苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第20讲 用反比例函数解决问题（学生版+教师版）

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知识精讲
知识点 反比例函数的实际应用
（一）利用反比例函数解决实际问题
1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.
2.一般步骤如下：
（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示.
（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.
（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.
（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.
（二）反比例函数在其他学科中的应用
（1）当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；
（2）当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；
（3）在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；
（4）电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数。
【即学即练1】一列货车从北京开往乌鲁木齐，以58km/h的平均速度行驶需要65h．为了实施西部大开发，京乌线决定全线提速．
（1）如果提速后平均速度为vkm/h，全程运营时间为t小时，试写出t与v之间的函数表达式；
（2）如果提速后平均速度为78km/h，求提速后全程运营时间；
（3）如果全程运营的时间控制在40h内，那么提速后，平均速度至少应为多少？
【答案】（1）；（2）提速后全程运营时间为48小时；（3）提速后，平均速度至少应为94.25km．
【分析】（1）直接利用路程＝时间×速度得出总路程，提速前后路程不变，时间=路程÷速度，代值即可得出函数关系式；
（2）利用（1）中的函数关系式，代入v＝78km/h时即可得出时间；
（3）利用总路程除以时间即可得出平均速度．
【解析】解：（1）由题意可得，总路程为58×65＝3770（km），
则提速后平均速度为vkm/h，全程运营时间为t小时，
故t与v之间的函数表达式为：t＝；
（2）当v＝78km/h时，t＝＝48（小时），
答：提速后全程运营时间为48小时；
（3）∵全程运营的时间控制在40h内，
∴平均速度应为：t≥＝94.25，
答：提速后，平均速度至少应为94.25km．
【即学即练2】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
（1）写出这一函数的表达式；
（2）当气体体积为时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
【答案】（1）；（2）；（3）不小于
【分析】（1）根据题意可知p与V的函数关系式为，利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）直接把V=1代入解析式可求得；
（3）利用“气球内的气压小于等于140 kPa”作为不等关系解不等式求解即可．
【解析】解：（1）设p与V的函数关系式为，
将V=0.8，p=120代入上式，解得k=0.8×120=96，
所以p与V的函数关系式为；
（2）当V=1时，p=96，即气压是96kPa；
（3）由≤140，得，所以气球的体积应大于等于m3．
能力拓展
考法 反比例函数的实际应用
【典例】学校的学生专用智能饮水机在工作过程：先进水加满，再加热至100℃时自动停止加热，进入冷却期，水温降至25℃时自动加热，水温升至100℃又自动停止加热，进入冷却期，此为一个循环加热周期，在不重新加入水的情况下，一直如此循环工作，如图，表示从加热阶段的某一时刻开始计时，时间为（分）与对应的水温为（℃）函数图象关系，已知段为线段，段为双曲线一部分，点为，点为，点为．
（1）求出段加热过程的与的函数关系式和的值．
（2）若水温（℃）在时为不适饮水温度，在内，在不重新加入水的情况下，不适饮水温度的持续时间为多少分？
【答案】（1）， ；（2）
【分析】（1）设线段解析式为，双曲线的解析式为，然后把，代入，把代入求解即可；
（2）把分别代入一次函数与反比例函数解析式求出对应的x的值，有次求解即可．
【解析】（1）设线段解析式为，双曲线的解析式为
代入得
，
解得
∴线段AB的解析式，
代入得，解得
∴双曲线的解析式为
∴
解得；
（2）反比例函数解析式为，
当时，代入线段 ，解得，
代入反比例函数得，解得x=20
所以不适宜饮水的持续时间为分．
分层提分
题组A 基础过关练
1．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（ ）
A．v＝B．v+t＝480C．v＝D．v＝
【答案】A
【分析】先求得路程,再由等量关系“速度=路程时间”列出关系式即可.
【解析】解:由于以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地,那么路程为806=480千米,汽车的速度v(千米/时)与时间t(小时)的函数关系为v=,
所以A选项是正确的.
2．当压力F（N）一定时，物体所受的压强p（Pa）与受力面积S（m2）的函数关系式为P＝（S≠0），这个函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【解析】解：当F一定时，P与S之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．
故选：C．
3．若反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先设出反比例函数解析式，再把（﹣1，2）代入解析式可得k的值，进而得到答案．
【解析】解：设反比例函数解析式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点（﹣1，2），
∴k＝﹣1×2＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
故选B．
4．某工程队为教学楼贴瓷砖，已知楼体外表面积为5×103m2．所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的面积S（单位：m2）的函数关系式为________．
【答案】n＝
【分析】根据总面积除以每块瓷砖的面积等于瓷砖的块数即可得到函数解析式．
【解析】解：由总面积除以每块瓷砖的面积等于瓷砖的块数可得，
n＝ ＝ ，
故答案为：n＝ ．
5．某物体对地面的压强P（Pa）与物体和地面的接触面积S（m2）成反比例函数关系（如图），当该物体与地面的接触面积为0.25m2时，该物体对地面的压强是______Pa．
【答案】4000
【分析】直接利用函数图象得出函数解析式，进而求出答案．
【解析】设P＝，把（0.5，2000）代入得：
k＝1000，
故P＝，
当S＝0.25时，
P＝＝4000（Pa）．
故答案为：4000．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数和函数的图象交于A、B两点．利用函数图象直接写出不等式的解集是____________.
【答案】
【分析】不等式的解集实际上是反比例函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围，根据图象可以直接得出答案．
【解析】解：不等式的解集实际上是反比例函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围，根据图象得：1＜x＜4．
故答案为1＜x＜4．
题组B 能力提升练
1．已知甲、乙两地相距s（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（h）关于行驶速度v（km/h）的函数图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【解析】解：根据题意有：v•t＝s，
∴，
故t与v之间的函数图象为反比例函数，
且根据实际意义v＞0、t＞0，
∴其图象在第一象限．
故选：C．
2．已知长方形的面积为40cm2，相邻两边长分别为xcm和ycm，则y与x之间的函数图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意有：xy=40；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限，即可得出答案．
【解析】解：∵xy=40，
∴y=（x＞0，y＞0）．
故选：D．
3．为了建设生态文明，某工厂自2020年1月开始限产并进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的部分，下列选项错误的是（ ）
A．4月份的利润为50万元B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．9月份该厂利润达到200万元D．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
【答案】D
【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
【解析】解：A、设反比例函数的解析式为，
把代入得，，
反比例函数的解析式为：，
当时，，
月份的利润为50万元，正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，正确，不合题意；
C、设一次函数解析式为：，
则，
解得：，
故一次函数解析式为：，
故时，，
解得：，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，正确，不合题意．
D、当时，则，
解得：，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不正确，符合题意．
故选：D．
4．在平面直角坐标系中，分别过点A（m，0），B（m＋2，0）作垂直于x轴的直线l1和l2，探究直线 l1、l2与函数y=的图像（双曲线）之间的关系，下列结论错误的是( )
A．两条直线中总有一条与双曲线相交
B．当 m＝1 时，两条直线与双曲线的交点到原点的距离相等
C．当 m＜0 时，两条直线与双曲线的交点都在 y 轴左侧
D．当 m＞0 时，两条直线与双曲线的交点都在 y 轴右侧
【答案】C
【分析】反比例函数y=的图象位于第一、三象限，过点A（m，0），B（m+2，0）垂直于x轴的直线l1和l2根据m的值分别讨论各种情况，并对选项做出判断．
【解析】解：反比例函数y=的图象位于第一、三象限，过点A（m，0），B（m+2，0）垂直于x轴的直线l1和l2，无论m为何值，直线l1和l2至少由一条与双曲线相交，因此A正确；
当m=1时，直线l1和l2与双曲线的交点为（1，3）（3，1）它们到原点的距离为 ，因此B是正确的；
当m＜0时，但m+2的值不能确定，因此两条直线与双曲线的交点不一定都在y轴的左侧，因此C选项是不正确的；当m＞0时，m+2＞0，两条直线与双曲线的交点都在y轴右侧，是正确的，故选C．
5．已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，则小慧所戴眼镜的度数降低了 ___度．
【答案】150
【分析】设出反比例函数解析式，把（0.25，400）代入求得反比例函数解析式，再直接利用x=0.4代入求出答案．
【解析】解：由已知设D与f的函数关系式为：D=（k≠0），
把D=400，f=0.25代入，得400=，
解得：k=0.25×400=100，
故D与f之间的函数关系式为：D=；
当f=0.4时，有D=，
400-250=150，
小慧所戴眼镜的度数降低了150度．
故答案为：150．
6．小明要把一篇文章录入电脑，所需时间与录入文字的速度（字）之间的反比例函数关系如图所示，如果小明要在内完成录入任务，则小明录入文字的速度至少为______字．
【答案】
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出时，的值，然后根据反比例函数的增减性即可得．
【解析】解：设反比例函数的解析式为，
将点代入得：，
则反比例函数的解析式为，
当时，，
反比例函数的在内，随的增大而减小，
如果小明要在内完成录入任务，则小明录入文字的速度至少为字，
故答案为：．
7．已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于第四象限的点，则这个反比例函数的表达式为_______.
【答案】
【分析】把点P代入一次函数求出a，再代入反比例函数求出k即可.
【解析】把代入一次函数得-2=2a-4，解得a=1
∴
代入得k=-2，
∴反比例函数的表达式为
故填：.
8．已知一次函数与反比例函数中，函数、与自变量x的部分对应值分别如表1．表2所示：
则关于x的不等式的解集是__________．
【答案】或
【分析】根据表格中的数据可以求得一次函数与反比例函数的解析式，从而可以得到不等式的解集，本题得以解决．
【解析】解：∵点（-4，-1）和点（0，3）在一次函数y1=k1x+b的图象上，
∴，得，
即一次函数y1=x+3，
∵点（1，4）在反比例函数的图象上，
，得k2=4，
即反比例函数，
令x+3=，得x1=1，x2=-4，
∴不等式的解集是x＞1或-4＜x＜0，
故答案为x＞1或-4＜x＜0．
题组C 培优拔尖练
1．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺若干块木板，构筑成一条临时通道，木板对地面的压强风是木板面积的反比例函数，其图象如图所示，当木板压强不超过时，木板的面积应为（ ）
A．不大于B．不小于C．不大于D．不小于
【答案】B
【分析】由图可知为定值，即，易求出解析式，利用压强不超过，即时，求相对应的自变量的范围．
【解析】解：设，
把代入，得，
，
．
由题意知，
，
即木板面积至少要有，
即不小于，
故选：B．
2．某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表．请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力最接近（ ）
A．120NB．151NC．300ND．302N
【答案】B
【分析】根据表中信息可知动力臂与动力成反比的关系，选择利用反比例函数来解答．
【解析】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系，
设方程为：，
从表中任取一个有序数对，
不妨取代入，
解得：，
，
把代入上式，
解得：，
故选：B．
3．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有3个月的利润低于100万元
D．8月份该厂利润达到200万元
【答案】D
【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
【解析】解：A、设反比例函数的解析式为y=，
把（1，200）代入得，k=200，
∴反比例函数的解析式为：y=，
当x=4时，y=50，
∴4月份的利润为50万元，故此选项正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不合题意；
C、当y=100时，则100=，
解得：x=2，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故此选项正确，不符合题意．
D、设一次函数解析式为：y=kx+b，
则，
解得：，
故一次函数解析式为：y=30x-70，
故y=200时，200=30x-70，
解得：x=9，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，故此选项不正确，符合题意．
故选：C．
4．下列函数关系中，随的增大而减小的是（ ）
A．长方形的长一定时，其面积与宽的函数关系
B．高速公路上匀速行驶的汽车，其行驶的路程与行驶时间的函数关系
C．如图1，在平面直角坐标系中，点、，的面积与点的横坐标的函数关系
D．如图2，我市某一天的气温（度）与时间（时）的函数关系
【答案】C
【分析】首先要明确各选项的函数关系，再根据函数的性质进行判断即可.
【解析】A. 长方形的长一定时，其面积与宽成正比例关系，此时随的增大而增大，故选项A不符合题意；
B. 高速公路上匀速行驶的汽车，其行驶的路程与行驶时间成正比例关系，此时随的增大而增大，故选项B不符合题意；
C. 如图1，在平面直角坐标系中，点、，的面积与点的横坐标成反比关系，此时随的增大而减小，故选项C符合题意；
D. 如图2，我市某一天的气温（度）与时间（时）的函数关系中无法判断，y与x的关系，故选项D不符合题.
故选：C.
5．方方驾驶小汽车匀速从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时，方方上午8点驾驶小汽车从A地出发，需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，则小汽车行驶速度v的范围______________．
【答案】
【分析】由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而求出关于的函数表达式，8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入关于的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围．
【解析】解：由题意可得：
，且全程速度限定为不超过120千米小时，
关于的函数表达式为：，，
8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时
将代入得；将代入得．
小汽车行驶速度的范围为：，
故答案为：．
6．为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间（分钟）成正比例；烧灼后，与成反比例（如图所示）.现测得药物分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为.研究表明当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒作用，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室.
【答案】50
【分析】先求得反比例函数的解析式，然后把代入反比例函数解析式，求出相应的即可；
【解析】解：设药物燃烧后与之间的解析式，把点代入得，解得，
关于的函数式为：；
当时，由；得，所以50分钟后学生才可进入教室；
故答案为50．
7．为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
【答案】（1）药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=x（0≤x≤8），药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=（x＞8）；（2）从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室；（3）这次消毒是有效的．
【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y=k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y=，把点（8，6）代入即可；
（2）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；
（3）把y=3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效．
【解析】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x（k1＞0）代入（8，6）为6=8k1，
∴k1=，
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=（k2＞0）代入（8，6）为6=，
∴k2=48，
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=x（0≤x≤8），药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=（x＞8）；
（2）结合实际，令y=中，y≤1.6得x≥30，
即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室；
（3）把y=3代入y=x，得：x=4，
把y=3代入y=，得：x=16，
∵16-4=12，12＞10，
所以这次消毒是有效的．
8．根据传染病防控制度的要求，学校必须对教室定期用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物燃烧完毕后，y（毫克）与时间x（分钟）成反比例，如图所示．请根据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）当药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 ；
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进入教室，则从消毒开始，至少需要经过 分钟后，学生才能回到教室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2毫克且持续时间不低于14分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【答案】（1）y=2x，0≤x≤4，；（2）20；（3）此次消毒有效，理由见解析
【分析】（1）当0≤x≤4时，药物燃烧时y与x之间是正比例函数关系，根据（4,8）利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；当x＞8时，药物燃烧后y与x的函数关系是反比例函数关系，根据（4,8）利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）将y=1.6代入反比例函数关系式，就可求出对应的自变量的值，结合函数图像解答即可；
（3）把y=2代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，它们之差与14进行比较，若大于等于14就有效．
【解析】解：(1) 当0≤x≤4时，设y=kx，把（4,8）代入得8=4k，即k=2
∴y= 2x(0≤x≤4)；
当x＞4时，设y=,把（4,8）代入得8=，即m=32
∴y= (x＞4)
故填y=2x，0≤x≤4，；
(2)当y=1.6时，则有=1.6，解答x=20
结合图像知，至少需要经过20分钟后，学生才能回到教室；
(3)此次消毒有效，理由如下：
把y=2代入y= 2 x，得：x=1
把y=2代入y= ，得：x=16
∵16﹣1=15＞14．
∴这次消毒是有效的．
课程标准
课标解读
能用反比例函数解决简单实际问题
1. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，并能结合图象加深对问题的理解。
2．根据条件求出函数解析式，运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识。
动力臂L（m）
动力F（N）
0.5
600
1.0
302
1.5
200
2.0
a
2.5
120