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（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练 第38讲 直线与方程（讲+练）原卷版+解析
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1．直线l的方程为 eq \r(3)x＋3y－1＝0，则直线l的倾斜角为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
2．过点(－1,2)且倾斜角为150°的直线方程为( )
A.eq \r(3)x－3y＋6＋eq \r(3)＝0 B.eq \r(3)x－3y－6＋eq \r(3)＝0
C.eq \r(3)x＋3y＋6＋eq \r(3)＝0 D.eq \r(3)x＋3y－6＋eq \r(3)＝0
3．过点A(0,2)且倾斜角的正弦值是eq \f(3,5)的直线方程为( )
A．3x－5y＋10＝0
B．3x－4y＋8＝0
C．3x＋4y＋10＝0
D．3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0
4．已知直线l的斜率为eq \r(3)，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝eq \r(3)x＋2 B．y＝eq \r(3)x－2
C．y＝eq \r(3)x＋eq \f(1,2) D．y＝－eq \r(3)x＋2
5．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )
6．已知直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，当此直线在x轴、y轴上的截距和最小时，实数a的值是( )
A．1 B.eq \r(2)
C．2 D．3
7．已知直线l的斜率为eq \r(3)，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝eq \r(3)x＋2 B．y＝eq \r(3)x－2
C．y＝eq \r(3)x＋eq \f(1,2) D．y＝－eq \r(3)x＋2
8．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C．－eq \f(3,2) D.eq \f(2,3)
9．过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小eq \f(π,4)的直线方程是( )
A．x＝2 B．y＝1
C．x＝1 D．y＝2
10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A．x＋2y＋3＝0 B．2x＋y＋3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
【练提升】
1．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,5)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))
C．(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞))
D．(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
2．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))
3．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )
A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
4．(多选)已知直线l：mx＋y＋1＝0，A(1,0)，B(3,1)，则下列结论正确的是( )
A．直线l恒过定点(0,1)
B．当m＝0时，直线l的斜率不存在
C．当m＝1时，直线l的倾斜角为eq \f(3π,4)
D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直
5．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为____________．
6．过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，4))且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为____________________．
7．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；
(2)斜率为eq \f(1,6).
8.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝eq \f(1,2)x上时，求直线AB的方程．
第38讲 直线与方程
【练基础】
1．直线l的方程为 eq \r(3)x＋3y－1＝0，则直线l的倾斜角为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
【答案】A 【解析】由直线l的方程为eq \r(3)x＋3y－1＝0可得直线l的斜率为k＝－eq \f(\r(3),3)，设直线l的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－eq \f(\r(3),3)，所以α＝150°.故选A.
2．过点(－1,2)且倾斜角为150°的直线方程为( )
A.eq \r(3)x－3y＋6＋eq \r(3)＝0 B.eq \r(3)x－3y－6＋eq \r(3)＝0
C.eq \r(3)x＋3y＋6＋eq \r(3)＝0 D.eq \r(3)x＋3y－6＋eq \r(3)＝0
【答案】D 【解析】∵k＝tan 150°＝－eq \f(\r(3),3)，
∴直线方程为y－2＝－eq \f(\r(3),3)(x＋1)，
即eq \r(3)x＋3y－6＋eq \r(3)＝0.
3．过点A(0,2)且倾斜角的正弦值是eq \f(3,5)的直线方程为( )
A．3x－5y＋10＝0
B．3x－4y＋8＝0
C．3x＋4y＋10＝0
D．3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0
【答案】D 【解析】设所求直线的倾斜角为α，则sin α＝eq \f(3,5)，∴tan α＝±eq \f(3,4)，∴所求直线方程为y＝±eq \f(3,4)x＋2，即为3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0.故选D.
4．已知直线l的斜率为eq \r(3)，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝eq \r(3)x＋2 B．y＝eq \r(3)x－2
C．y＝eq \r(3)x＋eq \f(1,2) D．y＝－eq \r(3)x＋2
【答案】A 【解析】因为直线x－2y－4＝0的斜率为eq \f(1,2)，所以直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为y＝eq \r(3)x＋2.
5．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )
【答案】B 【解析】由题意l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，当a＞0，b＞0时，－a＜0， －b＜0.选项B符合．
6．已知直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，当此直线在x轴、y轴上的截距和最小时，实数a的值是( )
A．1 B.eq \r(2)
C．2 D．3
【答案】D 【解析】当x＝0时，y＝a＋3；当y＝0时，x＝eq \f(a＋3,a－1).令t＝a＋3＋eq \f(a＋3,a－1)＝5＋(a－1)＋eq \f(4,a－1).因为a＞1，所以a－1＞0，所以t≥5＋2 eq \r(a－1·\f(4,a－1))＝9，当且仅当a－1＝eq \f(4,a－1)，即a＝3时，等号成立．故选D.
7．已知直线l的斜率为eq \r(3)，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝eq \r(3)x＋2 B．y＝eq \r(3)x－2
C．y＝eq \r(3)x＋eq \f(1,2) D．y＝－eq \r(3)x＋2
【答案】A 【解析】∵直线x－2y－4＝0的斜率为eq \f(1,2)，
∴直线l在y轴上的截距为2，
∴直线l的方程为y＝eq \r(3)x＋2，故选A.
8．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C．－eq \f(3,2) D.eq \f(2,3)
【答案】B 【解析】依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋7＝2，,b＋1＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－5，,b＝－3，))从而可知直线l的斜率为eq \f(－3－1,7＋5)＝－eq \f(1,3).故选B.
9．过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小eq \f(π,4)的直线方程是( )
A．x＝2 B．y＝1
C．x＝1 D．y＝2
【答案】A 【解析】∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为eq \f(3π,4)，依题意，所求直线的倾斜角为eq \f(3π,4)－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.
10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A．x＋2y＋3＝0 B．2x＋y＋3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
【答案】C 【解析】因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(2,0)，B(0,4)，故AB的中点为(1,2)，kAB＝－2，故AB的中垂线方程为y－2＝eq \f(1,2)(x－1)，即x－2y＋3＝0，故选C.
【练提升】
1．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,5)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))
C．(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞))
D．(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
【答案】D 【解析】设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－eq \f(2,k).令－3＜1－eq \f(2,k)＜3，解不等式得k＜－1或k＞eq \f(1,2).
2．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))
【答案】D 【解析】∵直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，
∴kPA＝eq \f(3－1,1－2)＝－2，kPB＝eq \f(－1－1,－2－2)＝eq \f(1,2)，
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，
∴－2≤k≤eq \f(1,2).
3．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )
A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
【答案】C 【解析】令x＝0，得y＝eq \f(b,2)，令y＝0，得x＝－b，
所以所求三角形面积为eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)))|－b|＝eq \f(1,4)b2，且b≠0，
因为eq \f(1,4)b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．
4．(多选)已知直线l：mx＋y＋1＝0，A(1,0)，B(3,1)，则下列结论正确的是( )
A．直线l恒过定点(0,1)
B．当m＝0时，直线l的斜率不存在
C．当m＝1时，直线l的倾斜角为eq \f(3π,4)
D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直
【答案】CD 【解析】直线l：mx＋y＋1＝0，故x＝0时，y＝－1，故直线l恒过定点(0， －1)，选项A错误；
当m＝0时，直线l：y＋1＝0，斜率k＝0，故选项B错误；
当m＝1时，直线l：x＋y＋1＝0，斜率k＝－1，故倾斜角为eq \f(3π,4)，选项C正确；
当m＝2时，直线l：2x＋y＋1＝0，斜率k＝－2，kAB＝eq \f(1－0,3－1)＝eq \f(1,2)，故k·kAB＝－1，故直线l与直线AB垂直，选项D正确．
5．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为____________．
【解析】由已知，得BC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k＝－eq \f(1,13)，故BC边上中线所在的直线方程为y＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,13)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，即x＋13y＋5＝0.
【答案】x＋13y＋5＝0
6．过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，4))且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为____________________．
【解析】①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为y＝－2x，即2x＋y＝0；
②当在坐标轴上截距不为0时，
∵在坐标轴上截距互为相反数，∴设x－y＝a，将A(－2,4)代入得，a＝－6，
∴此时所求的直线方程为x－y＋6＝0.
【答案】2x＋y＝0或 x－y＋6＝0
7．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；
(2)斜率为eq \f(1,6).
【解析】(1)由题意知，直线l存在斜率．
设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，
它在x轴、y轴上的截距分别是－eq \f(4,k)－3,3k＋4，
由已知，得(3k＋4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,k)＋3))＝±6，
解得k1＝－eq \f(2,3)或k2＝－eq \f(8,3).
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，
则直线l的方程为y＝eq \f(1,6)x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
故直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
8.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝eq \f(1,2)x上时，求直线AB的方程．
【解析】由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－eq \f(\r(3),3)，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－eq \f(\r(3),3)x.
设A(m，m)，B(－eq \r(3)n，n)，
所以AB的中点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－\r(3)n,2)，\f(m＋n,2)))，
由点C在直线y＝eq \f(1,2)x上，且A，P，B三点共线得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)＝\f(1,2)·\f(m－\r(3)n,2)，,\f(m－0,m－1)＝\f(n－0,－\r(3)n－1)，))
解得m＝eq \r(3)，所以A(eq \r(3)，eq \r(3))．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝eq \f(\r(3),\r(3)－1)＝eq \f(3＋\r(3),2)，
所以lAB：y＝eq \f(3＋\r(3),2)(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋eq \r(3))x－2y－3－eq \r(3)＝0.
1．直线l的方程为 eq \r(3)x＋3y－1＝0，则直线l的倾斜角为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
2．过点(－1,2)且倾斜角为150°的直线方程为( )
A.eq \r(3)x－3y＋6＋eq \r(3)＝0 B.eq \r(3)x－3y－6＋eq \r(3)＝0
C.eq \r(3)x＋3y＋6＋eq \r(3)＝0 D.eq \r(3)x＋3y－6＋eq \r(3)＝0
3．过点A(0,2)且倾斜角的正弦值是eq \f(3,5)的直线方程为( )
A．3x－5y＋10＝0
B．3x－4y＋8＝0
C．3x＋4y＋10＝0
D．3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0
4．已知直线l的斜率为eq \r(3)，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝eq \r(3)x＋2 B．y＝eq \r(3)x－2
C．y＝eq \r(3)x＋eq \f(1,2) D．y＝－eq \r(3)x＋2
5．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )
6．已知直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，当此直线在x轴、y轴上的截距和最小时，实数a的值是( )
A．1 B.eq \r(2)
C．2 D．3
7．已知直线l的斜率为eq \r(3)，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝eq \r(3)x＋2 B．y＝eq \r(3)x－2
C．y＝eq \r(3)x＋eq \f(1,2) D．y＝－eq \r(3)x＋2
8．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C．－eq \f(3,2) D.eq \f(2,3)
9．过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小eq \f(π,4)的直线方程是( )
A．x＝2 B．y＝1
C．x＝1 D．y＝2
10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A．x＋2y＋3＝0 B．2x＋y＋3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
【练提升】
1．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,5)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))
C．(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞))
D．(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
2．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))
3．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )
A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
4．(多选)已知直线l：mx＋y＋1＝0，A(1,0)，B(3,1)，则下列结论正确的是( )
A．直线l恒过定点(0,1)
B．当m＝0时，直线l的斜率不存在
C．当m＝1时，直线l的倾斜角为eq \f(3π,4)
D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直
5．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为____________．
6．过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，4))且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为____________________．
7．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；
(2)斜率为eq \f(1,6).
8.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝eq \f(1,2)x上时，求直线AB的方程．
第38讲 直线与方程
【练基础】
1．直线l的方程为 eq \r(3)x＋3y－1＝0，则直线l的倾斜角为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
【答案】A 【解析】由直线l的方程为eq \r(3)x＋3y－1＝0可得直线l的斜率为k＝－eq \f(\r(3),3)，设直线l的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－eq \f(\r(3),3)，所以α＝150°.故选A.
2．过点(－1,2)且倾斜角为150°的直线方程为( )
A.eq \r(3)x－3y＋6＋eq \r(3)＝0 B.eq \r(3)x－3y－6＋eq \r(3)＝0
C.eq \r(3)x＋3y＋6＋eq \r(3)＝0 D.eq \r(3)x＋3y－6＋eq \r(3)＝0
【答案】D 【解析】∵k＝tan 150°＝－eq \f(\r(3),3)，
∴直线方程为y－2＝－eq \f(\r(3),3)(x＋1)，
即eq \r(3)x＋3y－6＋eq \r(3)＝0.
3．过点A(0,2)且倾斜角的正弦值是eq \f(3,5)的直线方程为( )
A．3x－5y＋10＝0
B．3x－4y＋8＝0
C．3x＋4y＋10＝0
D．3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0
【答案】D 【解析】设所求直线的倾斜角为α，则sin α＝eq \f(3,5)，∴tan α＝±eq \f(3,4)，∴所求直线方程为y＝±eq \f(3,4)x＋2，即为3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0.故选D.
4．已知直线l的斜率为eq \r(3)，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝eq \r(3)x＋2 B．y＝eq \r(3)x－2
C．y＝eq \r(3)x＋eq \f(1,2) D．y＝－eq \r(3)x＋2
【答案】A 【解析】因为直线x－2y－4＝0的斜率为eq \f(1,2)，所以直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为y＝eq \r(3)x＋2.
5．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )
【答案】B 【解析】由题意l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，当a＞0，b＞0时，－a＜0， －b＜0.选项B符合．
6．已知直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，当此直线在x轴、y轴上的截距和最小时，实数a的值是( )
A．1 B.eq \r(2)
C．2 D．3
【答案】D 【解析】当x＝0时，y＝a＋3；当y＝0时，x＝eq \f(a＋3,a－1).令t＝a＋3＋eq \f(a＋3,a－1)＝5＋(a－1)＋eq \f(4,a－1).因为a＞1，所以a－1＞0，所以t≥5＋2 eq \r(a－1·\f(4,a－1))＝9，当且仅当a－1＝eq \f(4,a－1)，即a＝3时，等号成立．故选D.
7．已知直线l的斜率为eq \r(3)，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝eq \r(3)x＋2 B．y＝eq \r(3)x－2
C．y＝eq \r(3)x＋eq \f(1,2) D．y＝－eq \r(3)x＋2
【答案】A 【解析】∵直线x－2y－4＝0的斜率为eq \f(1,2)，
∴直线l在y轴上的截距为2，
∴直线l的方程为y＝eq \r(3)x＋2，故选A.
8．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C．－eq \f(3,2) D.eq \f(2,3)
【答案】B 【解析】依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋7＝2，,b＋1＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－5，,b＝－3，))从而可知直线l的斜率为eq \f(－3－1,7＋5)＝－eq \f(1,3).故选B.
9．过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小eq \f(π,4)的直线方程是( )
A．x＝2 B．y＝1
C．x＝1 D．y＝2
【答案】A 【解析】∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为eq \f(3π,4)，依题意，所求直线的倾斜角为eq \f(3π,4)－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.
10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A．x＋2y＋3＝0 B．2x＋y＋3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
【答案】C 【解析】因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(2,0)，B(0,4)，故AB的中点为(1,2)，kAB＝－2，故AB的中垂线方程为y－2＝eq \f(1,2)(x－1)，即x－2y＋3＝0，故选C.
【练提升】
1．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,5)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))
C．(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞))
D．(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
【答案】D 【解析】设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－eq \f(2,k).令－3＜1－eq \f(2,k)＜3，解不等式得k＜－1或k＞eq \f(1,2).
2．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))
【答案】D 【解析】∵直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，
∴kPA＝eq \f(3－1,1－2)＝－2，kPB＝eq \f(－1－1,－2－2)＝eq \f(1,2)，
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，
∴－2≤k≤eq \f(1,2).
3．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )
A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
【答案】C 【解析】令x＝0，得y＝eq \f(b,2)，令y＝0，得x＝－b，
所以所求三角形面积为eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)))|－b|＝eq \f(1,4)b2，且b≠0，
因为eq \f(1,4)b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．
4．(多选)已知直线l：mx＋y＋1＝0，A(1,0)，B(3,1)，则下列结论正确的是( )
A．直线l恒过定点(0,1)
B．当m＝0时，直线l的斜率不存在
C．当m＝1时，直线l的倾斜角为eq \f(3π,4)
D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直
【答案】CD 【解析】直线l：mx＋y＋1＝0，故x＝0时，y＝－1，故直线l恒过定点(0， －1)，选项A错误；
当m＝0时，直线l：y＋1＝0，斜率k＝0，故选项B错误；
当m＝1时，直线l：x＋y＋1＝0，斜率k＝－1，故倾斜角为eq \f(3π,4)，选项C正确；
当m＝2时，直线l：2x＋y＋1＝0，斜率k＝－2，kAB＝eq \f(1－0,3－1)＝eq \f(1,2)，故k·kAB＝－1，故直线l与直线AB垂直，选项D正确．
5．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为____________．
【解析】由已知，得BC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k＝－eq \f(1,13)，故BC边上中线所在的直线方程为y＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,13)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，即x＋13y＋5＝0.
【答案】x＋13y＋5＝0
6．过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，4))且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为____________________．
【解析】①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为y＝－2x，即2x＋y＝0；
②当在坐标轴上截距不为0时，
∵在坐标轴上截距互为相反数，∴设x－y＝a，将A(－2,4)代入得，a＝－6，
∴此时所求的直线方程为x－y＋6＝0.
【答案】2x＋y＝0或 x－y＋6＝0
7．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；
(2)斜率为eq \f(1,6).
【解析】(1)由题意知，直线l存在斜率．
设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，
它在x轴、y轴上的截距分别是－eq \f(4,k)－3,3k＋4，
由已知，得(3k＋4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,k)＋3))＝±6，
解得k1＝－eq \f(2,3)或k2＝－eq \f(8,3).
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，
则直线l的方程为y＝eq \f(1,6)x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
故直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
8.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝eq \f(1,2)x上时，求直线AB的方程．
【解析】由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－eq \f(\r(3),3)，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－eq \f(\r(3),3)x.
设A(m，m)，B(－eq \r(3)n，n)，
所以AB的中点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－\r(3)n,2)，\f(m＋n,2)))，
由点C在直线y＝eq \f(1,2)x上，且A，P，B三点共线得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)＝\f(1,2)·\f(m－\r(3)n,2)，,\f(m－0,m－1)＝\f(n－0,－\r(3)n－1)，))
解得m＝eq \r(3)，所以A(eq \r(3)，eq \r(3))．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝eq \f(\r(3),\r(3)－1)＝eq \f(3＋\r(3),2)，
所以lAB：y＝eq \f(3＋\r(3),2)(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋eq \r(3))x－2y－3－eq \r(3)＝0.
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