2022-2023学年新疆乌鲁木齐一中高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年新疆乌鲁木齐一中高二（下）开学数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若直线l1：ax+2ay+1=0与直线l2：(a−1)x−(a+1)y−1=0垂直，则a的值为( )
A. 0B. −1C. −2D. −3
2.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c.点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则MN=( )
A. 12a−23b+12c
B. −23a+12b+12c
C. 12a+12b−23c
D. 12a+23b−12c
3.和椭圆x29+y25=1有相同焦点的等轴双曲线方程为( )
A. x22−y22=1B. x2 2−y2 2=1C. x24−y24=1D. x216−y216=1
4.在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a6+a10=( )
A. 12B. 16C. 20D. 24
5.设直线l：y=kx+ 5(k>0)，交圆x2+y2=2于A，B两点，当△OAB面积最大时，k=( )
A. 55B. 2 55C. 2D. 12
6.已知递增等比数列{an}，a1>0，a1a5=16，a2+a4=10，则S5=( )
A. 15B. 31C. 32D. 63
7.若点P(1,1)为椭圆x24+y29=1的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为( )
A. 4x+9y−13=0B. 9x+4y−13=0
C. 4x−9y+5=0D. 9x−4y−5=0
8.已知函数f(x)=alnx，g(x)=bex，若直线y=kx(k>0)与函数f(x)，g(x)的图象都相切，则a+1b的最小值为( )
A. 2B. 2eC. e2D. e
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图是某正方体的平面展开图，则在该正方体中( )
A. A1B//C1D
B. A1B/​/平面ACD1
C. A1B与CB1所成角为60°
D. A1B与平面AB1C所成角的正弦值为 33
10.已知动直线l：kx−y−k+1=0与圆C：x2+y2−4y=0，则下列说法正确的是( )
A. 直线l过定点(1,1)B. 圆C的圆心坐标为(0,2)
C. 直线l与圆C的相交弦的最小值为2 2D. 过点(2,3)有且仅有一条直线与圆C相切
11.已知椭圆C：x23+y22=1的左、右焦点为F1、F2，点M为椭圆上的点(M不在x轴上)，则下列选项中正确的是( )
A. 椭圆C的长轴长为2 3B. 椭圆C的离心率e=13
C. △MF1F2的周长为2 3+1D. MF1⋅MF2的取值范围为[1,2)
12.设数列{an}的前n项和为Sn，且nSn=(n+1)Sn−1+(n−1)n(n+1)(n≥2,n∈N*)，若S1=−50，则下列结论正确的有( )
A. a5>0B. 数列{an}单调递增
C. 当n=4时，Sn取得最小值D. Sn>0时，n的最小值为7
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=sin(x−π2)在x=π2处的切线与坐标轴围成的封闭三角形的面积为______．
14.设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y= 2x，则C的离心率为 ．
15.已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且其前n项和分别为Sn和Tn.若SnTn=3n−22n+1，则a3b3= ______．
16.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0)，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则p= ______，AF4−9BF的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=lnx，g(x)=tanx．
(1)求曲线y=g(x)在(π4,g(π4))处切线的方程；
(2)若直线l过坐标原点且与曲线y=f(x)相切，求直线l的方程．
18.(本小题12分)
已知圆C过P(2,6)，Q(−2,2)两点，且圆心C在直线3x+y=0上．
(1)求圆C的方程．
(2)若直线l过点P(0,5)且被圆C截得的线段长为4 3，求l的方程．
19.(本小题12分)
已知等差数列{an}满足a2=2，且S11=66．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=1anan+1,n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn．
20.(本小题12分)
在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，PA=PD=3，AB=2，∠ABC=60°．
(1)证明：PB/​/平面EAC；
(2)求直线EC与平面PAB所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1=2,an+1−an=2n，数列{bn}满足 b1+ b2+ b3+⋯+ bn=n(n−1)2,n∈N*．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn=( bn+1)an，求数列{cn}的前n项和．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为D，且△DF1F2为等边三角形.经过焦点F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，△F1AB的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)试探究：在x轴上是否存在定点T，使得TA⋅TB为定值？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵直线l1：ax+2ay+1=0与直线l2：(a−1)x−(a+1)y−1=0垂直，
当a=0时不满足，
当a≠0时，a(a−1)−2a(a+1)=0，解得a=−3．
故选：D．
根据两直线垂直与斜率之间的关系即可求解．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：在△OBC中，利用△OBC中，ON=12(OB+OC)=12b+12c，OM=23OA=23a，
所以MN=ON−OM=−23a+12b+12c．
故选：B．
直接利用向量的线性运算的应用求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：椭圆x29+y25=1，a12=9,b12=5，则c2=a12−b12=4，可得c=2，
设等轴双曲线方程为x2a2−y2b2=1，其中a=b，
可得a2+b2=4，解得a2=b2=2
所求的双曲线方程为x22−y22=1．
故选：A．
求出椭圆的焦点坐标，再利用等轴双曲线性质，求解即可．
本题考查椭圆以及双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等差数列的性质，是基础题．
由等差数列的性质得a4+a8=2a6，a2+a6+a10=3a6，由此能求出结果．
【解答】
解：∵在等差数列{an}中，a4+a8=16，
∴a4+a8=2a6=16，解得：a6=8，
∴a2+a6+a10=3a6=24．
故选D．
5.【答案】C
【解析】解：由题意知OA=OB= 2，S△OAB=12OA⋅OB⋅sin∠AOB=sin∠AOB≤1，当且仅当OA⊥OB取等号，此时AB=2，△OAB为等腰直角三角形，
设O到直线l的距离为d，则d=12AB=1，由点到直线距离公式d=| 5| 1+k2=1，所以k2=4，由k>0得k=2．
故选：C．
利用面积公式可求得△OAB面积最大时OA⊥OB，进而求得O到直线l的距离，利用点到直线距离公式即可．
本题考查面积公式与点到直线距离公式，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：因为递增等比数列{an}，a1>0，a1a5=a2a4=16，a2+a4=10，
所以a2=2，a4=8，q=2，a1=1，
则S5=1−251−2=31．
故选：B．
由已知结合等比数列的性质及求和公式即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
∵弦AB的中点为点P(1,1)，
∴弦AB的斜率存在．
x1+x2=2，y1+y2=2．
把A，B的坐标代入椭圆x24+y29=1，得：x124+y129=1，①
x224+y229=1，②
①−②得：(x1−x2)(x1+x2)4=−(y1−y2)(y1+y2)9，
即y1−y2x1−x2=−9(x1+x2)4(y1+y2)=−94．
∴kAB=−94，
弦AB所在直线的方程是：y−1=−94(x−1)，
整理得：9x+4y−13=0．
故选：B．
由题意可知弦AB的斜率存在，设出A，B的坐标，代入椭圆方程作差后得到弦AB的斜率，然后由直线方程的点斜式求得弦AB所在直线的方程．
本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了“点差法”，涉及弦中点问题常用此法解决，是中档题．
8.【答案】B
【解析】解：设直线y=kx(k>0)分别与函数f(x)，g(x)相切于(x1,kx1)，(x2,kx2)，
由f(x)=alnx，g(x)=bex，得f′(x)=ax，g′(x)=bex，
∴ax1=bex2=k，且alnx1=kx1，bex2=kx2，
解得x1=e，x2=1．
∴a=ke，b=ke，则a+1b=ke+ek≥2 ke⋅ek=2e，
当且仅当ke=ek，即k=1时上式等号成立．
∴a+1b的最小值为2e．
故选：B．
设直线y=kx(k>0)分别与函数f(x)，g(x)相切于(x1,kx1)，(x2,kx2)，求出f(x)与g(x)的导函数，利用斜率相等及函数值相等列式求得x1，x2的值，进一步得到a=ke，b=ke，再由基本不等式求a+1b的最小值．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：把平面展开图还原原几何体，建立空间直角坐标系，如图所示：
设AB=1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，
A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)；
对于A，A1B=(0,1,−1)，C1D=(0,−1,−1)，
计算A1B⋅C1D=0−1+1=0，所以A1B⊥C1D，即A1B⊥C1D，选项A错误；
对于B，A1B=(0,1,−1)，CD1=(0,−1,1)，所以A1B//CD1，又A1B、CD1不重合，所以A1B/​/CD1，又CD1⊂平面ACD1，A1B⊄平面ACD1，所以A1B//ACD1，选项B正确；
对于C，因为A1B=(0,1,−1)，CB1=(1,0,1)，所以A1B⋅CB1=−1，
cs=A1B⋅CB1|A1B||CB1|=−1 2× 2=−12，
所以A1B与CB1的夹角为120°，异面直线A1B与CB1所成角为60°，选项C正确；
对于D，A1B=(0,1,−1)，AB1=(0,1,1)，AC=(−1,1,0)，
设平面AB1C的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AB1=y+z=0n⋅AC=−x+y=0，令x=1，得y=1，z=−1，所以平面AB1C的一个法向量，
计算cs=A1B⋅n|A1B||n|=0+1+1 2× 3= 63，所以直线A1B与平面AB1C所成角的正弦值为 63，选项D错误．
故选：BC．
把平面展开图还原原几何体，建立空间直角坐标系，利用坐标向量，根据空间向量的坐标运算即可判断选项中的命题是否正确即可．
本题考查了空间中的垂直与平行关系应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A，直线l：kx−y−k+1=0，即k(x−1)−y+1=0，
故x−1=01−y=0，得x=1y=1，即直线l过定点(1,1)，故A正确；
对于B，圆C：x2+y2−4y=0，即x2+(y−2)2=4，
圆心坐标为(0,2)，故B正确；
对于C，因为12+(1−2)2=2<4，所以直线l所过定点(1,1)在圆的内部，
不妨设直线l过定点为A(1,1)，
当直线l与圆C的相交弦的最小时，AC与相交弦垂直，
又因为|AC|= (1−0)2+(1−2)2= 2，所以相交弦的最小为2 r2−|AC|2=2 2，故C正确；
对于D，因为22+(3−2)2=5>4，所以点(2,3)在圆外，
所以过点(2,3)有两条直线与圆C相切，D错误．
故选：ABC．
根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可．
本题考查的知识要点：直线和圆的位置关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：∵椭圆C：x23+y22=1，∴a2=3，b2=2，c2=1，
∴a= 3，b= 2，c=1，
∴椭圆的长轴长为2a=2 3，故A正确，
椭圆的离心率e=ca= 33，故B错误，
△MF1F2的周长为：|MF1+|MF2|+|F1F2|=2a+2c=2 3+2，故C不正确，
设M(x,y)(y≠0)，则− 3故MF1=(−1−x,−y)，MF2=(1−x,−y)，又x23+y22=1，则x2−3=−32y2，
故MF1⋅MF2=x2−1+y2=−12y2+2，
∵0故MF1⋅MF2的取值范围是[1,2)，故D正确．
故选：AD．
根据椭圆的方程，求出a，b，c，判断A，B，C的正误，设出M(x,y)，表示出MF1⋅MF2的解析式，求出其范围，判断正误即可．
本题考查了椭圆的方程和性质，考查转化思想，是中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：由nSn=(n+1)Sn−1+(n−1)n(n+1)(n≥2,n∈N*)，
得Snn+1−Sn−1n=n−1，Snn+1=S23−S12+S34−S23+⋯+Snn+1−Sn−1n+S12=1+2+⋯+(n−1)−502，
解得2Sn=n3−51n−50(n≥2,n∈N*)，
当n=1时，S1=−50满足上式，
所以Sn=n3−51n−502，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=3n2−3n−502，所以a5=3×52−3×5−502=5>0，故A正确；
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=3n2−3n−502单调递增，又a1=−50，a2=S2−S1=−22，
所以数列{an}单调递增，且a1所以当n≤4时，{Sn}单调递减，当n≥5时，{Sn}单调递增，且S4所以当n=4时，Sn取得最小值，故B，C正确；
又S7=73−51×7−502=−32<0,S8=83−51×8−502=27>0，故D错误．
故选：ABC．
根据已知条件及累加法求数列{an}的前n项和为Sn，利用an与Sn的关系求出数列{an}的通项公式，再结合已知条件逐项判断即可求解．
本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】π28
【解析】解：f(x)=sin(x−π2)=−sin(π2−x)=−csx，则f′(x)=sinx，
∴f′(π2)=1，f(π2)=0，
∴函数f(x)=sin(x−π2)在x=π2处的切线方程为y=x−π2，
令x=0，则y=−π2；令y=0，则x=π2，
∴函数f(x)=sin(x−π2)在x=π2处的切线与坐标轴围成的封闭三角形的面积为π2×π2×12=π28，
故答案为：π28．
由题意得发f(x)=−csx，求出f′(x)，可得切线方程，即可得出答案．
本题考查导数的几何意义和直线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
14.【答案】 3
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质，属于基础题．
由双曲线的方程求出渐近线的方程，再由题意求出a，b的关系，再由离心率的公式及a，b，c之间的关系求出双曲线的离心率．
【解答】
解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y=±bax，
由题意可得ba= 2，
所以离心率e=ca= 1+b2a2= 3，
故答案为： 3．
15.【答案】1311
【解析】解：SnTn=3n−22n+1，
则a3b3=a1+a5b1+b5=5(a1+a5)25(b1+b5)2=S5T5=3×5−22×5+1=1311．
故答案为：1311．
据等差数列中等差中项的性质，以及等差数列的求和公式，就求解．
本题主要考查等差数列的求和公式，属于基础题．
16.【答案】2 −6
【解析】解：抛物线的焦点坐标为(p2,0)，
∵焦点为F(1,0)，∴p2=1，得p=2，
即抛物线方程为y2=4x，
当AB⊥x轴时，x=1，此时y2=4，y=±2，即A(1,2)，B(1,−2)，则AF=BF=2，
AF4−9BF=24−92=−4，
当AB不垂直x轴时，设斜率为k，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则AB：y=k(x−1)，
代入y2=4x得k2(x−1)2=4x，
即k2x2−2k2x+k2=4x，即k2x2−(2k2+4)x+k2=0，
则x1+x2=8k2+4k2，x1x2=1，
则AF=AM=x1+1，BF=BN=x2+1，
1AF+1BF=11+ x1+11+x2=1+x1+1+x2(1+x1)(1+x2)=2+x1+x21+x1+x2+x1x2=2+2k2+4k21+1+2k2+4k2=2k2+2k2+42k2+2k2+4=1，
则1BF=1−1AF，
则AF4−9BF=AF4−9(1−1AF)=AF4+9AF−9≥2 AF4⋅9AF−9=2×32−9=3−9=−6，
当且仅当AF4=9AF，即AF=6时，取等号，
故AF4−9BF的最小值为−6，
根据抛物线的焦点坐标求出p，设出A，B坐标，联立直线和抛物线，利用设而不求思想结合基本不等式进行转化求解即可．
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，结合条件利用设而不求思想，进行转化，以及利用基本不等式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
17.【答案】解：(1)g(x)=tanx=sinxcsx，所以g′(x)=cs2x+sin2xcs2x=1cs2x，
所以g′(π4)=2，g(π4)=1，
所以切线方程为：y−1=2(x−π4)，整理得2x−y+1−π2=0．
(2)f(x)=lnx，所以f′(x)=1x，
设切点坐标为(x0,lnx0)，所以切线斜率为k=1x0，
则切线方程为：y−lnx0=1x0(x−x0)，
又因为切线过原点，所以将(0,0)代入切线方程得−lnx0=1x0⋅(−x0)，解得x0=e，
所以切线方程为：y−1=1e(x−e)，整理得x−ey=0．
【解析】(1)利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可；
(2)根据f(x)=lnx设切点坐标(x0,lnx0)，然后利用导数的几何意义得到斜率k=1x0，再利用点斜式写切线方程，将(0,0)代入切线方程得到x0=e即可得到切线方程．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)方法一设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，依题意有2D+6E+F=0−2D+2E+F=−8−3D2−E2=0，
解得D=4E=−12F=24，
故所求圆的方程为x2+y2+4x−12y+24=0．
(2)如图所示，|AB|=4 3，设D是线段AB的中点，
则 CD⊥AB，
∴|AD|=2 3，|AC|=4．
在Rt△ACD中，可得|CD|=2．
当直线l的斜率不存在时，满足题意，
此时方程为x=0.
当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y−5=kx，
即kx−y+5=0.由点C到直线AB的距离公式：
|−2k−6+5| k2+1=2，得k=34，此时直线l的方程为
3x−4y+20=0.
∴所求直线l的方程为x=0或3x−4y+20=0．
【解析】(1)把点P、Q的坐标和圆心坐标代入圆的标准方程，利用待定系数法求得系数的值；
(2)分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况．
①当直线l的斜率不存在时，满足题意，易得直线方程；
②当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y−5=kx，由点到直线的距离公式求得k的值．
本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，属于中档题．
19.【答案】解：(1)等差数列{an}中，a2=a1+d=2，且S11=11a1+55d=66，
解得，d=1，a1=1，
故an=1+n−1=n；
(2)由bn=1anan+1=1n(n+1)=1n−1n+1，
所以Sn=1−12+12−13+…+1n−1n+1，
=1−1n+1=nn+1．
【解析】(1)由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解；
(2)先求出bn，利用裂项求和即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，还考查了裂项求和方法的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)证明：如图1，

连接BD，设AC与BD交于点F，连接EF．
因为底面ABCD是菱形，所以F为BD的中点，又E是PD的中点，
所以EF/​/PB，又EF⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，
所以PB/​/平面EAC；
(2)如图2，取AD的中点O．
在△PAD中，PA=PD=3，AB=AD=2，O为AD的中点，所以PO⊥AD，
所以PO= PD2−OD2= 32−1=2 2．
因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
所以PO⊥底面ABCD，又OC⊂底面ABCD，
所以PO⊥OC．
在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，所以△ABC与△ACD是等边三角形，
所以OC⊥AD，AC=2，OC= 3．
以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，

则O(0,0,0)，A(0,−1,0)，D(0,1,0)，C( 3,0,0)，B( 3,−2,0)，P(0,0,2 2)，E(0,12, 2)，
则EC=( 3,−12,− 2)，AB=( 3,−1,0)，PA=(0,−1,−2 2)．
设n=(x,y,z)为平面PAB的一个法向量，则n⋅AB= 3x−y=0n⋅PA=−y−2 2z=0，
则可取n=(1, 3,− 64)，cs〈EC,n〉=EC⋅n|EC||n|= 3− 32+ 32 212× 704=4 1035．
所以直线EC与平面PAB所成角的正弦值4 1035．
【解析】(1)构造中位线，通过线线平行证明线面平行；
(2)建立空间直角坐标系，先求平面PAB的法向量，再求EC与法向量所成角的余弦值，再得到结果．
本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解线面角，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)依题意，数列{an}满足a1=2,an+1−an=2n，则an−an−1=2n−1(n≥2)，
所以an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+⋯+(a3−a2)+(a2−a1)+a1=2n−1+2n−2+⋯+21+2=2(1−2n−1)1−2+2=2n，a1也符合上式，
所以an=2n．
数列{bn}满足 b1+ b2+ b3+⋯+ bn=n(n−1)2,n∈N*，
当n=1时， b1=0，b1=0，
当n≥2时，由 b1+ b2+ b3+⋯+ bn=n(n−1)2，
得 b1+ b2+ b3+⋯+ bn−1=(n−2)(n−1)2，
两式相减得 bn=n(n−1)2−(n−2)(n−1)2=n−1，bn=(n−1)2，b1也符合上式，
所以bn=(n−1)2．
(2)由(1)得cn=( bn+1)an=n⋅2n，
所以Sn=c1+c2+⋯+cn，
Sn=1×21+2×22+3×23+⋯+n×2n，
2Sn=1×22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1，
两式相减得−Sn=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1=(1−n)2n+1−2，
所以Sn=(n−1)⋅2n+1+2．
【解析】(1)利用累加法求得an，利用退一作差法求得bn．
(2)利用错位相减求和法求得数列{cn}的前n项和．
本题主要考查了数列的递推关系的应用，还考查了错位相减求和方法的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵△DF1F2为等边三角形，|DF1|=|DF2|= b2+c2=a，|F1F2|=2c，
∴a=2c；
∵△F1AB的周长为8，
∴|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8，解得：a=2，∴c=1，b2=a2−c2=3，
∴椭圆C的方程为：x24+y23=1．
(2)假设在x轴上存在定点T(t,0)，使得TA⋅TB为定值；
由(1)知：F2(1,0)，直线l斜率不为零，
∴可设l：x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x=my+1x24+y23=1得：(3m2+4)y2+6my−9=0，则Δ=48(3m2+3)>0，∴y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
∴TA⋅TB=(x1−t)(x2−t)+y1y2=(my1+1−t)(my2+1−t)+y1y2
=(m2+1)y1y2+m(1−t)(y1+y2)+(1−t)2=−9m2−93m2+4−6m2(1−t)3m2+4+(1−t)2
=(6t−15)m2−93m2+4+(1−t)2；
∵TA⋅TB为定值，
∴6t−153=−94，解得：t=118，此时定值为−13564；
∴存在定点T(118,0)，使得TA⋅TB为定值．
【解析】(1)根据等边三角形三边长相等可知a=2c，根据△F1AB周长为4a可求得a，结合椭圆a，b，c关系可求得结果；
(2)假设存在满足题意的定点T(t,0)，设l：x=my+1，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据向量数量积的坐标运算表示出TA⋅TB，代入韦达定理的结论整理可得TA⋅TB=(6t−15)m2−93m2+4+(1−t)2，根据TA⋅TB为定值可构造方程6t−153=−94求得t的值，从而得到定点坐标．
本题主要考查直线与椭圆的综合，考查转化能力，属于难题．