人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理同步练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理同步练习题，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A夯实基础
一、单选题
1．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知空间向量，，不共面，且，则x，y，z的值分别是（ ）
A．2，1，2B．2，1，
C．1，，3D．l，，3
3．如图，在空间四边形中，，，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
4．设向量不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）
A．{B．
C．D．
5．已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ）
A．0B．2C．D．
7．如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（ ）
A．B．C．D．
8．在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A．若与共线，与共线，则与共线
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
D．若两个非零空间向量，满足，则
10．定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：（1），，且､和构成右手系(三个向量的方向依次与拇指､食指､中指的指向一致)；（2）的模 (表示向量､的夹角).如图所示，在正方体中，有以下四个结论中，不正确的有（ ）
A．与方向相反
B．
C．与正方体表面积的数值相等
D．与正方体体积的数值相等
三、填空题
11．如图，在平行六面体中，，，，，，则________．（用基底表示）
12．如图所示，三棱柱中，，分别是和上的点，且，设，则的值为___________.
四、解答题
13．如图，已知正方体.点是上底面的中心，取 为一个基底，在下列条件下，分别求的值.
(1);
(2).
14．在平行六面体中，，.若.
(1)用基底表示向量；
(2)求向量的长度.
B能力提升
1．在平行六面体中，，，，，，则AM的长为（ ）
A．B．C．D．
2．如图所示，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么（ ）．
A．B．
C．D．与不能比较大小
3．在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小是 （ ）
A．60°B．75°C．90°D．105°
4．在以下命题中，不正确的个数为( )
①是，b共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使＝λ；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；④若{，，}为空间的一个基底，则{＋，＋，＋}构成空间的另一个基底；⑤ |(·)·|＝||·||·||.
A．2B．3C．4D．5
5．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
(1)设，，，用向量表示，并求出的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
C综合素养
1．如图，在直三棱柱'中，，，，分别为，的中点.
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
2．如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.
（1）用表示；
（2）求向量与向量所成角的余弦值.
1.2空间向量基本定理（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
.
故选：B
2．已知空间向量，，不共面，且，则x，y，z的值分别是（ ）
A．2，1，2B．2，1，
C．1，，3D．l，，3
【答案】C
由题设知：，解得.
故选：C
3．如图，在空间四边形中，，，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
解：
设异面直线与的夹角为则
故选A
4．设向量不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）
A．{B．
C．D．
【答案】C
因为向量与共面，选项A，B不正确，
是共面向量，
不能作为基底，选项D不正确；
若是共面向量，
则，
得到为共面向量，与已知向量不共面矛盾，
所以是不共面向量，可以作为基底.
故选：C
5．已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
如图，
，
所以，
所以.
故选：C
6．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ）
A．0B．2C．D．
【答案】B
P∈平面ABC，若则x+y+z＝1．
.又动点Q在所在平面内运动，
所以，解得.
故选：B
7．如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
依题意
，所以.
故选：C.
8．在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
如图，
,
所以
，
所以，
所以的长为，
故选：D
二、多选题
9．在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A．若与共线，与共线，则与共线
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
D．若两个非零空间向量，满足，则
【答案】AB
当，满足与共线，与共线，而与不一定共线，A错误；若与均为零向量时，能够保证，则存在无数多的实数，使，B错误；因为，即，故，由平面向量基本定理可得：P，A，B，C四点共面，C正确；因为非零空间向量满足，故，所以，D正确.
故选：AB
10．定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：（1），，且､和构成右手系(三个向量的方向依次与拇指､食指､中指的指向一致)；（2）的模 (表示向量､的夹角).如图所示，在正方体中，有以下四个结论中，不正确的有（ ）
A．与方向相反
B．
C．与正方体表面积的数值相等
D．与正方体体积的数值相等
【答案】ABD
A选项，根据向量外积的第一个性质可知与的方向相同，故A错，
B选项，根据向量外积的第一个性质可知与的方向相反，
不可能相等，故B错，
C选项，根据向量外积的第二个性质可知正方形的面积为，则与正方体表面积的数值相等，故C对，
D选项，与的方向相反，则，故D错，
故选：ABD.
三、填空题
11．如图，在平行六面体中，，，，，，则________．（用基底表示）
【答案】
在平行六面体中
由题意，
，
所以
故答案为：．
12．如图所示，三棱柱中，，分别是和上的点，且，设，则的值为___________.
【答案】
解：由题意三棱柱中，､分别是B､上的点，
且，，
则
，
，
.
故答案为：.
四、解答题
13．如图，已知正方体.点是上底面的中心，取 为一个基底，在下列条件下，分别求的值.
(1);
(2).
【答案】(1)(2)
(1)解：，
，
又因为，
所以;
(2)，
，
，
，
又因为，
所以.
14．在平行六面体中，，.若.
(1)用基底表示向量；
(2)求向量的长度.
【答案】(1)(2)
(1)由题意可得
，
故.
(2)由条件得，
，
故
B能力提升
1．在平行六面体中，，，，，，则AM的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：∵，
∴ ，
∴．
故选：C．
2．如图所示，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么（ ）．
A．B．
C．D．与不能比较大小
【答案】C
∵E是BC的中点，，
∴，即．
不妨设空间四边形的各边和对角线长均为1，又，，两两之间的夹角均为60°，
∴．
故．
故选：C
3．在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小是 （ ）
A．60°B．75°C．90°D．105°
【答案】C
设，，，，
则，，
，
∴，∴与所成的角的大小是，
故选C．
4．在以下命题中，不正确的个数为( )
①是，b共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使＝λ；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；④若{，，}为空间的一个基底，则{＋，＋，＋}构成空间的另一个基底；⑤ |(·)·|＝||·||·||.
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
对①，∵向量、同向时，，∴不满足必要性，∴①错误；
对②，当为零向量，不是零向量时，不存在λ使等式成立，∴②错误；
对③，若P，A，B，C四点共面，则存在唯一使得.
则，即.
又＝2－2－，所以，方程无解，故③错误；
对④，用反证法，若{}不构成空间的一个基底；
设⇒x（x﹣1）⇒x（1﹣x），即，，共面，∵{}为空间的一个基底，∴④正确；
对⑤，∵|（）|＝||×||×|cs，|×||≤||||||，∴⑤错误．
故选C．
5．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
(1)设，，，用向量表示，并求出的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)；(2)
(1)，
因为，同理可得，
所以
(2)因为，所以，
因为，
所以．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
C综合素养
1．如图，在直三棱柱'中，，，，分别为，的中点.
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
设，，，
根据题意得，且
∴，.
∴，
∴，即.
（2）∵，∴，，
∵，
∴.
∴异面直线与所成角的余弦值为.
2．如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.
（1）用表示；
（2）求向量与向量所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
（1）因为E是的中点，F在上，且，
所以，
于是.
（2）由（1）得，
因此，
，
又因为，
所以向量与向量所成角的余弦值为.