人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理一课一练

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理一课一练，共30页。试卷主要包含了2　空间向量基本定理等内容，欢迎下载使用。

【考点梳理】
考点一 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
考点二 空间向量的正交分解
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．
2．向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
考点三 证明平行、共线、共面问题
(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
考点三 求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.
知识点三 求距离(长度)问题
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \r(a·a)( eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝eq \r(\(AB,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))) )．


【题型归纳】
题型一：空间向量基底概念与判断
1．下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是（ ）
A．B．
C．D．
2．空间四个点O，A，B，C，为空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．O，A，B，C四点不共线B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点中任意三点不共线D．O，A，B，C四点不共面
3．若为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）
A．B．
C．D．
题型二：空间向量基本定理的应用
4．空间四边形中，.点在上，且，为的中点，则等于（ ）
A．-B．-C．-D．-
5．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）．
A．B．C．D．
6．如图，在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点.若，其中为实数，则的值是（ ）
A．B．C．D．


【双基达标】
一、单选题
7．已知是空间的一个基底，若，则（ ）
A．是空间的一组基底
B．是空间的一组基底
C．是空间的一组基底
D．与中的任何一个都不能构成空间的一组基底
8．点是矩形所在平面外一点，且平面，，分别是，上的点，且，则满足的实数的值分别为（ ）
A．B．
C．D．
9．在下列两个命题中，真命题是（ ）
①若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；
②若，是两个不共线向量，而＝λ＋μ (λ，μ且λμ≠0)，则{，，}构成空间的一个基底．
A．仅①B．仅②C．①②D．都不是
10．如图，在长方体中，P是线段上一点，且，若，则（ ）
A．B．C．D．1



11．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点为线段上一点，且，若记，，，则（ ）
A．B．
C．D．
12．下列结论错误的是（ ）.
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若､是两个不共线的向量，且(且)，则构成空间的一个基底
D．若､､不能构成空间的一个基底，则､､､四点共面
13．如图，已知空间四边形，其对角线为分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．设：，，是三个非零向量；：为空间的一个基底，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
15．已知空间向量，满足||=||=1，且，的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足=2+，=3-，则△OAB的面积为（ ）
A．B．C．D．
16．已知在四棱柱中，四边形为平行四边形，若，则（ ）
A．B．C．D．

【高分突破】
一：单选题
17．在空间四边形中，，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
18．在三棱锥中，，N为中点，则（ ）
A．B．C．D．
19．在平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．C．D．



20．如图，在四面体中，，分别在棱，上且满足，，点是线段的中点，用向量，，作为空间的一组基底表示向量应为（ ）
A．B．
C．D．
21．已知，，，，则向量与之间的夹角为（ ）.
A．B．C．D．以上都不对
22．给出下列命题：
①已知，则；
②、、、为空间四点，若、、不构成空间的一个基底，那么、、、共面；
③已知，则、与任何向量都不构成空间的一个基底；
④若、共线，则、所在直线或者平行或者重合．
正确的结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
23．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量=，向量，则不能与构成空间的一个基底的是（ ）
A．B．C．D．或



24．在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则（ ）
A．B．C．D．

二、多选题
25．在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A．是、共线的充要条件
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
26．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
D．若，则是钝角
27．已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基组表示向量，有，则（ ）
A．B．C．D．







28．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，.则下列正确的是（ ）
A．B．
C．的长为D．
29．下列命题中，正确的命题有（ ）
A．是共线的充要条件
B．若则存在唯一的实数，使得
C．对空间中任意一点和不共线的三点若，则四点共面
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
30．给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．空间任意三个向量都可以作为一组基底
B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底
C．，，，是空间四点，若，，不能构成空间的一组基底，则，，，共面
D．已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间一组基底


三、填空题
31．已知在正方体ABCD一中，点E为底面的中心，，，，，则=______，=_______，=_______．
32．设且是空间的一组基底，给出下列向量组：
①；② ③ ④
其中可以作为空间的基底的向量组是___________(填序号)．
33．如图，已知空间四边形，其对角线为、，是边的中点，是的重心，则用基向量，，表示向量的表达式为___________.
34．如图，点M为OA的中点，为空间的一个基底，，则有序实数组（x，y，z）=________.
35．已知为不共面的三个向量，，，若，则α，β，λ的值分别为________．
36．下列关于空间向量的命题中，正确的有______．
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；
②若非零向量，，满足，，则有；
③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；
④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．







四、解答题
37．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设，，，E，F分别是AD1，BD的中点．
（1）用向量表示，；
（2）若，求实数的值．
38．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.求证：A，E，C1，F四点共面.
39．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点.
（1）用基底表示向量
（2）化简，并在图中标出化简结果.






40．如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，i， j， k，试用基底{i，j，k}表示向量，.

【答案详解】
1．C
【详解】
对于A：由，可得M，A，B，C四点共面，即共面，
所以选项A无法构成基底，选项C可以构成基底；
对于B：因为，由平面向量基本定理，可得共面，无法构成基底，故B错误；
同理选项D中，共面，故D错误.
故选：C
2．D
【详解】
由空间基底的定义，三个向量不共面，
但选项A，B，C三种情形都有可能使共面，
只有D才能使这三个向量不共面.
故选：D.
【点睛】
本题考查基底的概念，属于基础题.
3．C
【详解】
A：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；
B：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；
C：因为为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.
若不构成一组基底，则有，所以向量是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此能构成一组基底，
D：因为，所以向量是共面向量，因此
不能构成一组基底.
故选：C
4．B
【详解】
解：因为，所以,
为的中点，则，
.
故选：B.
5．C
【详解】
如下图所示，连接并延长交于点，则点为的中点，
为的重心，可得，
而，
，
所以，，
所以，，因此，.
故选：C.
6．C
【详解】
因为，所以，故.
故选：C.
7．C
假设，即，得，
这与是空间的一个基底矛盾，故是空间的一组基底，
故选：C.
8．D
取的中点，连接，
则
，
又因为，
由空间向量基本定理可得：
故选：D.
9．A
【详解】
解：根据空间向量基底的定义，三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面正确，故①为真命题；
根据平面向量基本定理，若，是两个不共线向量，且＝λ＋μ (λ，μ且λμ≠0)，则与、所确定的平面共面，即，，共面，所以{，，}不能构成空间的一个基底，故②为假命题.
故选：A.
10．B
【详解】
长方体中，依题意，，
，
而，又不共面，于是得，，，
所以.
故选：B
11．A
【详解】
解:
,
故选:A
12．C
【详解】
A选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A正确；
B选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B正确；
C选项，∵ 满足，∴，，共面，不能构成基底，故C错误，
D选项，因为､､共起点，若，，，四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D正确，
故选C.
13．A
【详解】
.
因为分别为的中点，
所以
所以.
故选：A.
14．B
当非零向量，，共面时，不能是空间的一个基底，
由得不出，
若为空间的一个基底，则，，一定不共面，
所以，，一定是非零向量，
所以由可以得出，
因此是的必要不充分条件，
故选：B.
15．B
【详解】
||===，
||=，
则cs∠AOB===，
从而有sin∠AOB=，
∴△OAB的面积S=×××=，
故选：B．
16．C
【详解】
据题意，得，，
所以，
即.
又因为为空间不共面的三个向量，
所以，
所以，所以.
故选：C.
17．D

故选：D
18．B
【详解】
连接，所以，
因为，所以，
所以.
故选：B.
19．D
【详解】


故选：D
20．B
【详解】
连接，如图，
则由向量加法的平行四边形法则可得
.
故选：B.
21．C
因为，
所以，
两边平方得：，
即，
所以，
因为，
所以.
故选：C
22．C
对于①，若，则，故，故①正确；
对于②，若、、不构成空间的一个基底，则、、这个向量在同一平面内，故、、、共面，故②正确；
对于③，当时，若与、不共面，则、、可构成空间的一个基底，故③不正确；
对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确，
故选：C.
23．C
【详解】
因为=，=，
故()，所以与向量共面，
故，，不能构成空间的一个基底.
故选：.
24．C
【详解】
如图，为与交点，为中点，为与的交点.过作平行交于.
如图,则为中点，所以.
所以，
因此，
因为，所以,.
故选：C
25．ABC
【详解】
对于A选项，充分性：若，则、方向相反，且，充分性成立；
必要性：若、共线且方向相同，则，即必要性不成立，
所以，是、共线的充分不必要条件，A选项错误；
对于B选项，若，，则，但不存在实数，使得，B选项错误；
对于C选项，对空间任意一点和不共线的三点、、，
若、、、四点共面，可设，其中、，
则，可得，
由于，，此时，、、、四点不共面，C选项错误；
对于D选项，假设、、共面，
可设，
由于为空间的一个基底，可得，该方程组无解，
假设不成立，所以，构成空间的另一个基底，D选项正确.
故选：ABC.
26．ABC
【详解】
对于A中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，
则这三个向量一定共面，所以是正确的;
对于B中，若对空间中任意一点，有，因为，
根据空间向量的基本定理,可得P,A,B,C四点一定共面，所以是正确的;
对于C中，由是空间中的一组基底，则向量不共面，
可得向量不共面，所以也是空间的一组基底，所以是正确的;
对于D中，若，又由，所以，所以不正确.
故选：ABC
27．ABC
【详解】
如下图所示，
为的中点，则，
为的中点，则，，
，则，
，
，，则.
故选：ABC.
28．BD
【详解】
由空间向量的加法法则得，B正确，
，A错误；
由已知，
，C错；
，D正确．
故选：BD．
29．CD
【详解】
对于当时，共线成立，但当同向共线时
所以是共线的充分不必要条件，故不正确
对于B，当时，，不存在唯一的实数使得，故不正确
对于C，由于，而，根据共面向量定理知四点共面，故正确
对于D，若为空间的一个基底，则不共面，
由基底的定义可知，不共面，
则构成空间的另一个基底，故正确.
故选：CD
30．BCD
【详解】
选项A中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A不正确；
选项B中，根据空间基底的概念，可得B正确；
选项C中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点B，可得四点共面，所以C正确；
选项D中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D正确．
故选：BCD.
31．2 1
如图所示，
所以，
故答案为：①2，②1，③
32．②③④
【详解】
如图，平行六面体中，设，
则，，因四点共面，则向量共面，
而四点不共面，则向量不共面，又四点不共面，则不共面，
四点不共面，则也不共面，
所以可以作为空间的基底的向量组是②③④.
故答案为：②③④
33．
如图所示，连AG延长交BC于，
故答案为：.
34．
所以有序实数组，
故答案为：.
35．
∵
且不共面
∴，∴
故答案为：
36．①③④
【详解】
对于①：若向量， 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故①正确；
对于②：若非零向量，，满足，，则与不一定共线，故②错误；
对于③：若，，是空间的一组基底，且，
则，即，
可得到，四点共面，故③正确；
对于④：若向量，，，是空间一组基底，则空间任意一个向量 ，
存在唯一实数组，使得，
由的唯一性，则，，也是唯一的
则，，也是空间的一组基底，故④正确．
故答案为：①③④
37．（1），；（2）
（1）如图，连接AC，EF，D1F，BD1，
（2）
38．
证明:因为
＝
＝＋
＝，
所以，，共面，
所以A，E，C1，F四点共面.
39．
（1），
，
；
（2）
如图，连接DA1，则即为所求.
40．ijk；ijk.
【详解】

延长PG交CD于点N，则N为CD的中点，因为G为△PDC的重心，所以
ijk.
i＋j＋k.