苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第23讲 二次根式的加减（学生版+教师版）

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知识精讲
知识点 二次根式的加减
（一）同类二次根式
1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。
【微点拨】
(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；
(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关。
2.合并同类二次根式
合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变。
【微点拨】
(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；
(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；
（3）合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，不是同类二次根式不能合并。
（二）二次根式的加减
二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式。
【微点拨】
（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用。
（2）二次根式加减运算的步骤：
①将每个二次根式都化简成为最简二次根式；
②判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；
③合并同类二次根式。
（三）二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用。
【微点拨】
(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；
(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.
【即学即练1】计算：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先化简，再合并同类二次根式；
（2）先化简括号内二次根式再合并，再利用二次根式乘法计算即可．
【解析】(1)解：
；
(2)解：
．
【即学即练2】下列计算是否正确？
（1）； （2）； （3）．
【答案】（1）不正确；（2）不正确；（3）不正确．
【分析】（1）由合并同类二次根式的法则进行判断，即可得到答案；
（2）由合并同类二次根式的法则进行判断，即可得到答案；
（3）由二次根式的性质进行化简，即可进行判断．
【解析】解：（1）与不是同类二次根式，不能合并，故不正确；（2）2与不是同类二次根式，不能合并，故不正确；（3），故不正确；
能力拓展
考法01 二次根式的加减法运算
【典例1】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成，开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵
∴
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称Q点为P点的“横负纵变点”．例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（，5）的“横负纵变点”为（，）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
(1)点（，）的“横负纵变点”为_______；
(2)化简：；
(3)已知a为常数（），点M（，m）且，点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点M'的坐标为
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义，求出的“横负纵变点”即可；
（2）根据材料一里面的化简方法，化简即可；
（3）由，可得出，即可化简，得出m的值，再根据“横负纵变点”的定义，求出坐标即可．
【解析】(1)∵，
∴点的“横负纵变点”为；
故答案为：．
(2)
；
(3)∵，
∴，
∴，
∴．
∴
，
∴，
∵，
∴．
考法02 二次根式的混合运算
【典例2】阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（I）．
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
（Ⅱ）还可以用以下方法化简
．
(1)请用不同的方法化简．
①参照（Ⅰ）式，得______；
②参照（Ⅱ）式，得______；
(2)化简：．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）分别参照（Ⅰ）式、（Ⅱ）式进行计算即可；
（2）先参照（Ⅰ）式，把每一个二次根式分别有理化，然后提出公因数 后再进行化简即可得到答案．
【解析】(1)①
②
(2)

。
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将各个选项化成最简二次根式，找出被开方数是3的即可.
【解析】A. ，与不是同类二次根式，故不符合题意；B. ，与不是同类二次根式，故不符合题意；C. 与是不是同类二次根式，故不符合题意；D. =与是同类二次根式，故符合题意；答案选D.
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二次根式的运算法则计算．A．应是合并同类二次根式，计算错误；B．这两个数不是同类二次根式不能加减；C．计算错误；D．先把分母有理化再计算．
【解析】解：A、合并同类二次根式应是，故选项错误，不符合题意；B、不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；C、要注意根式与根式相乘，应等于3，故选项错误，不符合题意；D、，故选项正确，符合题意；故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加减与二次根式的乘法及分母有理化逐一计算判断即可得．
【解析】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；，故B选项错误；，故C选项错误；，故D选项正确；故选：D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意依据同底数幂乘法和幂的乘方以及二次根式的加法和去绝对值逐项进行运算判断即可.
【解析】解：A. ，选项计算错误；B. ，选项计算正确；C. ，选项计算错误；D. ，选项计算错误.故选：B.
5．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（ ）
A．2B．4C．-1D．1
【答案】D
【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程求解．
【解析】解：由题意，得：
1+2a=3，
解得a=1，
故选：D．
6．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的加减法以及二次根式的乘法运算进行计算即可．
【解析】A. 与，不是同类二次根式不能合并，故A选项不正确；B. 与，不是同类二次根式不能合并，故B选项不正确；C. ,计算正确，故C选项正确。D. 与不是同类二次根式不能合并，故D选项不正确；故选C。
题组B 能力提升练
1．下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】原式各项化简，找出与不是同类项的即可．
【解析】解：A.原式，不符合题意；B. 原式，不符合题意；C. 原式，符合题意；D. 原式，不符合题意．故选：C．
2．计算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将括号内化为最简二次根式，合并，再计算除法即可．
【解析】
故选B．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质以及二次根式加法运算法则计算即可．
【解析】A．所以本选项计算错误，不符合题意；B．本选项计算正确，符合题意；C．所以本选项计算错误，不符合题意；D．和不是同类项，不能合并，所以本选项计算错误，不符合题意．
4．下列等式成立的是（ ）
A．2+2＝2B．÷＝2C．＝3D．×＝
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．
【解析】解：A、，无法进行加减运算，故此选项错误；B、，故此选项错误；C、，故此选项正确；D、，故此选项错误；故选：C．
5．若a＝﹣1，则a+的整数部分是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】把a的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算得出最简结果，再估算即可求解．
【解析】解：∵a=，
∴a+，
∵4<8<9，
∴2<<3，
∴a+的整数部分是2，
故选：C
6．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的乘法法则、幂的乘方运算法则、负整数指数幂运算法则以及二次根式的减法法则计算各选项答案，再进行选择即可得到答案．
【解析】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意；B. ，故选项B计算正确，符合题意；C. ，故选项C计算错误，不符合题意；D. ，故选项D计算错误，不符合题意；故选B。
7．已知x＝，y＝，则x2﹣y2＝___．
【答案】
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【解析】解：∵x＝，y＝，
∴x2﹣y2＝
故答案为：
8．设一个三角形的三边分别为a，b，c，p＝（a+b+c），则有下列面积公式：S＝（秦九韶公式），S＝（海伦公式）．一个三角形的三边长依次为2，3，4，任选以上一个公式请直接写出这个三角形的面积为_____．
【答案】
【分析】选取海伦公式进行计算，根据公式将三边长以及的值代入求解即可．
【解析】解：∵一个三角形的三边长依次为2，3，4，
∴p＝
S＝
；故答案为：
9．当时，代数式的值为_______．
【答案】
【分析】根据分式的除法和因式分解可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解析】解：，
，
，
当时，原式，
故答案为：．
10．已知，，则______．
【答案】
【分析】先计算出x+y，xy的值，再把变形整体代入即可求解．
【解析】解：∵，，
∴x+y=2，xy=3-1=2，
∴，
故答案为：．
题组C 培优拔尖练
1．下列各式中，运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解析】解：A、，故此选项正确；B、，故此选项错误；C、无法计算，故此选项错误；D、，故此选项错误；故选：A．
2．已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（ ）
A．相等B．互为相反数
C．互为倒数D．互为有理化因式
【答案】A
【分析】求出a与b的值即可求出答案．
【解析】解：∵a＝＝+2，b＝2+，
∴a＝b，
故选：A．
3．下列结论正确的是（ ）
A．的有理化因式可以是
B．
C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）
D．是最简二次根式
【答案】D
【分析】根据分母有理化，最简二次根式的定义，不等式的解法以及二次根式的性质即可求出答案．
【解析】解：A、有理化因式可以是，故A不符合题意．B、原式＝|1﹣|＝﹣1，故B不符合题意．C、∵（2﹣）x＞1，∴x＜，∴x＜﹣2﹣，故C不符合题意．D、是最简二次根式，故D符合题意．故选：D．
4．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质和二次根式的混合运算计算即可得出答案．
【解析】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；B、，此选项错误，不符合题意；C、，此选项正确，符合题意；D、，此选项错误，不符合题意；故选：C．
5．估计的值应在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【答案】A
【分析】根据乘法分配律先化简，然后估算即可．
【解析】解：原式==，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
6．观察下列运算：，计算的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先将分母有理化，因为分母均为2，然后分子相加，合并同类二次根式即可．
【解析】解：，
，
，
…..
，
∴，
=+++…++，
=,
=．故选择D．
7．我们知道是一个无理数，设它的整数部分为a，小数部分为b，则（+a）·b的值是_________．
【答案】1
【分析】先根据2＜＜3，确定a=2，b=-2，代入所求代数式，运用平方差公式计算即可．
【解析】∵2＜＜3，
∴a=2，b=-2，
∴（+a）·b
=（+2）（-2）
=5-4
=1，
故答案为：1．
8．已知长方形的面积为12，共中一边长为，则该长方形的另一边长为_______．
【答案】
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算．
【解析】解：由题意得：，
故答案为：．
9．李明的作业本上有六道题：① ，② ，③，④ ±2 ，⑤，⑥，请你找出他做对的题是____（填序号）.
【答案】①
【分析】由立方根的含义可判断①，由二次根式有意义的条件可判断②，由 可判断③，由算术平方根的含义可判断④，由负整数指数幂的含义可判断⑤，由同类二次根式的含义可判断⑥，从而可得答案.
【解析】解：，运算正确，故①符合题意；没有意义，不能运算，故②不符合题意；故③不符合题意；故④不符合题意；故⑤不符合题意；不是同类二次根式，故⑥不符合题意；故答案为：①。
10．观察下列二次根式化简：﹣1，，⋯从中找出规律并计算＝___．
【答案】
【分析】先将第一个括号内的各项分母有理化，此时发现，除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，由此可计算出第一个括号的值，然后再计算和第二个括号的乘积．
【解析】解：原式
，
故答案是：2021．
11．已知：y＝＋5，化简并求的值．
【答案】，-4
【分析】根据二次根式有意义的条件得到x=4，则y=5，再利用约分得到原式=，然后通分得到原式=，最后把x、y的值代入计算即可．
【解析】解：∵x-4≥0且4-x≥0，
∴x=4，
∴y=5，
=
=，
=，
=，
=-4．
12．观察下列一组等式，解答后面的问题：
(1)化简：______，______（n为正整数）
(2)比较大小：______（填“”，“”或“”）
(3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：______
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，分子分母分别乘以，，即可求解；
（2）先求出和，即可求解；
（3）根据题意，原式可变形为，即可求解．
【解析】(1)解：；
，
故答案是：，；
(2)解：∵，，
且，
∴，
∴，
∴，
故答案是：＜；
(3)解：

．
13．定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化，根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)对偶式与之间的关系为
A．互为相反数B．互为倒数C．绝对值相等D没有任何关系
(2)已知，，求的值；
(3)解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）．
【答案】(1)B
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可把对偶式与相乘，进而问题可求解；
（2）由题意易得，，然后可得，，进而代入求解即可；
（3）令，然后方程两边同乘t，则有，进而可得，最后问题可求解．
【解析】(1)解：由题意得：，
∴对偶式与互为倒数；
故选B；
(2)解：由题意得：，，
∴，，
∴；
(3)解：令，则方程两边同乘t得：，
解得：，
∴，①
∵，②
∴①+②得：，两边同时平方得：，
解得：．
经检验：x=-1是方程的解．
14．阅读下面问题：
＝＝－1；
1/＋＝1×(－)/ (＋)/ (－)＝－；
1/＋＝1×(－)/ (＋)/ (－)＝－；
试求：
(1)＝________；
(2)当n为正整数时，＝________；
(3)求＋＋＋…＋＋的值．
【答案】(1)
(2)
(3)9
【分析】（1）根据题目中的例子，可以将所求式子化简；
（2）根据题目中的例子，可以将所求式子化简；
（3）先将所求式子变形，然后计算即可．
【解析】（1）解：，
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3）
．
课程标准
课标解读
理解二次根式加、减、乘、除运算，会用它们进展有关的简单四那么运算。
1.理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；
2.会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算。