2023-2024学年福建省泉州市惠安县八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市惠安县八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（试卷满分：150；考试时间：120分钟）
第Ⅰ卷 选择类
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．．
1．下列四个实数中，无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．平方根等于它本身的数是（ ）
A．0B．1C．2D．4
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如果是一个完全平方式，那么的值是（ ）
A．5B．C．10D．
5．现有两根木棒的长度分别为和，若要钉成一个直角三角形框架，则所需要最短的木棒长是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在和中，点A、E、B、D在同一条直线上，，，只添加一个条件不能判断的是（ ）
A．B．C．D．
7．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是( )
A．a=－3B．a=－1C．a=1D．a=3
8．如图，在中，，的垂直平分线交于点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，中，，是的平分线，交于点，若，，则的长为（ ）
A．B．8C．10D．12
10．已知，则的值为（ ）
A．49B．51C．55D．65
第Ⅱ卷 非选择类
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置．
11．比较大小： 3．（填“＞”、“=”或“＜”）
12．《义务教育劳动课程标准（2022年版）》将烹饪与营养作为日常生活劳动的四个任务群之一，并做出具体规定．已知某班共有50名学生，经调查统计学会烹饪的学生频率是，则该班学会烹饪的学生频数是 ．
13．已知，，则 ．
14．如图所示，点B所表示的数是 ．
15．如图是正方形网格图，点都是格点，则 ．
16．2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是由我国古代数学家赵爽的“弦图”演变而来，体现了数学研究中的继承和发展．如图是用八个全等的直角三角形拼接而成的“弦图”．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、．若正方形的边长为，则 ．

三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：．
18．分解因式：．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点，，使，再画出的垂线，使与，在一条直线上，这时测得的长就是的长．为什么？
21．研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神．某校准备组织八年级学生进行研学，现随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求学生必须从A，B，C，D四个研学点中选择一个，并将结果绘制成以下两幅尚未完整的统计图．请根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)求选择A研学点的学生人数m；
(2)求选择C研学点的学生人数，并补全条形统计图；
(3)求扇形统计图中D研学点对应的圆心角度数．
22．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且．
（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______．
（2）若图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．
23．如图，中，．
(1)尺规作图：作的平分线交于点，过点作，垂足为点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求证：．
24．我们知道，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．
【知识应用】
图1 图2
如图1，点为线段上的一点，分别过点作于A，于，连结．
（1）若，，，设，用含的代数式表示的长；
（2）参照（1）的思想方法，构图求代数式的最小值．
【能力迁移】
（3）如图2，正方形中，点在边上，点在边上，且．已知，求的最小值．
25．如图，为等腰直角三角形，，为边的中点，将绕点顺时针旋转得到，交于点，连接．
(1)证明：；
(2)连接并延长，交的延长线于点，连接．
①求证：三点共线；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查的是求解算术平方根，无理数的识别，无限不循环小数是无理数，本题根据无理数的定义逐一分析即可判断．
【详解】解：∵，
∴，，是有理数，是无理数，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查平方根，熟知平方根的定义是解题的关键．如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．任何正数a的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根仍旧是零；负数没有平方根．
【详解】解：根据平方根的定义， 平方根等于它本身的数只有0．
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、积的乘方、合并同类项，熟练掌握这些法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除法则、积的乘方法则、合并同类项法则分别进行判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，式中首尾两项分别是和的平方，所以中间项应为加上或减去和的乘积的2倍，即可得到结果，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴在中，，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了直角三角形的勾股定理，已知直角三角形的两边，利用勾股定理可以求得直角三角形的另一边，让已知的边长中有一边为斜边，即可求得结果，解题的关键是要分清楚直角边与斜边．
【详解】解：现有两根木棒的长度分别为和，若要钉成一个直角三角形框架，
当斜边长为，直角边为时，所需第三根木棒的长度最短，
此时，木棒的最短长度为，
故选：C．
6．C
【详解】根据平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定方法逐项分析即可．
解：∵，
∴，
A、∵，，
∴，
即；
∵，，，
∴；故该选项不符合题意；
B、∵，，，
∴；故该选项不符合题意；
C、∵，，，
不能得到与全等；故该选项符合题意；
D、∵，，
∴，
∵，，，
∴；故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的选择，三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
7．A
【分析】逐项代入验证即可．
【详解】解：若a= -3则 = =9，9>1，但-3<1，符合题意，
若a=－1则=1，不符合题意，
若a=1，则=1，不符合题意，
若a=3，则=9，9>1，a>1，不符合题意，
故选A.
【点睛】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法.
8．D
【分析】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，以及等腰三角形的性质．正确理解和运用性质是本题的关键．设，根据的垂直平分线，得到，根据，得到，再利用三角形的内角和定理列出方程求解即可．
【详解】解：设，
∵的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得
故选：D．
9．A
【分析】本题考查了角平分线的性质和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．过点作交于点，先证明，然后求出，接着设，在中利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点作交于点，
，平分交于点D，，
，，
，，
，
在中，，
在中，，
设，则，
解得：
即．
故选：A．
10．B
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的各种变式，利用完全平方公式变形即可．
【详解】解：，
，
，
故选：B．
11．＞．
【分析】先求出3=，再比较即可．
【详解】∵32=9＜10，
∴＞3，
故答案为＞．
【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法．
12．20
【分析】本题主要考查了频数的计算，掌握频数的计算公式是解题的关键．
【详解】解：该班学会烹饪的学生频数为：．
故答案为：20．
13．7
【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
故答案为：7．
14．##
【分析】由勾股定理求出的长，再由两点间距离公式可求出点B表示的数．
【详解】解：如图，
由勾股定理得：，
∴，
∵点B在原点的右侧，
∴点B表示的数为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数与数轴的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．45
【分析】连接、，根据等腰三角形性质得出，根据平行线的性质得出，证明，说明为直角三角形，，得出，根据平行线的性质得出，得出即可．
【详解】解：连接、如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了网格与勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．
16．30
【分析】本题考查了正方形面积的求解，解题的关键是对三角形的面积设而不求，借用三角形的面积寻找三个正方形面积的关系．
【详解】解：设八个全等的直角三角形每个面积为S，
由图形可得知，，，
，
∵正方形的边长为，
∴
∴．
故答案为：30．
17．3
【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，立方根定义，乘方运算法则，准确计算．
【详解】解：
．
18．
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可．
【详解】解：
．
19．；6
【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．
【详解】解：
，
把代入得：原式．
20．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的应用，由垂线的定义可得出，结合，，即可证出，利用全等三角形的性质可得出．
【详解】，理由如下：
证明：∵
∴．
在和中，
∴．
∴．
21．(1)
(2)人，图见解析
(3)
【分析】(1) 根据条形统计图和扇形统计图的信息即可求出研学点的学生人数；
(2)根据条形统计图和扇形统计图的信息即可求出研学点的学生人数，从而画出图形即可；
(3)根据条形统计图和扇形统计图的信息求出研学点的学生人数的百分数，进而得出结论．
【详解】（1）解：∵选择B研学点的学生人数66，所占百分数为：，
∴（人），
∴为：（人），
∴．
（2）解：∵为：人，参加调查的总人数为：人，
∴选择C研学点的学生人数为：（人），
∴如图所示
（3）解：∵参加调查的总人数为：人，选择C研学点的学生人数为人，
∴扇形统计图中D研学点对应的圆心角度数．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，读懂条形统计图和扇形统计图的信息是解题的关键．
22．（1）（a+2b）（2a+b）；（2）15平方厘米
【分析】（1）根据图形观察可得因式分解结果．
（2）整个图形面积减阴影部分面积即可．
【详解】解：（1）观察图形，可得：2a2+5ab+2b2
=（a+2b）（2a+b）．
故答案为：（a+2b）（2a+b）．
（2）∵图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米．
∴2a2+2b2=20，2（a+2b+2a+b）=24．
∴a2+b2=10，a+b=4．
∵（a+b）2=a2+b2+2ab．
∴16=10+2ab．
∴ab=3．
2a2+5ab+2b2=2×10+5×3=35（平方厘米）．
空白部分面积为：35-20=15（平方厘米）．
【点睛】本题考查因式分解的应用，仔细观察图形，找到面积关系是求解本题的关键．
23．(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据尺规作图的要求即可作出角平分线以及垂线；
（2）先根据直角三角形中角度之间的关系得到，再根据角平线的定义得到，再根据三角形内角和为，得到，再根据对边对等角即可得到结果．
【详解】（1）解：以点B为圆心，任意长为半径，画弧，交于点P，Q，连接，然后再分别以点P点Q为圆心，以大于长为半径画弧，两圆交点为点H，连接并延长至与有交点，此时交点为点D，即为的平分线；
以点A为圆心，适当长为半径画弧交于M，N，以M，N为圆心，大于长为半径画弧，交于点G，连接，交于点E，则是线段的垂直平分线；
与的交点为一点F，如图所示：
；
（2）证明：∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作角平分线，尺规作垂线，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等角对等边，正确作出来角平分线和垂线是解题的关键．
24．（1）（2）13（3）
【分析】本题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．
（1）根据勾股定理分别列代数式表示即可得出结论；
（2）作，过点B作，过点D作，使，，连接交于点C，设，则的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，利用矩形的直角三角形的性质可求得的值．
（3）作，垂足为H，证明，设，则，得出，根据（2）中方法得出结论
【详解】解：（1），，，，，设，
在中，，
在中，，
；
（2）如右图所示，作，过点B作，过点D作，使，，连接交于点C，
设，则的长即为代数式的最小值．
过点A作交的延长线于点F，得矩形，
则，
所以，
即的最小值为13；
（3）作，垂足为H，
在正方形中，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
与（2）同理得：最小值为．
25．(1)见解析
(2)①见解析；②；理由见解析
【分析】（1）根据证明三角形全等即可；
（2）①根据，得出，证明，得出，证明，得出，证明，得出，求出，即可证明结论；
②过点N作于点F，过点M作于点G，求出，得出，证明、为等腰直角三角形， 得出，，证明，求出，得出，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，，，
∵为等腰直角三角形，为边的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，为边的中点，
∴，，
∴，
根据旋转可知，，，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线；
②；理由如下：
过点N作于点F，过点M作于点G，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴、为等腰直角三角形，
∴，，
根据旋转可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理的应用，四边形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法．