2023-2024学年福建省泉州市晋江市八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市晋江市八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（本卷共8页，25道题、满分150分；考试时间120分钟）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．下列各数中，属于无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．估计与最接近的整数是（ ）
A．B．C．D．
3．对于，下列式子运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图是某男生和某女生从小学到高中身高变化情况统计图，则对于这两人的身高年增长速度的说法不正确的是（ ）
A．男生在岁增长速度最快B．女生在岁增长速度最快
C．男生身高年增长速度能达到厘米年D．女生身高年增长速度能达到厘米年
5．若等式成立，则的值是（ ）
A．B．C．D．
6．在中，，，（为大于1的正整数），则是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
7．对于命题“若，则”，能说明该命题的逆命题是假命题的的值可以是（ ）
A．B．C．D．
8．若，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在长方体中，，，，点在棱上，，现有一只蚂蚁从点开始，沿着长方体的表面爬行到点，则它爬行的最短距离是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．16的算术平方根是 ．
12．利用反证法证明命题“若一个的三边长、、有关系时，则这个三角形不是直角三角形”，第一步要先假设“ 直角三角形”（填“是”或“不是”）.
13．如图，，若不添加辅助线并利用“”判定，则可以添加的条件是 （填写一个条件即可）
14．若，则
15．如图，在中，，的平分线交于点，，垂足为，若，，则的周长是 ．
16．新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．计算：.
18．分解因式：
19．先化简，再求值：，其中，．
20．如图，在和中，，，，求证：．
21．为了贯彻教育部办公厅《关于举办第八届全国学生“学宪法讲宪法”活动的通知》精神，某校在全校开展“宪法知识”笔试竞赛，试卷满分分，现从各年段随机调查了部分参赛学生的成绩，根据调查结果得到如图所示的不完整统计图表．
请根据图表信息解答下列问题：
(1)_______，_______，_______；
(2)请补全条形统计图；据了解该校大约有个学生，请估计该校“宪法知识”笔试竞赛成绩在等级以上（含等级）的人数．
22．如图，平分，，垂足为．

(1)若的面积为，，求点到的距离；
(2)点在线段上，，求证：．
23．如图，在等腰三角形中，，，，垂足为．
(1)请在图中作边上的高；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)如图，若、分别是线段、上的动点，求的最小值．
24．【实践探究】
小青同学在学习“因式分解”时，用如图所示编号为的四种长方体各若干块，进行实践探究：
(1)现取其中两个拼成如图所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式： ；
(2)【问题解决】
若要用这四种长方体拼成一个棱长为的正方体，其中号长方体和号长方体各需要多少个?试通过计算说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接写出因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知与分别是两个大小不同正方体的棱长，且，当为整数时，求的值．
25．在长方形中，，是对角线上不与点、重合的一点，过点作于，将沿翻折得到，点在射线上，连接.
(1)如图，若点的对称点落在线段上，的延长线交于点.
求证：；
若，，求证：；
(2)如图，当点的对称点落在的延长线上，此时.
当，时，试通过计算三角形的边长，判断与是否全等，并说明理由；
若将绕点逆时针旋转角度得，射线与相交于点，射线与直线相交于点，试直接写出线段、、、之间的数量关系.
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
【详解】解：、是有理数，不符合题意；
、是有理数，不符合题意；
、是无理数，符合题意；
、是有理数，不符合题意；
故选：．
2．B
【分析】根据5=，6=，比较25，27，36即可解答.
【详解】解：∵5=，6=
∴与最接近的整数是5
故选B.
【点睛】本题考查了估算无理数的大小. 现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法.
3．D
【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘除法，根据幂的乘方和积的乘方法则，同底数幂的乘除法法则依次分析各项即可得到结果，解题的关键是熟练掌握运算法则．
【详解】、，此选项运算错误，不符合题意；
、，此选项运算错误，不符合题意；
、，此选项运算错误，不符合题意；
、，此选项运算正确，符合题意；
故选：．
4．D
【分析】此题考查了函数图象，根据图象逐项分析即可，解题的关键是正确从函数图象获取信息．
【详解】、从图象中可知，男生在岁增长速度最快，此选项说法正确，不符合题意，
、从图象中可知，女生在岁增长速度最快，此选项说法正确，不符合题意，
、从图象中可知，男生身高年增长速度能达到厘米年，此选项说法正确，不符合题意，
、从图象中可知，女生在岁每年增长都小于厘米，此选项说法不正确，符合题意，
故选：．
5．C
【分析】此题考查了多项式乘以多项式，将等式左侧运算，利用对应项的系数相同即可求出的值，正确使用多项式的乘法法则是解题的关键．
【详解】解：，
∵，
∴，
故选：．
6．B
【分析】本题考查了完全平方公式，勾股定理逆定理．利用完全平方公式将、展开，再由勾股定理逆定理判断即可．
【详解】解：，，，
，，，
，
是直角三角形，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了举反例，先写出逆命题，再举出一组反例，进行作答即可求解，掌握逆命题的定义是解题的关键．
【详解】解：命题“若，则”的逆命题是“若，则”，
∵当时，，
∴该命题为假命题，
即当时，能说明该命题是假命题，
故选：．
8．A
【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，利用完全平方公式得到，代入已知条件计算即可求值，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
9．B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质及内角和定理，由线段垂直平分线得到，进而得到，再由三角形外角性质得到，又由得到，由三角形内角和定理得到，利用角的和差关系即可求解，掌握线段垂直平分线的性质及三角形的外角性质是解题的关键．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
10．C
【分析】本题考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，先把长方体侧面把按两种方法展开来，分别求出点点的最短距离，比较后即可求解，利用展开图分两种情况分析求解是解题的关键．
【详解】解：当长方体侧面按图展开时，线段的长度为点点的最短距离，
过点作于点，则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当长方体侧面按图展开时，线段的长度为点点的最短距离，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴蚂蚁爬行的最短距离是，
故选：．
11．4
【详解】解：∵
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4
12．是
【分析】此题考查了反证法，根据反证法的步骤，第一步假设结论不成立，据此进行解答即可，解题的关键是正确理解反证法的意义及步骤．
【详解】利用反证法证明命题“若一个的三边长、、有关系时，则这个三角形不是直角三角形”，第一步要先假设“是直角三角形”，
故答案为：是．
13．（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据已知图形有一个公共角，再结合即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：添加的条件为：或（填写一个条件即可）.
理由：当添加的条件为时，
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴；
当添加的条件为时，
∵，，
∴，
即，
在和中，
∵，
∴；
故答案为：或（填写一个条件即可）．
14．
【分析】本题考查了幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，代数式求值，根据幂的乘方运算可得所求式子为，再根据同底数幂的乘法运算得到，代入已知条件即可求解，掌握幂的乘方运算及同底数幂的乘法运算法则是解题的关键.
【详解】解：，
故答案为：.
15．
【分析】此题考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，先由勾股定理求出，根据角平分线的性质证明，再证明，根据全等三角形的性质证明即可，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【详解】在中，，由勾股定理得：，
∴，
∵平分，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴周长为，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键．
【详解】解：由，得，
，
解得，
∴，
∴，
，
，
，
，
故答案为：．
17．．
【分析】本题考查了整式的混合运算，根据完全平方公式和多项式除以单项式的计算法则求解，然后合并同类项即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
．
18．
【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键．综合提公因式法和公式法分解因式即可．
【详解】解：
19．，．
【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据整式的运算法则和乘法公式对整式进行化简，再把，代入到化简后的式子计算即可求解，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
把，代入得，
原式，
，
，
．
20．证明见解析．
【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，先通过得出，从而证明，得到，熟练掌握三角形全等的判定方法和全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
21．(1)，，；
(2)补全条形统计图见解析，有人．
【分析】（）由C组频数及频率得出被调查的总人数，再根据频率频数总人数可得、的值；
（）根据所求的值即可补全图形，用总人数乘以样本中、组频率之和即可得；
此题考查了条形统计图，用样本估算总体，解题的关键是明确题意，熟练掌握统计知识，利用数形结合的思想解答．
【详解】（1）解：由成绩等级人数人，频率为，
则随机调查了（人），
∴，，，
故答案为：，，；
（2）补全条形统计图如下：
“宪法知识”笔试竞赛成绩在等级以上（含等级）的人数为：（人），
答：“宪法知识”笔试竞赛成绩在等级以上（含等级）的人数有人．
22．(1)点到的距离为；
(2)证明见解析．
【分析】（）过点作于点，利用角平分线的性质的性质即可求解；
（）证明得到，证明，得到，再根据线段和差及等量代换即可求证；
此题考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）如图，过点作于点，

∵平分，，
∴，
∵的面积为，，
∴，
∴，
∴点到的距离为；
（2）由（）得：，，，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．(1)作图见解析；
(2)．
【分析】（）以点为圆心，的长度为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，同样的长度为半径画弧，两弧相交于点，作射线，于交于点，则线段为所求作的高；
（）根据等腰三角形和线段垂直平分线的性质得到为的垂直平分线，即可得到，根据垂线段最短，得到的值即为的最小值；
本题考查了作三角形的高，轴对称最短路线问题，勾股定理，垂线段最短等，由等腰三角形及线段垂直平分线的性质判断出的值为的最小值是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，线段为所求作的图形；
（2）解：如图，
∵，，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
所以当三点共线且时
此时的值最小，
∵，，
∴为等于直角三角形，，
∴，
即，
解得，
∴的最小值为．
24．(1)；
(2)号长方体需要个，号长方体需要个，
，
(3)．
【分析】（）根据图立方体的体积求法即可；
（）根据题中的给定的长方体组合把计算即可；
（）先把因式分解，然后据此分解即可；
此题考查了因式分解的应用，解题的关键是利用几何体的体积进行因式分解及数形结合思想的应用．
【详解】（1）根据题意可知：，
故答案为：；
（2）号长方体需要个，号长方体需要个，
；
（3）由题意得：，
由上可知：，
∴，整理得：，
∵且与两个大小不同正方体的棱长，
∴，
∴，则，
∵为整数，则为平方数，
∴，
∴．
25．(1)证明见解析；证明见解析；
(2)不全等，理由见解析；，理由见解析．
【分析】（）根据长方形的性质和等角的余角相等，在根据等角对等边即可求证；利用等角的余角相等得出，由折叠性质可知，然后证明全等即可；
（）由折叠性质可知：，，由勾股定理求出三边即可；连接，过作于点，过作于点，由勾股定理即可求解；
此题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理得应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）∵四边形是长方形，
∴，即，
∴，
由折叠性质可知：，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
由折叠性质可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）与不全等，理由：
由折叠性质可知：，，
∵，
∴在中，由勾股定理得：，
设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
三边为：，，，
三边为：，，，
显然与不全等，
，理由：
如图，连接，过作于点，过作于点，
∴，，
又∵，
∴由勾股定理得：，
，，，，
∴．
成绩
等级
分数范围
人数（频数）
频率
合计