苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第22讲 二次根式的乘除（学生版+教师版）

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知识精讲
知识点 二次根式的乘除法
（一）二次根式的乘法及积的算术平方根
1.乘法法则：,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘。
【微点拨】
(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)。
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简。
2.积的算术平方根:
,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
【微点拨】
(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；
(2)与都是的算术平方根；
(3)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面。
（二）二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则：,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除。
【微点拨】
(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0；
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根:
，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
【微点拨】与都是的算术平方根。
（三）最简二次根式
（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（2）被开方数中不含有分母；
（3）分母中不含有根号。
满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式。
【微点拨】二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1) 被开方数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式。
【即学即练1】计算：
(1)；
(2)．
【即学即练2】计算：
(1)．
(2)﹣2×+|1﹣|．
能力拓展
考法01 二次根式的乘除法
【典例1】材料1：因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．比如：π，等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．
材料2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5−2得来的．
材料3：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如，是因为．
根据上述材料，回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值．
（3）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，求x+4y的倒数．
考法02 最简二次根式
【典例2】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：______，______；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、，符合．______ ______ ______ ______
（3）若，且、、、均为正整数，求的值．
分层提分
题组A 基础过关练
1．化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
3．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ）
A．3B．C．2D．4
题组B 能力提升练
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．＝4C．D．＝4
3．已知、均为有理数，且，则、的值为（ ）
A．2，-5B．5，2C．5，-2D．-2，5
4．估计的值在（ ）
A．2到3之间B．3到4之间
C．4到5之间D．5到6之间
5．请同学们猜一猜的值应在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
6．化简计算：=_________．
7．计算：=_________．
8．＝_____．
9．分母有理化_______．
题组C 培优拔尖练
1．下列各式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．当时，化简二次根式，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的方格的边长均为1，则点到边的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．等式成立的条件是（ ）
A．B．且
C．D．
6．下列等式：①；②＝2＋；③＝4，其中正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．使等式成立的条件时，则的取值范围为 ___．
8．已知：若的整数部分为a，小数部分为b，则3a﹣（b+3）2＝_____．
9．化简的结果是 ___．
10．已知m是的小数部分，求＝ ___________．
11．计算：
（1）；
（2）．
12．先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，即，，那么便有
例如：化简：
解：首先把化为，这里，
因为，
即，
所以
根据上述方法化简：（1）；
（2）
13．小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根号的代数式的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有．，．这样小明就找到了把总分的代数式化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为整数时，若，用含m、n的代数式分别表示a、b，则：______，_________；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：．
（3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值．
14．由得，；如果两个正数a，b，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当，式子的最小值为______________；当，则当__________时，式子取到最大值；
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值．
课程标准
课标解读
理解二次根式的乘、除运算
1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算。
2.了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简。