浙教版七年级下册数学举一反三系列 专题7.1 期中期末专项复习之平行线十八大必考点（学生版+教师版）

这是一份浙教版七年级下册数学举一反三系列 专题7.1 期中期末专项复习之平行线十八大必考点（学生版+教师版），文件包含浙教版七年级下册数学举一反三系列专题71期中期末专项复习之平行线十八大必考点教师版docx、浙教版七年级下册数学举一反三系列专题71期中期末专项复习之平行线十八大必考点学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共133页， 欢迎下载使用。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17089" 【考点1 同位角、内错角、同旁内角的判断】 PAGEREF _Tc17089 \h 1
\l "_Tc31430" 【考点2 三线八角中的截线问题】 PAGEREF _Tc31430 \h 2
\l "_Tc24764" 【考点3 根据平行线的判定与性质进行证明】 PAGEREF _Tc24764 \h 4
\l "_Tc638" 【考点4 直线旋转中的平行线的判定】 PAGEREF _Tc638 \h 6
\l "_Tc26937" 【考点5 与垂线有关的角度计算或证明】 PAGEREF _Tc26937 \h 7
\l "_Tc15413" 【考点6 利用平行线的判定与性质计算角度】 PAGEREF _Tc15413 \h 8
\l "_Tc11305" 【考点7 平行线的性质在生活中的应用】 PAGEREF _Tc11305 \h 10
\l "_Tc26177" 【考点8 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】 PAGEREF _Tc26177 \h 12
\l "_Tc3087" 【考点9 平行线的运用（单一辅助线）】 PAGEREF _Tc3087 \h 13
\l "_Tc2198" 【考点10 平行线的运用（多条辅助线）】 PAGEREF _Tc2198 \h 15
\l "_Tc19100" 【考点11 平行线在折叠问题的运用】 PAGEREF _Tc19100 \h 17
\l "_Tc6504" 【考点12 平行线在三角尺中的运用】 PAGEREF _Tc6504 \h 18
\l "_Tc31578" 【考点13 平行线中的规律问题】 PAGEREF _Tc31578 \h 20
\l "_Tc951" 【考点14 平行线中的转角问题】 PAGEREF _Tc951 \h 22
\l "_Tc21625" 【题型15 生活中的平移现象】 PAGEREF _Tc21625 \h 24
\l "_Tc1879" 【题型16 图形的平移】 PAGEREF _Tc1879 \h 25
\l "_Tc5948" 【题型17 利用平移的性质求解】 PAGEREF _Tc5948 \h 26
\l "_Tc26174" 【题型18 利用平移解决实际问题】 PAGEREF _Tc26174 \h 27
【考点1 同位角、内错角、同旁内角的判断】
【例1】（2022·河南新乡·七年级期末）如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同旁内角B．∠1和∠3是对顶角
C．∠3和∠4是同位角D．∠1和∠4是内错角
【变式1-1】（2022·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
【变式1-2】（2022·河北保定·七年级期末）如图所示，下列说法错误的是( )
A．∠C与∠1是内错角
B．∠2与∠3是内错角
C．∠A与∠B是同旁内角
D．∠A与∠3是同位角
【变式1-3】（2022·河南·商水县希望初级中学七年级期末）如图所示，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对，则的值是____________
【考点2 三线八角中的截线问题】
【例2】（2022·四川省广元市宝轮中学七年级期末）如图，已知∠1和∠2是内错角，则下列表述正确的是（ ）
A．∠1和∠2是由直线AD、AC被CE所截形成的
B．∠1和∠2是由直线AD、AC被BD所截形成的
C．∠1和∠2是由直线DA、DB被CE所截形成的
D．∠1和∠2是由直线DA、DB被AC所截形成的
【变式2-1】（2022·山东济宁·七年级期末）如图，与是（ ）形成的内错角
A．直线、被直线所截B．直线、被直线所截
C．直线、被直线所截D．直线、被直线所截
【变式2-2】（2022·甘肃·陇西县巩昌中学七年级期末）如图，∠2与∠3是直线______、____被第三条直线_____所截形成的_______．
【变式2-3】（2022·全国·七年级）如图所示，从标有数字的角中找出：
(1)直线CD和AB被直线AC所截构成的内错角.
(2)直线CD和AC被直线AD所截构成的同位角.
(3)直线AC和AB被直线BC所截构成的同旁内角.
【考点3 根据平行线的判定与性质进行证明】
【例3】（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知：，．求证：．
证明：∵（已知），
∴____________（________________________）．
∴（_____________________________）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴____________（__________________________）．
∴（______________________________）．
【变式3-1】（2022·黑龙江·逊克县教师进修学校七年级期末）如图所示，，直线EF分别交AB，CD于点G，H，HN是∠DHG的平分线．
(1)如果GM是∠BGE的平分线，（如图①）试判断并证明GM和HN的位置关系；
证明：∵，
∴∠BGE＝______（两直线平行，同位角相等．）
∵GM是∠BGE的平分线，
∴______＝______
∵HN是∠DHG的平分线
∴______＝______
∴∠MGE＝∠NHG（等量代换）
∴GM和HN的位置关系是______，（___________________）．
(2)如果GM是∠AGH的平分线，（如图②）（1）中的结论还成立吗？（不必证明）
(3)如果GM是∠BGH的平分线，（如图③）（1）中的结论还成立吗？如果不成立，GM与HN又有怎样的位置关系？请直接写出你的猜想不必证明．
【变式3-2】（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图已知：ABCD，CDEF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下结论：①AB∥EF；②2∠1−∠4=90°；③2∠3−∠2=180°；④∠3+∠4=135°，其中，正确的结论有____．（填序号）
【变式3-3】（2022·广东·广州市第四中学七年级期末）如图1，在四边形ABCD中，，∠A＝∠C．
(1)求证：∠B＝∠D；
(2)如图2，点E在线段AD上，点G在线段AD的延长线上，连接BG，∠AEB＝2∠G，求证：BG是∠EBC的平分线；
(3)如图3，在(2)的条件下，点E在线段AD的延长线上，∠EDC的平分线DH交BG于点H，若∠ABE＝66°，求∠BHD的度数．
【考点4 直线旋转中的平行线的判定】
【例4】（2022·河南洛阳·七年级期末）如图所示是跷跷板示意图，横板绕中点O上下转动，立柱与地面垂直，当横板的A端着地时，测得，则在玩跷跷板时，小明坐在A点处，他上下最大可以转动的角度为（ ）
A．28°B．56°C．62°D．84°
【变式4-1】（2022·山东临沂·七年级期末）如图将木条a，b与c钉在一起，，要使木条a与b平行，木条a顺时针旋转了35°，∠2是（ ）
A．25°B．35°C．40°D．50°
【变式4-2】（2022·云南昆明·七年级期末）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，的度数是（
A．15°B．30°C．45°D．75°
【变式4-3】（2022·湖南永州·七年级期末）如图，直线，现将一个含30°角的直角三角板的锐角顶点放在直线上，将三角板绕点旋转，使直角顶点落在与之间的区域，边与直角相交于点，若，则图中的的值为（ ）
A．65°B．75°C．85°D．80°
【考点5 与垂线有关的角度计算或证明】
【例5】（2022·湖南·测试·编辑教研五七年级期末）如图，已知∠1=∠C，∠2=∠3，FG⊥AC于G，你能说明BD与AC互相垂直吗？
【变式5-1】（2022·安徽合肥·七年级期末）请补充完整下列推理过程及证明过程中的依据．
如图，已知，，．试证明：．
解：因为（已知），
所以（____________）．
因为（已知），
所以______（等量代换），
所以______（____________）．
所以______（两直线平行，同位角相等）
因为（已知），
所以（____________）．
所以（等量代换），
所以______（垂直的定义）．
【变式5-2】（2022·江苏盐城·七年级期末）如图，，垂足为，，．
（1）与平行吗？为什么？
（2）根据题中的条件，能判断与平行吗？如果能，请说明理由：如果不能，添加一个条件，使它们平行（不必说明理由）．
【变式5-3】（2022·全国·七年级）已知：直线MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，点C是线段AB上一定点，点D是射线AN上一动点，连接CD．
(1)在图1中过点C作CE⊥CD，与射线BQ交于E点．
①依题意补全图形；
②求证：∠ADC+∠BEC＝90°；
(2)如图2所示，点F是射线BQ上一动点，连接CF，∠DCF＝α，分别作∠NDC与∠CFQ的角平分线交于点G，请用含有α的代数式来表示∠DGF，并说明理由．
【考点6 利用平行线的判定与性质计算角度】
【例6】（2022·福建福州·七年级期末）如图，在中，点D，E分别在AB，AC上，点F，G在BC上，EF与DG交于点O，，．
(1)判断DE与BC的位置关系，并证明；
(2)若，求的度数．
【变式6-1】（2022·河南漯河·七年级期末）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
(1)若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
(2)判断BE与CD的位置关系，并证明你的猜想．
【变式6-2】（2022·广东湛江·七年级期末）如图所示，已知射线，，、在上，且满足，平分，根据上述条件，解答下列问题：
(1)证明：；
(2)求的度数；
(3)若平行移动，那么的值是否随之变化？若不变，求出这个比值；若变化，请说明理由．
【变式6-3】（2022·北京密云·七年级期末）已知：点C是∠AOB的OA边上一点（点C不与点O重合），点D是∠AOB内部一点，射线CD不与OB相交．
(1)如图1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，过点O作射线OE，使得OE//CD．（其中点E在∠AOB内部）．
①依据题意，补全图1；
②直接写出∠BOE的度数．
(2)如图2，点F是射线OB上一点，且点F不与点O重合，当时，过点F作射线FH，使得FH//CD（其中点H在∠AOB的外部），用含的代数式表示∠OCD与∠BFH的数量关系，并证明．
【考点7 平行线的性质在生活中的应用】
【例7】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图线段AB和CD表示两面镜子，且直线AB∥直线CD，光线EF经过镜子AB反射到镜子CD，最后反射到光线GH.光线反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论：①直线EF平行于直线GH；②∠FGH的角平分线所在的直线垂直于直线AB；③∠BFE的角平分线所在的直线垂直于∠4的角平分线所在的直线；④当CD绕点G顺时针旋转90时，直线EF与直线GH不一定平行，其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．①③
【变式7-1】（2022·江苏宿迁·七年级期末）实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图有两块互相垂直的平面镜，一束光线射在其中一块上，经另外一块反射，两束光线会平行吗？若不平行，请说明理由，若平行，请给予证明
【变式7-2】（2022·浙江杭州·七年级期末）（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数．
（2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数．
【变式7-3】（2022·湖南·师大附中梅溪湖中学七年级期末）梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（AB∥CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自QD逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯 P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心．
（1）若把灯P自PA转至PB，或者灯Q自QD转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间；
（2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∠PMQ；
（3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？
【考点8 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】
【例8】（2022·河北唐山·七年级期末）己知三角形ABC，交直线于点E，交直线于点D．
(1)如图1，若点F在边上，直接写出与的数量关系；
(2)若点F在边的延长线上，（1）中的数量关系还成立吗？若成立，给子证明；若不成立，又有怎样的数量关系，请在备用图中画出图形并说明理由．
【变式8-1】（2022·湖北襄阳·七年级期末）如图，已知，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分∠ABP与∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
(1)若，求的度数；
(2)在点P的运动过程中，∠BPA与∠BDA的数量关系是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出∠BPA与∠BDA的数量关系；
(3)当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，探究∠ABC与∠DBN的数量关系，并证明你的结论．
【变式8-2】（2022·安徽合肥·七年级期末）已知：直线，经过直线上的定点的直线交于点，点，为直线上的两点，且点在点右侧，点的左侧时，连接，，满足．
(1)如图，若，，直接写出的度数为：______．
(2)如图，射线为的角平分线，用等式表示与之间的数量关系，并证明．
【变式8-3】（2022·湖北孝感·七年级期末）在三角形ABC中，点D在线段AC上，交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点D作交射线CB于点G．
(1)如图1，点F在线段BE上，
①用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，并说明理由；
②如图，求证：；
(2)当点F在线段AE上时，依题意，在图2中补全图形，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，不需证明．
【考点9 平行线的运用（单一辅助线）】
【例9】（2022·四川德阳·七年级期末）已知：，点P、Q分别在AB、CD上，在两直线间取一点E．
(1)如图1，求证：；
(2)将线段EQ沿DC平移至FG，的平分线和的平分线交于直线AB、CD内部一点H．
①如图2，若，求的度数；
②如图3，若点I在直线AB、CD内部，且PI平分，连接HI，若，，请直接写出m与n的数量关系，不必证明．
【变式9-1】（2022·广东梅州·八年级期末）已知：∠AOB＝（0°＜＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧．
(1)如图1，若CE∥OA，EF∥MN，∠NDE＝45°，求的度数；
(2)若∠MDC的平分线DF交OB边于点F，如图2，当DF∥OA，且＝60°时，证明：CE∥OA．
【变式9-2】（2022·陕西西安·八年级期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b，且和直角三角形ABC，，．
(1)在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数；
(2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现，说明理由；
(3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当AC平分∠BAM时，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请写出∠1与∠2的数量关系并证明．
【变式9-3】（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，且满足∠MAC＋∠ACB＋∠SBC＝360°．
(1)证明：；
(2)如图2，若∠ACB＝60°，，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE＝2∠CBT，试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若∠ACB＝45°，点E在线段BC上，连接AE，若∠MAE＝4∠CBT，直接写出∠CAE：∠CAN的值．
【考点10 平行线的运用（多条辅助线）】
【例10】（2022·云南普洱·七年级期末）已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE//GF．如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N．
(1)请你直接写出：∠CAF＝_____°，∠EMC＝______°．
(2)若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？并说明理由．
(3)请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
【变式10-1】（2022·湖北武汉·七年级期末）直线，BE—EC是一条折线段，BP平分．
(1)如图1，若，求证：；
(2)CQ平分，直线BP，CQ交于点F．
①如图2，写出和的数量关系，并证明；
②当点E在直线AB，CD之间时，若，直接写出的大小．
【变式10-2】（2022·广东·新丰县教育局教研室七年级期末）细观察，找规律．
（1）下列各图中的与平行．
①图①中的______度．
②图②中的______度．
③图③中的______度．
④图④中的______度．
⑤第⑩个图中的______度．
⑥第个图中的______度．
（2）下列各图中．
①图甲中、、的数量关系是______．
②图乙中，，，，的数量关系是______．
③图丙中，，，，，，的数量关系是______．
【变式10-3】（2022·北京师范大学附属实验中学分校七年级期末）已知，如图1，射线PE分别与直线AB，CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α°，∠EMF＝β°，且＋|β﹣40|＝0
(1)α＝ ，β＝ ；直线AB与CD的位置关系是 ；
(2)如图2，若点G、H分别在射线MA和线段MF上，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；
(3)若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【考点11 平行线在折叠问题的运用】
【例11】（2022·山东潍坊·七年级期末）将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边，则翻折角与一定满足的关系是（ ）
A．B．C．D．
【变式11-1】（2022·山东·滕州市龙泉街道滕东中学七年级期末）如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B=( )
A．60°B．70°C．80°D．90°
【变式11-2】（2022·全国·七年级单元测试）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，将三角形ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE.试说明：DE∥BC．
【变式11-3】（2022·江苏·常州市第二十四中学七年级期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F．
(1)如图①，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角： ；所有与∠C相等的角： ．
(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45) ．
① 求∠B的度数；
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
【考点12 平行线在三角尺中的运用】
【例12】（2022·浙江宁波·七年级期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，．接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间______________秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
【变式12-1】（2022·河北·青县教育局教研室七年级期末）把一副直角三角尺按如图方式摆放，点与点重合，边与边都在直线上，若直线MN∥AC，且经过点，则_________；
【变式12-2】（2022·四川达州·八年级期末）一副三角板ADE和ABC按如图1所示放置，点B在斜边AD上，其中∠E＝∠BAC＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°．现将三角板ADE固定不动，三角板ABC绕点A顺时针旋转，使两块三角板至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，，则∠BAD其他所有可能符合条件的度数为______．
【变式12-3】（2022·江苏苏州·七年级期末）在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上， ，，．小明将ADE从图中位置开始，绕点按每秒的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第____秒时，边与边平行．
【考点13 平行线中的规律问题】
【例13】（2022·山东泰安·期末）如图，，点E为两直线之间的一点
(1)如图1，若，，则____________；
(2)如图2，试说明，；
(3)①如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数．
【变式13-1】（2022·山东烟台·七年级期末）问题情境：
如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°．
问题解决：
（1）如图2，AB∥CD，直线l分别与AB、CD交于点M、N，点P在直线I上运动，当点P在线段MN上运动时（不与点M、N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判断∠APC、α、β之间的数量关系并说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时．请直接写出∠APC、α、B之间的数量关系；
（3）如图3，AB∥CD，点P是AB、CD之间的一点（点P在点A、C右侧），连接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分线交于点Q．若∠APC＝116°，请结合（2）中的规律，求∠AQC的度数．
【变式13-2】（2022·四川·树德中学七年级期末）（1）如图①，已知，图中，，之间有什么关系？
（2）如图②，已知，图中，，，之间有什么关系？
（3）如图③，已知，请直接写出图中，，，，之间的关系
（4）通过以上3个问题，你发现了什么规律？
【变式13-3】（2022·北京市第一零一中学温泉校区七年级期末）喜欢思考的小泽同学，设计了一种折叠纸条的游戏．如图1，纸条的一组对边PN∥QM（纸条的长度视为可延伸），在PN，QM上分别找一点A，B，使得∠ABM＝．如图2，将纸条作第一次折叠，使与BA在同一条直线上，折痕记为．
解决下面的问题：
（1）聪明的小白想计算当α＝90°时，∠的度数，于是他将图2转化为下面的几何问题，请帮他补全问题并求解：如图3，PN∥QM，A，B分别在上，且∠ABM＝90°，由折叠：平分_________，∥，求∠的度数．
（2）聪颖的小桐提出了一个问题：按图2折叠后，不展开纸条，再沿AR1折叠纸条（如图4），是否有可能使⊥BR1？如果能，请直接写出此时的度数；如果不能，请说明理由．
（3）笑笑看完此题后提出了一个问题：当0°<≤90°时，将图2记为第一次折叠；将纸条展开，作第二次折叠，使与BR1在同一条直线上，折痕记为BR2（如图5）；将纸条展开，作第三次折叠，使与BR2在同一条直线上，折痕记为BR3；…以此类推．
①第二次折叠时，∠＝_____________（用的式子表示）；
②第n次折叠时，∠＝____________（用和n的式子表示）．
【考点14 平行线中的转角问题】
【例14】（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校七年级期末）将两个等边三角形（每个内角都等于60°）如图1叠放在一起，现将△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为（旋转角，请探究下列问题：
(1)如图2，当旋转角满足时，请写出∠BCD与∠ACE的关系，并说明理由；
(2)如图3，当旋转角满足时，请写出∠BCE与∠ACD的关系，并说明理由；
(3)当DE//BC时请直接写出旋转角的度数．
【变式14-1】（2022·福建泉州·七年级期末）现有一块含角的直角三角板，其直角顶点在直线上，将三角板绕着点按逆时针方向旋转的度数（）．
请你解决下列问题：
(1)当的度数为多少时，（不必说理）；
(2)如右图，作于点，于点，试探究：图中提供的字母或数字能表示的所有角（不包含该图中的直角）中，是否存在相等的角？若存在，试写出所有相等的角，并说明理由；若不存在，请举例说明．
【变式14-2】（2022·河南·漯河市郾城区郾城初级中学七年级期末）如图1，已知，点A，B分别在，上，且，射线绕点A顺时针旋转至便立即逆时针回转（速度是a°/秒），射线绕点B顺时针旋转至便立即逆时针回转（速度是b°/秒）、且a、b满足，
(1)_____________，____________；
(2)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t秒（），两条旋转射线交于点C，过C作交于点D，求与的数量关系；
(3)若射线先旋转20秒，射线才开始旋转，设射线旋转时间为t秒（），若旋转中，求t的值．
【变式14-3】（2022·浙江湖州·七年级期末）如图1，已知直线，，射线从出发，绕点以每秒度的速度按逆时针方向旋转，到达后立即以相同的速度返回，到达后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线从出发，绕点以每秒度的速度按逆时针方向旋转，到达后停止运动，此时也同时停止运动．其中，满足方程组．
(1)求，的值；
(2)若先运动30秒，然后一起运动，设运动的时间为，当运动过程中时，求的值；
(3)如图2，若与同时开始转动，在第一次到达之前，与交于点，过点作于点，交直线于点，则在运动过程中，若设的度数为，请求出的度数（结果用含的代数式表示）．
【题型15 生活中的平移现象】
【例15】（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）下列现象中属于平移的是（ ）
①方向盘的转动；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④汽车雨刷的运动
A．①②B．②③C．①②④D．②
【变式15-1】（2022春·重庆璧山·七年级校联考期中）今年4月，被称为“猪儿虫”的璧山云巴正式运行．云巴在轨道上运行可以看作是（ ）
A．对称B．旋转C．平移D．跳跃
【变式15-2】（2022春·湖北宜昌·七年级统考期末）如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从点A出发爬到点B，只考虑路径、时间、路程等因素，下列结论正确的为（ ）
A．乙比甲先到B．甲比乙先到
C．甲和乙同时到D．无法确定哪只蚂蚁先到
【变式15-3】（2022春·广东广州·七年级统考期末）如图，人民公园内一块长方形草地上原有一条宽的笔直小路，现要将这条小路改造成弯曲小路，小路的上边线向下平移就是它的下边线，那么改造后小路的面积（ ）
A．变大了B．变小了C．没变D．无法确定
【题型16 图形的平移】
【例16】（2022春·内蒙古兴安盟·七年级统考期末）2022年，中国举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会，如图，通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【变式16-1】（2022春·全国·七年级期末）下列汽车标志中可以看作是由某图案平移得到的是（ ）
A．B．C．D．
【变式16-2】（2022春·八年级单元测试）观察下列五幅图案，在②③④⑤中可以通过①平移得到的图案是（ ）
A．②B．③C．④D．⑤
【变式16-3】（2022春·广东深圳·八年级校考期中）下列图案可以看作某一部分平移后得到的是（ ）
A．B．C．D．
【题型17 利用平移的性质求解】
【例17】（2022春·广东江门·七年级统考期末）如图，长方形ABCD的长AB为8，宽AD为6，将这个长方形向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到长方形EFGH，则阴影部分的面积为（ ）
A．30B．32C．36D．40
【变式17-1】（2022春·全国·七年级专题练习）如图，直角三角形的周长为，在其内部有个小直角三角形，且这个小直角三角形都有一条边与平行，则这个小直角三角形周长的和为_________．
【变式17-2】（2022秋·山东临沂·八年级校考期中）如图，将沿直线向右平移到达的位置，若，，则的度数为______．
【变式17-3】（2022春·广东韶关·七年级统考期中）如图，把边长为2的正方形的局部进行图①~图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（ ）
A．18B．16C．12D．8
【题型18 利用平移解决实际问题】
【例18】（2022春·北京西城·七年级北京市西城外国语学校校考期中）如图，公园里长为20米宽为10米的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是________平方米．
【变式18-1】（2022春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯，其侧面如图所示，则需地毯 __米．
【变式18-2】（2022春·全国·七年级专题练习）如图（单位，m），一块长方形草坪中间有两条宽度相等的石子路（每条石子路间距均匀），请你求出草坪（阴影部分）的面积．
【变式18-3】（2022春·全国·七年级专题练习）图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度，宽均为5个单位长度）
在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）；
在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线，得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）．
问题解决：
(1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分：
(2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为、，则= 平方单位；并比较大小： （填“＞”“＝”或“＜”）；
(3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．（用含a，b的式子表示）