2023-2024学年福建省泉州市安溪县八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市安溪县八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（试卷满分：150分；考试时间：120分钟）
友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．4的平方根是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．16
2．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6
5．计算的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是的边的垂直平分线，，，则的周长为（ ）
A．5B．6C．8D．9
7．为了解某地一天内的气温变化情况，比较适合使用的统计图是（ ）
A．条形统计图B．折线统计图C．扇形统计图D．频数分布直方图
8．安溪地处戴云山脉东南坡，山峦起伏，地形较为复杂．如图，在村与村之间有一座大山，原来从村到村，需沿道路绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从村到村．若，，则打通隧道后从村到村比原来减少的路程为（ ）
A．B．C．D．
9．要说明命题“若，则”是假命题，下列所举的反例正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
10．如图，在中，，，，则的面积为（ ）

A．4B．8C．16D．32
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．比较大小： 3．（填“＞”“＜”或“＝”）
12．“一起向未来”的英语“”，字母“”出现的频数是 ．
13．计算： ．
14．如图，在中，，平分交于，若，则点到的距离为 ．
15．若，则的值为 ．
16．如图，是等边三角形，为的中点，点是点关于直线的对称点，连接，，交于点．
（1）若，则 ；
（2）若点在线段上，连接，，则的最小值等于 的长度．（用图中的某一条线段表示）

三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步㵵．
17．计算：．
18．因式分解：
(1)；
(2)．
19．先化简，再求值：，其中，．
20．如图，，．下列三个条件：
①；
②；
③．
请你从①②③中选一个条件，使．
(1)你添加的条件是_______（填序号）；
(2)添加条件后，请证明．
21．清溪学校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个．随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的统计图表．
根据以上信息完成下列问题：
(1)统计表中的_______，_______；
(2)求扇形统计图中“”类所对应的圆心角度数．
22．如图，在中，是上一点，且，，，．
(1)求的度数；
(2)求的面积．
23．（1）如图1，在中，，点在线段的延长线上，请在线段的延长线上作一点，使得（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点，是上的格点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段．
①连接，则是_______三角形；
②请在线段上作一点，并连接，使得（要求：仅用无刻度的直尺作图，不写作法）．
24．综合与实践
【问题提出】
对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：．
【初步感知】
（1）_______；
【深度探究】
（2）我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算是否也满足交换律？请说明理由；
【拓展运用】
（3）若实数a，b满足，求的最小值．
25．如图，在中，，，，点在AB上，且平分，，相交于点，连接CE．
(1)直接写出，的数量关系：______；
(2)求证：；
(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根．
【详解】∵（±2 ）2=4，
∴4的平方根是±2，
故选A．
【点睛】本题主要考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键.
2．D
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．
【详解】解：由无理数的定义可知，四个数中只有是无理数，
故选：D．
3．B
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，合并同类项等计算，以及完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解；A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B，
4．C
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：A、因为，所以不能构成直角三角形；
B、因为，所以不能构成直角三角形；
C、因为，所以能构成直角三角形；
D、因为，所以不能构成直角三角形．
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．
【详解】解；
，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，得到，结合的周长为，等量代换计算即可．
【详解】解：∵是的边的垂直平分线，
∴，
∵的周长为，，，，
∴
故选：D．
7．B
【分析】根据题意中的“变化情况”直接选择折线统计图．
【详解】为了解某地一天内的气温变化情况，
应选择的统计图是折线统计图，
故选：B．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，折线统计图，频数直方图的概念，根据实际选择合适的统计图，根据题意中的“变化情况”选择统计图是解题的关键．折线统计图用折线的起伏表示数据的增减变化情况不仅可以表示数量的多少，而且可以反映数据的增减变化情况．
8．C
【分析】本题考查两点之间线段最短，勾股定理，线段的和差．利用勾股定理求出的长，再利用线段和差即可计算本题结果．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故选：C．
9．B
【分析】本题考查了列举反例．根据各选项中的值分别求出和，再找出在条件下，使得或成立的选项即可得．
【详解】解：A、当，时，，满足，但，是错误的反例，此项不符题意；
B、当，时，，满足，但，是正确的反例，此项符合题意；
C、当，时，，满足，但，是错误的反例，此项不符题意；
D、当，时，不满足，是错误的反例，此项不符题意；
故选：B．
10．C
【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，过点C作于D，交于E，先证明，设，则，再证明，得到，则，利用勾股定理得到，解得，则．
【详解】解：如图所示，过点C作于D，交于E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故选：C．

11．
【分析】首先把两个数平方法，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
12．4
【分析】本题主要考查了求频数，字母“”出现了几次，即为字母“”的频数，据此可得答案．
【详解】解：∵字母“”出现了4次，
∴字母“”出现的频数是4，
故答案为；4．
13．##
【分析】本题考查了多项式除以单项式．根据多项式除以单项式进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
14．1
【分析】本题考查了角平分线的性质．过点D作交于点E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得．
【详解】解：如图，过点D作交于点E，
，
，
，平分，
，
点到边的距离为1，
故答案为：1．
15．9
【分析】将变形，用含b的式子表示a，将变形后的式子代入所求的代数式中进行化简即可．
【详解】解：由得，
将代入，得：
．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了代数式求值及合并同类项．解题的关键是利用了整体代入的思想，准确计算．
16．
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，理解轴对称的性质构建线段和的最小值时点的位置是解本题的关键；
（1）利用等边三角形的性质结合勾股定理可得答案；
（2）如图，记与的交点为，连接，，，记与的交点为，由点是点关于直线的对称点，可得当与点关于直线的对称时，此时最短，且．
【详解】解：（1）∵是等边三角形，为的中点，，
∴，
∴，
（2）如图，记与的交点为，连接，，，记与的交点为，
∵，，
∴，

∵点是点关于直线的对称点，
∴当与点关于直线的对称时，
∴，，
∴，
此时最短，且，
故答案为：，
17．
【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根，算术平方根和绝对值，再计算加减法即可．
【详解】解；原式
．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解：
（1）提取公因式a分解因式即可；
（2）先提取公因数2，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解；
．
19．，
【分析】本题考查的是乘法公式的应用，整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把，代入求值即可．
【详解】解：
；
当，时，
原式．
20．(1)①或③
(2)见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质，
添加①或③均可证明全等；
由平行线的性质可得，如果选择①利用边角边证明三角形全等，如果选择③角边角证明三角形全等．
【详解】（1）解：选择①或③
（2）选择①，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴．
选择③，证明如下：
∵，
∴，
∵，
在和中
，
∴．
21．(1)70，
(2)
【分析】本题考查的是条形统计表和扇形统计图的综合运用．
（1）根据C组的人数是34，所占的百分比是，据此即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得m和n的值，
（2）利用乘以对应的比例即可求解．
【详解】（1）解：调查的总人数是（人），
则，
；
故答案为：70，；
（2）解：扇形统计图中“”类所对应的圆心角的度数是：．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，三角形面积的计算；
（1）证明，利用勾股定理的逆定理即可得到；
（2）求出，利用勾股定理求出，则，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且；
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．（1）见解析；（2）①等腰直角；②见解析
【分析】（1）过点作的垂线，交的延长线于点，利用等角的余角相等可得；
（2）①由旋转的性质即可得解；
②作矩形对角线的交点，连接并延长交于点，利用等腰直角三角形的性质得到．
【详解】解；（1）如图，即为所作；
（2）①根据旋转的性质得，是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角；
②如图，．
．
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，等角的余角相等，矩形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，结合网格的性质作图是解题的关键．
24．（1）17；（2）实数a，b的这种新运算满足交换律；（3）的最小值为9．
【分析】此题主要考查了利用代入法求代数式的值，配方法的应用．还用到了乘法交换律和加法结合律证明公式的性质．
（1）运用运算公式，计算即可；
（2）是否满足关键是利用公式计算一下和的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等；
（3）由，得到，对进行运算得到，据此求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
故答案为：17；
（2）∵，
，
∴，
∴实数a，b的这种新运算满足交换律；
（3）∵，
∴，
∵
，
∵，
∴有最小值，最小值为9．
25．(1)
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据题意利用角平分线性质可得，再利用三角形内角和定理即可得出，继而得到本题答案；
（2）根据题意在上取一点，使得，连接，证明，再利用全等性质及其他条件证明，再利用角度关系即可得到本题答案；
（3）由（2）知，，连接，因为角平分线性质可得，在中应用勾股定理即可得到本题答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，且平分，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：在上取一点，使得，连接，
，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∵由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴；
（3）解：连接，
，
由（2）知：，
∵平分，，
∴，，
∴在中：，
∴．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线性质，垂直的定义，等腰三角形性质，全等三角形性质及判定．