是( )
A.B.
C.D.
23.(2023·宝山·上海交大附中高一开学考试)关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正,关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正.给出三个结论:
①这两个方程的根都是负根;
②;
③.
其中正确结论的个数是( )
A.3B.2C.1D.0
24.(2023·上海市大同中学高一月考)关于的不等式的解集为或,则关于的不等式,以下结论正确的是( )
A.当时,解集为B.当时,解集为
C.当时,解集为或D.以上都不正确
25.(2023·上海市徐汇中学高一期中)已知关于x的不等式的解集为,则实数k的取值范围是__________.
26.(2023·上海高一单元测试)已知二次函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若关于x的不等式在上有解,求实数m的取值范围.
27.(2023·上海)已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的取值范围.
(2)若方程有两根,其中一根在区间(﹣1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围.
28.(2023·上海)某物流公司购买了一块长AM=30米,宽AN=20米的矩形地块,计划把图中矩形ABCD建设为仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C在地块对角线MN上,B、D分别在边AM、AN上,假设AB的长度为x米
(1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式;
(2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米,则AB的长度应在什么范围内?
专题2.2 不等式的求解
A组 基础巩固
1.(2023·上海)关于x 的不等式的解集是___________ .
【答案】{x|x≥7}
【分析】
不等式化简得3x+21+10-4x≤24即可求解.
【详解】
去分母得,3(x+7)+2(5-2x)≤24,
去括号得,3x+21+10-4x≤24
则-x≤-7所以不等式的解集为{x|x≥7}.
故答案为:{x|x≥7}
2.(2023·华东师范大学第一附属中学)已知,为常数,且不等式的解集为,则不等式的解集为__________.
【答案】
【分析】
先由不等式的解集求出与之间关系,进而代入所求不等式,即可得出结果.
【详解】
因为不等式的解集为,
所以,即,
因此不等式可化为,则,解得,
即不等式的解集为.
故答案为:.
3.(2023·上海)不等式组的解集为________.
【答案】
【分析】
分别求得两个不等式的解,然后取它们的交集,由此求得不等式组的解集.
【详解】
记原不等式组为
解不等式①,得x≤1.
解不等式②,得x≥-4.
故原不等式组的解集为.
故答案为:
【点睛】
本小题主要考查一元一次不等式组的解法,属于基础题.
4.(2023·上海市奉贤中学高一月考)若关于的不等式组无解,则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
先求得不等式的解集,再结合题意,即可得答案.
【详解】
不等式
所以,解得,
因为不等式组无解
所以.
故答案为:
5.(2023·上海高一单元测试)不等式的解集为__________.
【答案】
【分析】
根据一元二次不等式的解法求解.
【详解】
.
故答案为:.
6.(2023·上海复旦附中青浦分校高一月考)若不等式对一切恒成立,则的取值范围是_________.
【答案】
【分析】
利用参变分离法将不等式转化为,令,将不等式恒成立问题转化为成立,求解函数的最大值.
【详解】
因为不等式对一切恒成立,所以对一切恒成立,令,可知成立,当,函数单调递增,所以,所以.
故答案为:
7.(2022·上海市嘉定区封浜高级中学高一期中)已知不等式的解集为,则不等式的解集为__________________.
【答案】(-1,2).
【分析】
根据不等式的解集为得出a>0,进而得到a,b的关系,代入一元二次不等式解出即可.
【详解】
由不等式的解集为可知a>0,则,所以,
则不等式化为,其解集为(-1,2).
故答案为:(-1,2).
8.(2023·上海市奉贤区曙光中学高一月考)设关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为______;
【答案】
【分析】
由题意得出为关于的根,且,然后将分式不等式化为,解出该不等式即可.
【详解】
由于关于的不等式的解集是,则为关于的根,且,
,得,不等式即为,即,
解该不等式得
故答案为:
【点睛】
本题考查不等式与解集之间的关系,同时也考查了分式不等式的求解,解题的关键就是确定两参数的等量关系,并确定出参数的符号,考查运算求解能力,属于中等题.
9.(2023·上海虹口·高一期末)不等式的解集为______.
【答案】
【分析】
将分式不等式等价转化为二次不等式组,求解即得.
【详解】
原不等式等价于,解得,
故答案为:.
10.(2023·上海上外浦东附中高一期末)关于x的方程的解集是__________.
【答案】
【分析】
利用零点分段法,去绝对值解方程.
【详解】
当时,恒成立,
当时,,解得:不成立,
当时,,解得:,不成立,
当时,恒成立,
综上可知方程的解集是.
故答案为:
11.(2023·上海黄浦·格致中学)不等式的解集为_____.
【答案】
【分析】
首先将不等式等价于,再分类讨论解不等式即可.
【详解】
不等式,因为,所以.
当时,,解得.
当时,,无解.
所以不等式的解集为.
故答案为:
12.(2023·上海虹口·高一期末)不等式的解集为__________.
【答案】
【分析】
分,,三种情况讨论,即可求出结果.
【详解】
当时,原不等式可化为,解得,所以;
当时,原不等式可化为,解得,所以;
当时,原不等式可化为,显然不成立;
综上,原不等式的解集为.
故答案为:.
13.(2023·上海高一专题练习)下列各组不等式中同解的是( )
A.与B.与
C.与D.与
【答案】C
【分析】
A:中x需要满足x≠1,但是不需要这个条件,
B:需要满足x2-3x+2≠0,即x≠1且x≠2,D:的解集为x<3且x≠-1,即可得出选项.
【详解】
A:中x需要满足x≠1,但是不需要这个条件,所以两个不等式的解集不相同,故A不正确;
B:需要满足x2-3x+2≠0,即x≠1且x≠2,所以解集为x<5且x≠1且x≠2,但左边解集为x<5,所以解集不同,故B不正确;
C:的解集为x>3,与x-3>0的解集相同,故C正确;
D:的解集为x<3且x≠-1,而x-3<0的解集为x<3,所以解集不相同;
故选C.
14.(2023·上海市杨思高级中学)已知关于的不等式的解集为(1,+∞),则不等式的解集为( )
A.(1,2)B.(1,2)C.(-∞,1)(2,+∞)D.(2,+∞)
【答案】B
【分析】
根据不等式的解集求解出参数的取值范围,进而求解不等式.
【详解】
的解集为(1,),且
所以不等式可化简为,解得:
选项B正确,选项ACD错误
故选:B.
15.(2022·上海高三专题练习)不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【分析】
把分式不等式转化为整式不等式求解.
【详解】
原不等式可化为,解得.故解集为
故选:B.
【点睛】
易错点点睛:分式不等式转化为整式不等式求解要注意分式的分母不为0.
16.(2023·上海)已知,,,则下列各式中正确的是( )
A.B.1C.2D.1
【答案】C
【分析】
利用特殊值排除错误选项,利用基本不等式证明正确选项.
【详解】
当时,,所以AB选项错误,
同时,所以D选项错误.
对于C选项,由基本不等式得,
当且仅当时等号成立.
所以C选项正确.
故选:C
17.(2023·宝山·上海交大附中高一月考)解关于x的不等式.
【答案】答案见解析.
【分析】
对分、、、 和五种情况讨论得解.
【详解】
当时,不等式的解为;
当时,不等式对应方程的根为或2,
①当时,不等式即 的解集为;
②当时,不等式的解集为 ;
③当时,不等式的解集为 ;
④当时,不等式的解集为 .
综上所述,当时,不等式解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为.
【点睛】
易错点睛:解答本题有两个易错点:(1)漏掉这一种情况,因为不确定不等式是不是一元二次不等式,所以要讨论;(2)当时,分类出现错误或遗漏.
18.(2022·上海)(1)解不等式组;
(2)不等式组 的整数解值只有,求实数的范围.
【答案】(1);(2).
【分析】
(1)求出不等式与的解集,再求其交集即得;
(2)求出不等式的解集,将代入求出a的范围即可推理作答.
【详解】
(1)解不等式得或,解不等式,即得,
于是得:或,
所以原不等式的解集为;
(2)解不等式得或,
依题意,满足不等式,则,解得a<2,
不等式化为,解得,
因不等式组的整数解值只有,而-1,0,1,2都不在不等式的解集中,3在的解集中,
于是得中可以有整数-1,0,1,2,没有整数3,则有,解得,
所以实数的范围是.
19.(2023·上海高三专题练习)解关于的不等式:.
【答案】当时,解集为;当时,解集为;当或时,解集为;
当时,解集为
【分析】
化简求得所求不等式为关于的一次不等式,故合并同类型化简得,再分类讨论的范围即可.
【详解】
原不等式可变形为:,当时,,;
当时,,
当或时,,
当时,,
【点睛】
解不等式注意分析所求不等式是哪种不等式,再化简整理成标准形式进行求解.
20.(2023·上海高一专题练习)已知集合.
(1)若中有两个元素,求实数的取值范围;
(2)若中至多有一个元素,求实数的取值范围.
【答案】(1)且;(2)或.
【分析】
(1)中有两个元素等价于方程有两个不相等的实数根;
(2)中至多有一个元素等价于一元二次方程无解或只有一解.
【详解】
(1)由于中有两个元素,
∴关于的方程有两个不等的实数根,
∴,且,即,且.
故实数的取值范围是且.
(2)当时,方程为,,集合;
当时,若关于的方程有两个相等的实数根,则中只有一个元素,此时,
若关于的方程没有实数根,则中没有元素,此时.
综上可知,实数的取值范围是或.
【点睛】
本题考查集合描述法的特点及一元二次方程根的个数的讨论,考查基本的运算求解能
B组 能力提升
21.(2022·上海高三专题练习)关于的方程有三个不同的实根,则的最小值为( )
A.B.C.D.0
【答案】A
【分析】
首先去绝对值,问题转化为或,有三个实数根,当时,画出函数的图象,利用数形结合求得,再代入求的最小值.
【详解】
由条件可知,方程化简为或,
当时,,
如图,若方程有三个不同的实根,则与直线和共有3个交点,画出函数的图象,
当时,,,得,解得:,或(舍),
,,
当时,取得最小值,
当时,,
综上可知的最小值是.
故选:A
【点睛】
方法点睛:本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围,一般可采用1.直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求解,此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况,特别注意边界值的取舍.
22.(2023·河南郑州·高二月考(理))若,不等式不成立,则的取值范围是( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【分析】
结合已知条件,将一元一次不等式问题转化成一次函数问题即可求解.
【详解】
由不等式在上都不成立,
只需要考虑函数在的最小值都大于即可,
由于的正负不确定,但是一次型函数,
因此只需要考虑,解得,,
所以实数的取值范围是.
故选:B.
23.(2023·宝山·上海交大附中高一开学考试)关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正,关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正.给出三个结论:
①这两个方程的根都是负根;
②;
③.
其中正确结论的个数是( )
A.3B.2C.1D.0
【答案】A
【分析】
列出两个方程的根与系数关系和判别式,判断①②的正误;再根据两个方程的根与系数关系,分别求得的表达式,证得和,由此判断③的正误.
【详解】
设方程的两根为、,方程的两根为、.
由题意知,,所以,,
这两个方程的根都是负根,故①正确;
依题意,第一个方程的判别式,
第二个方程的判别式,
,故②正确;
,,
,
又因为、均为负整数,,
;
,,
又、均为负整数,,
,即;
,故③正确.
综上所述,正确的结论有3个.
故选:A.
24.(2023·上海市大同中学高一月考)关于的不等式的解集为或,则关于的不等式,以下结论正确的是( )
A.当时,解集为B.当时,解集为
C.当时,解集为或D.以上都不正确
【答案】C
【分析】
由题意,为方程的两个根,可得,,再代入不等式可得,分,,三种情况讨论,即可判断
【详解】
由题意,为方程的两个根
代入方程
解得:,
于是关于的不等式,即为
令,对应的二次函数开口向上
当时,解集为或
当时,解集为
当时,解集为或
故选:C
25.(2023·上海市徐汇中学高一期中)已知关于x的不等式的解集为,则实数k的取值范围是__________.
【答案】
【分析】
问题转化为解集为,分类讨论结合二次函数的性质可得.
【详解】
解:,
不等式等价于,
当时,可化为,解集为,
当时,可得,解得,
综合可得的取值范围为
故答案为:.
26.(2023·上海高一单元测试)已知二次函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若关于x的不等式在上有解,求实数m的取值范围.
【答案】(1);(2).
【分析】
(1)不等式化为,因式分解后得出相应方程的根,根据二次函数性质写出不等式的解集.
(2)分离参数问题转化为在上有解,然后求出()的最小值即可得.
【详解】
解:(1)当时,,
即,即,
解得,
故不等式的解集为.
(2)原不等式为在上有解,
即在上有解,
记,,则,
又在上单调递增,
所以,所以.
【点睛】
结论点睛:本题考查不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化:
一般地,已知函数,
(1)若,总有成立,故;
(2)若,有解,故;
(3)若,总有成立,故;
(4)若,有解,故.
27.(2023·上海)已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的取值范围.
(2)若方程有两根,其中一根在区间(﹣1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围.
【答案】(1)(﹣,1﹣];(2)(﹣,﹣).
【分析】
设f(x)=x2+2mx+2m+1,问题转化为抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(﹣1,0)和(1,2)内,由根与系数的关系得出不等式组解不等式组即可;
(2)利用根与系数的关系可得解不等式组可得答案.
【详解】
设关于x的方程f(x)=x2+2mx+2m+1,
(1)f(x)=0的两根均在区间(0,1)内,
则需要满足:,即,
即﹣<m≤1﹣,
故m的取值范围是.
(2)f(x)是关于x的一元二次方程,其图象为开口向上的抛物线,
若函数(x)的两个零点x1,x2满足x1∈(﹣1,0),x2∈(1,2),
则需要满足 ,即,
即﹣<m<﹣.
故m的取值范围是.
【点睛】
本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系,二次方程的实根分布问题,可以借助二次函数图象,利用数形结合的方法来研究.
28.(2023·上海)某物流公司购买了一块长AM=30米,宽AN=20米的矩形地块,计划把图中矩形ABCD建设为仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C在地块对角线MN上,B、D分别在边AM、AN上,假设AB的长度为x米
(1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式;
(2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米,则AB的长度应在什么范围内?
【答案】(1) S=20x-x2(0
(1) 根据三角形相似,利用x表示出AD,进而用x表示出矩形ABCD的面积.
(2) 根据面积不小于144平方米,列出一元二次不等式,解不等式即可.
【详解】
(1)根据题意,得△NDC与△NAM相似,所以,即,解得AD=20-x.
所以矩形ABCD的面积S关于x的函数为S=20x-x2(0
【点睛】
本题考查了二次函数、一元二次不等式在实际问题中的应用,关键是注意自变量的取值范围,属于基础题.
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