（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练测 第03讲 函数及其表示 （讲+练）原卷版+解析

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1．（2023·河北衡水二中模拟）函数f(x)＝eq \f(1,\r(x－2))＋ln(3x－x2)的定义域是( )
A．(2，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(2，3) D．(2，3)∪(3，＋∞)
2．（2023·山西省长治市六中模拟）若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x)，则当x≠0，且x≠1时，f(x)等于( )
A.eq \f(1,x) B.eq \f(1,x－1)
C.eq \f(1,1－x) D.eq \f(1,x)－1
3．（2023·辽宁省沈阳拟）下列哪个函数与y＝x相等( )
A．y＝eq \f(x2,x) B．y＝2lg2x
C．y＝eq \r(x2) D．y＝(eq \r(3,x))3
4．（2023·浙江省奉化中学模拟）设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－\r(x)，x≥0，,2x，x<0，))则f[f(－2)]等于( )
A．－1 B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,2)
5．（2023·江苏省南京市秦淮中学模拟）已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＝eq \f(1－x2,1＋x2)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝eq \f(x,1＋x2) B．f(x)＝－eq \f(2x,1＋x2)
C．f(x)＝eq \f(2x,1＋x2) D．f(x)＝－eq \f(x,1＋x2)
6．（2023·安徽省太湖中学模拟）已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1－2，x≤1，,－lg2x＋1，x>1，))且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )
A．－eq \f(7,4) B．－eq \f(5,4)
C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(1,4)
7．（2023·河北邯郸模拟）设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋n，x＜1,lg2x，x≥1))，若f(f(eq \f(3,4)))＝2，则实数n为( )
A．－eq \f(5,4) B．－eq \f(1,3)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(5,2)
8．（2023·福建省莆田一中模拟）若函数f(x)在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．
【练提升】
1．（2023·河北石家庄质检）具有性质：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：
①y＝x－eq \f(1,x)；②y＝ln eq \f(1－x,1＋x)；③y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，01.))
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①
2．（2023·福建省龙岩市一中模拟）设x∈R，定义符号函数sgn x＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))则( )
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
3．（2023·江西省赣州市二中模拟）已知下列各式：①f(|x|＋1)＝x2＋1；②f(eq \f(1,x2＋1))＝x；③f(x2－2x)＝|x|；④f(|x|)＝3x＋3－x.其中存在函数f(x)对任意的x∈R都成立的序号为________．
4．（2023·山东省济宁模拟）设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋12，x≤－1，,2x＋2，－1＜x＜1，,\f(1,x)－1，x≥1，))已知f(a)＞1，则a的取值范围是________．
5．（2023·湖北省石首模拟）已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，x≥3，,fx＋1，x<3，))则f(2＋lg32)的值为________．
6．（2023·湖南省郴州模拟）已知f(x)＝x2－1，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1，x>0，,2－x，x<0.))
(1)求f(g(2))与g(f(2))；
(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．
7．（2023·广东省茂名模拟）已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0，1]上有表达式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间[－2，2]上的表达式．
8．（2023·重庆市凤鸣山中学模拟）已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0,1]上有表达式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间[－1,1]上的表达式．

第03讲 函数及其表示
【练基础】
1．（2023·河北衡水二中模拟）函数f(x)＝eq \f(1,\r(x－2))＋ln(3x－x2)的定义域是( )
A．(2，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(2，3) D．(2，3)∪(3，＋∞)
【答案】C
【解析】由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2＞0，,3x－x2＞0，))解得2＜x＜3，则该函数的定义域为(2，3)，故选C.
2．（2023·山西省长治市六中模拟）若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x)，则当x≠0，且x≠1时，f(x)等于( )
A.eq \f(1,x) B.eq \f(1,x－1)
C.eq \f(1,1－x) D.eq \f(1,x)－1
【答案】B
【解析】当x≠0，且x≠1时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x)＝eq \f(1,\f(1,x)－1)，所以f(x)＝eq \f(1,x－1).
3．（2023·辽宁省沈阳拟）下列哪个函数与y＝x相等( )
A．y＝eq \f(x2,x) B．y＝2lg2x
C．y＝eq \r(x2) D．y＝(eq \r(3,x))3
【答案】D
【解析】y＝x的定义域为R，而y＝eq \f(x2,x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}，y＝2lg2x的定义域为{x|x∈R，且x>0}，排除A、B；y＝eq \r(x2)＝|x|的定义域为x∈R，对应关系与y＝x的对应关系不同，排除C；而y＝(eq \r(3,x))3＝x，定义域和对应关系与y＝x均相同，故选D.
4．（2023·浙江省奉化中学模拟）设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－\r(x)，x≥0，,2x，x<0，))则f[f(－2)]等于( )
A．－1 B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,2)
【答案】C
【解析】由已知得，f(－2)＝2－2＝eq \f(1,4)，f[f(－2)]＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1－eq \r(\f(1,4))＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).
5．（2023·江苏省南京市秦淮中学模拟）已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＝eq \f(1－x2,1＋x2)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝eq \f(x,1＋x2) B．f(x)＝－eq \f(2x,1＋x2)
C．f(x)＝eq \f(2x,1＋x2) D．f(x)＝－eq \f(x,1＋x2)
【答案】C
【解析】令eq \f(1－x,1＋x)＝t，则x＝eq \f(1－t,1＋t)，所以f(t)＝eq \f(（1＋t）2－（1－t）2,（1＋t）2＋（1－t）2)＝eq \f(2t,1＋t2)，故函数f(x)的解析式为f(x)＝eq \f(2x,1＋x2)，故选C.
6．（2023·安徽省太湖中学模拟）已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1－2，x≤1，,－lg2x＋1，x>1，))且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )
A．－eq \f(7,4) B．－eq \f(5,4)
C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(1,4)
【答案】A
【解析】当a≤1时，不符合题意，所以a>1，即－lg2(a＋1)＝－3，解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－eq \f(7,4).
7．（2023·河北邯郸模拟）设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋n，x＜1,lg2x，x≥1))，若f(f(eq \f(3,4)))＝2，则实数n为( )
A．－eq \f(5,4) B．－eq \f(1,3)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(5,2)
【答案】D
【解析】因为f(eq \f(3,4))＝2×eq \f(3,4)＋n＝eq \f(3,2)＋n，当eq \f(3,2)＋n＜1，即n＜－eq \f(1,2)时，f(f(eq \f(3,4)))＝2(eq \f(3,2)＋n)＋n＝2，解得n＝－eq \f(1,3)，不符合题意；当eq \f(3,2)＋n≥1，即n≥－eq \f(1,2)时，f(f(eq \f(3,4)))＝lg2(eq \f(3,2)＋n)＝2，即eq \f(3,2)＋n＝4，解得n＝eq \f(5,2)，故选D.
8．（2023·福建省莆田一中模拟）若函数f(x)在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．
【答案】f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x＜0，,－\f(1,2)x，0≤x≤2))
【解析】由题意，当－1≤x＜0时，直线的斜率为1，方程为y＝x＋1；当0≤x≤2时，直线的斜率为－eq \f(1,2)，方程为y ＝－eq \f(1,2)x.所以函数的解析式为
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x＜0，,－\f(1,2)x，0≤x≤2.))
【练提升】
1．（2023·河北石家庄质检）具有性质：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：
①y＝x－eq \f(1,x)；②y＝ln eq \f(1－x,1＋x)；③y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，01.))
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①
【答案】B
【解析】对于①，f(x)＝x－eq \f(1,x)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x)－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f(x)＝ln eq \f(1－x,1＋x)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝ln eq \f(x－1,x＋1)≠－f(x)，不满足；对于③，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，0<\f(1,x)<1，,0，\f(1,x)＝1，,－x，\f(1,x)>1，))即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x>1，,0，x＝1，,－x，02．（2023·福建省龙岩市一中模拟）设x∈R，定义符号函数sgn x＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))则( )
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
【答案】D
【解析】当x<0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，x·sgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故选D.
3．（2023·江西省赣州市二中模拟）已知下列各式：①f(|x|＋1)＝x2＋1；②f(eq \f(1,x2＋1))＝x；③f(x2－2x)＝|x|；④f(|x|)＝3x＋3－x.其中存在函数f(x)对任意的x∈R都成立的序号为________．
【解析】①f(|x|＋1)＝x2＋1，由t＝|x|＋1(t≥1)，可得|x|＝t－1，则f(t)＝(t－1)2＋1，即有f(x)＝(x－1)2＋1对x∈R均成立；②f(eq \f(1,x2＋1))＝x，令t＝eq \f(1,x2＋1)(0＜t≤1)，x＝± eq \r(\f(1,t)－1)，对0＜t≤1，y＝f(t)不能构成函数，故不成立；③f(x2－2x)＝|x|，令t＝x2－2x，若t＜－1时，x∈∅；t≥－1，可得x＝1±eq \r(1＋t)(t≥－1)，y＝f(t)不能构成函数；④f(|x|)＝3x＋3－x，当x≥0时，f(x)＝3x＋3－x；当x＜0时，f(－x)＝3x＋3－x；将x换为－x可得f(x)＝3x＋3－x；故恒成立．综上可得①④符合条件．
【答案】①④
4．（2023·山东省济宁模拟）设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋12，x≤－1，,2x＋2，－1＜x＜1，,\f(1,x)－1，x≥1，))已知f(a)＞1，则a的取值范围是________．
【答案】(－∞，－2)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
【解析】解法一：(数形结合)画出f(x)的图象，如图所示，作出直线y＝1，由图可见，符合f(a)＞1的a的取值范围为(－∞，－2)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)).
解法二：(分类讨论)
①当a≤－1时，由(a＋1)2>1，得a＋1>1或a＋1<－1，得a>0或a<－2，
又a≤－1，∴a<－2；
②当－11，得a＞－eq \f(1,2)，
又－1③当a≥1时，由eq \f(1,a)－1>1，得0又a≥1，∴此时a不存在．
综上可知，a的取值范围为(－∞，－2)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)).
5．（2023·湖北省石首模拟）已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，x≥3，,fx＋1，x<3，))则f(2＋lg32)的值为________．
【答案】eq \f(1,54)
【解析】∵2＋lg31<2＋lg32<2＋lg33，即2<2＋lg32<3，
∴f(2＋lg32)＝f(2＋lg32＋1)＝f(3＋lg32)．
又3<3＋lg32<4，
∴f(3＋lg32)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3＋lg32＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))lg32＝eq \f(1,27)×(3－1)lg32＝eq \f(1,27)×3－lg32＝eq \f(1,27)×3lg3eq \f(1,2)＝eq \f(1,27)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,54)，∴f(2＋lg32)＝eq \f(1,54).
6．（2023·湖南省郴州模拟）已知f(x)＝x2－1，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1，x>0，,2－x，x<0.))
(1)求f(g(2))与g(f(2))；
(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．
【解析】(1)g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝0；f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2.
(2)当x>0时，f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x<0时，f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.
所以f(g(x))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x，x>0，,x2－4x＋3，x<0.))
同理可得g(f(x))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2，x<－1或x>1，,3－x2，－17．（2023·广东省茂名模拟）已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0，1]上有表达式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间[－2，2]上的表达式．
【解析】(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，
f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－eq \f(1,2)f(0.5)＝－eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＝－eq \f(1,8).
(2)当x∈[0，1]时，f(x)＝x2；
当x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，f(x)＝－eq \f(1,2)f(x－1)＝－eq \f(1,2)(x－1)2；
当x∈[－1，0)时，x＋1∈[0，1)，
f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2；
当x∈[－2，－1)时，x＋1∈[－1，0)，
f(x)＝－2f(x＋1)＝－2×[－2(x＋1＋1)2]＝4(x＋2)2.
所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)（x－1）2，x∈（1，2],x2，x∈[0，1],－2（x＋1）2，x∈[－1，0）,4（x＋2）2，x∈[－2，－1）)).
8．（2023·重庆市凤鸣山中学模拟）已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0,1]上有表达式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间[－1,1]上的表达式．
【解析】(1)由题意知
f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，
f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－eq \f(1,2)f(0.5)＝－eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＝－eq \f(1,8).
(2)当x∈[0,1]时，f(x)＝x2；
因为∀x∈R，都有f(x)＝－2f(x＋1)，
所以当x∈[－1,0)时，x＋1∈[0,1)，
f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2；
所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x∈[0，1]，,－2x＋12，x∈[－1，0.))