（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练测第16讲同角三角函数的基本关系与诱导公式（讲+练）原卷版+解析

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1．已知α∈(0，π)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(π,2)－α))＝－eq \f(1,3)，则tan(α＋π)＝( )
A.eq \f(\r(2),4) B．－eq \f(\r(2),4)
C．2eq \r(2) D．－2eq \r(2)
2．已知x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，cs x＝eq \f(4,5)，则tan x的值为( )
A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4)
C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
3．若eq \f(sinπ－θ＋csθ－2π,sin θ＋csπ＋θ)＝eq \f(1,2)，则tan θ＝( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
4．记cs(－80°)＝k，那么tan 100°＝( )
A.eq \f(\r(1－k2),k) B．－eq \f(\r(1－k2),k)
C.eq \f(k,\r(1－k2)) D．－eq \f(k,\r(1－k2))
5．若tan α＝eq \f(1,2)，则sin4α－cs4α的值为( )
A．－eq \f(1,5) B.eq \f(1,5)
C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)
6．已知sin α－cs α＝eq \f(4,3)，则sin 2α＝( )
A．－eq \f(7,9) B．－eq \f(2,9)
C．eq \f(2,9) D．
7．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))的值是( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(2\r(2),3)
8．若θ是三角形的一个内角，且tan θ＝－eq \f(4,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝( )
A.eq \f(1,5) B．－eq \f(1,5)
C.eq \f(7,5) D．－eq \f(7,5)
9.若点P(cs α，sin α)在直线y＝－2x上，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋eq \f(π,2)))的值等于( )
A．－eq \f(3,5) B.eq \f(3,5)
C．－eq \f(4,5) D.eq \f(4,5)
10．已知角α的终边上的一点P(1,2)，则eq \f(sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＋3sin α,2cs α＋sinπ－α)的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(5,4) D.eq \f(7,4)
【练提升】
1．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(17π,12)))等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2\r(2),3)
C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(2\r(2),3)
2．已知eq \f(sin 22.5°＋mcs 22.5°,cs 22.5°－msin 22.5°)＝－tan 22.5°，则实数m的值为( )
A．－eq \r(3) B.eq \r(3)
C．－1 D．1
3．若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则 eq \r(1－2sinπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ)))等于( )
A．sin θ－cs θ B．cs θ－sin θ
C．±(sin θ－cs θ) D．sin θ＋cs θ
4．已知α≠eq \f(kπ,2)(k∈Z)，eq \f(sinkπ－α,sinkπ＋α)＋eq \f(cskπ－α,cskπ＋α)＋eq \f(tankπ－α,tankπ＋α)的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
5．已知α∈(0，π)，且cs α＝－eq \f(15,17)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝( )
A.eq \f(15,17) B.eq \f(15,17)
C．－eq \f(8,17) D.eq \f(8,17)
6．已知直线l与曲线f(x)＝sin x切于点A(α，sin α)，且直线l与曲线f(x)＝sin x交于点B(β，sin β)．若α－β＝π，则tan α的值为________．
7．在△ABC中，若tan A＝eq \f(\r(2),3)，则sin A＝________.
8．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)＋α))＝eq \f(12,25)，且0<α9．已知cs α－sin α＝eq \f(5\r(2),13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))).
(1)求sin αcs α的值；
(2)求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))的值．
10．已知f(α)＝eq \f(sin2π－α·cs2π－α·tan－π＋α,sinπ＋α·tan－α＋3π).
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝eq \f(1,8)，且eq \f(π,4)<α(3)求满足f(α)≥eq \f(1,4)的α的取值集合．
第16讲同角三角函数的基本关系与诱导公式
【练基础】
1．已知α∈(0，π)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(π,2)－α))＝－eq \f(1,3)，则tan(α＋π)＝( )
A.eq \f(\r(2),4) B．－eq \f(\r(2),4)
C．2eq \r(2) D．－2eq \r(2)
【答案】D
【解析】因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(π,2)－α))＝cs α＝－eq \f(1,3)，且α∈(0，π)，所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(2),3)，所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－2eq \r(2)，所以tan(α＋π)＝tan α＝－2eq \r(2)，故选D.
2．已知x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，cs x＝eq \f(4,5)，则tan x的值为( )
A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4)
C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
【答案】B
【解析】因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，所以sin x＝－eq \r(1－cs2x)＝－eq \f(3,5)，所以tan x＝eq \f(sin x,cs x)＝－eq \f(3,4).故选B.
3．若eq \f(sinπ－θ＋csθ－2π,sin θ＋csπ＋θ)＝eq \f(1,2)，则tan θ＝( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
【答案】D
【解析】因为eq \f(sinπ－θ＋csθ－2π,sin θ＋csπ＋θ)
＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝eq \f(1,2)，
所以2(sin θ＋cs θ)＝sin θ－cs θ，
所以sin θ＝－3cs θ，所以tan θ＝－3.
4．记cs(－80°)＝k，那么tan 100°＝( )
A.eq \f(\r(1－k2),k) B．－eq \f(\r(1－k2),k)
C.eq \f(k,\r(1－k2)) D．－eq \f(k,\r(1－k2))
【答案】B
【解析】∵cs(－80°)＝k，∴cs 80°＝k，从而sin 80°＝eq \r(1－cs280°)＝eq \r(1－k2)，∴tan 80°＝eq \f(sin 80°,cs 80°)＝eq \f(\r(1－k2),k)，故tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝－eq \f(\r(1－k2),k).
5．若tan α＝eq \f(1,2)，则sin4α－cs4α的值为( )
A．－eq \f(1,5) B.eq \f(1,5)
C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)
【答案】D
【解析】∵tan α＝eq \f(1,2)，∴sin4α－cs4α＝(sin2α＋cs2α)·(sin2α－cs2α)＝eq \f(sin2α－cs2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(tan2α－1,1＋tan2α)＝－eq \f(3,5).故选D.
6．已知sin α－cs α＝eq \f(4,3)，则sin 2α＝( )
A．－eq \f(7,9) B．－eq \f(2,9)
C．eq \f(2,9) D．
【答案】A
【解析】sin 2α＝2sin αcs α＝eq \f(sin α－cs α2－1,－1)＝－eq \f(7,9).
7．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))的值是( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(2\r(2),3)
【答案】A
【解析】∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝－eq \f(1,3).故选A.
8．若θ是三角形的一个内角，且tan θ＝－eq \f(4,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝( )
A.eq \f(1,5) B．－eq \f(1,5)
C.eq \f(7,5) D．－eq \f(7,5)
【答案】C
【解析】由题意得，tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝－eq \f(4,3)，θ∈(0，π)，
故sin θ>0，cs θ<0.
又sin2θ＋cs2θ＝1，所以sin θ＝eq \f(4,5)，cs θ＝－eq \f(3,5).
因此，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝－cs θ＋sin θ＝eq \f(7,5).
9.若点P(cs α，sin α)在直线y＝－2x上，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋eq \f(π,2)))的值等于( )
A．－eq \f(3,5) B.eq \f(3,5)
C．－eq \f(4,5) D.eq \f(4,5)
【答案】A
【解析】由点P(cs α，sin α)在直线y＝－2x上，得tan α＝－2，故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋eq \f(π,2)))＝cs 2α＝eq \f(cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)＝－eq \f(3,5).
10．已知角α的终边上的一点P(1,2)，则eq \f(sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＋3sin α,2cs α＋sinπ－α)的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(5,4) D.eq \f(7,4)
【答案】D
【解析】eq \f(sinα＋\f(π,2)＋3sin α,2cs α＋sinπ－α)＝eq \f(cs α＋3sin α,2cs α＋sin α)＝eq \f(1＋3tan α,2＋tan α).
因为角α的终边上的一点P(1,2)，所以tan α＝eq \f(2,1)＝2，
所以eq \f(sinα＋\f(π,2)＋3sin α,2cs α＋sinπ－α)＝eq \f(1＋3×2,2＋2)＝eq \f(7,4).
【练提升】
1．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(17π,12)))等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2\r(2),3)
C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(2\r(2),3)
【答案】A
【解析】cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(17π,12)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3).故选A.
2．已知eq \f(sin 22.5°＋mcs 22.5°,cs 22.5°－msin 22.5°)＝－tan 22.5°，则实数m的值为( )
A．－eq \r(3) B.eq \r(3)
C．－1 D．1
【答案】C
【解析】由题意得eq \f(sin 22.5°＋mcs 22.5°,cs 22.5°－msin 22.5°)＝－eq \f(sin 22.5°,cs 22.5°)，
所以sin 22.5°cs 22.5°＋mcs222.5°＝msin222.5°－sin 22.5°cs 22.5°，
移项得m(cs222.5°－sin222.5°)＝－2sin 22.5°cs 22.5°，
所以mcs 45°＝－sin 45°，即m＝－eq \f(sin 45°,cs 45°)＝－tan 45°＝－1.
3．若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则 eq \r(1－2sinπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ)))等于( )
A．sin θ－cs θ B．cs θ－sin θ
C．±(sin θ－cs θ) D．sin θ＋cs θ
【答案】A
【解析】因为 eq \r(1－2sinπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ)))
＝eq \r(1－2sin θcs θ)＝eq \r(sin θ－cs θ2)
＝|sin θ－cs θ|，
又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以sin θ－cs θ>0，
所以原式＝sin θ－cs θ.故选A.
4．已知α≠eq \f(kπ,2)(k∈Z)，eq \f(sinkπ－α,sinkπ＋α)＋eq \f(cskπ－α,cskπ＋α)＋eq \f(tankπ－α,tankπ＋α)的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
【答案】B
【解析】eq \f(sinkπ－α,sinkπ＋α)＋eq \f(cskπ－α,cskπ＋α)＋eq \f(tankπ－α,tankπ＋α)
＝eq \f(sin[2kπ－kπ＋α],sinkπ＋α)＋eq \f(cs[2kπ－kπ＋α],cskπ＋α)＋eq \f(－tan α,tan α)
＝eq \f(－sinkπ＋α,sinkπ＋α)＋eq \f(cskπ＋α,cskπ＋α)＋eq \f(－tan α,tan α)＝－1.
5．已知α∈(0，π)，且cs α＝－eq \f(15,17)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝( )
A.eq \f(15,17) B.eq \f(15,17)
C．－eq \f(8,17) D.eq \f(8,17)
【答案】D
【解析】sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝cs α·tan α＝sin α，
因为α∈(0，π)，且cs α＝－eq \f(15,17)，所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,17)))2)＝eq \f(8,17)，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝eq \f(8,17).故选D.
6．已知直线l与曲线f(x)＝sin x切于点A(α，sin α)，且直线l与曲线f(x)＝sin x交于点B(β，sin β)．若α－β＝π，则tan α的值为________．
【解析】由题意f′(x)＝cs x，
∴直线l的方程为y－sin α＝cs α(x－α)，
又直线l过点B(β，sin β)，
∴sin β－sin α＝cs α(β－α)，由α－β＝π得β＝α－π，
∴sin(α－π)－sin α＝cs α(－π)，整理得2sin α＝πcs α，
∴tan α＝eq \f(π,2).
【答案】eq \f(π,2)
7．在△ABC中，若tan A＝eq \f(\r(2),3)，则sin A＝________.
【解析】因为tan A＝eq \f(\r(2),3)>0，所以A为锐角，
由tan A＝eq \f(sin A,cs A)＝eq \f(\r(2),3)以及sin2A＋cs2A＝1，
可求得sin A＝eq \f(\r(22),11).
【答案】eq \f(\r(22),11)
8．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)＋α))＝eq \f(12,25)，且0<α【解析】sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)＋α))＝(－cs α)·(－sin α)
＝sin αcs α＝eq \f(12,25).
∵0<α联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin αcs α＝\f(12,25)，,sin2α＋cs2α＝1，))解得sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(4,5).
【答案】eq \f(3,5) eq \f(4,5)
9．已知cs α－sin α＝eq \f(5\r(2),13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))).
(1)求sin αcs α的值；
(2)求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))的值．
【解析】(1)∵cs α－sin α＝eq \f(5\r(2),13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
平方可得1－2sin αcs α＝eq \f(50,169)，∴sin αcs α＝eq \f(119,338).
(2)∵sin α＋cs α＝eq \r(sin α＋cs α2)
＝eq \r(1＋2sin αcs α)＝eq \f(12\r(2),13)，
∴原式＝eq \f(cs 2α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))＝eq \f(cs α－sin α·cs α＋sin α,\f(\r(2),2)cs α－sin α)
＝eq \r(2)(cs α＋sin α)＝eq \f(24,13).
10．已知f(α)＝eq \f(sin2π－α·cs2π－α·tan－π＋α,sinπ＋α·tan－α＋3π).
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝eq \f(1,8)，且eq \f(π,4)<α(3)求满足f(α)≥eq \f(1,4)的α的取值集合．
【解析】(1)f(α)＝eq \f(sin2α·cs α·tan α,－sin α－tan α)＝sin αcs α.
(2)由(1)可得f(α)＝sin αcs α＝eq \f(1,8)，
则(cs α－sin α)2＝1－2sin αcs α＝eq \f(3,4)，
∵eq \f(π,4)<αcs α，
即cs α－sin α<0，∴cs α－sin α＝－eq \f(\r(3),2).
(3)由题意得f(α)＝sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α≥eq \f(1,4)，∴sin 2α≥eq \f(1,2)，
∴eq \f(π,6)＋2kπ≤2α≤eq \f(5π,6)＋2kπ，k∈Z，
即eq \f(π,12)＋kπ≤α≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z，
∴α的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋kπ≤α≤\f(5π,12)＋kπ，k∈Z)))).