苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第21讲 二次根式（学生版+教师版）

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知识精讲
知识点 二次根式
1.二次根式：一般地，式子(a≥0)叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数。
【微点拨】二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数。
2.二次根式的性质
1.≥0，（≥0）；
2. （≥0）；
3.。
【微点拨】
1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即。
2.与要注意区别与联系：
（1）的取值范围不同，中≥0，中为任意值。
（2）≥0时，==；<0时，无意义，=。
【即学即练1】判断下列式子，哪些是二次根式？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)．
【答案】(1)是 (2)不是 (3)是 (4)不是 (5)是 (6)不是
【分析】根据二次根式的定义直接判断即可以得出答案．
【解析】(1)解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数， >0，
∴是二次根式；
(2)解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，∵-3<0；
∴不是二次根式．
(3)解：∵x2≥0，
∴x2+1>0，
又∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，
∴是二次根式．
(4)解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，的根指数是3，
∴不是二次根式．
(5)解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，，
∴是二次根式
(6)解：∵当x>2时，2-x<0，二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，
∴不是二次根式．
【即学即练2】当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】根据二次根式有意义的条件是：二次根式中的被开方数都必须是非负数，进而得出答案．
【解析】解：（1），则a+2≥0，解得：a≥-2；
（2），则3-a≥0，解得：a≤3；
（3），则5a≥0，解得：a≥0；
（4），则2a+1≥0，解得：a≥-．
能力拓展
考法 二次根式的性质
【典例】先阅读下面的解题过程，然后再解答，形如的化简，我们只要找到两个数a，b，使，，即，，那么便有：.
例如化简：
解：首先把化为，
这里，，
由于，，
所以，
所以
（1）根据上述方法化简：
（2）根据上述方法化简：
（3）根据上述方法化简：
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】根据题意把题目中的无理式转化成的形式，然后仿照题意化简即可．
【解析】解：（1）∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
（3）∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】二次根式的被开方数是非负数，算术平方根的开方结果也是非负数，当a的值不确定时要分情况讨论，即带上绝对值符号．
【解析】解：∵a的值不确定，可取任意实数，
∴，故选：C．
2．下列各式中，是二次根式有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据二次根式的概念进行分析判断．
【解析】解：①是二次根式，
②没有意义，不是二次根式，
③是三次根式，不是二次根式，
④没有意义，不是二次根式，
⑤是二次根式，
⑥是二次根式，
∴①⑤⑥是二次根式，共3个，
故选：B．
3．要使二次根式有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x≥1C．x≤1D．x≥－1
【答案】B
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式，得到答案．
【解析】解：由题意得：x-1≥0，
解得：x≥1，
故选：B．
4．中的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据使二次根式有意义的条件，即得出关于x的不等式，解出不等式即可．
【解析】解：有意义，则，
解得：．
故选：C．
5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得出b＜0＜1＜a，进而化简求出即可．
【解析】解：由数轴可得：
b＜0＜1＜a，
则原式=a-b．
故选：D．
6．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据绝对值的意义和二次根式的性质化简求解即可．
【解析】解：
故选：A．
7．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出的取值范围，即可得出答案，
【解析】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故选：B．
题组B 能力提升练
1．已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由于二次根式的被开方数是非负数，那么﹣a3b≥0，得出a3b≤0，，而a＜b，易确定ab的取值范围，也就易求二次根式的值．
【解析】解：∵有意义，
∴﹣a3b≥0，
∴a3b≤0，
又∵a＜b，
∴a＜0，b≥0，
∴，
故选：A．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题涉及幂的乘方、0次幂的运算、二次根式化简和幂的除法，针对每个考点分别计算即可．
【解析】解：A、错误，；B、错误，0次幂的运算，，则；C、算术平方根的运算，正确；D、错误，同底数幂的除法，．故选：C．
3．函数中，自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数要大于等于0求解即可．
【解析】解：∵函数有意义，
∴，
∴，
∴函数自变量的取值范围为，
故选A．
4．若代数式有意义的m的取值范围为（ ）
A．m≥2B．m≤2C．m＜2D．m＞2
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不等于0即可得．
【解析】解：由题意得：，
解得，
故选：D．
5．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（ ）
A．2aB．2bC．﹣2bD．﹣2a
【答案】B
【分析】根据数轴判断b−a、b、a与0的大小关系，然后根据二次根式以及绝对值的性质即可求出答案．
【解析】解：由数轴可知：a＜−b＜0＜b＜−a，
∴b−a＞0，
∴原式＝b＋b−a＋a
＝2b，
故选：B．
6．给出下列结论：①在和之间；②中的取值范围是；③的平方根是；④；⑤．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据估算出的大小、二次根式有意义的条件、算术平方根、立方根、无理数比较大小方法，即可解答．
【解析】解：①，
，
故①错误；
②因为二次根式中的取值范围是，故②正确；
③，9的平方根是，故③错误；
④，故④错误；
⑤∵，，
∴，即，故⑤错误；
综上所述：正确的有②，共1个，
故选：A．
7．化简的结果为_________．
【答案】
【分析】直接根据二次根式的性质化简即可．
【解析】解：，
故答案为：．
8．已知：，则______．
【答案】
【分析】先根据二次根式有意义的条件，列出关于 的不等式组，解方程组求出的值，进而得出 的值，代入所求代数式进行计算即可．
【解析】有意义
解得
把代入得，
．
故答案为：．
9．若a、b是实数，且|a|＝+4，则a+b=_____．
【答案】-3或5
【分析】根据二次根式有意义的条件和绝对值的概念求得a和b的值，从而代入求值．
【解析】解：由题意可得b-10，2-2b0，
解得：b=1，
∴|a|=++4=4，
解得：a=±4，
当a=4，b=1时，原式=4+1=5，
当a=-4，b=1时，原式=-4+1=-3，
综上，a+b的值为-3或5．
故答案为：-3或5．
10．若实数，满足，则的值是______．
【答案】3
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x-5≥0且5-x≥0，求出x=5，再求出y，最后代入求出即可．
【解析】解：要使有意义，必须x-5≥0且5-x≥0，
解得：x=5，
把x=5代入得：y=4，
所以，
故答案为：3．
题组C 培优拔尖练
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简各二次根式即可判断得出结论．
【解析】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意；B. ，故选项B计算错误，不符合题意；C. ，故选项C计算错误，不符合题意；D. ，故选项D计算正确，符合题意；故选：D。
2．化简：＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据二次根式有意义的条件判断，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【解析】解：＝＝，
故选：C．
3．已知，化简二次根式的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件确定a、b的取值范围，再进行化简即可．
【解析】解：∵有意义，
∴a、b异号，
∵a＜b，
∴a＜0，b＞0，
∴，
故选：A．
4．已知a满足，则（ ）
A．0B．1C．2021D．2020
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件得到a的取值范围，根据a的取值范围去绝对值，化简即可得出答案．
【解析】解：由题意知：，解得：，
∴ ＜0，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 2021，
故选：C
5．下列哪一个选项中的等式不成立？（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式化简的方法计算，即可．
【解析】A．，正确，不符合题意；B．，故此选项错误，符合题意；C．，正确，不符合题意；D．，正确，不符合题意．故答案选：B．
6．对于这样的根式，我们可以利用“配方法”进行化简：．运用同样的方法化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】可以化为，可以化为，可以化为，开方即可求解．
【解析】解：
=
=
=
=
=
=
=
=．
故选B．
7．△ABC的三边分别为2、x、5，化简的结果为_______．
【答案】
【分析】首先根据三角形的三边的关系求得x的范围，然后根据二次根式的性质进行化简．
【解析】解：∵2、x、5是三角形的三边，
∴3＜x＜7，
∴x-3＞0，x-7＜0，
∴原式=x-3+（7-x）=4．
故答案是：4．
8．若与互为相反数，则______．
【答案】－8
【分析】根据相反数的定义得+=0，从而由，，可得， ，解出m、n的值，代入所求式子就可以求解．
【解析】解：因为，
所以m=2，n=3，所以．
故答案为：－8．
9．当等式成立时，＝___．
【答案】
【分析】由等式成立，得到再化简二次根式即可.
【解析】解： 等式成立，

由①得：，
由②得：，
所以
，


所以原式
故答案为：
10．已知﹣1＜a＜0，化简的结果为___．
【答案】
【分析】根据题意得到，，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即可.
【解析】解：原式
∵，
∴，
∴， ，
∴，，
原式
故答案为：．
课程标准
课标解读
理解二次根式、最简二次根式的概念
1.理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由。
2.理解并掌握下列结论： ≥0，（≥0），（≥0），（≥0），并利用它们进行计算和化简。