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苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第08讲 图形的旋转（学生版+教师版）
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知识精讲
知识点01 旋转的概念与性质
1.旋转的概念
将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。
旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度；图形的旋转不改变图形的形状、大小。
2.旋转的性质
一个图形和它经过旋转所得到的图形中：
(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转。
【即学即练1】如图，在△ABC中，，，，将△ABC绕点B顺时针旋转得到，使点C恰好落在上，则的长度为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据旋转可得AB＝A′B＝5，根据勾股定理求得BC，再由A′C＝A′B−BC即可得解．
【解析】解：根据旋转可知：AB＝A′B＝5，
∵，，，
根据勾股定理，得BC＝=＝4，
∴A′C＝A′B−BC＝5-4=1.
故选：A．
【即学即练2】小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（ ）
A．15°或45°B．15°或45°或90°
C．45°或90°或135°D．15°或45°或90°或135°
【答案】D
【分析】分四种情况讨论，由平行线的性质和旋转的性质可求解．
【解析】解：设旋转的度数为α，
若DE∥AB，则∠E=∠ABE=90°，
∴α=90°-30°-45°=15°，
若BE∥AC，则∠ABE=180°-∠A=120°，
∴α=120°-30°-45°=45°，
若BD∥AC，则∠ACB=∠CBD=90°，
∴α=90°，
当点C，点B，点E共线时，
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴AC∥DE，
∴α=180°-45°=135°，
综上三角板DEF旋转的度数可能是15°或45°或90°或135°．
故选：D
知识点02 旋转的作图
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形。
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点。
【即学即练3】在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
(1)将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD，并写出点D的坐标；
(2)在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°（保留画图过程的痕迹）．
【答案】(1)图见解析，点D坐标为（1，3）(2)见解析
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B点的对称点D即可；
（2）作出CD=BC，以BD为对角线作矩形MBND，连接MN交BD于G，延长CG交AB于E，则点E即为所求；
【解析】(1)解：如图，CD即为所求线段，点D坐标为（1，3）；
(2)解：如图，点E即为所求作的点．
能力拓展
考法01 旋转的性质
【典例1】已知△ABC为等腰直角三角形，，，
(1)如图1，若以为边在点C同侧作等边三角形，判断所在直线与线段的关系，并说明理由．
(2)如图2，将△ABC绕若点B旋转60°得，若，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）延长DC交AB于点E，根据SSS证明，由全等三角形的性质得，由等边三角形“三线合一”即可证明；
（2）延长交于点M，连接，由勾股定理求出，根据旋转的性质得，，，，故可得是等边三角形，故，根据SSS证明，由全等三角形的性质得，根据等边三角形“三线合一”得，，由勾股定理求出，，由即可得出答案．
【解析】(1)，理由如下：
如图，延长DC交AB于点E，
∵是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
(2)
延长交于点M，连接，
在中，，
∵△ABC绕若点B旋转得，
∴，，，，
∴是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
考法02 旋转作图
【典例2】如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，点B坐标为，点C的坐标为．
(1)根据上述条件，在网格中画出平面直角坐标系；
(2)画出关于x轴对称图形；
(3)点A绕点B顺时针旋转90°，点A对应点的坐标为______．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)（2，2）
【分析】（1）根据点B坐标为，点C的坐标为确定原点，再画出坐标系即可；
（2）画出三角形顶点的对称点，再顺次连接即可；
（3）画出旋转后点的位置，写出坐标即可．
【解析】(1)解：坐标系如图所示，
(2)解：如图所示，就是所求作三角形；
(3)解：如图所示，点A绕点B顺时针旋转90°的对应点为，坐标为（2，2）；
故答案为：（2，2）
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列事件中，属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了4米B．小明在荡秋千
C．电梯从1楼到12楼D．一物体从高空坠下
【答案】B
【分析】根据旋转的定义，即可求解．
【解析】解：A、小明向北走了4米是平移，A不符合题意；B、小明在荡秋千是旋转，B符合题意；C、电梯从1楼到12楼是平移，C不符合题意；D、一物体从高空坠下是平移，D不符合题意；故选：B．
2．如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上．则
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质可以得到，，即可求解.
【解析】解：由题意可得：，
∵把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上，
∴，
∴．
故选：D．
3．如图．将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，连接AA'，若AC⊥A'B'，则∠AA'B'的度数为（ ）
A．20°B．40°C．50°D．60°
【答案】A
【分析】在直角△A'CD中，求出∠DA'C的度数，然后在等腰△ACA'中利用等边对等角求得∠AA'C的度数，即可求解．
【解析】解：若AC⊥A'B'，垂足为D，
∵AC⊥A'B'，
∴直角△A'CD中，∠DA'C＝90°﹣∠DCA'＝90°﹣40°＝50°．
∵CA＝CA'，
∴∠CAA'＝∠CA'A（180°﹣∠ACA′）（180°﹣40°）＝70°，
∴∠AA'B'＝70°﹣50°＝20°．
故选：A．
4．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将绕点按顺时针方向旋转90°，得到，则点的坐标为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据网格结构作出旋转后的图形，然后根据平面直角坐标系写出点B′的坐标即可．
【解析】△A′B′O如图所示，点B′（2，1）．
故选A．
5．如图，在△ABC中，∠B＝50°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到．若点B′恰好落在BC边上，则 的度数为（ ）
A．50°B．60°C．80°D．100°
【答案】C
【分析】根据旋转的性质得到，，由等腰三角形的性质得到 ，然后根据平角的定义即可得到结论．
【解析】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∵∠B＝50°，
∴，
∴，
故选：C．
6．如图所示的五个四边形全等，不能由四边形经过平移或旋转得到的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平移或者旋转的性质逐一分析即可．
【解析】A.经过平移和轴对称可得，符合题意；B.经过旋转可得，不符合题意；C.经过平移可得，不符合题意；D.经过旋转可得，不符合题意；故选A．
7．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由旋转的性质可知，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得，从而可求得．
【解析】由旋转的性质可知： ．
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
8．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（﹣1，﹣1），（1，﹣2），将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为（ ）
A．（4，1）B．（4，﹣1）C．（5，1）D．（5，﹣1）
【答案】D
【分析】先利用B，C两点的坐标画出直角坐标系得到A点坐标，再画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后点A的对应点的A′，然后写出点A′的坐标即可．
【解析】解：如图，A点坐标为（0，2），将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的A′的坐标为（5，﹣1）．
故选D．
9．如图，在△ABC中，∠CAB＝45°，若∠CAB'＝25°，则旋转角的度数为 _____．
【答案】20°
【分析】根据题干所给角度即可直接求出的大小，即旋转角的大小．
【解析】解：∵，
∴旋转角的度数为，
故答案为：20°．
10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将△ABO绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为__________．
【答案】
【分析】根据旋转的性质可求得和的长度，进而可求得点的坐标．
【解析】解：作轴于点，
由旋转可得，轴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴点坐标为．
故答案为：．
11．在平面直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是______．
【答案】（-1，-3）
【分析】根据题意画出图形解决问题即可．
【解析】解：如图，A′（-1，-3）．
故答案为（-1，-3）．
12．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为__________．
【答案】5
【分析】如图，作辅助线；首先证明，得到，；其次证明，求出，即可解决问题．
【解析】解：如图，过点作于点；
，
，
；
由题意得：；
在与中，
，
，
，；
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
故答案为5．
题组B 能力提升练
1．如图，在△ABC中，，，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转后得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，若，则旋转角的度数为（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【答案】B
【分析】由旋转性质可得，，，，，，解得；，进而得到结果．
【解析】解：如图
由旋转性质可得
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∵
∴
故选B．
2．2022年2月4日－2月20日，北京冬奥会将隆重举行，如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片．旋转图片中的“雪花图案”，旋转后要与原图形重合，至少需要旋转（ ）．
A．180°B．120°C．90°D．60°
【答案】D
【分析】“雪花图案”可以看成正六边形，根据正六边形的中心角为60°，即可解决问题．
【解析】解：“雪花图案”可以看成正六边形，
∵正六边形的中心角为60°，
∴这个图案至少旋转60°能与原雪花图案重合．
故选：D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到点D落在AB边上，此时得到△EDC，斜边DE交AC边于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据题意及旋转的性质可得是等边三角形，则，，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得，由勾股定理即可求得，进而求得阴影部分的面积．
【解析】解：如图，设与相交于点，
，，
，
旋转，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积为
故选D
4．如图，在△ABC中，∠CAB＝66°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的度数为（ ）
A．70°B．50°C．40°D．48°
【答案】D
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
【解析】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=66°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×66°=48°，
∴∠CAC′=∠BAB′=48°．
故选：D．
5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（ ）
A．15°B．65°C．115°D．75°
【答案】B
【分析】先根据旋转的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．
【解析】解：将△ABC绕点顺时针旋转得到，且，
，
，
故选：B．
6．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定
【答案】C
【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH，连接HN，根据等边三角形的性质及各角之间的等量关系可得：，然后依据全等三角形的判定定理可得，依据全等三角形的性质可将x，m，n放在△NCH中，即可确定三角形的形状．
【解析】解：如图所示：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH，连接HN．
∵△ABC是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
在△NBM与△NBH中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴以x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形，
故选：C．
7．如图，P是正方形ABCD内一点，将绕点B顺时针方向旋转,能与重合，若，则______．
【答案】
【分析】根据旋转角相等可得，进而勾股定理求解即可
【解析】解：四边形是正方形
将绕点B顺时针方向旋转,能与重合，
，
故答案为：
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=10．如果将△ABC绕点C按逆时针旋转到△A′B′C的位置，并且点B恰好落在边A′B′上，则BB′的长为________．
【答案】5
【分析】先根据含30度的直角三角形三边的关系得BC＝AB＝5，在根据旋转的性质得CB′＝CB，∠CB′A′＝∠CBA＝60°，则可判断△B′BC为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝10，
∴BC＝AB＝5，∠ABC＝60°，
∵三角板ABC绕点C逆时针旋转，点B恰好落在边A′B′上，
∴CB′＝CB，∠CB′A′＝∠CBA＝60°，
∴△B′BC为等边三角形，
∴BB′＝BC＝5．
故答案为：5．
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转角（0°＜＜90°）得到△DEC，设CD交AB于F，连接AD，当旋转角度数为__，△ADF是等腰三角形．
【答案】40°或20°
【分析】根据旋转的性质可得AC=CD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠ADF=∠DAC，再表示出∠DAF，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠AFD，然后分①∠ADF=∠DAF，②∠ADF=∠AFD，③∠DAF=∠AFD三种情况讨论求解．
【解析】解：∵△ABC绕C点逆时针方向旋转得到△DEC，
∴AC=CD，
∴∠ADF=∠DAC=（180°-α），
∴∠DAF=∠ADC-∠BAC=（180°-α）-30°，
根据三角形的外角性质，∠AFD=∠BAC+∠DAC=30°+α，
△ADF是等腰三角形，分三种情况讨论，
①∠ADF=∠DAF时，（180°-α）=（180°-α）-30°，无解；
②∠ADF=∠AFD时，（180°-α）=30°+α，
解得α=40°，
③∠DAF=∠AFD时，（180°-α）-30°=30°+α，
解得α=20°，
综上所述，旋转角α度数为20°或40°．
故答案为：20°或40°．
10．如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，1)，线段AC是线段AB绕点A顺时针旋转90°而得，则直线AC的关系式是______．
【答案】y=2x-4
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，易知△ACD≌△BAO（AAS），从而求得点C坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A，点C坐标代入求得k和b，从而得解．
【解析】解：∵A（2，0），B（0，1），
∴OA=2，OB=1，
过点C作CD⊥x轴于点D，
则∠AOB=∠CDA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO=∠ACD=90°-∠CAD，
∵BA=AC，
∴△ACD≌△BAO（AAS），
∴AD=OB=1，CD=OA=2，
∴C（3，2），
设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A，点C坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y=2x-4，
故答案为：y=2x-4．
11．如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画出△ABC绕点O逆时针旋转后的．
【答案】见解析
【分析】将△ABC的顶点绕点逆时针旋转得到，顺次连接即可
【解析】解：如图，将△ABC的顶点绕点逆时针旋转得到，顺次连接即可
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3）,B（﹣3，5），C（﹣4，1）．
（1）把△ABC向右平移3个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【答案】（1）图见解析；A1（3，3）；（2）见解析
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解析】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（3，3）；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
13．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为．
①画出△ABC关于x轴对称的，
②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的，
③与成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；
④与成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出对称中心的坐标．
【答案】①见解析；②见解析；③成，图见解析；④成，
【分析】①将三角形的各顶点，向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接得；
②将三角形的各顶点，绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得；
③从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线．
④成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心．
【解析】①②如图所示：
③成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的重直平分线，或连接，的中点的连线为对称轴．
④成中心对称，对称中心为线段的中点，坐标是．
14．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D是平面内任意一点，CD绕着点C逆时针旋转90°到CE．
（1）如图①，若D为△ABC内一点，求证：AD＝BE；
（2）如图②，若D为AB边上一点，AD＝2，BD＝7，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）DE＝
【分析】（1）根据旋转的性质可得到△CDE为等腰直角三角形，从而结合△ABC是等腰直角三角形，利用“SAS”证明△ACD≌△BCE即可得出结论；
（2）先结合（1）的结论推出∠ABE＝90°，然后在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD2＋BE2＝DE2求解即可．
【解析】（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC．
∵CD绕着点C逆时针旋转90°到CE，
∴∠DCE＝90°，CD＝CE．
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE．
∵在△ACD和△BCE中，AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
∴AD＝BE．
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠ABC＝45°．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠A＝45°，AD＝BE．
∴∠ABE＝∠ABC＋∠CBE＝90°．
∴在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD2＋BE2＝DE2 ．
∴DE2＝BD2＋BE2＝BD2＋AD2＝72＋22＝53．
∴DE＝．
题组C 培优拔尖练
1．如图，边长为5的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】A
【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．
【解析】解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB=AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×5=2.5，
∴MG=CG=，
∴HN=，
故选A．
2．如图，O是正△ABC内一点，，，．将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论错误的是（ ）
A．点O与的距离为4B．
C．S四边形AOBO′D．
【答案】D
【分析】证明，得是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，进而可判断．
【解析】解：如图1，连接OO′，
由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
又∵OB＝O′B，AB＝BC，
∴，
又∵∠OBO′＝60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′＝OB＝4．
故A正确；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A＝5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，
故B正确；
S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′═×3×4+×42＝6+4，
故C正确；
如图2
将绕点顺时针旋转60°到位置，
同理可得，
故D错误；
故选D．
3．有两块相同的直角三角板如图（１）放置（点A、B、D在同一直线上），其中，．现将△ABC绕直角顶点A顺时针旋转得到△AFG，交于点H（如图2），设旋转角为，当△ADH为等腰三角形时，旋转角的度数为（ ）
A．B．或C．或D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质得到，当时，得到，可得，当时，得到；
【解析】∵，，
∴，
∵△ABC绕直角顶点A顺时针旋转得到，
∴，
当时，则，
∴，即；
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
综上所述：旋转角的度数为或．
故选C．
4．如图，中，D、E为BC边上两点，且，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到，连接EF．下列4个结论：①≌；②≌；③≌；④．正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据旋转变换的性质判断①；根据全等三角形的判定定理判断②；根据SAS定理判断③；根据全等三角形的性质即可判断④．
【解析】解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，
∴△ADC≌△AFB，故①正确；
∵EA与DA不一定相等，
∴△ABE与△ACD不一定全等，②错误；
∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，
∴∠FAD=90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝∠DAE＝45°，
在△AED和△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），③正确；
∴DE=FE，
∵△ADC≌△AFB，
∴BF＝CD，
∴BC-BF==BC-CD=BD=BE+CD=BE+EF，故④正确；
故选C．
5．如图，将△ABC绕点按逆时针方向旋转80°，得到△ADE，连接，若，的度数为（ ）
A．20°B．30°C．25°D．35°
【答案】B
【分析】由旋转的性质可知，，即可求出．再由平行线的性质可知，最后由，即可求出的大小．
【解析】∵△ADE是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴．
∵ ，
∴，
∴．
故选：B．
6．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点都在格点上．若是由△ABC绕点P按逆时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转中心P的坐标是（ ）
A．(0，0)B．(0，﹣1)C．(1，﹣1)D．(1，﹣2)
【答案】D
【分析】根据两组对应点所连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，可得结论．
【解析】解：观察图象可知，旋转中心P的坐标为(1,-2)．
故选D．
7．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点（与点A，B不重合），将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为 _____．
【答案】或
【分析】Rt△ABC中，AC=BC=1，所以∠CAB=∠B=45°，∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，分两种情况讨论①AF=FD时，AF=AC=×1=；②AF=AD时，AF=．
【解析】解：∵Rt△ABC中，AC=BC=1，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，
∴∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，
①AF=FD时，
∠FDA=∠FAD=45°，
∴∠AFD=90°，
∠CDA=45°+45°=90°=∠ECD=∠DAE，
∵EC=CD，
∴四边形ADCE是正方形，
∴AD=DC，
∴AF=AC=×1=；
②AF=AD时，
∠ADF=∠AFD=67.5°，
∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=∠CDB，
∴BD=CB=1，
∴AD=AB-BD=，
∴AF=AD=，
故答案为：或．
8．如图，正比例函数 y＝kx（k≠0）的图像经过点 A（2，4），AB⊥x 轴于点 B，将△ABO 绕点 A逆时针旋转 90°得到△ADC，则直线 AC 的函数表达式为_____．
【答案】y=-0.5x+5
【分析】直接把点A（2，4）代入正比例函数y=kx，求出k的值即可；由A（2，4），AB⊥x轴于点B，可得出OB，AB的长，再由△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，由旋转不变性的性质可知DC=OB，AD=AB，故可得出C点坐标，再把C点和A点坐标代入y=ax+b，解出解析式即可．
【解析】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）经过点A（2，4）
∴4=2k，
解得：k=2，
∴y=2x；
∵A（2，4），AB⊥x轴于点B，
∴OB=2，AB=4，
∵△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，
∴DC=OB=2，AD=AB=4
∴C（6，2）
设直线AC的解析式为y=ax+b，
把（2，4）（6，2）代入解析式可得：，
解得：，
所以解析式为：y=-0.5x+5
9．若一次函数y＝kx+8（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，则OQ长的最小值是 ___．
【答案】8
【分析】根据一次函数解析式可得：，，过点B作轴，过点A作，过点Q作，由旋转的性质可得，，依据全等三角形的判定定理及性质可得：≅，，，即可确定点Q的坐标，然后利用勾股定理得出OQ的长度，最后考虑在什么情况下取得最小值即可．
【解析】解：函数得：，，过点B作轴，过点A作，过点Q作，连接OQ，如图所示：
将线段BA绕点B逆时针旋转得到线段BQ，
∴，，
∴
∴，
在与中，
，
∴≅，
∴，，
点Q的坐标为，
∴
当或时，取得最小值为8，
故答案为：8．
10．如图，在△AOB中，OA＝AB，顶点A的坐标（3，4），底边OB在轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在轴上，则点O′的横坐标为_________．
【答案】
【分析】分别过点，作轴，轴，根据等面积法求得，再根据勾股定理求得即可求解．
【解析】解：分别过点，作轴，轴，如下图：
则，，，
∵，
∴点为的中点，则，，
由勾股定理得：，
∴，
由可得：，即，
解得，
由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
11．已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转．
(1)当C转到AB边上点C′位置时，A转到A′，（如图1所示）直线CC′和AA′相交于点D，试判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)将Rt△ABC旅转至A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角α的度数．
【答案】(1)，证明见解析(2)成立，证明见解析(3)
【分析】（1）设，先根据直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，，都是等边三角形，从而可得，由此即可得出结论；
（2）在上截取，连接，先根据旋转的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得出结论；
（3）如图（见解析），先根据旋转的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据旋转角即可得．
【解析】(1)解：，证明如下：
设，
在中，，
，
由旋转的性质得：，
，和都是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
；
(2)解：成立，证明如下：
如图，在上截取，连接，
由旋转的性质得：，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
；
(3)解：如图，当点三点在一条直线上时，
由旋转的性质得：，
，
在和中，，
，
，
则旋转角．
12．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，连接AD，将沿AD翻折得到，连接BE并延长交AD的延长线于点F，连接CF．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的大小；
（3）猜想CF，BF，AF之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）20°；（2）；（3）AF= CF+BF，理由见解析
【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得到AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由折叠的性质可知，∠EAD=∠CAD=20°，AC=AE，则∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°，AB=AE，，∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°；
（2）同（1）求解即可；
（3）如图所示，将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG，先证明△AEF≌△ACF得到∠AFE=∠AFC，然后证明∠AFE=∠AFC=60°，得到∠BFC=120°，即可证明F、C、G三点共线，得到△AFG是等边三角形，则AF=GF=CF+CG=CF+BF．
【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
由折叠的性质可知，∠EAD=∠CAD=20°，AC=AE，
∴∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°，AB=AE，
∴，
∴∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°，
由折叠的性质可知，，AC=AE，
∴ ，AB=AE，
∴，
∴；
（3）AF= CF+BF，理由如下：
如图所示，将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG，
∴AF=AG，∠FAG=60°，∠ACG=∠ABF，BF=CG
在△AEF和△ACF中，
，
∴△AEF≌△ACF（SAS），
∴∠AFE=∠AFC，
∵∠CBF+∠BCF+∠BFD+∠CFD=180°，∠CAF+∠CFA+∠ACD+∠CFD=180°，
∴∠BFD=∠ACD=60°，
∴∠AFE=∠AFC=60°，
∴∠BFC=120°，
∴∠BAC+∠BFC=180°，
∴∠ABF+∠ACF=180°，
∴∠ACG+∠ACF=180°，
∴F、C、G三点共线，
∴△AFG是等边三角形，
∴AF=GF=CF+CG=CF+BF．
13．如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．
（1）求∠ADC的大小；
（2）若∠BDC＝7°，BD＝2，BE＝4，求AD的长．
【答案】（1）23°；（2）．
【分析】（1）由旋转的性质可得AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，由三角形的内角和定理可求解；
（2）连接DE，可证△AED是等边三角形，可得∠ADE＝60°，AD＝DE，由旋转的性质可得△ACD≌△ABE，可得CD＝BE＝4，由勾股定理可求解．
【解析】解：（1）∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，
∵∠BFD＝97°＝∠AFE，
∴∠E＝180°−97°−60°＝23°，
∴∠ADC＝∠E＝23°；
（2）如图，连接DE，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，AD＝DE，
∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴△ACD≌△ABE，
∴CD＝BE＝4，
∵∠BDC＝7°，∠ADC＝23°，∠ADE＝60°，
∴∠BDE＝90°，
∴DE＝＝＝，
∴AD＝DE＝．
14．在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE．
探索：（1）连接EC，如图①，试探索线段BC，CD，CE之间满足的等量关系，并证明结论；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=45°，若BD=7，将边AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE．连接DE、CE，求线段CE的长．
（3）AD与CE交于点N，BD与CE交于点M，在（2）的条件下，试探究BD与CE的位置关系，并加以证明
【答案】（1）BC=CE+DC，证明见解析；（2）7；（3）BD⊥CE，证明见解析
【分析】（1）根据∠BAC=∠DAE=90°，得出∠BAD=∠CAE，证明△BAD≌△CAE（SAS），得出BD=CE即可；
（2）根据∠ABC=∠ACB=45°，得出∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°，根据∠DAE=90°，可证∠BAD=∠CAE，可证△BAD≌△CAE，可得BD=CE=7；
（3）由（2）得△BAD≌△CAE得出∠ADB=∠AEC，根据∠EAD=90°得出∠AEN+∠ANE=90°根据对顶角性质得出∠ANE=∠DNM 可求∠DNM+∠ADB=∠ANE+∠AEC=90°即可．
【解析】证明：（1）结论：BC=CE+DC
证明如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，
∵BC=BD+DC，
∴BC=CE+DC ；
（2）∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°，
∵∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE=7；
（3）结论：BD⊥CE．设EC与AD交于N，BD与CE交于M，
如图2，由（2）得△BAD≌△CAE，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠EAD=90°，
∴∠AEN+∠ANE=90°，
∵∠ANE=∠DNM ，
∴∠DNM+∠ADB=∠ANE+∠AEC=90°，
∴∠NMD=90°，
∴BD⊥CE．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D、E在线段AB上．
（1）如图1，若CD＝CE，求证：AD＝BE；
（2）如图2，若∠DCE＝45°，求证：DE2＝AD2+BE2；
（3）如图3，若点P是△ABC内任意一点，∠BPC＝135°，设AP＝a、BP＝b、CP＝c，请直接写出a，b，c之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析
【分析】（1）由CA＝CB得∠A＝∠B，由CD＝CE得∠CEA＝∠CDB，则△ACE≌△BCD，得AE＝BD，即可转化为AD＝BE；
（2）将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF，联结EF，则BF＝AD，证明△FCE≌△DCE，得FE＝DE，再证明∠EBF＝90°，则FE2＝BF2+BE2，即可证得DE2＝AD2+BE2；
（3）将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△CBG，联结PG，则BG＝AP，GC＝PC，∠PCG＝90°，所以PG2＝PC2+GC2＝2PC2，再证明∠BPG＝90°，则BG2＝BP2+PG2，可证得AP2＝BP2+2PC2，即a2＝b2+2c2．
【解析】解：（1）证明：如图1，∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B，
∵CD＝CE，
∴∠CEA＝∠CDB，
∴△ACE≌△BCD（AAS），
∴AE＝BD，
∴AE﹣DE＝BD﹣DE，
∴AD＝BE．
（2）证明：如图2，将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF，联结EF，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠CBA＝∠A＝45°，
由旋转得CF＝CD，∠BCF＝∠ACD，
∵∠DCE＝45°，
∴∠FCE＝∠BCF+∠BCE＝∠ACD+∠BCE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FCE＝∠DCE，
∵CE＝CE，
∴△FCE≌△DCE（SAS），
∴FE＝DE，
∵∠CBF＝∠A＝∠CBA＝45°，
∴∠EBF＝90°，
∴FE2＝BF2+BE2，
∵BF＝AD，
∴DE2＝AD2+BE2．
（3）a2＝b2+2c2，
理由如下：
如图3，将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△CBG，联结PG，
由旋转得GC＝PC，∠PCG＝90°，
∴∠CPG＝∠CGP＝45°，PG2＝PC2+GC2＝2PC2，
∵∠BPC＝135°，
∴∠BPG＝135°﹣45°＝90°，
∴BG2＝BP2+PG2，
∵BG＝AP，
∴AP2＝BP2+2PC2，
∴a2＝b2+2c2．
16．图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片△ABC和△CDE叠放在一起（C与C'重合）的图形．
（1）感知：固定△ABC，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转20°，连结AD，BE，如图2，则可证△CBE≌△CAD，依据 ；进而得到线段BE＝AD，依据 ．
（2）探究：若将图1中的△CDE，绕点C按顺时针方向旋转120°，使点B、C、D在同一条直线上，连结AD、BE，如图3．
①线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE与AD之间的数量关系；
②∠APB的度数＝ ．
（3）应用：若将图1中的△CDE，绕点C按逆时针方向旋转一个角度α（0＜α＜360°），当α等于多少度时，△BCD的面积最大？请直接写出答案．
【答案】（1）定理（两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等），全等三角形的对应边相等；（2）①仍存在，证明见解析；②；（3）或．
【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理可证，然后根据全等三角形的性质可得；
（2）①先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理可证，然后根据全等三角形的性质可得；
②先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得；
（3）先画出图形，过点作于点，再根据直角三角形的定义可得，然后根据三角形的面积公式和旋转角的定义即可得出答案．
【解析】解：（1）△ABC和都是等边三角形，
，
，即，
在和中，，
，
，
故答案为：定理（两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等），全等三角形的对应边相等；
（2）①仍存在，证明如下：
△ABC和都是等边三角形，
，
，即，
在和中，，
，
；
②，
，
，
故答案为：；
（3）如图，过点作于点，
，当且仅当，即点与点重合时，等号成立，
，
当时，的面积最大，
此时旋转角或．
课程标准
课标解读
通过详细实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探究它的根本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心间隔 相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。
1.掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。
2.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计。
目标导航
知识精讲
知识点01 旋转的概念与性质
1.旋转的概念
将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。
旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度；图形的旋转不改变图形的形状、大小。
2.旋转的性质
一个图形和它经过旋转所得到的图形中：
(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转。
【即学即练1】如图，在△ABC中，，，，将△ABC绕点B顺时针旋转得到，使点C恰好落在上，则的长度为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据旋转可得AB＝A′B＝5，根据勾股定理求得BC，再由A′C＝A′B−BC即可得解．
【解析】解：根据旋转可知：AB＝A′B＝5，
∵，，，
根据勾股定理，得BC＝=＝4，
∴A′C＝A′B−BC＝5-4=1.
故选：A．
【即学即练2】小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（ ）
A．15°或45°B．15°或45°或90°
C．45°或90°或135°D．15°或45°或90°或135°
【答案】D
【分析】分四种情况讨论，由平行线的性质和旋转的性质可求解．
【解析】解：设旋转的度数为α，
若DE∥AB，则∠E=∠ABE=90°，
∴α=90°-30°-45°=15°，
若BE∥AC，则∠ABE=180°-∠A=120°，
∴α=120°-30°-45°=45°，
若BD∥AC，则∠ACB=∠CBD=90°，
∴α=90°，
当点C，点B，点E共线时，
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴AC∥DE，
∴α=180°-45°=135°，
综上三角板DEF旋转的度数可能是15°或45°或90°或135°．
故选：D
知识点02 旋转的作图
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形。
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点。
【即学即练3】在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
(1)将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD，并写出点D的坐标；
(2)在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°（保留画图过程的痕迹）．
【答案】(1)图见解析，点D坐标为（1，3）(2)见解析
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B点的对称点D即可；
（2）作出CD=BC，以BD为对角线作矩形MBND，连接MN交BD于G，延长CG交AB于E，则点E即为所求；
【解析】(1)解：如图，CD即为所求线段，点D坐标为（1，3）；
(2)解：如图，点E即为所求作的点．
能力拓展
考法01 旋转的性质
【典例1】已知△ABC为等腰直角三角形，，，
(1)如图1，若以为边在点C同侧作等边三角形，判断所在直线与线段的关系，并说明理由．
(2)如图2，将△ABC绕若点B旋转60°得，若，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）延长DC交AB于点E，根据SSS证明，由全等三角形的性质得，由等边三角形“三线合一”即可证明；
（2）延长交于点M，连接，由勾股定理求出，根据旋转的性质得，，，，故可得是等边三角形，故，根据SSS证明，由全等三角形的性质得，根据等边三角形“三线合一”得，，由勾股定理求出，，由即可得出答案．
【解析】(1)，理由如下：
如图，延长DC交AB于点E，
∵是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
(2)
延长交于点M，连接，
在中，，
∵△ABC绕若点B旋转得，
∴，，，，
∴是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
考法02 旋转作图
【典例2】如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，点B坐标为，点C的坐标为．
(1)根据上述条件，在网格中画出平面直角坐标系；
(2)画出关于x轴对称图形；
(3)点A绕点B顺时针旋转90°，点A对应点的坐标为______．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)（2，2）
【分析】（1）根据点B坐标为，点C的坐标为确定原点，再画出坐标系即可；
（2）画出三角形顶点的对称点，再顺次连接即可；
（3）画出旋转后点的位置，写出坐标即可．
【解析】(1)解：坐标系如图所示，
(2)解：如图所示，就是所求作三角形；
(3)解：如图所示，点A绕点B顺时针旋转90°的对应点为，坐标为（2，2）；
故答案为：（2，2）
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列事件中，属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了4米B．小明在荡秋千
C．电梯从1楼到12楼D．一物体从高空坠下
【答案】B
【分析】根据旋转的定义，即可求解．
【解析】解：A、小明向北走了4米是平移，A不符合题意；B、小明在荡秋千是旋转，B符合题意；C、电梯从1楼到12楼是平移，C不符合题意；D、一物体从高空坠下是平移，D不符合题意；故选：B．
2．如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上．则
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质可以得到，，即可求解.
【解析】解：由题意可得：，
∵把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上，
∴，
∴．
故选：D．
3．如图．将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，连接AA'，若AC⊥A'B'，则∠AA'B'的度数为（ ）
A．20°B．40°C．50°D．60°
【答案】A
【分析】在直角△A'CD中，求出∠DA'C的度数，然后在等腰△ACA'中利用等边对等角求得∠AA'C的度数，即可求解．
【解析】解：若AC⊥A'B'，垂足为D，
∵AC⊥A'B'，
∴直角△A'CD中，∠DA'C＝90°﹣∠DCA'＝90°﹣40°＝50°．
∵CA＝CA'，
∴∠CAA'＝∠CA'A（180°﹣∠ACA′）（180°﹣40°）＝70°，
∴∠AA'B'＝70°﹣50°＝20°．
故选：A．
4．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将绕点按顺时针方向旋转90°，得到，则点的坐标为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据网格结构作出旋转后的图形，然后根据平面直角坐标系写出点B′的坐标即可．
【解析】△A′B′O如图所示，点B′（2，1）．
故选A．
5．如图，在△ABC中，∠B＝50°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到．若点B′恰好落在BC边上，则 的度数为（ ）
A．50°B．60°C．80°D．100°
【答案】C
【分析】根据旋转的性质得到，，由等腰三角形的性质得到 ，然后根据平角的定义即可得到结论．
【解析】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∵∠B＝50°，
∴，
∴，
故选：C．
6．如图所示的五个四边形全等，不能由四边形经过平移或旋转得到的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平移或者旋转的性质逐一分析即可．
【解析】A.经过平移和轴对称可得，符合题意；B.经过旋转可得，不符合题意；C.经过平移可得，不符合题意；D.经过旋转可得，不符合题意；故选A．
7．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由旋转的性质可知，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得，从而可求得．
【解析】由旋转的性质可知： ．
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
8．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（﹣1，﹣1），（1，﹣2），将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为（ ）
A．（4，1）B．（4，﹣1）C．（5，1）D．（5，﹣1）
【答案】D
【分析】先利用B，C两点的坐标画出直角坐标系得到A点坐标，再画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后点A的对应点的A′，然后写出点A′的坐标即可．
【解析】解：如图，A点坐标为（0，2），将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的A′的坐标为（5，﹣1）．
故选D．
9．如图，在△ABC中，∠CAB＝45°，若∠CAB'＝25°，则旋转角的度数为 _____．
【答案】20°
【分析】根据题干所给角度即可直接求出的大小，即旋转角的大小．
【解析】解：∵，
∴旋转角的度数为，
故答案为：20°．
10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将△ABO绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为__________．
【答案】
【分析】根据旋转的性质可求得和的长度，进而可求得点的坐标．
【解析】解：作轴于点，
由旋转可得，轴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴点坐标为．
故答案为：．
11．在平面直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是______．
【答案】（-1，-3）
【分析】根据题意画出图形解决问题即可．
【解析】解：如图，A′（-1，-3）．
故答案为（-1，-3）．
12．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为__________．
【答案】5
【分析】如图，作辅助线；首先证明，得到，；其次证明，求出，即可解决问题．
【解析】解：如图，过点作于点；
，
，
；
由题意得：；
在与中，
，
，
，；
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
故答案为5．
题组B 能力提升练
1．如图，在△ABC中，，，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转后得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，若，则旋转角的度数为（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【答案】B
【分析】由旋转性质可得，，，，，，解得；，进而得到结果．
【解析】解：如图
由旋转性质可得
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∵
∴
故选B．
2．2022年2月4日－2月20日，北京冬奥会将隆重举行，如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片．旋转图片中的“雪花图案”，旋转后要与原图形重合，至少需要旋转（ ）．
A．180°B．120°C．90°D．60°
【答案】D
【分析】“雪花图案”可以看成正六边形，根据正六边形的中心角为60°，即可解决问题．
【解析】解：“雪花图案”可以看成正六边形，
∵正六边形的中心角为60°，
∴这个图案至少旋转60°能与原雪花图案重合．
故选：D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到点D落在AB边上，此时得到△EDC，斜边DE交AC边于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据题意及旋转的性质可得是等边三角形，则，，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得，由勾股定理即可求得，进而求得阴影部分的面积．
【解析】解：如图，设与相交于点，
，，
，
旋转，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积为
故选D
4．如图，在△ABC中，∠CAB＝66°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的度数为（ ）
A．70°B．50°C．40°D．48°
【答案】D
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
【解析】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=66°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×66°=48°，
∴∠CAC′=∠BAB′=48°．
故选：D．
5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（ ）
A．15°B．65°C．115°D．75°
【答案】B
【分析】先根据旋转的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．
【解析】解：将△ABC绕点顺时针旋转得到，且，
，
，
故选：B．
6．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定
【答案】C
【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH，连接HN，根据等边三角形的性质及各角之间的等量关系可得：，然后依据全等三角形的判定定理可得，依据全等三角形的性质可将x，m，n放在△NCH中，即可确定三角形的形状．
【解析】解：如图所示：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH，连接HN．
∵△ABC是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
在△NBM与△NBH中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴以x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形，
故选：C．
7．如图，P是正方形ABCD内一点，将绕点B顺时针方向旋转,能与重合，若，则______．
【答案】
【分析】根据旋转角相等可得，进而勾股定理求解即可
【解析】解：四边形是正方形
将绕点B顺时针方向旋转,能与重合，
，
故答案为：
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=10．如果将△ABC绕点C按逆时针旋转到△A′B′C的位置，并且点B恰好落在边A′B′上，则BB′的长为________．
【答案】5
【分析】先根据含30度的直角三角形三边的关系得BC＝AB＝5，在根据旋转的性质得CB′＝CB，∠CB′A′＝∠CBA＝60°，则可判断△B′BC为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝10，
∴BC＝AB＝5，∠ABC＝60°，
∵三角板ABC绕点C逆时针旋转，点B恰好落在边A′B′上，
∴CB′＝CB，∠CB′A′＝∠CBA＝60°，
∴△B′BC为等边三角形，
∴BB′＝BC＝5．
故答案为：5．
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转角（0°＜＜90°）得到△DEC，设CD交AB于F，连接AD，当旋转角度数为__，△ADF是等腰三角形．
【答案】40°或20°
【分析】根据旋转的性质可得AC=CD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠ADF=∠DAC，再表示出∠DAF，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠AFD，然后分①∠ADF=∠DAF，②∠ADF=∠AFD，③∠DAF=∠AFD三种情况讨论求解．
【解析】解：∵△ABC绕C点逆时针方向旋转得到△DEC，
∴AC=CD，
∴∠ADF=∠DAC=（180°-α），
∴∠DAF=∠ADC-∠BAC=（180°-α）-30°，
根据三角形的外角性质，∠AFD=∠BAC+∠DAC=30°+α，
△ADF是等腰三角形，分三种情况讨论，
①∠ADF=∠DAF时，（180°-α）=（180°-α）-30°，无解；
②∠ADF=∠AFD时，（180°-α）=30°+α，
解得α=40°，
③∠DAF=∠AFD时，（180°-α）-30°=30°+α，
解得α=20°，
综上所述，旋转角α度数为20°或40°．
故答案为：20°或40°．
10．如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，1)，线段AC是线段AB绕点A顺时针旋转90°而得，则直线AC的关系式是______．
【答案】y=2x-4
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，易知△ACD≌△BAO（AAS），从而求得点C坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A，点C坐标代入求得k和b，从而得解．
【解析】解：∵A（2，0），B（0，1），
∴OA=2，OB=1，
过点C作CD⊥x轴于点D，
则∠AOB=∠CDA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO=∠ACD=90°-∠CAD，
∵BA=AC，
∴△ACD≌△BAO（AAS），
∴AD=OB=1，CD=OA=2，
∴C（3，2），
设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A，点C坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y=2x-4，
故答案为：y=2x-4．
11．如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画出△ABC绕点O逆时针旋转后的．
【答案】见解析
【分析】将△ABC的顶点绕点逆时针旋转得到，顺次连接即可
【解析】解：如图，将△ABC的顶点绕点逆时针旋转得到，顺次连接即可
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3）,B（﹣3，5），C（﹣4，1）．
（1）把△ABC向右平移3个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【答案】（1）图见解析；A1（3，3）；（2）见解析
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解析】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（3，3）；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
13．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为．
①画出△ABC关于x轴对称的，
②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的，
③与成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；
④与成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出对称中心的坐标．
【答案】①见解析；②见解析；③成，图见解析；④成，
【分析】①将三角形的各顶点，向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接得；
②将三角形的各顶点，绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得；
③从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线．
④成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心．
【解析】①②如图所示：
③成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的重直平分线，或连接，的中点的连线为对称轴．
④成中心对称，对称中心为线段的中点，坐标是．
14．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D是平面内任意一点，CD绕着点C逆时针旋转90°到CE．
（1）如图①，若D为△ABC内一点，求证：AD＝BE；
（2）如图②，若D为AB边上一点，AD＝2，BD＝7，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）DE＝
【分析】（1）根据旋转的性质可得到△CDE为等腰直角三角形，从而结合△ABC是等腰直角三角形，利用“SAS”证明△ACD≌△BCE即可得出结论；
（2）先结合（1）的结论推出∠ABE＝90°，然后在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD2＋BE2＝DE2求解即可．
【解析】（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC．
∵CD绕着点C逆时针旋转90°到CE，
∴∠DCE＝90°，CD＝CE．
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE．
∵在△ACD和△BCE中，AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
∴AD＝BE．
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠ABC＝45°．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠A＝45°，AD＝BE．
∴∠ABE＝∠ABC＋∠CBE＝90°．
∴在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD2＋BE2＝DE2 ．
∴DE2＝BD2＋BE2＝BD2＋AD2＝72＋22＝53．
∴DE＝．
题组C 培优拔尖练
1．如图，边长为5的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】A
【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．
【解析】解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB=AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×5=2.5，
∴MG=CG=，
∴HN=，
故选A．
2．如图，O是正△ABC内一点，，，．将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论错误的是（ ）
A．点O与的距离为4B．
C．S四边形AOBO′D．
【答案】D
【分析】证明，得是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，进而可判断．
【解析】解：如图1，连接OO′，
由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
又∵OB＝O′B，AB＝BC，
∴，
又∵∠OBO′＝60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′＝OB＝4．
故A正确；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A＝5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，
故B正确；
S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′═×3×4+×42＝6+4，
故C正确；
如图2
将绕点顺时针旋转60°到位置，
同理可得，
故D错误；
故选D．
3．有两块相同的直角三角板如图（１）放置（点A、B、D在同一直线上），其中，．现将△ABC绕直角顶点A顺时针旋转得到△AFG，交于点H（如图2），设旋转角为，当△ADH为等腰三角形时，旋转角的度数为（ ）
A．B．或C．或D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质得到，当时，得到，可得，当时，得到；
【解析】∵，，
∴，
∵△ABC绕直角顶点A顺时针旋转得到，
∴，
当时，则，
∴，即；
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
综上所述：旋转角的度数为或．
故选C．
4．如图，中，D、E为BC边上两点，且，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到，连接EF．下列4个结论：①≌；②≌；③≌；④．正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据旋转变换的性质判断①；根据全等三角形的判定定理判断②；根据SAS定理判断③；根据全等三角形的性质即可判断④．
【解析】解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，
∴△ADC≌△AFB，故①正确；
∵EA与DA不一定相等，
∴△ABE与△ACD不一定全等，②错误；
∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，
∴∠FAD=90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝∠DAE＝45°，
在△AED和△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），③正确；
∴DE=FE，
∵△ADC≌△AFB，
∴BF＝CD，
∴BC-BF==BC-CD=BD=BE+CD=BE+EF，故④正确；
故选C．
5．如图，将△ABC绕点按逆时针方向旋转80°，得到△ADE，连接，若，的度数为（ ）
A．20°B．30°C．25°D．35°
【答案】B
【分析】由旋转的性质可知，，即可求出．再由平行线的性质可知，最后由，即可求出的大小．
【解析】∵△ADE是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴．
∵ ，
∴，
∴．
故选：B．
6．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点都在格点上．若是由△ABC绕点P按逆时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转中心P的坐标是（ ）
A．(0，0)B．(0，﹣1)C．(1，﹣1)D．(1，﹣2)
【答案】D
【分析】根据两组对应点所连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，可得结论．
【解析】解：观察图象可知，旋转中心P的坐标为(1,-2)．
故选D．
7．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点（与点A，B不重合），将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为 _____．
【答案】或
【分析】Rt△ABC中，AC=BC=1，所以∠CAB=∠B=45°，∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，分两种情况讨论①AF=FD时，AF=AC=×1=；②AF=AD时，AF=．
【解析】解：∵Rt△ABC中，AC=BC=1，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，
∴∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，
①AF=FD时，
∠FDA=∠FAD=45°，
∴∠AFD=90°，
∠CDA=45°+45°=90°=∠ECD=∠DAE，
∵EC=CD，
∴四边形ADCE是正方形，
∴AD=DC，
∴AF=AC=×1=；
②AF=AD时，
∠ADF=∠AFD=67.5°，
∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=∠CDB，
∴BD=CB=1，
∴AD=AB-BD=，
∴AF=AD=，
故答案为：或．
8．如图，正比例函数 y＝kx（k≠0）的图像经过点 A（2，4），AB⊥x 轴于点 B，将△ABO 绕点 A逆时针旋转 90°得到△ADC，则直线 AC 的函数表达式为_____．
【答案】y=-0.5x+5
【分析】直接把点A（2，4）代入正比例函数y=kx，求出k的值即可；由A（2，4），AB⊥x轴于点B，可得出OB，AB的长，再由△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，由旋转不变性的性质可知DC=OB，AD=AB，故可得出C点坐标，再把C点和A点坐标代入y=ax+b，解出解析式即可．
【解析】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）经过点A（2，4）
∴4=2k，
解得：k=2，
∴y=2x；
∵A（2，4），AB⊥x轴于点B，
∴OB=2，AB=4，
∵△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，
∴DC=OB=2，AD=AB=4
∴C（6，2）
设直线AC的解析式为y=ax+b，
把（2，4）（6，2）代入解析式可得：，
解得：，
所以解析式为：y=-0.5x+5
9．若一次函数y＝kx+8（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，则OQ长的最小值是 ___．
【答案】8
【分析】根据一次函数解析式可得：，，过点B作轴，过点A作，过点Q作，由旋转的性质可得，，依据全等三角形的判定定理及性质可得：≅，，，即可确定点Q的坐标，然后利用勾股定理得出OQ的长度，最后考虑在什么情况下取得最小值即可．
【解析】解：函数得：，，过点B作轴，过点A作，过点Q作，连接OQ，如图所示：
将线段BA绕点B逆时针旋转得到线段BQ，
∴，，
∴
∴，
在与中，
，
∴≅，
∴，，
点Q的坐标为，
∴
当或时，取得最小值为8，
故答案为：8．
10．如图，在△AOB中，OA＝AB，顶点A的坐标（3，4），底边OB在轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在轴上，则点O′的横坐标为_________．
【答案】
【分析】分别过点，作轴，轴，根据等面积法求得，再根据勾股定理求得即可求解．
【解析】解：分别过点，作轴，轴，如下图：
则，，，
∵，
∴点为的中点，则，，
由勾股定理得：，
∴，
由可得：，即，
解得，
由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
11．已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转．
(1)当C转到AB边上点C′位置时，A转到A′，（如图1所示）直线CC′和AA′相交于点D，试判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)将Rt△ABC旅转至A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角α的度数．
【答案】(1)，证明见解析(2)成立，证明见解析(3)
【分析】（1）设，先根据直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，，都是等边三角形，从而可得，由此即可得出结论；
（2）在上截取，连接，先根据旋转的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得出结论；
（3）如图（见解析），先根据旋转的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据旋转角即可得．
【解析】(1)解：，证明如下：
设，
在中，，
，
由旋转的性质得：，
，和都是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
；
(2)解：成立，证明如下：
如图，在上截取，连接，
由旋转的性质得：，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
；
(3)解：如图，当点三点在一条直线上时，
由旋转的性质得：，
，
在和中，，
，
，
则旋转角．
12．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，连接AD，将沿AD翻折得到，连接BE并延长交AD的延长线于点F，连接CF．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的大小；
（3）猜想CF，BF，AF之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）20°；（2）；（3）AF= CF+BF，理由见解析
【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得到AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由折叠的性质可知，∠EAD=∠CAD=20°，AC=AE，则∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°，AB=AE，，∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°；
（2）同（1）求解即可；
（3）如图所示，将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG，先证明△AEF≌△ACF得到∠AFE=∠AFC，然后证明∠AFE=∠AFC=60°，得到∠BFC=120°，即可证明F、C、G三点共线，得到△AFG是等边三角形，则AF=GF=CF+CG=CF+BF．
【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
由折叠的性质可知，∠EAD=∠CAD=20°，AC=AE，
∴∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°，AB=AE，
∴，
∴∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°，
由折叠的性质可知，，AC=AE，
∴ ，AB=AE，
∴，
∴；
（3）AF= CF+BF，理由如下：
如图所示，将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG，
∴AF=AG，∠FAG=60°，∠ACG=∠ABF，BF=CG
在△AEF和△ACF中，
，
∴△AEF≌△ACF（SAS），
∴∠AFE=∠AFC，
∵∠CBF+∠BCF+∠BFD+∠CFD=180°，∠CAF+∠CFA+∠ACD+∠CFD=180°，
∴∠BFD=∠ACD=60°，
∴∠AFE=∠AFC=60°，
∴∠BFC=120°，
∴∠BAC+∠BFC=180°，
∴∠ABF+∠ACF=180°，
∴∠ACG+∠ACF=180°，
∴F、C、G三点共线，
∴△AFG是等边三角形，
∴AF=GF=CF+CG=CF+BF．
13．如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．
（1）求∠ADC的大小；
（2）若∠BDC＝7°，BD＝2，BE＝4，求AD的长．
【答案】（1）23°；（2）．
【分析】（1）由旋转的性质可得AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，由三角形的内角和定理可求解；
（2）连接DE，可证△AED是等边三角形，可得∠ADE＝60°，AD＝DE，由旋转的性质可得△ACD≌△ABE，可得CD＝BE＝4，由勾股定理可求解．
【解析】解：（1）∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，
∵∠BFD＝97°＝∠AFE，
∴∠E＝180°−97°−60°＝23°，
∴∠ADC＝∠E＝23°；
（2）如图，连接DE，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，AD＝DE，
∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴△ACD≌△ABE，
∴CD＝BE＝4，
∵∠BDC＝7°，∠ADC＝23°，∠ADE＝60°，
∴∠BDE＝90°，
∴DE＝＝＝，
∴AD＝DE＝．
14．在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE．
探索：（1）连接EC，如图①，试探索线段BC，CD，CE之间满足的等量关系，并证明结论；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=45°，若BD=7，将边AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE．连接DE、CE，求线段CE的长．
（3）AD与CE交于点N，BD与CE交于点M，在（2）的条件下，试探究BD与CE的位置关系，并加以证明
【答案】（1）BC=CE+DC，证明见解析；（2）7；（3）BD⊥CE，证明见解析
【分析】（1）根据∠BAC=∠DAE=90°，得出∠BAD=∠CAE，证明△BAD≌△CAE（SAS），得出BD=CE即可；
（2）根据∠ABC=∠ACB=45°，得出∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°，根据∠DAE=90°，可证∠BAD=∠CAE，可证△BAD≌△CAE，可得BD=CE=7；
（3）由（2）得△BAD≌△CAE得出∠ADB=∠AEC，根据∠EAD=90°得出∠AEN+∠ANE=90°根据对顶角性质得出∠ANE=∠DNM 可求∠DNM+∠ADB=∠ANE+∠AEC=90°即可．
【解析】证明：（1）结论：BC=CE+DC
证明如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，
∵BC=BD+DC，
∴BC=CE+DC ；
（2）∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°，
∵∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE=7；
（3）结论：BD⊥CE．设EC与AD交于N，BD与CE交于M，
如图2，由（2）得△BAD≌△CAE，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠EAD=90°，
∴∠AEN+∠ANE=90°，
∵∠ANE=∠DNM ，
∴∠DNM+∠ADB=∠ANE+∠AEC=90°，
∴∠NMD=90°，
∴BD⊥CE．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D、E在线段AB上．
（1）如图1，若CD＝CE，求证：AD＝BE；
（2）如图2，若∠DCE＝45°，求证：DE2＝AD2+BE2；
（3）如图3，若点P是△ABC内任意一点，∠BPC＝135°，设AP＝a、BP＝b、CP＝c，请直接写出a，b，c之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析
【分析】（1）由CA＝CB得∠A＝∠B，由CD＝CE得∠CEA＝∠CDB，则△ACE≌△BCD，得AE＝BD，即可转化为AD＝BE；
（2）将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF，联结EF，则BF＝AD，证明△FCE≌△DCE，得FE＝DE，再证明∠EBF＝90°，则FE2＝BF2+BE2，即可证得DE2＝AD2+BE2；
（3）将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△CBG，联结PG，则BG＝AP，GC＝PC，∠PCG＝90°，所以PG2＝PC2+GC2＝2PC2，再证明∠BPG＝90°，则BG2＝BP2+PG2，可证得AP2＝BP2+2PC2，即a2＝b2+2c2．
【解析】解：（1）证明：如图1，∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B，
∵CD＝CE，
∴∠CEA＝∠CDB，
∴△ACE≌△BCD（AAS），
∴AE＝BD，
∴AE﹣DE＝BD﹣DE，
∴AD＝BE．
（2）证明：如图2，将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF，联结EF，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠CBA＝∠A＝45°，
由旋转得CF＝CD，∠BCF＝∠ACD，
∵∠DCE＝45°，
∴∠FCE＝∠BCF+∠BCE＝∠ACD+∠BCE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FCE＝∠DCE，
∵CE＝CE，
∴△FCE≌△DCE（SAS），
∴FE＝DE，
∵∠CBF＝∠A＝∠CBA＝45°，
∴∠EBF＝90°，
∴FE2＝BF2+BE2，
∵BF＝AD，
∴DE2＝AD2+BE2．
（3）a2＝b2+2c2，
理由如下：
如图3，将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△CBG，联结PG，
由旋转得GC＝PC，∠PCG＝90°，
∴∠CPG＝∠CGP＝45°，PG2＝PC2+GC2＝2PC2，
∵∠BPC＝135°，
∴∠BPG＝135°﹣45°＝90°，
∴BG2＝BP2+PG2，
∵BG＝AP，
∴AP2＝BP2+2PC2，
∴a2＝b2+2c2．
16．图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片△ABC和△CDE叠放在一起（C与C'重合）的图形．
（1）感知：固定△ABC，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转20°，连结AD，BE，如图2，则可证△CBE≌△CAD，依据 ；进而得到线段BE＝AD，依据 ．
（2）探究：若将图1中的△CDE，绕点C按顺时针方向旋转120°，使点B、C、D在同一条直线上，连结AD、BE，如图3．
①线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE与AD之间的数量关系；
②∠APB的度数＝ ．
（3）应用：若将图1中的△CDE，绕点C按逆时针方向旋转一个角度α（0＜α＜360°），当α等于多少度时，△BCD的面积最大？请直接写出答案．
【答案】（1）定理（两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等），全等三角形的对应边相等；（2）①仍存在，证明见解析；②；（3）或．
【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理可证，然后根据全等三角形的性质可得；
（2）①先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理可证，然后根据全等三角形的性质可得；
②先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得；
（3）先画出图形，过点作于点，再根据直角三角形的定义可得，然后根据三角形的面积公式和旋转角的定义即可得出答案．
【解析】解：（1）△ABC和都是等边三角形，
，
，即，
在和中，，
，
，
故答案为：定理（两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等），全等三角形的对应边相等；
（2）①仍存在，证明如下：
△ABC和都是等边三角形，
，
，即，
在和中，，
，
；
②，
，
，
故答案为：；
（3）如图，过点作于点，
，当且仅当，即点与点重合时，等号成立，
，
当时，的面积最大，
此时旋转角或．
课程标准
课标解读
通过详细实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探究它的根本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心间隔 相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。
1.掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。
2.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计。
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