2021-2022学年安徽省宣城市九年级（上）期末数学试卷 word，解析版

这是一份2021-2022学年安徽省宣城市九年级（上）期末数学试卷 word，解析版，共26页。试卷主要包含了选择题每小题都给出A等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年安徽省宣城市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（4分）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（　　）
A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1 C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2
2．（4分）下列各组的四条线段是成比例线段的是（　　）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．a＝，b＝3，c＝2，d＝ D．a＝2，b＝，c＝2，d＝
3．（4分）函数y＝的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，则k可能为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
4．（4分）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO的长为4米，若栏杆的旋转角∠AOA'＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　）

A．米 B．4sinα米 C．米 D．cosα米
5．（4分）以下有关抛物线y＝﹣x2+4x﹣3的结论，正确的是（　　）
A．开口向上
B．与y轴的交点坐标是（0，3）
C．与x轴只有一个交点
D．顶点坐标是（2，1）
6．（4分）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A． B．
C． D．
7．（4分）△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（　　）

A．sinα＝cosα B．tanC＝2 C．sinβ＝cosβ D．tanα＝1
8．（4分）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　）
A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）2
9．（4分）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　）

A．（40﹣40）cm B．（80﹣40）cm
C．（120﹣40）cm D．（80﹣160）cm
10．（4分）正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若2x﹣5y＝0，且xy≠0，则＝　 　．
12．（5分）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝外斜坡的坡比i＝l：1，两个坡角的和为75．，则坝内斜坡的坡比是 　 　．

13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过▱OABC的顶点C，则k＝　 　．

14．（5分）如图，正方形ABCD中，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，AC与DF交于点N．
（1）当AB＝4时，AN＝　 　．
（2）S△ANF：S四边形CNFB＝　 　．（S表示面积）

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：tan45°+4cos30°sin45°﹣tan60°
16．（8分）已知线段a，b，c满足，且a+2b+c＝26．求线段a，b，c的长．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．
（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使y1＜y2的自变量x取值范围．

18．（8分）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC位似，且位似比为1：2；
（2）写出点A'、点B'、点C'的坐标．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F．
（1）若AB＝6，AC＝8，求BD长；
（2）求证：AB•AF＝AC•DF．

20．（10分）跳台滑雪是北京冬奥会的项目之一．某跳台滑雪训练场的横截面示意图如图并建立平面直角坐标系．抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出（即A点坐标为（0，4）），滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）当运动员运动到距A处的水平距离为4米时，距图中水平线的高度为8米（即经过点（4，8）），求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？

六、（本题满分12分）
21．（12分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．
（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．
（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）

七、（本题满分12分）
22．（12分）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：△ABF≌△EAD；
（2）如图2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．


2021-2022学年安徽省宣城市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（4分）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（　　）
A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1 C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向，对称轴及顶点坐标，根据A，B与抛物线对称轴的距离大小求解．
【解答】解：∵y＝（x+1）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为抛物线最低点，坐标为（﹣1，2），
∵2﹣（﹣1）＞1﹣（﹣1），
∴y2＞y1＞2．
故选：D．
2．（4分）下列各组的四条线段是成比例线段的是（　　）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．a＝，b＝3，c＝2，d＝ D．a＝2，b＝，c＝2，d＝
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】解：A.4×10≠5×6，故本选项错误；
B.1×4≠2×3，故本选项错误；
C.×3≠2×，故本选项错误；
D.2×＝，故本选项正确；
故选：D．
3．（4分）函数y＝的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，则k可能为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，
∴k+1＜0，
解得k＜﹣1．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
4．（4分）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO的长为4米，若栏杆的旋转角∠AOA'＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　）

A．米 B．4sinα米 C．米 D．cosα米
【分析】要求栏杆A端升高的高度，所以想到过点A′作AC⊥AB，垂足为C，然后在Rt△A′CO中进行计算即可．
【解答】解：过点A′作AC⊥AB，垂足为C，

由题意可得：
OA＝OA′＝4米，
在Rt△A′CO中，A′O＝4米，∠A′OA＝α，
∴A′C＝A′Osinα＝4sinα米，
∴栏杆A端升高的高度为：4sinα米，
故选：B．
5．（4分）以下有关抛物线y＝﹣x2+4x﹣3的结论，正确的是（　　）
A．开口向上
B．与y轴的交点坐标是（0，3）
C．与x轴只有一个交点
D．顶点坐标是（2，1）
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及与y轴交点坐标，将解析式化为顶点式可得抛物与x轴交点个数与顶点坐标．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3，
∴抛物线开口向下，与y轴交点坐标为（0，﹣3）．
∴选项A，B错误．
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线顶点（2，1）在x轴上方，抛物线与x轴有2个交点，
∴选项C错误，选项D正确．
故选：D．
6．（4分）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】解：根据题意得：AB＝＝，AC＝，BC＝2，
∴AC：BC：AB＝：2：＝1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：C．
7．（4分）△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（　　）

A．sinα＝cosα B．tanC＝2 C．sinβ＝cosβ D．tanα＝1
【分析】观察图形可知，△ADB是等腰直角三角形，BD＝AD＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝1，AC＝，利用锐角三角函数一一计算即可判断．
【解答】解：观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD＝AD＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝1，AC＝，
∴sinα＝cosα＝，故A正确，
tanC＝＝2，故B正确，
tanα＝1，故D正确，
∵sinβ＝＝，cosβ＝，
∴sinβ≠cosβ，故C错误．
故选：C．

8．（4分）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　）
A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）2
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．
【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月投放单车a（1+x）2辆，
则y＝a（1+x）2．
故选：B．
9．（4分）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　）

A．（40﹣40）cm B．（80﹣40）cm
C．（120﹣40）cm D．（80﹣160）cm
【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值求出AC＝BD＝40﹣40，进而得出答案．
【解答】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴AC＝BD＝80×＝40﹣40，
∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝80﹣160，
故选：D．
10．（4分）正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】作PM⊥AD与M，根据正方形的性质易得PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，根据等腰三角形的性质即可得出AF＝2（4﹣x），由三角形面积公式得出S△APF＝×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，根据二次函数的性质即可求得结果．
【解答】解：作PM⊥AD与M，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝45°，
∴△PDM是等腰直角三角形，
∴PM＝DM，
设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，
∵AP＝PF，
∴AM＝FM＝4﹣x，
∴AF＝2（4﹣x），
∵S△APF＝AF•PM，
∴S△APF＝×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，S△APF有最大值4，
故选：C．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若2x﹣5y＝0，且xy≠0，则＝　　．
【分析】根据比例的基本性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵2x﹣5y＝0，
∴2x＝5y，
∴＝，
∴＝＝，
故答案为：．
12．（5分）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝外斜坡的坡比i＝l：1，两个坡角的和为75．，则坝内斜坡的坡比是 　　．

【分析】根据坝外斜坡的坡比i＝l：1，可得坝外的坡角∠B＝45°，然后根据两个坡角的和为75°，求得∠D的度数，继而可求得坡比．
【解答】解：∵坝外斜坡的坡比i＝l：1，
∴tan∠B＝1，
则∠B＝45°，
∵两个坡角的和为75°，
∴∠D＝75°﹣45°＝30°，
则坝内斜坡的坡比为：tan∠D＝tan30°＝．
故答案为：．

13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过▱OABC的顶点C，则k＝　﹣2　．

【分析】连接OB，AC，根据O，B的坐标易求P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值．
【解答】解：连接OB，AC，交点为P，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AP＝CP，OP＝BP，
∵O（0，0），B（1，2），
∴P的坐标（，1），
∵A（3，1），
∴C的坐标为（﹣2，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，
∴k＝﹣2×1＝﹣2，
方法二：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，OC∥AB，
∵O（0，0），A（3，1）．
∴A向下平移1个单位，再向左平移3个单位与O重合，
∴B向下平移1个单位，再向左平移3个单位与C重合，
∵B（1，2），
∴C（﹣2，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，
∴k＝﹣2×1＝﹣2，
故答案为：﹣2．

14．（5分）如图，正方形ABCD中，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，AC与DF交于点N．
（1）当AB＝4时，AN＝　　．
（2）S△ANF：S四边形CNFB＝　1：11　．（S表示面积）

【分析】（1）根据正方形的性质得到AB∥CD，从而推出△AFN∽△CDN，利用相似三角形的性质得到，结合图形根据线段之间的和差关系推出＝，进而根据正方形的性质、线段之间的和差关系和比例关系求解即可；
（2）根据相似三角形的性质推出S△CDN＝9S△AFN，根据线段的比例关系推出S△ADN＝3S△AFN，从而结合图形推出S四边形CNFB＝11S△AFN，进行求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴△AFN∽△CDN，
∴，
∵AF：FB＝1：2，AF+BF＝AB，
∴AF：AB＝1：3，
∴＝，
∵AB＝4，AC是正方形ABCD的对角线，
∴AC＝4，
又AN+CN＝AC，
∴AN＝AC＝，
故答案为：；
（2）由（1）得△AFN∽△CDN，且AN：CN＝1：3，
∴S△AFN：S△CDN＝1：9，
∴S△CDN＝9S△AFN，
又FN：DN＝1：3，
∴S△AFN：S△ADN＝1：3，
∴S△ADN＝3S△AFN，
∴S△ABC＝S△ADC＝S△CDN+S△ADN＝12S△AFN，
∴S四边形CNFB＝S△ABC﹣S△AFN＝11S△AFN，
∴S△ANF：S四边形CNFB＝1：11，
故答案为：1：11．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：tan45°+4cos30°sin45°﹣tan60°
【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘法，后算加减即可．
【解答】解：原式＝1+4××﹣×，
＝1+﹣1，
＝．
16．（8分）已知线段a，b，c满足，且a+2b+c＝26．求线段a，b，c的长．
【分析】设，然后用k表示出a、b、c，再代入a+2b+c＝26求解得到k，即可得到a、b、c的值．
【解答】解：设，
则a＝3k，b＝2k，c＝6k，
∵a+2b+c＝26
∴3k+2×2k+6k＝26，
解得k＝2，
∴a＝3×2＝6，
b＝2×2＝4，
c＝6×2＝12．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．
（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使y1＜y2的自变量x取值范围．

【分析】（1）通过读图，可得A、B点的坐标，进而可用待定系数法确定两个函数的解析式．
（2）结合两个函数的图象和A、B点的坐标，找出当一次函数图象在反比例函数图象下方时，自变量x的取值范围即可．
【解答】解：（1）由图象知反比例函数y2＝的图象经过点A（2，1），
∴1＝，
∴m＝2，
∴反比例函数解析式为；y2＝；
∵反比例函数y2＝的图象经过点B（﹣1，n），
∴n＝﹣2，
∴B（﹣1，﹣2），
由图象知一次函数y1＝kx+b的图象经过点A（2，1），B（﹣1，﹣2），
∴，解得，
∴一次函数解析式为y1＝x﹣1．

（2）由图象可得使y1＜y2的自变量x取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．
18．（8分）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC位似，且位似比为1：2；
（2）写出点A'、点B'、点C'的坐标．

【分析】（1）根据位似变换的性质画出图形即可；
（2）根据A′，B′，C′的位置写出坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）A′（﹣1，0），B′（2，0），C′（1，2）；

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F．
（1）若AB＝6，AC＝8，求BD长；
（2）求证：AB•AF＝AC•DF．

【分析】（1）由勾股定理得BC＝10，再证明△ABD∽△CBA，由此可得BD＝3.6；
（2）因为DE是AC边上的中线，所以DE＝CE＝AE，所以△FDB∽△FAD，所以有，又因为，所以即AB•AF＝AC•DF．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠CAB＝∠ADB，
∵∠B＝∠B，
∴△CBA∽△ABD，
∴，
∴，
∴BD＝3.6；

（2）证明：由（1）知：BD：AD＝AB：AC①，
又∵E为AC的中点，AD⊥BC，
∴ED＝AE＝EC，
∴∠C＝∠EDC＝∠FAD＝∠BDF，
又∵∠F为公共角，
∴△DBF∽△ADF，
∴BD：AD＝DF：AF②，
由①②得，AB：AC＝DF：AF，
∴AB•AF＝AC•DF．
20．（10分）跳台滑雪是北京冬奥会的项目之一．某跳台滑雪训练场的横截面示意图如图并建立平面直角坐标系．抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出（即A点坐标为（0，4）），滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）当运动员运动到距A处的水平距离为4米时，距图中水平线的高度为8米（即经过点（4，8）），求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？

【分析】（1）根据题意将点（0，4）和（4，8）代入C2：y＝﹣x2+bx+c求出b、c的值即可写出C2的函数解析式；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：﹣m2+m+4﹣（﹣m2+m+1）＝1，解出m即可．
【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：
，
解得：，
∴抛物线C2的函数解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：
：﹣m2+m+4﹣（﹣m2+m+1）＝1，
整理得：（m﹣12）（m+4）＝0，
解得：m1＝12，m2＝﹣4（舍去），
故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．
（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．
（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）

【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．
（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF﹣DE即可解决问题．
【解答】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．

∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，
∴四边形ABOE是矩形，
∴∠OBA＝90°，
∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，
∴OD＝BD•sin60°＝20（cm），
∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝20+5≈39.6（cm）．

（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，

∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°，
∴∠BCH＝30°，
∵∠BCD＝165°，
∴∠DCP＝45°，
∴CH＝BCsin60°＝10（cm），DP＝CDsin45°＝10（cm），
∴DF＝DP+PG+GF＝DP+CH+AB＝（10+10+5）（cm），
∴下降高度：DE﹣DF＝20+5﹣10﹣10﹣5＝10﹣10≈3.2（cm）．
七、（本题满分12分）
22．（12分）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
【分析】（1）根据“销售单价每降低1元，则每天可多售出2件”列函数关系式；
（2）根据总利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，然后利用二次函数的性质分析其最值．
【解答】解：（1）由题意可得：y＝20+2（70﹣x），
整理，得：y＝﹣2x+160，
∴每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣2x+160（30≤x＜70）；
（2）设销售所得利润为w，由题意可得：
w＝（x﹣30﹣2）y＝（x﹣32）（﹣2x+160）＝﹣2x2+224x﹣5120，
整理，得：w＝﹣2（x﹣56）2+1152，
∵﹣2＜0，
∴当x＝56时，w取最大值为1152，
∴当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：△ABF≌△EAD；
（2）如图2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．

【分析】（1）先根据题意得出AB＝AE，DE＝DC，再证四边形ADCF是平行四边形，得出AF＝CD，进而得出AF＝DE，再由平行线性质得∠AED＝∠BAF，进而证得结论；
（2）先证明△EAD∽△CFE，得＝＝，根据四边形ADCF是平行四边形，得AD＝CF，AF＝CD，进而可得＝＝，求得CF＝6，CE＝，再利用△ABE∽△DEC，求得答案；
（3）如图3，延长BM、ED交于点G，先证明△ABE∽△DCE，得出＝＝，设CE＝1，BE＝x，DC＝DE＝a，则AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，可得EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），再利用△ABF∽△EGF，列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1，∵AE∥CD，
∴∠AEB＝∠BCD，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠DEC＝∠BCD，
∴DE＝DC，
∵CF∥AD，AE∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AF＝CD，
∴AF＝DE，
在△ABF和△EAD中，
，
∴△ABF≌△EAD（SAS）；
（2）方法①：∵CF∥AD，
∴∠EAD＝∠CFE，
∵∠ECF＝∠AED，
∴△EAD∽△CFE，
∴＝＝，
由（1）知：四边形ADCF是平行四边形，
∴AD＝CF，AF＝CD，
∵AB＝9，CD＝5，
∴AE＝9，DE＝5，
∴EF＝AE﹣AF＝9﹣5＝4，
∴＝＝，
∴CF2＝4×9＝36，即CF＝6，
∴CE＝，
∵∠ABC＝∠BCD＝∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DEC，
∴＝，即＝，
∴BE＝6；
方法②：由（1）知△ABF≌△EAD，
∴∠ABF＝∠EAD，
∵∠EAD＝∠CFE，
∴∠ABF＝∠CFE，
∵∠ABC＝∠AEB，∠ABC＝∠ABF+∠EBF，∠AEB＝∠CFE+∠ECF，
∴∠EBF＝∠ECF，
∵∠BAE＝∠AED＝∠ECF，
∴∠EBF＝∠BAE，
∵∠BEF＝∠AEB，
∴△BEF∽△AEB，
∴＝，即＝，
∴BE＝6；
（3）如图3，延长BM、ED交于点G，
∵△ABE，△DCE均为等腰三角形，且∠ABC＝∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴＝＝，
设CE＝1，BE＝x，DC＝DE＝a，
则AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，
∴EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），
∵AB∥DG，
∴∠ABG＝∠G
∵AD的中点M，
∴AM＝DM，
∵∠AMB＝∠DMG，
∴△AMB≌△DMG（AAS），
∴DG＝AB＝ax，
∴EG＝DG+DE＝ax+a＝a（x+1），
∵AB∥DG（即AB∥EG），
∴△ABF∽△EGF，
∴＝，即＝，
∴x2﹣2x﹣1＝0，
解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），
∴＝x＝1+．