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2023-2024学年福建省泉州市惠安县九年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年福建省泉州市惠安县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.化简 27的结果正确的是( )
A. 3B. 3 3C. 4D. 2 3
2.关于x的方程ax2−x−1=0是一元二次方程，则a的取值范围是( )
A. a>0B. a≠0C. a<0D. a为任意实数
3.下列计算正确的是( )
A. 2 2+3 3=5 5B. 12=4 3
C. (−2)2=−2D. 8÷ 2=2
4.下列事件中，属于随机事件的是( )
A. 太阳从东边升起B. 从地面向上抛的硬币会落下
C. 射击运动员射击一次，命中10环D. 小明跑步速度是30米/秒
5.△ABC中，AB=6，BC=8，CA=12，已知与△ABC相似的三角形的最长边是16，则其最短边是( )
A. 8B. 10C. 323D. 12
6.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB=3，则线段BC的长是( )
A. 23B. 1C. 32D. 2
7.某数学兴趣小组开展“元旦祝福”活动，要求小组每位成员给同组的其他人各写一句祝福语，结果一共写了56份，则该小组共有人．( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=2BD，则tanB的值是( )
A. 2
B. 2
C. 3
D. 22
9.若m，n为方程x2+x−5=0的两根，则m2+6m+5n的值为( )
A. 0B. 1C. 10D. 15
10.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的一个顶点O在坐标原点，点A的坐标为(−1, 3)反比例函数y=kx的图象经过点B和点C，则k的值是( )
A. 3
B. 3 34
C. 34
D. 34
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算：( 2+1)( 2−1)=______．
12.二次根式 x−3有意义，则x的取值范围是 ．
13.某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分(含边界)时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为______ ．
14.如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D，E分别是BC，AC的中点，连结AD，BE交于点O，则AO= ______ ．
15.对于任意实数m，求点P(m+2,1−2m)所在直线的解析式为______ ．
16.如图，在△ABC中，BC=1，D为AC延长线上一点，AC=2CD，∠CBD=∠A，过点D作DH//AB，交BC的延长线于点H.则DH= ______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解方程：x2−2x−8=0．
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算：( 2+1)2− 56÷ 7−| 3−3|．
19.(本小题8分)
如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成底面积是18cm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形的边长．
20.(本小题8分)
为丰富校园文化生活，某校举办了中学生“棋类大比拼”活动，棋类项目有四项：A.象棋；B.跳棋；C.飞行棋：D.五子棋.比赛形式分为“单人组”和“双人组”．
(1)小华参加“单人组”比赛，从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“飞行棋”的概率是______ ．
(2)小明和小红组合参加“双人组”比赛，其比赛规则是：同一组合的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次.求恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的概率.请用画树状图或列表的方法进行说明．
21.(本小题8分)
“为了安全，请勿超速”.如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)
22.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，将Rt△ABC沿BC方移a个单位得到Rt△DEF．
(1)求点C到AB的距离；
(2)连结AD，AE，当AD=AE时，求a的值．
23.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．
(1)延长AC至点N，使得AN=AB；过点N作ND⊥BC，与BC的延长线交于点D.(要求：尺规作图，不写作法，要保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，延长BA至点M，使得AM=AC.求证：D、M、N三点共线．
24.(本小题13分)
(1)如图1，AD是△ABC的中线，点E是AB边上一点，作EF//BC交AC于F，交AD于G.证明：AD平分EF．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，点M是AD的中点，连结BM并延长与AC交于点N，求ANNC的值．
(3)如图3，若BDBC=1m，AEAD=1n(m>1,n>1)，求AFAC的值．
25.(本小题13分)
如图，已知直线MN上的两点A、B，DB⊥MN于点B，且∠ACD=90°．
(1)如图1，若AC=DC，过点C作CE⊥CB，与直线MN交于点E．
①判断线段BD、AB、CB满足的数量关系，并说明理由；
②若∠ACB=60°，BC=1+ 3，求CD的长．
(2)如图2，若CD= 33AC，试探究线段BD、AB、CB之间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解： 27= 9×3= 32× 3=3 3．
故选：B．
根据二次根式的乘法法则得到 27= 9×3= 32× 3，然后利用二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次根式的性质： a2=|a|.也考查了二次根式的乘法法则．
2.【答案】B
【解析】解：∵关于x的方程ax2−x−1=0是一元二次方程，
∴a≠0．
故选：B．
根据一元二次方程的定义得出a≠0即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能能熟记当a≠0时方程ax2+bx+c=0是一元二次方程是解此题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.2 2与3 3不能合并，所以A选项不符合题意；
B. 12= 4×3= 4× 3=2 3，所以B选项不符合题意；
C. (−2)2=2，所以C选项不符合题意；
D. 8÷ 2= 8÷2=2，所以D选项符合题意．
故选：D．
根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的性质对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、太阳从东边升起，是必然事件，故A不符合题意；
B、从地面向上抛的硬币会落下，是必然事件，故B不符合题意；
C、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，故C符合题意；
D、小明跑步速度是30米/秒，是不可能事件，故D不符合题意；
故选：C．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵△ABC中，AB=6，BC=8，CA=12，与△ABC相似的三角形的最长边是16，
∴设其最短边是x，则6x=1216，
解得：x=8．
故选：A．
直接利用相似三角形的性质对应边成比例，进而得出答案．
此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边成比例是解题关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例.过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例解答即可．
【解答】
解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
则ABBC=ADDE，即3BC=2，
解得：BC=32．
7.【答案】D
【解析】解：设该小组共有x人，则每人需写(x−1)份祝福语，
根据题意得x(x−1)=56，
x1=−7(不符合题意)，x2=8．
答：该小组共有8人．
故选：D．
设该小组共有x人，则每人需写(x−1)份祝福语，根据“结果一共写了56份”，即可得出关于x的一元二次方程，再解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴∠B+∠A=∠ACD+∠A=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴tanB=tan∠ACD，
∴CDBD=ADCD，
∵AD=2BD，
∴CD2=2BD2，
∴CD= 2BD，
∴tanB=CDBD= 2．
故选：B．
由余角的性质推出∠B=∠ACD，得到tanB=tan∠ACD，因此CDBD=ADCD，由AD=2BD，求出CD= 2BD，于是得到tanB=CDBD= 2．
本题考查解直角三角形，关键是由锐角的正切定义得到CDBD=ADCD，求出CD= 2BD．
9.【答案】A
【解析】解：∵m，n为方程x2+x−5=0的两根，
∴m2+m−5=0，即m2+m=5；m+n=−1，
∴m2+6m+5n=(m2+m)+5(m+n)=5+5×(−1)=0．
故选：A．
由方程的解得定义可得m2+m=5，再根据根与系数的关系可得m+n=−1，然后对m2+6m+5n变形即可解答．
本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系等知识点，根据题意得到m2+1m=5和m+n=−1是解答本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：过点A作AM⊥x轴，垂足为M，过点B作BN⊥x轴，垂足为N，
∵∠OAM=∠BON=90°−∠AOM，
∴tan∠OAM=tan∠BON=OMAM=BNON=1 3= 33，
设点B(a,b)，
∴ba= 33，
∴b= 33a，
∵四边形AOBC是矩形，
∴点C可看作是由点B平移得到的，
∵点A可看作是点O向左平移1个单位长度，再向上平移 3个单位长度，
∴C(a−1,b+ 3)，
∵点B、C都在反比例函数图象上，
∴ab=(a−1)(b+ 3)，即 3a−b= 3，
∵b= 33a，
∴ 3a− 33a= 3，
∴a=32，b= 32，
∴k=32× 32=3 34．
故选：B．
设点B坐标为(a,b)根据等角的余角相等，可得∠OAM=∠BON，依据点A坐标，可得b= 33a，再利用平移性质，可得点C坐标，点C、B同在反比例函数图象上，建立关于ab的方程ab=(a−1)(b+ 3)，联立方程组得a、b值，k值即可算出．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，正确表示点的坐标是解题的关键．
11.【答案】1
【解析】解：( 2+1)( 2−1)=( 2)2−1=1．
故答案为：1．
两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．就可以用平方差公式计算．结果是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)．
本题应用了平方差公式，使计算比利用多项式乘法法则要简单．
12.【答案】x≥3
【解析】【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式的被开方数x−3≥0.即可得出答案．
【解答】
解：根据题意，得x−3≥0，
解得，x≥3；
故答案为：x≥3．
13.【答案】18
【解析】解：阴影部分占45°，
则其占整个圆面积的45360=18，
即该顾客获奖的概率为18．
故答案为：18．
先求出45°在整个转盘中所占面积的比值，根据此比值即可解答．
本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
14.【答案】103
【解析】解：由题意，∵AB=6，AC=8，BC=10，
∴BC2=AC2+AB2．
∴∠BAC=90°．
又D是BC的中点，
∴AD=12BC=5．
∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴O是△ABC的重心．
∴AO=23AD=23×5=103．
故答案为：103．
依据题意，由AB=6，AC=8，BC=10，从而BC2=AC2+AB2，可得∠BAC=90°，又D是BC的中点，故AD=12BC=5，又D，E分别是BC，AC的中点，则O是△ABC的重心，进而由AO=23AD计算可以得解．
本题主要考查了三角形的重心、勾股定理逆定理、直角三角形的性质等，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
15.【答案】y=−2x+5
【解析】解：∵点P(m+2,1−2m)
∴x=m+2，y=1−2m，
由x=m+2，得：m=x−2，
将m=x−2代入y=1−2m，得：y=1−2(x−2)，
整理得：y=−2x+5，
∴对于任意实数m，求点P(m+2,1−2m)所在直线的解析式为y=−2x+5．
故答案为：y=−2x+5．
由点P的坐标得出x=m+2，y=1−2m，由此消去m即可得所求一次函数的解析式．
此题主要考查了一次函数的图象，理解题意，解决问题的关键是由点P的坐标得出x=m+2，y=1−2m，由此消去m可得一次函数的解析式．
16.【答案】 32
【解析】解：∵DH//AB，
∴ACDC=BCHC，
∵AC=2CD，即ACDC=2，
∴BCHC=2，
∵BC=1，
∴HC=12，
∴BH=BC+HC=1+12=32，
∵DH//AB，
∴∠A=∠ADH，
∵∠CBD=∠A，
∴∠ADH=∠CBD，
又∵∠H为公共角，
∴△DCH∽△BDH，
∴DHBH=HCDH，
即DH2=HC⋅BH=12×32=34，
∴DH= 32．
先根据平行线分线段成比例定理求出HC的长度，即可得出BH的长，再根据两角分别相等的两个三角形相似证得△DCH∽△BDH，再根据相似三角形的对应边成比例得出DHBH=HCDH，即可求出DH的长．
本题考查了平行线分线段成比例定理和三角形相似的判定与性质，熟练掌握这几个定理是解题的关键．
17.【答案】解：(x−4)(x+2)=0，
x−4=0或x+2=0，
∴x1=4，x2=−2．
【解析】利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程，因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，还可以使用公式法，配方法，等等．
18.【答案】解：原式=2+2 2+1− 56÷7+ 3−3
=3+2 2−2 2+ 3−3
= 3．
【解析】先利用完全平方公式、二次根式的除法法则和绝对值的意义计算，然后化简二次根式后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
19.【答案】解：设剪去的正方形边长为xcm，
依题意得(8−2x)⋅(5−2x)=18，
解得：x=1或x=112>5(舍去)．
答：减去的正方形的边长为1cm．
【解析】由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为(8−2x)，宽为(5−2x)，然后根据底面积是18cm2即可列出方程．
本题考查了一元二次方程的应用，明白纸盒的结构是解题的关键．
20.【答案】14
【解析】解：(1)由题意可知，从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“飞行棋”的概率是14．
故答案为：14．
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的结果有：AC，AD，CA，CD，DA，DC，共6种，
∴恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的概率为612=12．
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21.【答案】解：此车没有超速．
理由：过C作CH⊥MN，
∵∠CBN=60°，BC=200米，
∴CH=BC⋅sin60°=200× 32=100 3(米)，
BH=BC⋅cs60°=100(米)，
∵∠CAN=45°，
∴AH=CH=100 3米，
∴AB=100 3−100≈73(m)，
∵60千米/小时=503m/s，
∴735=14.6(m/s)<503≈16.7(m/s)，
∴此车没有超速．
【解析】根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的速度，进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出AB的长是解题关键．
22.【答案】(1)设点C到AB的距离为h，
∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
∴AB= AC2+BC2= 122+52=13，
∵S△ABC=12AB⋅h=12AC⋅BC，
∴12×12×5=12×13h，
h=6013，
∴点C到AB的距离为6013；
(2)将Rt△ABC沿BC方移a个单位得到Rt△DEF，
∴AD=BE=a，
∵CE=BE−BC，BC=5，
∴CE=a−5，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=90°，
∵AD=AE=a，
∴AC2+CE2=AE2，
122+(a−5)2=a2，
144+a2−10a+25=a2，
10a=169，
a=16.9．
【解析】(1)先设点C到AB的距离为h，利用勾股定理求出AB，再根据△ABC的面积=12AC⋅BC=12AB⋅h，求出h即可；
(2)先根据平移规律求出BE，从而求出CE，再利用已知条件和勾股定理，列出关于a的方程，解方程即可．
本题主要考查了勾股定理，解题关键是熟练应用勾股定理和平移规律．
23.【答案】(1)解：图形如图所示：
(2)证明：假设ND的延长线交BA的延长线于点M′．
∵ND⊥BC，
∴∠NDC=∠CAB=90°，
∵∠NCD=∠ACB，
∴∠ANM′=∠B，
∵∠NAM′=∠BAC=90°，AN=AB，
∴△NAM′≌△BAC(ASA)，
∴AM′=AC，
∵AM=AC，
∴M，M′重合，
∴M，D，N共线．
【解析】(1)根据要求画出图形；
(2)假设ND的延长线交BA的延长线于点M′.利用同一法证明．
你本题考查作图−基本作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
24.【答案】(1)证明：如图1，∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵EF//BC交AC于F，交AD于G，
∴△AEG∽△ABD，△AFG∽△ACD，
∴EGBD=AGAD，FGCD=AGAD，
∴EGBD=FGCD，
∴EGFG=BDCD=1，
∴EG=FG，
∴AD平分EF．
(2)解：如图2，作DG//BN交AC于点G，
∵AD是△ABC的中线，点M是AD的中点，
∴BD=CD，AM=MD，
∴CGNG=CDBD=1，ANNG=AMMD=1，
∴CG=NG，AN=NG，
∴AN=NG=CG，NC=NG+CG=2AN，
∴ANNC=AN2AB=12，
∴ANNC的值是12．
(3)解：如图3，作DH//BF交AC于点H，
∵BDBC=1m，
∴FHFC=BDBC=1m，
∴FC=mFH，
∵EF//DH，AEAD=1n，
∴AFAH=AEAD=1n，
∴AH=nAF，
∴AF+FH=nAF，
∴AF=1n−1FH，
∴AC=FC+AF=mFH+1n−1FH=mn−m+1n−1FH，
∴AFAC=1n−1FHmn−m+1n−1FH=1mn−m+1，
∴AFAC的值是1mn−m+1．
【解析】(1)由AD是△ABC的中线，得BD=CD，由EF//BC证明△AEG∽△ABD，△AFG∽△ACD，得EGBD=FGCD=AGAD，则EGFG=BDCD=1，所以EG=FG，则AD平分EF；
(2)作DG//BN交AC于点G，由AD是△ABC的中线，点M是AD的中点，得BD=CD，AM=MD，所以CGNG=CDBD=1，ANNG=AMMD=1，则AN=NG=CG，NC=2AN，所以ANNC=12；
(3)作DH//BF交AC于点H，则FHFC=BDBC=1m，所以FC=mFH，由EF//DH，得AFAH=AEAD=1n，则AH=AF+FH=nAF，所以AF=1n−1FH，可求得AC=FC+AF=mn−m+1n−1FH，即可求得AFAC=1mn−m+1．
此题重点考查三角形的中线的定义、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)①BD+AB= 2BC，
∵CE⊥CB，
∴∠BCE=90°=∠ACD，
∴∠ACE=∠DCB，∠CEA+∠CBA=90°，∠CBA+∠CBD=90°，
∴∠CEA=∠CBD，
∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB(AAS)，
∴BD=AE，CB=CE，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE= 2BC，
∴BE=AB+AE=BD+AB= 2BC；
②过点A作AE⊥BC，
由①可得∠ABC=45°，CD=CA，AE=BE，
∵∠ACB=60°，
∴∠CAE=30°，
设CE=x，则AE= 3x=BE，
∴BC=x+ 3x=1+ 3，解得x=1，
∴CD=CA=2CE=2；
(2)AB= 3BD+2BC．
过点C作EC⊥BC，连接AD，如图：
∵DB⊥MN，CD= 33AC，
∴∠CAD=30°，∠ADC=60°，
∵BD⊥AB，
∴∠BDC+∠DAB=∠EAC+∠DAB=30°，
∴∠EAC=∠BDC，
∵∠ACD=90°，∠ECB=90°，
∴∠ACE=∠DCB，
∴△ACE∽△DCB，
∴CBCE=DCAC=BDAE= 33，
∴AE= 3BD，
∵CDAC=CBCE，
∴CDCB=ACCE，
∵∠ACD=∠ECB=90°，
∴△ACD∽△ECB，
∴∠CEB=30°，
∴BE=2BC，
∴AB=AE+BE= 3BD+2BC；
【解析】(1)①证明△ACE≌△DCB得出BD=AE，CB=CE，结合∠BCE=90°，得出△BCE是等腰直角三角形，即可得出BD+AB= 2BC；
②过点A作AE⊥BC，由①可得∠ABC=45°，CD=CA，则AE=BE，∠CAE=30°，设CE=x，则AE=BE= 3x，根据BC=1+ 3即可求出x，进而求出CD；
(2)过点C作EC⊥BC，先证明△ACE∽△DCB，根据相似比即可AE= 3BD，BE=2BC，即可得出AB=AE+BE= 3BD+2BC．
本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键．
1.化简 27的结果正确的是( )
A. 3B. 3 3C. 4D. 2 3
2.关于x的方程ax2−x−1=0是一元二次方程，则a的取值范围是( )
A. a>0B. a≠0C. a<0D. a为任意实数
3.下列计算正确的是( )
A. 2 2+3 3=5 5B. 12=4 3
C. (−2)2=−2D. 8÷ 2=2
4.下列事件中，属于随机事件的是( )
A. 太阳从东边升起B. 从地面向上抛的硬币会落下
C. 射击运动员射击一次，命中10环D. 小明跑步速度是30米/秒
5.△ABC中，AB=6，BC=8，CA=12，已知与△ABC相似的三角形的最长边是16，则其最短边是( )
A. 8B. 10C. 323D. 12
6.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB=3，则线段BC的长是( )
A. 23B. 1C. 32D. 2
7.某数学兴趣小组开展“元旦祝福”活动，要求小组每位成员给同组的其他人各写一句祝福语，结果一共写了56份，则该小组共有人．( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=2BD，则tanB的值是( )
A. 2
B. 2
C. 3
D. 22
9.若m，n为方程x2+x−5=0的两根，则m2+6m+5n的值为( )
A. 0B. 1C. 10D. 15
10.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的一个顶点O在坐标原点，点A的坐标为(−1, 3)反比例函数y=kx的图象经过点B和点C，则k的值是( )
A. 3
B. 3 34
C. 34
D. 34
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算：( 2+1)( 2−1)=______．
12.二次根式 x−3有意义，则x的取值范围是 ．
13.某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分(含边界)时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为______ ．
14.如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D，E分别是BC，AC的中点，连结AD，BE交于点O，则AO= ______ ．
15.对于任意实数m，求点P(m+2,1−2m)所在直线的解析式为______ ．
16.如图，在△ABC中，BC=1，D为AC延长线上一点，AC=2CD，∠CBD=∠A，过点D作DH//AB，交BC的延长线于点H.则DH= ______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解方程：x2−2x−8=0．
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算：( 2+1)2− 56÷ 7−| 3−3|．
19.(本小题8分)
如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成底面积是18cm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形的边长．
20.(本小题8分)
为丰富校园文化生活，某校举办了中学生“棋类大比拼”活动，棋类项目有四项：A.象棋；B.跳棋；C.飞行棋：D.五子棋.比赛形式分为“单人组”和“双人组”．
(1)小华参加“单人组”比赛，从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“飞行棋”的概率是______ ．
(2)小明和小红组合参加“双人组”比赛，其比赛规则是：同一组合的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次.求恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的概率.请用画树状图或列表的方法进行说明．
21.(本小题8分)
“为了安全，请勿超速”.如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)
22.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，将Rt△ABC沿BC方移a个单位得到Rt△DEF．
(1)求点C到AB的距离；
(2)连结AD，AE，当AD=AE时，求a的值．
23.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．
(1)延长AC至点N，使得AN=AB；过点N作ND⊥BC，与BC的延长线交于点D.(要求：尺规作图，不写作法，要保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，延长BA至点M，使得AM=AC.求证：D、M、N三点共线．
24.(本小题13分)
(1)如图1，AD是△ABC的中线，点E是AB边上一点，作EF//BC交AC于F，交AD于G.证明：AD平分EF．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，点M是AD的中点，连结BM并延长与AC交于点N，求ANNC的值．
(3)如图3，若BDBC=1m，AEAD=1n(m>1,n>1)，求AFAC的值．
25.(本小题13分)
如图，已知直线MN上的两点A、B，DB⊥MN于点B，且∠ACD=90°．
(1)如图1，若AC=DC，过点C作CE⊥CB，与直线MN交于点E．
①判断线段BD、AB、CB满足的数量关系，并说明理由；
②若∠ACB=60°，BC=1+ 3，求CD的长．
(2)如图2，若CD= 33AC，试探究线段BD、AB、CB之间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解： 27= 9×3= 32× 3=3 3．
故选：B．
根据二次根式的乘法法则得到 27= 9×3= 32× 3，然后利用二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次根式的性质： a2=|a|.也考查了二次根式的乘法法则．
2.【答案】B
【解析】解：∵关于x的方程ax2−x−1=0是一元二次方程，
∴a≠0．
故选：B．
根据一元二次方程的定义得出a≠0即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能能熟记当a≠0时方程ax2+bx+c=0是一元二次方程是解此题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.2 2与3 3不能合并，所以A选项不符合题意；
B. 12= 4×3= 4× 3=2 3，所以B选项不符合题意；
C. (−2)2=2，所以C选项不符合题意；
D. 8÷ 2= 8÷2=2，所以D选项符合题意．
故选：D．
根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的性质对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、太阳从东边升起，是必然事件，故A不符合题意；
B、从地面向上抛的硬币会落下，是必然事件，故B不符合题意；
C、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，故C符合题意；
D、小明跑步速度是30米/秒，是不可能事件，故D不符合题意；
故选：C．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵△ABC中，AB=6，BC=8，CA=12，与△ABC相似的三角形的最长边是16，
∴设其最短边是x，则6x=1216，
解得：x=8．
故选：A．
直接利用相似三角形的性质对应边成比例，进而得出答案．
此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边成比例是解题关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例.过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例解答即可．
【解答】
解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
则ABBC=ADDE，即3BC=2，
解得：BC=32．
7.【答案】D
【解析】解：设该小组共有x人，则每人需写(x−1)份祝福语，
根据题意得x(x−1)=56，
x1=−7(不符合题意)，x2=8．
答：该小组共有8人．
故选：D．
设该小组共有x人，则每人需写(x−1)份祝福语，根据“结果一共写了56份”，即可得出关于x的一元二次方程，再解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴∠B+∠A=∠ACD+∠A=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴tanB=tan∠ACD，
∴CDBD=ADCD，
∵AD=2BD，
∴CD2=2BD2，
∴CD= 2BD，
∴tanB=CDBD= 2．
故选：B．
由余角的性质推出∠B=∠ACD，得到tanB=tan∠ACD，因此CDBD=ADCD，由AD=2BD，求出CD= 2BD，于是得到tanB=CDBD= 2．
本题考查解直角三角形，关键是由锐角的正切定义得到CDBD=ADCD，求出CD= 2BD．
9.【答案】A
【解析】解：∵m，n为方程x2+x−5=0的两根，
∴m2+m−5=0，即m2+m=5；m+n=−1，
∴m2+6m+5n=(m2+m)+5(m+n)=5+5×(−1)=0．
故选：A．
由方程的解得定义可得m2+m=5，再根据根与系数的关系可得m+n=−1，然后对m2+6m+5n变形即可解答．
本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系等知识点，根据题意得到m2+1m=5和m+n=−1是解答本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：过点A作AM⊥x轴，垂足为M，过点B作BN⊥x轴，垂足为N，
∵∠OAM=∠BON=90°−∠AOM，
∴tan∠OAM=tan∠BON=OMAM=BNON=1 3= 33，
设点B(a,b)，
∴ba= 33，
∴b= 33a，
∵四边形AOBC是矩形，
∴点C可看作是由点B平移得到的，
∵点A可看作是点O向左平移1个单位长度，再向上平移 3个单位长度，
∴C(a−1,b+ 3)，
∵点B、C都在反比例函数图象上，
∴ab=(a−1)(b+ 3)，即 3a−b= 3，
∵b= 33a，
∴ 3a− 33a= 3，
∴a=32，b= 32，
∴k=32× 32=3 34．
故选：B．
设点B坐标为(a,b)根据等角的余角相等，可得∠OAM=∠BON，依据点A坐标，可得b= 33a，再利用平移性质，可得点C坐标，点C、B同在反比例函数图象上，建立关于ab的方程ab=(a−1)(b+ 3)，联立方程组得a、b值，k值即可算出．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，正确表示点的坐标是解题的关键．
11.【答案】1
【解析】解：( 2+1)( 2−1)=( 2)2−1=1．
故答案为：1．
两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．就可以用平方差公式计算．结果是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)．
本题应用了平方差公式，使计算比利用多项式乘法法则要简单．
12.【答案】x≥3
【解析】【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式的被开方数x−3≥0.即可得出答案．
【解答】
解：根据题意，得x−3≥0，
解得，x≥3；
故答案为：x≥3．
13.【答案】18
【解析】解：阴影部分占45°，
则其占整个圆面积的45360=18，
即该顾客获奖的概率为18．
故答案为：18．
先求出45°在整个转盘中所占面积的比值，根据此比值即可解答．
本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
14.【答案】103
【解析】解：由题意，∵AB=6，AC=8，BC=10，
∴BC2=AC2+AB2．
∴∠BAC=90°．
又D是BC的中点，
∴AD=12BC=5．
∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴O是△ABC的重心．
∴AO=23AD=23×5=103．
故答案为：103．
依据题意，由AB=6，AC=8，BC=10，从而BC2=AC2+AB2，可得∠BAC=90°，又D是BC的中点，故AD=12BC=5，又D，E分别是BC，AC的中点，则O是△ABC的重心，进而由AO=23AD计算可以得解．
本题主要考查了三角形的重心、勾股定理逆定理、直角三角形的性质等，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
15.【答案】y=−2x+5
【解析】解：∵点P(m+2,1−2m)
∴x=m+2，y=1−2m，
由x=m+2，得：m=x−2，
将m=x−2代入y=1−2m，得：y=1−2(x−2)，
整理得：y=−2x+5，
∴对于任意实数m，求点P(m+2,1−2m)所在直线的解析式为y=−2x+5．
故答案为：y=−2x+5．
由点P的坐标得出x=m+2，y=1−2m，由此消去m即可得所求一次函数的解析式．
此题主要考查了一次函数的图象，理解题意，解决问题的关键是由点P的坐标得出x=m+2，y=1−2m，由此消去m可得一次函数的解析式．
16.【答案】 32
【解析】解：∵DH//AB，
∴ACDC=BCHC，
∵AC=2CD，即ACDC=2，
∴BCHC=2，
∵BC=1，
∴HC=12，
∴BH=BC+HC=1+12=32，
∵DH//AB，
∴∠A=∠ADH，
∵∠CBD=∠A，
∴∠ADH=∠CBD，
又∵∠H为公共角，
∴△DCH∽△BDH，
∴DHBH=HCDH，
即DH2=HC⋅BH=12×32=34，
∴DH= 32．
先根据平行线分线段成比例定理求出HC的长度，即可得出BH的长，再根据两角分别相等的两个三角形相似证得△DCH∽△BDH，再根据相似三角形的对应边成比例得出DHBH=HCDH，即可求出DH的长．
本题考查了平行线分线段成比例定理和三角形相似的判定与性质，熟练掌握这几个定理是解题的关键．
17.【答案】解：(x−4)(x+2)=0，
x−4=0或x+2=0，
∴x1=4，x2=−2．
【解析】利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程，因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，还可以使用公式法，配方法，等等．
18.【答案】解：原式=2+2 2+1− 56÷7+ 3−3
=3+2 2−2 2+ 3−3
= 3．
【解析】先利用完全平方公式、二次根式的除法法则和绝对值的意义计算，然后化简二次根式后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
19.【答案】解：设剪去的正方形边长为xcm，
依题意得(8−2x)⋅(5−2x)=18，
解得：x=1或x=112>5(舍去)．
答：减去的正方形的边长为1cm．
【解析】由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为(8−2x)，宽为(5−2x)，然后根据底面积是18cm2即可列出方程．
本题考查了一元二次方程的应用，明白纸盒的结构是解题的关键．
20.【答案】14
【解析】解：(1)由题意可知，从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“飞行棋”的概率是14．
故答案为：14．
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的结果有：AC，AD，CA，CD，DA，DC，共6种，
∴恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的概率为612=12．
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21.【答案】解：此车没有超速．
理由：过C作CH⊥MN，
∵∠CBN=60°，BC=200米，
∴CH=BC⋅sin60°=200× 32=100 3(米)，
BH=BC⋅cs60°=100(米)，
∵∠CAN=45°，
∴AH=CH=100 3米，
∴AB=100 3−100≈73(m)，
∵60千米/小时=503m/s，
∴735=14.6(m/s)<503≈16.7(m/s)，
∴此车没有超速．
【解析】根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的速度，进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出AB的长是解题关键．
22.【答案】(1)设点C到AB的距离为h，
∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
∴AB= AC2+BC2= 122+52=13，
∵S△ABC=12AB⋅h=12AC⋅BC，
∴12×12×5=12×13h，
h=6013，
∴点C到AB的距离为6013；
(2)将Rt△ABC沿BC方移a个单位得到Rt△DEF，
∴AD=BE=a，
∵CE=BE−BC，BC=5，
∴CE=a−5，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=90°，
∵AD=AE=a，
∴AC2+CE2=AE2，
122+(a−5)2=a2，
144+a2−10a+25=a2，
10a=169，
a=16.9．
【解析】(1)先设点C到AB的距离为h，利用勾股定理求出AB，再根据△ABC的面积=12AC⋅BC=12AB⋅h，求出h即可；
(2)先根据平移规律求出BE，从而求出CE，再利用已知条件和勾股定理，列出关于a的方程，解方程即可．
本题主要考查了勾股定理，解题关键是熟练应用勾股定理和平移规律．
23.【答案】(1)解：图形如图所示：
(2)证明：假设ND的延长线交BA的延长线于点M′．
∵ND⊥BC，
∴∠NDC=∠CAB=90°，
∵∠NCD=∠ACB，
∴∠ANM′=∠B，
∵∠NAM′=∠BAC=90°，AN=AB，
∴△NAM′≌△BAC(ASA)，
∴AM′=AC，
∵AM=AC，
∴M，M′重合，
∴M，D，N共线．
【解析】(1)根据要求画出图形；
(2)假设ND的延长线交BA的延长线于点M′.利用同一法证明．
你本题考查作图−基本作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
24.【答案】(1)证明：如图1，∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵EF//BC交AC于F，交AD于G，
∴△AEG∽△ABD，△AFG∽△ACD，
∴EGBD=AGAD，FGCD=AGAD，
∴EGBD=FGCD，
∴EGFG=BDCD=1，
∴EG=FG，
∴AD平分EF．
(2)解：如图2，作DG//BN交AC于点G，
∵AD是△ABC的中线，点M是AD的中点，
∴BD=CD，AM=MD，
∴CGNG=CDBD=1，ANNG=AMMD=1，
∴CG=NG，AN=NG，
∴AN=NG=CG，NC=NG+CG=2AN，
∴ANNC=AN2AB=12，
∴ANNC的值是12．
(3)解：如图3，作DH//BF交AC于点H，
∵BDBC=1m，
∴FHFC=BDBC=1m，
∴FC=mFH，
∵EF//DH，AEAD=1n，
∴AFAH=AEAD=1n，
∴AH=nAF，
∴AF+FH=nAF，
∴AF=1n−1FH，
∴AC=FC+AF=mFH+1n−1FH=mn−m+1n−1FH，
∴AFAC=1n−1FHmn−m+1n−1FH=1mn−m+1，
∴AFAC的值是1mn−m+1．
【解析】(1)由AD是△ABC的中线，得BD=CD，由EF//BC证明△AEG∽△ABD，△AFG∽△ACD，得EGBD=FGCD=AGAD，则EGFG=BDCD=1，所以EG=FG，则AD平分EF；
(2)作DG//BN交AC于点G，由AD是△ABC的中线，点M是AD的中点，得BD=CD，AM=MD，所以CGNG=CDBD=1，ANNG=AMMD=1，则AN=NG=CG，NC=2AN，所以ANNC=12；
(3)作DH//BF交AC于点H，则FHFC=BDBC=1m，所以FC=mFH，由EF//DH，得AFAH=AEAD=1n，则AH=AF+FH=nAF，所以AF=1n−1FH，可求得AC=FC+AF=mn−m+1n−1FH，即可求得AFAC=1mn−m+1．
此题重点考查三角形的中线的定义、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)①BD+AB= 2BC，
∵CE⊥CB，
∴∠BCE=90°=∠ACD，
∴∠ACE=∠DCB，∠CEA+∠CBA=90°，∠CBA+∠CBD=90°，
∴∠CEA=∠CBD，
∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB(AAS)，
∴BD=AE，CB=CE，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE= 2BC，
∴BE=AB+AE=BD+AB= 2BC；
②过点A作AE⊥BC，
由①可得∠ABC=45°，CD=CA，AE=BE，
∵∠ACB=60°，
∴∠CAE=30°，
设CE=x，则AE= 3x=BE，
∴BC=x+ 3x=1+ 3，解得x=1，
∴CD=CA=2CE=2；
(2)AB= 3BD+2BC．
过点C作EC⊥BC，连接AD，如图：
∵DB⊥MN，CD= 33AC，
∴∠CAD=30°，∠ADC=60°，
∵BD⊥AB，
∴∠BDC+∠DAB=∠EAC+∠DAB=30°，
∴∠EAC=∠BDC，
∵∠ACD=90°，∠ECB=90°，
∴∠ACE=∠DCB，
∴△ACE∽△DCB，
∴CBCE=DCAC=BDAE= 33，
∴AE= 3BD，
∵CDAC=CBCE，
∴CDCB=ACCE，
∵∠ACD=∠ECB=90°，
∴△ACD∽△ECB，
∴∠CEB=30°，
∴BE=2BC，
∴AB=AE+BE= 3BD+2BC；
【解析】(1)①证明△ACE≌△DCB得出BD=AE，CB=CE，结合∠BCE=90°，得出△BCE是等腰直角三角形，即可得出BD+AB= 2BC；
②过点A作AE⊥BC，由①可得∠ABC=45°，CD=CA，则AE=BE，∠CAE=30°，设CE=x，则AE=BE= 3x，根据BC=1+ 3即可求出x，进而求出CD；
(2)过点C作EC⊥BC，先证明△ACE∽△DCB，根据相似比即可AE= 3BD，BE=2BC，即可得出AB=AE+BE= 3BD+2BC．
本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键．
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