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    苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第08讲 图形的旋转(学生版+教师版)
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    苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第08讲 图形的旋转(学生版+教师版)

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    这是一份苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第08讲 图形的旋转(学生版+教师版),文件包含苏科版八年级数学下册同步精品讲义第08讲图形的旋转教师版docx、苏科版八年级数学下册同步精品讲义第08讲图形的旋转学生版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共70页, 欢迎下载使用。

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    知识精讲
    知识点01 旋转的概念与性质
    1.旋转的概念
    将一个图形绕一个定点转动一定的角度,这样的图形运动称为图形的旋转.定点称为旋转中心,旋转的角度称为旋转角。
    旋转的三要素:旋转中心、旋转方向和旋转角度;图形的旋转不改变图形的形状、大小。
    2.旋转的性质
    一个图形和它经过旋转所得到的图形中:
    (1)对应点到旋转中心的距离相等;
    (2)两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
    图形绕某一点旋转,既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转。
    【即学即练1】如图,在△ABC中,,,,将△ABC绕点B顺时针旋转得到,使点C恰好落在上,则的长度为( )
    A.1B.2C.3D.4
    【答案】A
    【分析】根据旋转可得AB=A′B=5,根据勾股定理求得BC,再由A′C=A′B−BC即可得解.
    【解析】解:根据旋转可知:AB=A′B=5,
    ∵,,,
    根据勾股定理,得BC===4,
    ∴A′C=A′B−BC=5-4=1.
    故选:A.
    【即学即练2】小明把一副三角板按如图所示叠放在一起,固定三角板ABC,将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转(旋转角度不超过180°).若两块三角板有一边平行,则三角板DEF旋转的度数可能是( )
    A.15°或45°B.15°或45°或90°
    C.45°或90°或135°D.15°或45°或90°或135°
    【答案】D
    【分析】分四种情况讨论,由平行线的性质和旋转的性质可求解.
    【解析】解:设旋转的度数为α,
    若DE∥AB,则∠E=∠ABE=90°,
    ∴α=90°-30°-45°=15°,
    若BE∥AC,则∠ABE=180°-∠A=120°,
    ∴α=120°-30°-45°=45°,
    若BD∥AC,则∠ACB=∠CBD=90°,
    ∴α=90°,
    当点C,点B,点E共线时,
    ∵∠ACB=∠DEB=90°,
    ∴AC∥DE,
    ∴α=180°-45°=135°,
    综上三角板DEF旋转的度数可能是15°或45°或90°或135°.
    故选:D
    知识点02 旋转的作图
    在画旋转图形时,首先确定旋转中心,其次确定图形的关键点,再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度,然后连接对应的部分,形成相应的图形。
    作图的步骤:
    (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心;
    (2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角);
    (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点;
    (4)连接所得到的各对应点。
    【即学即练3】在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系,四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(3,4),B(8,4),C(5,0).仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图,并回答问题:
    (1)将线段CB绕点C逆时针旋转90°,画出对应线段CD,并写出点D的坐标;
    (2)在线段AB上画点E,使∠BCE=45°(保留画图过程的痕迹).
    【答案】(1)图见解析,点D坐标为(1,3)(2)见解析
    【分析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出B点的对称点D即可;
    (2)作出CD=BC,以BD为对角线作矩形MBND,连接MN交BD于G,延长CG交AB于E,则点E即为所求;
    【解析】(1)解:如图,CD即为所求线段,点D坐标为(1,3);
    (2)解:如图,点E即为所求作的点.
    能力拓展
    考法01 旋转的性质
    【典例1】已知△ABC为等腰直角三角形,,,
    (1)如图1,若以为边在点C同侧作等边三角形,判断所在直线与线段的关系,并说明理由.
    (2)如图2,将△ABC绕若点B旋转60°得,若,求的长.
    【答案】(1),理由见解析
    (2)
    【分析】(1)延长DC交AB于点E,根据SSS证明,由全等三角形的性质得,由等边三角形“三线合一”即可证明;
    (2)延长交于点M,连接,由勾股定理求出,根据旋转的性质得,,,,故可得是等边三角形,故,根据SSS证明,由全等三角形的性质得,根据等边三角形“三线合一”得,,由勾股定理求出,,由即可得出答案.
    【解析】(1),理由如下:
    如图,延长DC交AB于点E,
    ∵是等边三角形,
    ∴,
    在与中,

    ∴,
    ∴,
    ∴;
    (2)
    延长交于点M,连接,
    在中,,
    ∵△ABC绕若点B旋转得,
    ∴,,,,
    ∴是等边三角形,
    ∴,
    在与中,

    ∴,
    ∴,
    ∴,,
    ∴,,
    ∴.
    考法02 旋转作图
    【典例2】如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,的顶点都在网格线的交点上,点B坐标为,点C的坐标为.
    (1)根据上述条件,在网格中画出平面直角坐标系;
    (2)画出关于x轴对称图形;
    (3)点A绕点B顺时针旋转90°,点A对应点的坐标为______.
    【答案】(1)见解析(2)见解析(3)(2,2)
    【分析】(1)根据点B坐标为,点C的坐标为确定原点,再画出坐标系即可;
    (2)画出三角形顶点的对称点,再顺次连接即可;
    (3)画出旋转后点的位置,写出坐标即可.
    【解析】(1)解:坐标系如图所示,
    (2)解:如图所示,就是所求作三角形;
    (3)解:如图所示,点A绕点B顺时针旋转90°的对应点为,坐标为(2,2);
    故答案为:(2,2)
    分层提分
    题组A 基础过关练
    1.下列事件中,属于旋转运动的是( )
    A.小明向北走了4米B.小明在荡秋千
    C.电梯从1楼到12楼D.一物体从高空坠下
    【答案】B
    【分析】根据旋转的定义,即可求解.
    【解析】解:A、小明向北走了4米是平移,A不符合题意;B、小明在荡秋千是旋转,B符合题意;C、电梯从1楼到12楼是平移,C不符合题意;D、一物体从高空坠下是平移,D不符合题意;故选:B.
    2.如图,把绕着点顺时针方向旋转,得到△,点刚好落在边上.则
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】根据旋转的性质可以得到,,即可求解.
    【解析】解:由题意可得:,
    ∵把绕着点顺时针方向旋转,得到△,点刚好落在边上,
    ∴,
    ∴.
    故选:D.
    3.如图.将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C,连接AA',若AC⊥A'B',则∠AA'B'的度数为( )
    A.20°B.40°C.50°D.60°
    【答案】A
    【分析】在直角△A'CD中,求出∠DA'C的度数,然后在等腰△ACA'中利用等边对等角求得∠AA'C的度数,即可求解.
    【解析】解:若AC⊥A'B',垂足为D,
    ∵AC⊥A'B',
    ∴直角△A'CD中,∠DA'C=90°﹣∠DCA'=90°﹣40°=50°.
    ∵CA=CA',
    ∴∠CAA'=∠CA'A(180°﹣∠ACA′)(180°﹣40°)=70°,
    ∴∠AA'B'=70°﹣50°=20°.
    故选:A.
    4.如图,在方格纸上建立的平面直角坐标系中,将绕点按顺时针方向旋转90°,得到,则点的坐标为( ).
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【分析】根据网格结构作出旋转后的图形,然后根据平面直角坐标系写出点B′的坐标即可.
    【解析】△A′B′O如图所示,点B′(2,1).
    故选A.
    5.如图,在△ABC中,∠B=50°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到.若点B′恰好落在BC边上,则 的度数为( )
    A.50°B.60°C.80°D.100°
    【答案】C
    【分析】根据旋转的性质得到,,由等腰三角形的性质得到 ,然后根据平角的定义即可得到结论.
    【解析】解:∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到,
    ∴,,
    ∴,
    ∵∠B=50°,
    ∴,
    ∴,
    故选:C.
    6.如图所示的五个四边形全等,不能由四边形经过平移或旋转得到的是( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】根据平移或者旋转的性质逐一分析即可.
    【解析】A.经过平移和轴对称可得,符合题意;B.经过旋转可得,不符合题意;C.经过平移可得,不符合题意;D.经过旋转可得,不符合题意;故选A.
    7.如图,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转,得到,若点在线段的延长线上,则的度数为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】由旋转的性质可知,由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得,从而可求得.
    【解析】由旋转的性质可知: .
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    故选:C.
    8.在下面的网格图中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点都是网格线的交点,已知B,C两点的坐标分别为(﹣1,﹣1),(1,﹣2),将△ABC绕点C顺时针旋转90°,则点A的对应点的坐标为( )
    A.(4,1)B.(4,﹣1)C.(5,1)D.(5,﹣1)
    【答案】D
    【分析】先利用B,C两点的坐标画出直角坐标系得到A点坐标,再画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后点A的对应点的A′,然后写出点A′的坐标即可.
    【解析】解:如图,A点坐标为(0,2),将△ABC绕点C顺时针旋转90°,则点A的对应点的A′的坐标为(5,﹣1).
    故选D.
    9.如图,在△ABC中,∠CAB=45°,若∠CAB'=25°,则旋转角的度数为 _____.
    【答案】20°
    【分析】根据题干所给角度即可直接求出的大小,即旋转角的大小.
    【解析】解:∵,
    ∴旋转角的度数为,
    故答案为:20°.
    10.如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的坐标为,连接,若将△ABO绕点顺时针旋转,得到,则点的坐标为__________.
    【答案】
    【分析】根据旋转的性质可求得和的长度,进而可求得点的坐标.
    【解析】解:作轴于点,
    由旋转可得,轴,
    ∴四边形为矩形,
    ∴,,
    ∴点坐标为.
    故答案为:.
    11.在平面直角坐标系中,点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是______.
    【答案】(-1,-3)
    【分析】根据题意画出图形解决问题即可.
    【解析】解:如图,A′(-1,-3).
    故答案为(-1,-3).
    12.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=7.点O在BC上,且CO=1,点M是AC上一动点,连接OM,将线段OM绕点O逆时针旋转90°,得到线段OD,要使点D恰好落在AB上,CM的长度为__________.
    【答案】5
    【分析】如图,作辅助线;首先证明,得到,;其次证明,求出,即可解决问题.
    【解析】解:如图,过点作于点;



    由题意得:;
    在与中,


    ,;
    为等腰直角三角形,
    ,,
    ,,

    故答案为5.
    题组B 能力提升练
    1.如图,在△ABC中,,,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转后得到△DEC,设CD交AB于点F,连接AD,若,则旋转角的度数为( )
    A.50°B.40°C.30°D.20°
    【答案】B
    【分析】由旋转性质可得,,,,,,解得;,进而得到结果.
    【解析】解:如图
    由旋转性质可得


    又∵

    又∵





    故选B.
    2.2022年2月4日-2月20日,北京冬奥会将隆重举行,如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片.旋转图片中的“雪花图案”,旋转后要与原图形重合,至少需要旋转( ).
    A.180°B.120°C.90°D.60°
    【答案】D
    【分析】“雪花图案”可以看成正六边形,根据正六边形的中心角为60°,即可解决问题.
    【解析】解:“雪花图案”可以看成正六边形,
    ∵正六边形的中心角为60°,
    ∴这个图案至少旋转60°能与原雪花图案重合.
    故选:D.
    3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到点D落在AB边上,此时得到△EDC,斜边DE交AC边于点F,则图中阴影部分的面积为( )
    A.3B.1C.D.
    【答案】D
    【分析】根据题意及旋转的性质可得是等边三角形,则,,根据含30度角的直角三角形的性质,即可求得,由勾股定理即可求得,进而求得阴影部分的面积.
    【解析】解:如图,设与相交于点,
    ,,

    旋转,

    是等边三角形,
    ,,





    阴影部分的面积为
    故选D
    4.如图,在△ABC中,∠CAB=66°.在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置,使得CC'∥AB,则∠BAB'的度数为( )
    A.70°B.50°C.40°D.48°
    【答案】D
    【分析】根据两直线平行,内错角相等可得∠ACC′=∠CAB,根据旋转的性质可得AC=AC′,然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′,再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答.
    【解析】解:∵CC′∥AB,
    ∴∠ACC′=∠CAB=66°,
    ∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′,
    ∴AC=AC′,
    ∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×66°=48°,
    ∴∠CAC′=∠BAB′=48°.
    故选:D.
    5.如图,将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC,边ED,AC相交于点F,若∠A=30°,则∠EFC的度数为( )
    A.15°B.65°C.115°D.75°
    【答案】B
    【分析】先根据旋转的性质可得,再根据三角形的外角性质即可得.
    【解析】解:将△ABC绕点顺时针旋转得到,且,


    故选:B.
    6.如图,在等边三角形ABC中,在AC边上取两点M、N,使∠MBN=30°.若AM=m,MN=x,CN=n,则以x,m,n为边长的三角形的形状为( )
    A.锐角三角形B.直角三角形
    C.钝角三角形D.随x,m,n的值而定
    【答案】C
    【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH,连接HN,根据等边三角形的性质及各角之间的等量关系可得:,然后依据全等三角形的判定定理可得,依据全等三角形的性质可将x,m,n放在△NCH中,即可确定三角形的形状.
    【解析】解:如图所示:将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH,连接HN.
    ∵△ABC是等边三角形,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵,,
    在△NBM与△NBH中,

    ∴,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,
    ∴以x,m,n为边长的三角形△NCH是钝角三角形,
    故选:C.
    7.如图,P是正方形ABCD内一点,将绕点B顺时针方向旋转,能与重合,若,则______.
    【答案】
    【分析】根据旋转角相等可得,进而勾股定理求解即可
    【解析】解:四边形是正方形
    将绕点B顺时针方向旋转,能与重合,

    故答案为:
    8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=10.如果将△ABC绕点C按逆时针旋转到△A′B′C的位置,并且点B恰好落在边A′B′上,则BB′的长为________.
    【答案】5
    【分析】先根据含30度的直角三角形三边的关系得BC=AB=5,在根据旋转的性质得CB′=CB,∠CB′A′=∠CBA=60°,则可判断△B′BC为等边三角形,然后根据等边三角形的性质求解.
    【解析】解:∵∠ACB=90°,∠A=30°,AB=10,
    ∴BC=AB=5,∠ABC=60°,
    ∵三角板ABC绕点C逆时针旋转,点B恰好落在边A′B′上,
    ∴CB′=CB,∠CB′A′=∠CBA=60°,
    ∴△B′BC为等边三角形,
    ∴BB′=BC=5.
    故答案为:5.
    9.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,将△ABC绕C点按逆时针方向旋转角(0°<<90°)得到△DEC,设CD交AB于F,连接AD,当旋转角度数为__,△ADF是等腰三角形.
    【答案】40°或20°
    【分析】根据旋转的性质可得AC=CD,根据等腰三角形的两底角相等求出∠ADF=∠DAC,再表示出∠DAF,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠AFD,然后分①∠ADF=∠DAF,②∠ADF=∠AFD,③∠DAF=∠AFD三种情况讨论求解.
    【解析】解:∵△ABC绕C点逆时针方向旋转得到△DEC,
    ∴AC=CD,
    ∴∠ADF=∠DAC=(180°-α),
    ∴∠DAF=∠ADC-∠BAC=(180°-α)-30°,
    根据三角形的外角性质,∠AFD=∠BAC+∠DAC=30°+α,
    △ADF是等腰三角形,分三种情况讨论,
    ①∠ADF=∠DAF时,(180°-α)=(180°-α)-30°,无解;
    ②∠ADF=∠AFD时,(180°-α)=30°+α,
    解得α=40°,
    ③∠DAF=∠AFD时,(180°-α)-30°=30°+α,
    解得α=20°,
    综上所述,旋转角α度数为20°或40°.
    故答案为:20°或40°.
    10.如图,在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,1),线段AC是线段AB绕点A顺时针旋转90°而得,则直线AC的关系式是______.
    【答案】y=2x-4
    【分析】过点C作CD⊥x轴于点D,易知△ACD≌△BAO(AAS),从而求得点C坐标,设直线AC的解析式为y=kx+b,将点A,点C坐标代入求得k和b,从而得解.
    【解析】解:∵A(2,0),B(0,1),
    ∴OA=2,OB=1,
    过点C作CD⊥x轴于点D,
    则∠AOB=∠CDA=90°,
    ∵∠BAC=90°,
    ∴∠BAO=∠ACD=90°-∠CAD,
    ∵BA=AC,
    ∴△ACD≌△BAO(AAS),
    ∴AD=OB=1,CD=OA=2,
    ∴C(3,2),
    设直线AC的解析式为y=kx+b,将点A,点C坐标代入得:

    解得:,
    ∴直线AC的解析式为y=2x-4,
    故答案为:y=2x-4.
    11.如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点).画出△ABC绕点O逆时针旋转后的.
    【答案】见解析
    【分析】将△ABC的顶点绕点逆时针旋转得到,顺次连接即可
    【解析】解:如图,将△ABC的顶点绕点逆时针旋转得到,顺次连接即可
    12.如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(﹣3,5),C(﹣4,1).
    (1)把△ABC向右平移3个单位得△A1B1C1,请画出△A1B1C1并写出点A1的坐标;
    (2)把△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2.
    【答案】(1)图见解析;A1(3,3);(2)见解析
    【分析】(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案;
    (2)直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案.
    【解析】解:(1)如图所示:△A1B1C1,即为所求,点A1的坐标为:(3,3);
    (2)如图所示:△A2B2C2,即为所求.
    13.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点B的坐标为.
    ①画出△ABC关于x轴对称的,
    ②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的,
    ③与成轴对称图形吗?若成轴对称图形,画出所有的对称轴;
    ④与成中心对称图形吗?若成中心对称图形,写出对称中心的坐标.
    【答案】①见解析;②见解析;③成,图见解析;④成,
    【分析】①将三角形的各顶点,向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点,顺次连接得;
    ②将三角形的各顶点,绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点.顺次连接各对应点得;
    ③从图中可发现成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,做它的垂直平分线.
    ④成中心对称图形,画出两条对应点的连线,交点就是对称中心.
    【解析】①②如图所示:
    ③成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,作它的重直平分线,或连接,的中点的连线为对称轴.
    ④成中心对称,对称中心为线段的中点,坐标是.
    14.已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,点D是平面内任意一点,CD绕着点C逆时针旋转90°到CE.
    (1)如图①,若D为△ABC内一点,求证:AD=BE;
    (2)如图②,若D为AB边上一点,AD=2,BD=7,求DE的长.
    【答案】(1)见解析;(2)DE=
    【分析】(1)根据旋转的性质可得到△CDE为等腰直角三角形,从而结合△ABC是等腰直角三角形,利用“SAS”证明△ACD≌△BCE即可得出结论;
    (2)先结合(1)的结论推出∠ABE=90°,然后在Rt△BDE中,由勾股定理得:BD2+BE2=DE2求解即可.
    【解析】(1)∵△ABC是等腰直角三角形,
    ∴∠ACB=90°,AC=BC.
    ∵CD绕着点C逆时针旋转90°到CE,
    ∴∠DCE=90°,CD=CE.
    ∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,
    即∠ACD=∠BCE.
    ∵在△ACD和△BCE中,AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
    ∴△ACD≌△BCE(SAS).
    ∴AD=BE.
    (2)解:∵△ABC是等腰直角三角形,
    ∴∠A=∠ABC=45°.
    ∵△ACD≌△BCE,
    ∴∠CBE=∠A=45°,AD=BE.
    ∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°.
    ∴在Rt△BDE中,由勾股定理得:BD2+BE2=DE2 .
    ∴DE2=BD2+BE2=BD2+AD2=72+22=53.
    ∴DE=.
    题组C 培优拔尖练
    1.如图,边长为5的等边三角形中,M是高所在直线上的一个动点,连接,将线段绕点B逆时针旋转得到,连接.则在点M运动过程中,线段长度的最小值是( )
    A.B.1C.2D.
    【答案】A
    【分析】取CB的中点G,连接MG,根据等边三角形的性质可得BH=BG,再求出∠HBN=∠MBG,根据旋转的性质可得MB=NB,然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH,再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG,然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短,再根据∠BCH=30°求解即可.
    【解析】解:如图,取BC的中点G,连接MG,
    ∵旋转角为60°,
    ∴∠MBH+∠HBN=60°,
    又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°,
    ∴∠HBN=∠GBM,
    ∵CH是等边△ABC的对称轴,
    ∴HB=AB,
    ∴HB=BG,
    又∵MB旋转到BN,
    ∴BM=BN,
    在△MBG和△NBH中,

    ∴△MBG≌△NBH(SAS),
    ∴MG=NH,
    根据垂线段最短,MG⊥CH时,MG最短,即HN最短,
    此时∵∠BCH=×60°=30°,CG=AB=×5=2.5,
    ∴MG=CG=,
    ∴HN=,
    故选A.
    2.如图,O是正△ABC内一点,,,.将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段,下列结论错误的是( )
    A.点O与的距离为4B.
    C.S四边形AOBO′D.
    【答案】D
    【分析】证明,得是等边三角形,根据勾股定理逆定理可得是直角三角形,进而可判断.
    【解析】解:如图1,连接OO′,

    由题意可知,∠1+∠2=∠3+∠2=60°,
    ∴∠1=∠3,
    又∵OB=O′B,AB=BC,
    ∴,
    又∵∠OBO′=60°,
    ∴△OBO′是等边三角形,
    ∴OO′=OB=4.
    故A正确;
    ∵△BO′A≌△BOC,
    ∴O′A=5.
    在△AOO′中,三边长为3,4,5,这是一组勾股数,
    ∴△AOO′是直角三角形,∠AOO′=90°,
    ∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°,
    故B正确;
    S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′═×3×4+×42=6+4,
    故C正确;
    如图2
    将绕点顺时针旋转60°到位置,
    同理可得,
    故D错误;
    故选D.
    3.有两块相同的直角三角板如图(1)放置(点A、B、D在同一直线上),其中,.现将△ABC绕直角顶点A顺时针旋转得到△AFG,交于点H(如图2),设旋转角为,当△ADH为等腰三角形时,旋转角的度数为( )
    A.B.或C.或D.
    【答案】C
    【分析】根据旋转的性质得到,当时,得到,可得,当时,得到;
    【解析】∵,,
    ∴,
    ∵△ABC绕直角顶点A顺时针旋转得到,
    ∴,
    当时,则,
    ∴,即;
    当时,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,即;
    综上所述:旋转角的度数为或.
    故选C.
    4.如图,中,D、E为BC边上两点,且,将△ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到,连接EF.下列4个结论:①≌;②≌;③≌;④.正确的有( )个.
    A.1B.2C.3D.4
    【答案】C
    【分析】根据旋转变换的性质判断①;根据全等三角形的判定定理判断②;根据SAS定理判断③;根据全等三角形的性质即可判断④.
    【解析】解:∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB,
    ∴△ADC≌△AFB,故①正确;
    ∵EA与DA不一定相等,
    ∴△ABE与△ACD不一定全等,②错误;
    ∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB,
    ∴∠FAD=90°,
    ∵∠DAE=45°,
    ∴∠FAE=∠DAE=45°,
    在△AED和△AEF中,

    ∴△AED≌△AEF(SAS),③正确;
    ∴DE=FE,
    ∵△ADC≌△AFB,
    ∴BF=CD,
    ∴BC-BF==BC-CD=BD=BE+CD=BE+EF,故④正确;
    故选C.
    5.如图,将△ABC绕点按逆时针方向旋转80°,得到△ADE,连接,若,的度数为( )
    A.20°B.30°C.25°D.35°
    【答案】B
    【分析】由旋转的性质可知,,即可求出.再由平行线的性质可知,最后由,即可求出的大小.
    【解析】∵△ADE是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到,
    ∴,,
    ∴.
    ∵ ,
    ∴,
    ∴.
    故选:B.
    6.在如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC的顶点都在格点上.若是由△ABC绕点P按逆时针方向旋转得到,且各顶点仍在格点上,则旋转中心P的坐标是( )
    A.(0,0)B.(0,﹣1)C.(1,﹣1)D.(1,﹣2)
    【答案】D
    【分析】根据两组对应点所连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心,可得结论.
    【解析】解:观察图象可知,旋转中心P的坐标为(1,-2).
    故选D.
    7.如图,在Rt△ABC中,AC=BC=1,D是斜边AB上一点(与点A,B不重合),将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE,连结DE交AC于点F,若△AFD是等腰三角形,则AF的长为 _____.
    【答案】或
    【分析】Rt△ABC中,AC=BC=1,所以∠CAB=∠B=45°,∠ECD=90°,∠CDE=∠CED=45°,分两种情况讨论①AF=FD时,AF=AC=×1=;②AF=AD时,AF=.
    【解析】解:∵Rt△ABC中,AC=BC=1,
    ∴∠CAB=∠B=45°,
    ∵△BCD绕着点C旋转90°到△ACE,
    ∴∠ECD=90°,∠CDE=∠CED=45°,
    ①AF=FD时,
    ∠FDA=∠FAD=45°,
    ∴∠AFD=90°,
    ∠CDA=45°+45°=90°=∠ECD=∠DAE,
    ∵EC=CD,
    ∴四边形ADCE是正方形,
    ∴AD=DC,
    ∴AF=AC=×1=;
    ②AF=AD时,
    ∠ADF=∠AFD=67.5°,
    ∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=180°-67.5°-45°=67.5°,
    ∴∠DCB=180°-67.5°-45°=67.5°,
    ∴∠DCB=∠CDB,
    ∴BD=CB=1,
    ∴AD=AB-BD=,
    ∴AF=AD=,
    故答案为:或.
    8.如图,正比例函数 y=kx(k≠0)的图像经过点 A(2,4),AB⊥x 轴于点 B,将△ABO 绕点 A逆时针旋转 90°得到△ADC,则直线 AC 的函数表达式为_____.
    【答案】y=-0.5x+5
    【分析】直接把点A(2,4)代入正比例函数y=kx,求出k的值即可;由A(2,4),AB⊥x轴于点B,可得出OB,AB的长,再由△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC,由旋转不变性的性质可知DC=OB,AD=AB,故可得出C点坐标,再把C点和A点坐标代入y=ax+b,解出解析式即可.
    【解析】解:∵正比例函数y=kx(k≠0)经过点A(2,4)
    ∴4=2k,
    解得:k=2,
    ∴y=2x;
    ∵A(2,4),AB⊥x轴于点B,
    ∴OB=2,AB=4,
    ∵△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC,
    ∴DC=OB=2,AD=AB=4
    ∴C(6,2)
    设直线AC的解析式为y=ax+b,
    把(2,4)(6,2)代入解析式可得:,
    解得:,
    所以解析式为:y=-0.5x+5
    9.若一次函数y=kx+8(k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,当k的取值变化时,点A随之在x轴上运动,将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BQ,连接OQ,则OQ长的最小值是 ___.
    【答案】8
    【分析】根据一次函数解析式可得:,,过点B作轴,过点A作,过点Q作,由旋转的性质可得,,依据全等三角形的判定定理及性质可得:≅,,,即可确定点Q的坐标,然后利用勾股定理得出OQ的长度,最后考虑在什么情况下取得最小值即可.
    【解析】解:函数得:,,过点B作轴,过点A作,过点Q作,连接OQ,如图所示:
    将线段BA绕点B逆时针旋转得到线段BQ,
    ∴,,

    ∴,
    在与中,

    ∴≅,
    ∴,,
    点Q的坐标为,

    当或时,取得最小值为8,
    故答案为:8.
    10.如图,在△AOB中,OA=AB,顶点A的坐标(3,4),底边OB在轴上.将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B,点A的对应点A′在轴上,则点O′的横坐标为_________.
    【答案】
    【分析】分别过点,作轴,轴,根据等面积法求得,再根据勾股定理求得即可求解.
    【解析】解:分别过点,作轴,轴,如下图:
    则,,,
    ∵,
    ∴点为的中点,则,,
    由勾股定理得:,
    ∴,
    由可得:,即,
    解得,
    由勾股定理得:,
    ∴,
    故答案为:.
    11.已知:Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,将△ABC绕点B按顺时针方向旋转.
    (1)当C转到AB边上点C′位置时,A转到A′,(如图1所示)直线CC′和AA′相交于点D,试判断线段AD和线段A′D之间的数量关系,并证明你的结论.
    (2)将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
    (3)将Rt△ABC旅转至A、C′、A′三点在一条直线上时,请直接写出此时旋转角α的度数.
    【答案】(1),证明见解析(2)成立,证明见解析(3)
    【分析】(1)设,先根据直角三角形的性质可得,再根据旋转的性质可得,然后根据等边三角形的判定与性质可得,,都是等边三角形,从而可得,由此即可得出结论;
    (2)在上截取,连接,先根据旋转的性质可得,从而可得,再根据三角形全等的判定定理证出,根据全等三角形的性质可得,,然后根据三角形的外角性质可得,最后根据等腰三角形的判定可得,由此即可得出结论;
    (3)如图(见解析),先根据旋转的性质可得,再根据直角三角形全等的判定定理证出,然后根据全等三角形的性质可得,最后根据旋转角即可得.
    【解析】(1)解:,证明如下:
    设,
    在中,,

    由旋转的性质得:,
    ,和都是等边三角形,


    是等边三角形,


    (2)解:成立,证明如下:
    如图,在上截取,连接,
    由旋转的性质得:,


    在和中,,





    (3)解:如图,当点三点在一条直线上时,
    由旋转的性质得:,

    在和中,,


    则旋转角.
    12.如图,在等边△ABC中,D为BC边上一点,连接AD,将沿AD翻折得到,连接BE并延长交AD的延长线于点F,连接CF.
    (1)若,求的度数;
    (2)若,求的大小;
    (3)猜想CF,BF,AF之间的数量关系,并证明.
    【答案】(1)20°;(2);(3)AF= CF+BF,理由见解析
    【分析】(1)由△ABC是等边三角形,得到AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,由折叠的性质可知,∠EAD=∠CAD=20°,AC=AE,则∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°,AB=AE,,∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°;
    (2)同(1)求解即可;
    (3)如图所示,将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG,先证明△AEF≌△ACF得到∠AFE=∠AFC,然后证明∠AFE=∠AFC=60°,得到∠BFC=120°,即可证明F、C、G三点共线,得到△AFG是等边三角形,则AF=GF=CF+CG=CF+BF.
    【解析】解:(1)∵△ABC是等边三角形,
    ∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,
    由折叠的性质可知,∠EAD=∠CAD=20°,AC=AE,
    ∴∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°,AB=AE,
    ∴,
    ∴∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°;
    (2)∵△ABC是等边三角形,
    ∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,
    由折叠的性质可知,,AC=AE,
    ∴ ,AB=AE,
    ∴,
    ∴;
    (3)AF= CF+BF,理由如下:
    如图所示,将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG,
    ∴AF=AG,∠FAG=60°,∠ACG=∠ABF,BF=CG
    在△AEF和△ACF中,

    ∴△AEF≌△ACF(SAS),
    ∴∠AFE=∠AFC,
    ∵∠CBF+∠BCF+∠BFD+∠CFD=180°,∠CAF+∠CFA+∠ACD+∠CFD=180°,
    ∴∠BFD=∠ACD=60°,
    ∴∠AFE=∠AFC=60°,
    ∴∠BFC=120°,
    ∴∠BAC+∠BFC=180°,
    ∴∠ABF+∠ACF=180°,
    ∴∠ACG+∠ACF=180°,
    ∴F、C、G三点共线,
    ∴△AFG是等边三角形,
    ∴AF=GF=CF+CG=CF+BF.
    13.如图,已知△ABC是等边三角形,在△ABC外有一点D,连接AD,BD,CD,将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE,AD与BE交于点F,∠BFD=97°.
    (1)求∠ADC的大小;
    (2)若∠BDC=7°,BD=2,BE=4,求AD的长.
    【答案】(1)23°;(2).
    【分析】(1)由旋转的性质可得AB=AC,∠ADC=∠E,∠CAB=∠DAE=60°,由三角形的内角和定理可求解;
    (2)连接DE,可证△AED是等边三角形,可得∠ADE=60°,AD=DE,由旋转的性质可得△ACD≌△ABE,可得CD=BE=4,由勾股定理可求解.
    【解析】解:(1)∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE,
    ∴AB=AC,∠ADC=∠E,∠CAB=∠DAE=60°,
    ∵∠BFD=97°=∠AFE,
    ∴∠E=180°−97°−60°=23°,
    ∴∠ADC=∠E=23°;
    (2)如图,连接DE,
    ∵AD=AE,∠DAE=60°,
    ∴△AED是等边三角形,
    ∴∠ADE=60°,AD=DE,
    ∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE,
    ∴△ACD≌△ABE,
    ∴CD=BE=4,
    ∵∠BDC=7°,∠ADC=23°,∠ADE=60°,
    ∴∠BDE=90°,
    ∴DE===,
    ∴AD=DE=.
    14.在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE.
    探索:(1)连接EC,如图①,试探索线段BC,CD,CE之间满足的等量关系,并证明结论;
    (2)如图②,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=45°,若BD=7,将边AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE.连接DE、CE,求线段CE的长.
    (3)AD与CE交于点N,BD与CE交于点M,在(2)的条件下,试探究BD与CE的位置关系,并加以证明
    【答案】(1)BC=CE+DC,证明见解析;(2)7;(3)BD⊥CE,证明见解析
    【分析】(1)根据∠BAC=∠DAE=90°,得出∠BAD=∠CAE,证明△BAD≌△CAE(SAS),得出BD=CE即可;
    (2)根据∠ABC=∠ACB=45°,得出∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°,根据∠DAE=90°,可证∠BAD=∠CAE,可证△BAD≌△CAE,可得BD=CE=7;
    (3)由(2)得△BAD≌△CAE得出∠ADB=∠AEC,根据∠EAD=90°得出∠AEN+∠ANE=90°根据对顶角性质得出∠ANE=∠DNM 可求∠DNM+∠ADB=∠ANE+∠AEC=90°即可.
    【解析】证明:(1)结论:BC=CE+DC
    证明如下:∵∠BAC=∠DAE=90°,
    ∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE,
    ∴∠BAD=∠CAE,
    ∴△BAD和△CAE中,

    ∴△BAD≌△CAE(SAS),
    ∴BD=CE,
    ∵BC=BD+DC,
    ∴BC=CE+DC ;
    (2)∵∠ABC=∠ACB=45°,
    ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°,
    ∵∠DAE=90°,
    ∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE,
    ∴∠BAD=∠CAE,
    在△BAD和△CAE中,

    ∴△BAD≌△CAE(SAS),
    ∴BD=CE=7;
    (3)结论:BD⊥CE.设EC与AD交于N,BD与CE交于M,
    如图2,由(2)得△BAD≌△CAE,
    ∴∠ADB=∠AEC,
    ∵∠EAD=90°,
    ∴∠AEN+∠ANE=90°,
    ∵∠ANE=∠DNM ,
    ∴∠DNM+∠ADB=∠ANE+∠AEC=90°,
    ∴∠NMD=90°,
    ∴BD⊥CE.
    15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,点D、E在线段AB上.
    (1)如图1,若CD=CE,求证:AD=BE;
    (2)如图2,若∠DCE=45°,求证:DE2=AD2+BE2;
    (3)如图3,若点P是△ABC内任意一点,∠BPC=135°,设AP=a、BP=b、CP=c,请直接写出a,b,c之间的数量关系.
    【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3),见解析
    【分析】(1)由CA=CB得∠A=∠B,由CD=CE得∠CEA=∠CDB,则△ACE≌△BCD,得AE=BD,即可转化为AD=BE;
    (2)将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF,联结EF,则BF=AD,证明△FCE≌△DCE,得FE=DE,再证明∠EBF=90°,则FE2=BF2+BE2,即可证得DE2=AD2+BE2;
    (3)将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△CBG,联结PG,则BG=AP,GC=PC,∠PCG=90°,所以PG2=PC2+GC2=2PC2,再证明∠BPG=90°,则BG2=BP2+PG2,可证得AP2=BP2+2PC2,即a2=b2+2c2.
    【解析】解:(1)证明:如图1,∵CA=CB,
    ∴∠A=∠B,
    ∵CD=CE,
    ∴∠CEA=∠CDB,
    ∴△ACE≌△BCD(AAS),
    ∴AE=BD,
    ∴AE﹣DE=BD﹣DE,
    ∴AD=BE.
    (2)证明:如图2,将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF,联结EF,
    ∵∠ACB=90°,CA=CB,
    ∴∠CBA=∠A=45°,
    由旋转得CF=CD,∠BCF=∠ACD,
    ∵∠DCE=45°,
    ∴∠FCE=∠BCF+∠BCE=∠ACD+∠BCE=90°﹣45°=45°,
    ∴∠FCE=∠DCE,
    ∵CE=CE,
    ∴△FCE≌△DCE(SAS),
    ∴FE=DE,
    ∵∠CBF=∠A=∠CBA=45°,
    ∴∠EBF=90°,
    ∴FE2=BF2+BE2,
    ∵BF=AD,
    ∴DE2=AD2+BE2.
    (3)a2=b2+2c2,
    理由如下:
    如图3,将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△CBG,联结PG,
    由旋转得GC=PC,∠PCG=90°,
    ∴∠CPG=∠CGP=45°,PG2=PC2+GC2=2PC2,
    ∵∠BPC=135°,
    ∴∠BPG=135°﹣45°=90°,
    ∴BG2=BP2+PG2,
    ∵BG=AP,
    ∴AP2=BP2+2PC2,
    ∴a2=b2+2c2.
    16.图1是边长分别为a和b(a>b)的两个等边三角形纸片△ABC和△CDE叠放在一起(C与C'重合)的图形.
    (1)感知:固定△ABC,将△CDE绕点C按顺时针方向旋转20°,连结AD,BE,如图2,则可证△CBE≌△CAD,依据 ;进而得到线段BE=AD,依据 .
    (2)探究:若将图1中的△CDE,绕点C按顺时针方向旋转120°,使点B、C、D在同一条直线上,连结AD、BE,如图3.
    ①线段BE与AD之间是否仍存在(1)中的结论?若是,请证明;若不是,请直接写出BE与AD之间的数量关系;
    ②∠APB的度数= .
    (3)应用:若将图1中的△CDE,绕点C按逆时针方向旋转一个角度α(0<α<360°),当α等于多少度时,△BCD的面积最大?请直接写出答案.
    【答案】(1)定理(两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等),全等三角形的对应边相等;(2)①仍存在,证明见解析;②;(3)或.
    【分析】(1)先根据等边三角形的性质可得,从而可得,再根据三角形全等的判定定理可证,然后根据全等三角形的性质可得;
    (2)①先根据等边三角形的性质可得,从而可得,再根据三角形全等的判定定理可证,然后根据全等三角形的性质可得;
    ②先根据全等三角形的性质可得,再根据三角形的外角性质即可得;
    (3)先画出图形,过点作于点,再根据直角三角形的定义可得,然后根据三角形的面积公式和旋转角的定义即可得出答案.
    【解析】解:(1)△ABC和都是等边三角形,

    ,即,
    在和中,,


    故答案为:定理(两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等),全等三角形的对应边相等;
    (2)①仍存在,证明如下:
    △ABC和都是等边三角形,

    ,即,
    在和中,,


    ②,


    故答案为:;
    (3)如图,过点作于点,
    ,当且仅当,即点与点重合时,等号成立,

    当时,的面积最大,
    此时旋转角或.
    课程标准
    课标解读
    通过详细实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探究它的根本性质:一个图形和它经过旋转所得到的图形中,对应点到旋转中心间隔 相等,两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。
    1.掌握旋转的概念,探索它的基本性质,理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。
    2.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形,并能利用旋转进行简单的图案设计。
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