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（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练测 第15讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数（讲+练）原卷版+解析
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这是一份（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练测 第15讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数（讲+练）原卷版+解析，文件包含课标全国版高考数学第一轮复习讲练测第15讲任意角和弧度制及任意角的三角函数练原卷版+解析docx、课标全国版高考数学第一轮复习讲练测第15讲任意角和弧度制及任意角的三角函数讲原卷版+解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
【课标解读】
1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念．
2.能进行弧度与角度的互化．
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲内容属于基础考查范围．预测2022年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐标求三角函数值或根据三角函数值求参数值．常以客观题形式考查，属中、低档试题.
【核心知识】
知识点一 角的概念
1．角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的分类
角的分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(按旋转方向,不同分类)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(正角：按逆时针方向旋转形成的角,负角：按顺时针方向旋转形成的角,零角：射线没有旋转)),\a\vs4\al(按终边位置,不同分类)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(象限角：角的终边在第几象限，这, 个角就是第几象限角,轴线角：角的终边落在坐标轴上))))
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
知识点二 弧度制及应用
1．弧度制的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2．弧度制下的有关公式
知识点三 任意角的三角函数
【高频考点】
高频考点一 象限角的判断
【例1】(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则( )
A．cs 2α＞0 B．cs 2α＜0
C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0
【方法技巧】象限角的两种判断方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
【变式探究】设集合M＝{x|x＝eq \f(k,2)·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝eq \f(k,4)·180°＋45°，k∈Z}，那么( )
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
【举一反三】终边在直线y＝eq \r(3)x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________．
高频考点二 扇形的弧长及面积公式的应用
【例2】若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l等于( )
A.eq \f(4\r(3),3)π cm B．eq \f(8\r(3),3)π cm
C．4eq \r(3) cm D．8eq \r(3) cm
【方法技巧】
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积的最大值时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【变式探究】“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，M为ON的一个靠近点N的三等分点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面(扇环)部分的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(4,9) D.eq \f(5,9)
高频考点三 三角函数的概念
【例3】我国古代数学家僧一行应用“九服晷(ɡuǐ)影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.已知天顶距θ＝1°时，晷影长l≈0.14.现测得午中晷影长度l≈0.42，则天顶距θ为( )
(参考数据：tan 1°≈0.017 5，tan 2°≈0.034 9，tan 3°≈0.052 4，tan 22.8°≈0.420 4)
A．2° B．3°
C．11° D．22.8°【方法技巧】三角函数定义解题的技巧
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，根据定义中的两个量列方程求参数值．
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
(4)已知一角的三角函数值(sin α，cs α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．
【变式探究】已知角α的终边上一点P(－eq \r(3)，m)(m≠0)，且sin α＝eq \f(\r(2)m,4)，则cs α＝________，tan α＝________.
高频考点四 三角函数线的应用
【例4】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P，Q从点A(1,0)出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转eq \f(π,6)弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转eq \f(11π,6)弧度，则P，Q两点在第2 019次相遇时，点P的坐标为________．
【方法技巧】利用三角函数线求解三角不等式的方法
对于较为简单的三角不等式，在单位圆中，利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态，注意实线与虚线)，再通过大小找到其所满足的角的区域，由此写出不等式的解集．
【变式探究】 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为eq \f(3,5)，eq \f(4,5).
(1)求sin α的值；
(2)求α＋β.
第15讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析
【课标解读】
1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念．
2.能进行弧度与角度的互化．
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲内容属于基础考查范围．预测2022年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐标求三角函数值或根据三角函数值求参数值．常以客观题形式考查，属中、低档试题.
【核心知识】
知识点一 角的概念
1．角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的分类
角的分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(按旋转方向,不同分类)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(正角：按逆时针方向旋转形成的角,负角：按顺时针方向旋转形成的角,零角：射线没有旋转)),\a\vs4\al(按终边位置,不同分类)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(象限角：角的终边在第几象限，这, 个角就是第几象限角,轴线角：角的终边落在坐标轴上))))
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
知识点二 弧度制及应用
1．弧度制的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2．弧度制下的有关公式
知识点三 任意角的三角函数
【高频考点】
高频考点一 象限角的判断
【例1】(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则( )
A．cs 2α＞0 B．cs 2α＜0
C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0
【答案】D
【答案】∵α是第四象限角，
∴－eq \f(π,2)＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，
∴－π＋4kπ＜2α＜4kπ，k∈Z.
∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，
∴sin 2α<0，cs 2α可正、可负、可为零．
【方法技巧】象限角的两种判断方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
【变式探究】设集合M＝{x|x＝eq \f(k,2)·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝eq \f(k,4)·180°＋45°，k∈Z}，那么( )
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
【答案】B 由于M＝{x|x＝eq \f(k,2)·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝{x|x＝eq \f(k,4)·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N.故选B.
【举一反三】终边在直线y＝eq \r(3)x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________．
【解析】如图，在坐标系中画出直线y＝eq \r(3)x，可以发现它与x轴的夹角是eq \f(π,3)，
在[0,2π)内，终边在直线y＝eq \r(3)x上的角有两个：eq \f(π,3)，eq \f(4,3)π；
在[－2π，0)内，满足条件的角有两个：－eq \f(2,3)π，－eq \f(5,3)π.
故满足条件的角α构成的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)π，－\f(2,3)π，\f(π,3)，\f(4,3)π)).
【答案】eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)π，－\f(2,3)π，\f(π,3)，\f(4,3)π))
高频考点二 扇形的弧长及面积公式的应用
【例2】若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l等于( )
A.eq \f(4\r(3),3)π cm B．eq \f(8\r(3),3)π cm
C．4eq \r(3) cm D．8eq \r(3) cm
【答案】B
【解析】设扇形的半径为r cm，如图．
由sin 60°＝eq \f(6,r)，得r＝4eq \r(3) cm，
∴l＝|α|·r＝eq \f(2π,3)×4eq \r(3)＝eq \f(8\r(3),3)π cm.
【方法技巧】
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积的最大值时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【变式探究】“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，M为ON的一个靠近点N的三等分点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面(扇环)部分的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(4,9) D.eq \f(5,9)
【答案】D
【解析】设ON＝r，扇形的圆心角为α，
则整个扇形的面积为S′＝eq \f(1,2)αr2，
扇环的面积为S＝eq \f(1,2)αr2－eq \f(1,2)αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(2r,3)))2＝eq \f(5,18)αr2，
由几何概型的概率公式得P＝eq \f(\f(5,18)αr2,\f(1,2)αr2)＝eq \f(5,9).
高频考点三 三角函数的概念
【例3】我国古代数学家僧一行应用“九服晷(ɡuǐ)影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.已知天顶距θ＝1°时，晷影长l≈0.14.现测得午中晷影长度l≈0.42，则天顶距θ为( )
(参考数据：tan 1°≈0.017 5，tan 2°≈0.034 9，tan 3°≈0.052 4，tan 22.8°≈0.420 4)
A．2° B．3°
C．11° D．22.8°
【答案】B
【解析】由题意，可得晷影长l＝htan θ，且顶距θ＝1°时，晷影长l＝0.14.
所以h＝eq \f(1,tan θ)＝eq \f(0.14,0.0175)＝8，
当晷影长度l≈0.42，则tan θ＝eq \f(l,h)＝eq \f(0.42,g)＝0.0524，
所以θ＝3°.
【方法技巧】三角函数定义解题的技巧
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，根据定义中的两个量列方程求参数值．
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
(4)已知一角的三角函数值(sin α，cs α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．
【变式探究】已知角α的终边上一点P(－eq \r(3)，m)(m≠0)，且sin α＝eq \f(\r(2)m,4)，则cs α＝________，tan α＝________.
【解析】设P(x，y)．由题设知x＝－eq \r(3)，y＝m，
所以r2＝|OP|2＝(－eq \r(3))2＋m2(O为原点)，即r＝eq \r(3＋m2)，
所以sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(m,\r(3＋m2))＝eq \f(\r(2)m,4)＝eq \f(m,2\r(2))，
所以r＝eq \r(3＋m2)＝2eq \r(2)，即3＋m2＝8，解得m＝±eq \r(5).
当m＝eq \r(5)时，r＝2eq \r(2)，x＝－eq \r(3)，y＝eq \r(5)，
所以cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－\r(3),2\r(2))＝－eq \f(\r(6),4)，tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(\r(15),3)；
当m＝－eq \r(5)时，r＝2eq \r(2)，x＝－eq \r(3)，y＝－eq \r(5)，
所以cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－\r(3),2\r(2))＝－eq \f(\r(6),4)，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(\r(15),3).
【答案】－eq \f(\r(6),4) －eq \f(\r(15),3)或eq \f(\r(15),3)
高频考点四 三角函数线的应用
【例4】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P，Q从点A(1,0)出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转eq \f(π,6)弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转eq \f(11π,6)弧度，则P，Q两点在第2 019次相遇时，点P的坐标为________．
【解析】因为点P按逆时针方向每秒钟转eq \f(π,6)弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转eq \f(11π,6)弧度，所以两点相遇1次的路程是单位圆的周长，即2π，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两点相遇2 019次时，共用了2 019秒，所以此时点P所转过的弧度为eq \f(2 019π,6)＝eq \f(673π,2)＝eq \f(π,2)＋336π.由终边相同的角的概念可知，eq \f(2 019π,6)与eq \f(π,2)的终边相同，所以此时点P位于y轴正半轴上，故点P的坐标为(0,1)．
【答案】(0,1)
【方法技巧】利用三角函数线求解三角不等式的方法
对于较为简单的三角不等式，在单位圆中，利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态，注意实线与虚线)，再通过大小找到其所满足的角的区域，由此写出不等式的解集．
【变式探究】 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为eq \f(3,5)，eq \f(4,5).
(1)求sin α的值；
(2)求α＋β.
【解析】(1)因为点P为角α的终边与单位圆的交点，且纵坐标为eq \f(3,5)，将y＝eq \f(3,5)代入x2＋y2＝1，
因为α是锐角，x>0，所以x＝eq \f(4,5)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(3,5))).
由三角函数的定义可得：sin α＝eq \f(3,5).
(2)由sin α＝eq \f(3,5)，α是锐角，可得cs α＝eq \f(4,5)，
因为锐角β的终边与单位圆相交于Q点，且纵坐标为eq \f(4,5)，将y＝eq \f(4,5)代入x2＋y2＝1，
因为β是锐角，x>0，可得x＝eq \f(3,5)，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5)))，
所以sin β＝eq \f(4,5)，cs β＝eq \f(3,5)，
所以cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β
＝eq \f(4,5)×eq \f(3,5)－eq \f(3,5)×eq \f(4,5)＝0.
因为0<α所以α＋β＝eq \f(π,2).
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝eq \f(π,180) rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
eq \a\vs4\al(y)叫做α的正弦，记作sin α
eq \a\vs4\al(x)叫做α的余弦，记作cs α
eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝eq \f(π,180) rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
eq \a\vs4\al(y)叫做α的正弦，记作sin α
eq \a\vs4\al(x)叫做α的余弦，记作cs α
eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
【课标解读】
1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念．
2.能进行弧度与角度的互化．
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲内容属于基础考查范围．预测2022年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐标求三角函数值或根据三角函数值求参数值．常以客观题形式考查，属中、低档试题.
【核心知识】
知识点一 角的概念
1．角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的分类
角的分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(按旋转方向,不同分类)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(正角：按逆时针方向旋转形成的角,负角：按顺时针方向旋转形成的角,零角：射线没有旋转)),\a\vs4\al(按终边位置,不同分类)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(象限角：角的终边在第几象限，这, 个角就是第几象限角,轴线角：角的终边落在坐标轴上))))
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
知识点二 弧度制及应用
1．弧度制的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2．弧度制下的有关公式
知识点三 任意角的三角函数
【高频考点】
高频考点一 象限角的判断
【例1】(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则( )
A．cs 2α＞0 B．cs 2α＜0
C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0
【方法技巧】象限角的两种判断方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
【变式探究】设集合M＝{x|x＝eq \f(k,2)·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝eq \f(k,4)·180°＋45°，k∈Z}，那么( )
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
【举一反三】终边在直线y＝eq \r(3)x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________．
高频考点二 扇形的弧长及面积公式的应用
【例2】若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l等于( )
A.eq \f(4\r(3),3)π cm B．eq \f(8\r(3),3)π cm
C．4eq \r(3) cm D．8eq \r(3) cm
【方法技巧】
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积的最大值时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【变式探究】“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，M为ON的一个靠近点N的三等分点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面(扇环)部分的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(4,9) D.eq \f(5,9)
高频考点三 三角函数的概念
【例3】我国古代数学家僧一行应用“九服晷(ɡuǐ)影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.已知天顶距θ＝1°时，晷影长l≈0.14.现测得午中晷影长度l≈0.42，则天顶距θ为( )
(参考数据：tan 1°≈0.017 5，tan 2°≈0.034 9，tan 3°≈0.052 4，tan 22.8°≈0.420 4)
A．2° B．3°
C．11° D．22.8°【方法技巧】三角函数定义解题的技巧
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，根据定义中的两个量列方程求参数值．
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
(4)已知一角的三角函数值(sin α，cs α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．
【变式探究】已知角α的终边上一点P(－eq \r(3)，m)(m≠0)，且sin α＝eq \f(\r(2)m,4)，则cs α＝________，tan α＝________.
高频考点四 三角函数线的应用
【例4】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P，Q从点A(1,0)出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转eq \f(π,6)弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转eq \f(11π,6)弧度，则P，Q两点在第2 019次相遇时，点P的坐标为________．
【方法技巧】利用三角函数线求解三角不等式的方法
对于较为简单的三角不等式，在单位圆中，利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态，注意实线与虚线)，再通过大小找到其所满足的角的区域，由此写出不等式的解集．
【变式探究】 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为eq \f(3,5)，eq \f(4,5).
(1)求sin α的值；
(2)求α＋β.
第15讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析
【课标解读】
1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念．
2.能进行弧度与角度的互化．
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲内容属于基础考查范围．预测2022年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐标求三角函数值或根据三角函数值求参数值．常以客观题形式考查，属中、低档试题.
【核心知识】
知识点一 角的概念
1．角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的分类
角的分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(按旋转方向,不同分类)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(正角：按逆时针方向旋转形成的角,负角：按顺时针方向旋转形成的角,零角：射线没有旋转)),\a\vs4\al(按终边位置,不同分类)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(象限角：角的终边在第几象限，这, 个角就是第几象限角,轴线角：角的终边落在坐标轴上))))
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
知识点二 弧度制及应用
1．弧度制的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2．弧度制下的有关公式
知识点三 任意角的三角函数
【高频考点】
高频考点一 象限角的判断
【例1】(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则( )
A．cs 2α＞0 B．cs 2α＜0
C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0
【答案】D
【答案】∵α是第四象限角，
∴－eq \f(π,2)＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，
∴－π＋4kπ＜2α＜4kπ，k∈Z.
∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，
∴sin 2α<0，cs 2α可正、可负、可为零．
【方法技巧】象限角的两种判断方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
【变式探究】设集合M＝{x|x＝eq \f(k,2)·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝eq \f(k,4)·180°＋45°，k∈Z}，那么( )
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
【答案】B 由于M＝{x|x＝eq \f(k,2)·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝{x|x＝eq \f(k,4)·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N.故选B.
【举一反三】终边在直线y＝eq \r(3)x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________．
【解析】如图，在坐标系中画出直线y＝eq \r(3)x，可以发现它与x轴的夹角是eq \f(π,3)，
在[0,2π)内，终边在直线y＝eq \r(3)x上的角有两个：eq \f(π,3)，eq \f(4,3)π；
在[－2π，0)内，满足条件的角有两个：－eq \f(2,3)π，－eq \f(5,3)π.
故满足条件的角α构成的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)π，－\f(2,3)π，\f(π,3)，\f(4,3)π)).
【答案】eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)π，－\f(2,3)π，\f(π,3)，\f(4,3)π))
高频考点二 扇形的弧长及面积公式的应用
【例2】若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l等于( )
A.eq \f(4\r(3),3)π cm B．eq \f(8\r(3),3)π cm
C．4eq \r(3) cm D．8eq \r(3) cm
【答案】B
【解析】设扇形的半径为r cm，如图．
由sin 60°＝eq \f(6,r)，得r＝4eq \r(3) cm，
∴l＝|α|·r＝eq \f(2π,3)×4eq \r(3)＝eq \f(8\r(3),3)π cm.
【方法技巧】
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积的最大值时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【变式探究】“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，M为ON的一个靠近点N的三等分点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面(扇环)部分的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(4,9) D.eq \f(5,9)
【答案】D
【解析】设ON＝r，扇形的圆心角为α，
则整个扇形的面积为S′＝eq \f(1,2)αr2，
扇环的面积为S＝eq \f(1,2)αr2－eq \f(1,2)αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(2r,3)))2＝eq \f(5,18)αr2，
由几何概型的概率公式得P＝eq \f(\f(5,18)αr2,\f(1,2)αr2)＝eq \f(5,9).
高频考点三 三角函数的概念
【例3】我国古代数学家僧一行应用“九服晷(ɡuǐ)影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.已知天顶距θ＝1°时，晷影长l≈0.14.现测得午中晷影长度l≈0.42，则天顶距θ为( )
(参考数据：tan 1°≈0.017 5，tan 2°≈0.034 9，tan 3°≈0.052 4，tan 22.8°≈0.420 4)
A．2° B．3°
C．11° D．22.8°
【答案】B
【解析】由题意，可得晷影长l＝htan θ，且顶距θ＝1°时，晷影长l＝0.14.
所以h＝eq \f(1,tan θ)＝eq \f(0.14,0.0175)＝8，
当晷影长度l≈0.42，则tan θ＝eq \f(l,h)＝eq \f(0.42,g)＝0.0524，
所以θ＝3°.
【方法技巧】三角函数定义解题的技巧
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，根据定义中的两个量列方程求参数值．
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
(4)已知一角的三角函数值(sin α，cs α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．
【变式探究】已知角α的终边上一点P(－eq \r(3)，m)(m≠0)，且sin α＝eq \f(\r(2)m,4)，则cs α＝________，tan α＝________.
【解析】设P(x，y)．由题设知x＝－eq \r(3)，y＝m，
所以r2＝|OP|2＝(－eq \r(3))2＋m2(O为原点)，即r＝eq \r(3＋m2)，
所以sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(m,\r(3＋m2))＝eq \f(\r(2)m,4)＝eq \f(m,2\r(2))，
所以r＝eq \r(3＋m2)＝2eq \r(2)，即3＋m2＝8，解得m＝±eq \r(5).
当m＝eq \r(5)时，r＝2eq \r(2)，x＝－eq \r(3)，y＝eq \r(5)，
所以cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－\r(3),2\r(2))＝－eq \f(\r(6),4)，tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(\r(15),3)；
当m＝－eq \r(5)时，r＝2eq \r(2)，x＝－eq \r(3)，y＝－eq \r(5)，
所以cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－\r(3),2\r(2))＝－eq \f(\r(6),4)，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(\r(15),3).
【答案】－eq \f(\r(6),4) －eq \f(\r(15),3)或eq \f(\r(15),3)
高频考点四 三角函数线的应用
【例4】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P，Q从点A(1,0)出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转eq \f(π,6)弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转eq \f(11π,6)弧度，则P，Q两点在第2 019次相遇时，点P的坐标为________．
【解析】因为点P按逆时针方向每秒钟转eq \f(π,6)弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转eq \f(11π,6)弧度，所以两点相遇1次的路程是单位圆的周长，即2π，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两点相遇2 019次时，共用了2 019秒，所以此时点P所转过的弧度为eq \f(2 019π,6)＝eq \f(673π,2)＝eq \f(π,2)＋336π.由终边相同的角的概念可知，eq \f(2 019π,6)与eq \f(π,2)的终边相同，所以此时点P位于y轴正半轴上，故点P的坐标为(0,1)．
【答案】(0,1)
【方法技巧】利用三角函数线求解三角不等式的方法
对于较为简单的三角不等式，在单位圆中，利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态，注意实线与虚线)，再通过大小找到其所满足的角的区域，由此写出不等式的解集．
【变式探究】 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为eq \f(3,5)，eq \f(4,5).
(1)求sin α的值；
(2)求α＋β.
【解析】(1)因为点P为角α的终边与单位圆的交点，且纵坐标为eq \f(3,5)，将y＝eq \f(3,5)代入x2＋y2＝1，
因为α是锐角，x>0，所以x＝eq \f(4,5)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(3,5))).
由三角函数的定义可得：sin α＝eq \f(3,5).
(2)由sin α＝eq \f(3,5)，α是锐角，可得cs α＝eq \f(4,5)，
因为锐角β的终边与单位圆相交于Q点，且纵坐标为eq \f(4,5)，将y＝eq \f(4,5)代入x2＋y2＝1，
因为β是锐角，x>0，可得x＝eq \f(3,5)，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5)))，
所以sin β＝eq \f(4,5)，cs β＝eq \f(3,5)，
所以cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β
＝eq \f(4,5)×eq \f(3,5)－eq \f(3,5)×eq \f(4,5)＝0.
因为0<α
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝eq \f(π,180) rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
eq \a\vs4\al(y)叫做α的正弦，记作sin α
eq \a\vs4\al(x)叫做α的余弦，记作cs α
eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝eq \f(π,180) rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
eq \a\vs4\al(y)叫做α的正弦，记作sin α
eq \a\vs4\al(x)叫做α的余弦，记作cs α
eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
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