2023新教材高中数学第7章随机变量及其分布章末综合提升教师用书新人教A版选择性必修第三册

第7章 随机变量及其分布 章末综合提升

类型1　条件概率

条件概率是概率的重要内容之一，是后续学习的基础．在高考中经常涉及，一般以选择和填空的形式考查，试题难度不大，属基础题．求条件概率的常用方法为：(1)定义法，分别求出P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝．

(2)借助古典概型公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝．

【例1】　坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的，如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：

(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；

(2)第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．

[解]　设“第一次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则“第一次和第二次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB．

(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n(Ω)＝A＝42．

根据分步乘法计数原理，n(A)＝A·A＝24，

∴P(A)＝＝＝．

(2)因为n(AB)＝A＝12，

所以P(AB)＝＝＝．

法一：第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)＝＝÷＝．

法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝24，

所以P(B|A)＝＝＝．

类型2　离散型随机变量的期望与方差

期望与方差是概率统计中的两个重要概念．常与实际问题相结合，综合考查学生的应用能力和数学建模素养．试题难度为中档，解决该类问题的方法和步骤为：

【例2】　随着社会的发展，家用轿车已经走进千家万户．某品牌汽车4S店举办国庆大促销活动．规定在本店交两万元购车定金的客户都可以参加抽奖活动．抽奖活动规则：在一个不透明的盒子中现场放入大小完全相同的1个红球与4个白球共5个球，充分搅拌均匀，客户从中随机取出1个球，如果取出红球即为第1次摸球中奖，停止摸球；否则把球放回充分搅拌，然后再从中随机取出1个球，如果取出红球即为第2次摸球中奖，停止摸球；以此类推最多4次摸球，无论中不中奖都停止摸球．活动并且规定第1次摸球中奖获奖金2 000元，第2次摸球中奖获奖金1 000元，第3次摸球中奖获奖金500元，第4次摸球中奖获奖金300元，直到第4次摸球不中奖，获参与奖奖金100元．若某客户甲参加了此次交定金购车摸奖活动，问：

(1)记事件A为“客户甲一共摸了4次球”，求事件A发生的概率；

(2)若该客户参加此次抽奖活动获得的奖金为X元，求X的分布列及均值．

[解]　(1)由题意可得每次摸得红球中奖事件的概率为，不中奖概率为，每次摸球中奖相互独立，

∵A＝{客户甲一共摸了4次球}，

说明前3次摸球都未摸得红球，

∴P(A)＝××＝．

(2)由题意知X的所有可能取值为：100，300，500，1 000，2 000；

P(X＝100)＝＝，

P(X＝300)＝×＝，

P(X＝500)＝×＝，

P(X＝1 000)＝×＝，

P(X＝2 000)＝．

∴X的分布列为

E(X)＝100×＋300×＋500×＋1 000×＋2 000×＝＝695.68．

类型3　n重伯努利试验与二项分布

n重伯努利试验和二项分布是概率中的重要模型，是学习方差、均值的基础．是高考中常考内容，以选择、填空的形式出现．有时在解答题中有所涉及，题目难度不大，属低档题，二项分布的实际应用是常考题型，解题思路为

(1)根据题意设出随机变量．

(2)分析出随机变量服从二项分布．

(3)找到参数n(试验的次数)和p(事件发生的概率)．

(4)写出二项分布的分布列．

【例3】　甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人答对与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．

(1)求随机变量ξ的分布列；

(2)设C表示事件“甲队得2分，乙队得1分”，求P(C)．

[解]　(1)由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，

P(ξ＝0)＝C×＝，

P(ξ＝1)＝C××＝，

P(ξ＝2)＝C××＝，

P(ξ＝3)＝C×＝，

故ξ的分布列为

(2)甲队得2分，乙队得1分，两事件相互独立，

由(1)得，甲队得2分的概率P(ξ＝2)＝，

乙队得1分的概率P＝××＋××＋××＝．

根据独立事件概率公式得，“甲队得2分，乙队得1分”的概率P(C)＝×＝．

类型4　正态分布的应用

正态分布是概率统计的重要内容，也是高考的重要内容．既可以以选择题、填空题的形式单独考查，难度较小，又可以与离散型随机变量的均值、方差及实际应用问题综合考查，难度中等偏上．求正态分布的概率主要有两种方法：

(1)注意“3σ原则”的应用．记住正态总体在三个区间内取值的概率．

(2)注意数形结合．由于正态密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．

【例4】　某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500，502)，请你判断考生成绩X在550～600分的人数．

[解]　∵考生成绩X～N(500，502)，

∴μ＝500，σ＝50，

∴P(550≤X≤600)＝[P(500－2×50≤X≤500＋2×50)－P(500－50≤X≤500＋50)]

≈(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，

∴考生成绩在550～600分的人数为2 500×0.135 9≈340(人)．