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江苏版高考物理一轮复习第12章第1节机械振动课时学案
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这是一份江苏版高考物理一轮复习第12章第1节机械振动课时学案，文件包含核心素养人教版音乐七下13《春游》《春天来了》课件pptx、核心素养人教版音乐七下13《春游》《春天来了》教案doc、乐曲欣赏《春天来了》_128kmp3、歌曲伴奏《春游》_128kmp3、歌曲范唱《春游》_128kmp3、春游李叔同mp4、民乐合奏《春天来了》mp4等7份课件配套教学资源，其中PPT共23页， 欢迎下载使用。
机械振动
(对应学生用书第306页)
一、简谐运动的描述与规律
1．简谐运动
(1)定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
(2)条件：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
(3)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
(4)回复力
①定义：使物体返回到平衡位置的力。
②方向：总是指向平衡位置。
③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
(5)简谐运动的特征
①动力学特征：F回＝－kx。
②运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意v、a的变化趋势相反)。
③能量特征：系统的机械能守恒，振幅A不变。
2．简谐运动的两种模型
3.简谐运动的表达式
(1) 回复力与位移关系，亦即动力学表达式： F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
(2)振动位移与时间关系，亦即运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf，表示简谐运动的快慢，ωt＋φ代表运动的相位，φ代表初相位。
二、简谐运动的图像
1．物理意义：表示振子的位移随时间变化的规律，为正弦(或余弦)曲线。
2．简谐运动的图像
(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图像如图甲所示。
甲 乙
(2)从最大位置开始计时，函数表达式为x＝Acs ωt，图像如图乙所示。
三、受迫振动和共振
1．受迫振动
(1)概念：振动系统在周期性驱动力作用下的振动。
(2)特点：受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关。
2．共振
(1)现象：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大。
(2)条件：驱动力的频率等于固有频率。
(3)特征：共振时振幅最大。
(4)共振曲线(如图所示)。f＝f0时，A＝Am，f与f0差别越大，物体做受迫振动的振幅越小。
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。(×)
(2)做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的。(×)
(3)公式x＝Asin ωt说明是从平衡位置开始计时。(√)
(4)简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。(×)
(5)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。(√)
(6)物体受迫振动的频率与驱动力的频率无关。(×)
二、教材习题衍生
1．(失重对振动的影响)图甲中的装置水平放置，将小球从平衡位置O拉到A处后释放，小球在O点附近来回振动；图乙中被细绳拴着的小球由静止释放后可绕固定点来回摆动。若将上述装置安装在太空中的我国空间站内进行同样操作，下列说法正确的是( )
甲 乙
A．甲图中的小球将保持静止
B．甲图中的小球仍将来回振动
C．乙图中的小球仍将来回摆动
D．乙图中的小球将做匀速圆周运动
B [甲图做简谐运动，回复力为弹力，在太空中不受重力影响，故仍来回振动，故A错误，B正确；乙图小球受重力影响来回摆动，太空中重力不计，故不能摆动或匀速圆周运动，故CD错误。故选B。]
2．(简谐振动的描述与规律)下列关于简谐运动的说法正确的是( )
A．加速度第一次恢复为原来的大小和方向所经历的过程为一次全振动
B．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同
C．一个全振动指的是动能或势能第一次恢复为原来的大小所经历的过程
D．位移减小时，加速度减小，速度增大
D [加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程不是一次全振动，故A错误；回复力与位移方向相反，故加速度和位移方向相反，但速度方向可以与位移方向相同，也可以相反，物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反，背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，故B错误；一次全振动过程中，动能和势能均会有两次恢复为原来的大小，故C错误；当位移减小时，回复力减小，则加速度在减小，物体正在返回平衡位置，速度在增大，故D正确。]
3.(简谐振动的规律与共振)如图所示为受迫振动的演示装置，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆(称为“驱动摆”)驱动另外几个单摆。下列说法不正确的是( )
A．某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度可能不同而加速度一定相同
B．如果驱动摆的摆长为L，则其他单摆的振动周期都等于2πeq \r(\f(L,g))
C．如果驱动摆的摆长为L，振幅为A，若某个单摆的摆长大于L，振幅也大于A
D．如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的振幅最大
C [某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同，根据F＝－kx可得，加速度a＝eq \f(F,m)＝－eq \f(k,m)x，故加速度一定相同，A正确；如果驱动摆的摆长为L，根据单摆的周期公式有T＝2πeq \r(\f(L,g))，而其他单摆都是受迫振动，故其振动周期都等于驱动摆的周期，B正确；当受迫振动的单摆的固有周期等于驱动摆的周期时，受迫振动的振幅最大，故某个单摆的摆长大，振幅不一定也大，C错误；同一地区，单摆的固有频率只取决于单摆的摆长，则只有摆长等于驱动摆的摆长时，单摆的振幅能够达到最大，这种现象称为共振，D正确。]
4．(简谐振动的图像)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振动物体的位移x随时间t的变化如图乙所示，则由图可知( )
甲 乙
A．t＝0.2 s时，振动物体的加速度方向向左
B．t＝0.6 s时，振动物体的速度方向向右
C．在t＝0.4 s到t＝0.8 s时间内，振动物体的动能逐渐减小
D．在t＝0到t＝2.4 s时间内，振动物体通过的路程是80 cm
A [由题图乙可知，t＝0.2 s时，振动物体远离平衡位置向右运动，位移增大，根据F＝－kx可知，回复力方向向左，故加速度方向向左，A正确；t＝0.6 s时，振动物体靠近平衡位置向左运动，故振动物体的速度方向向左，B错误；在t＝0.4 s到t＝0.8 s时间内，振动物体向平衡位置运动，速度逐渐增大，动能逐渐增大，C错误；在t＝0到t＝2.4 s时间内，振动物体通过的路程是4A×eq \f(2.4 s,1.6 s)＝60 cm，故D错误。]
5．(简谐运动的特点)一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的( )
A．动能增大 B．速度增大
C．回复力增大 D．机械能增大
C [由简谐运动的特点可知，当偏角增大，摆球偏离平衡位置的速度减小，动能减小，故A错误；当偏角增大，动能转化为重力势能，所以速度减小，故B错误；由回复力F＝－kx可知，位移增大，回复力增大，故C正确；单摆做简谐运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒，故D错误。]
简谐运动的描述与规律
(对应学生用书第308页)
1.(简谐运动的描述)(2021·江苏卷)如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为( )
A．x＝Rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωt－\f(π,2))) B．x＝Rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωt＋\f(π,2)))
C．x＝2Rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωt－\f(π,2))) D．x＝2Rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωt＋\f(π,2)))
B [由题图可知，影子P做简谐运动的振幅为R，以向上为正方向，设P的振动方程为
x＝Rsin(ωt＋φ)
由图可知，当t＝0时，P的位移为R，所用时间为t＝eq \f(π,ω)
代入振动方程解得φ＝eq \f(π,2)
则P做简谐运动的表达式为x＝Rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωt＋\f(π,2)))
故B正确，A、C、D错误。故选B。]
2．(简谐运动中各物理量分析)(2023·无锡市调研)如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距x。套在杆上的小球从中点以初速度v向右运动，小球将做周期为T的往复运动，则( )
A．小球做简谐运动
B．小球动能的变化周期为eq \f(T,2)
C．两根弹簧的总弹性势能的变化周期为T
D．小球的初速度为eq \f(v,2)时，其运动周期为2T
B [物体做简谐运动的条件是在运动过程中所受回复力与位移成正比，且方向始终指向平衡位置，但小球在杆中点到接触弹簧过程中，所受合力为零，故小球不是做简谐运动，故A错误；假设杆中点为O，小球向右压缩弹簧至最大压缩量时的位置为A，小球向左压缩弹簧至最大压缩量时的位置为B，可知小球做周期为T的往复运动，运动过程为O→A→O→B→O，根据对称性可知小球从O→A→O与O→B→O，这两个过程的动能变化完全一致，两根弹簧的总弹性势能的变化完全一致，故小球动能的变化周期为eq \f(T,2)，两根弹簧的总弹性势能的变化周期为eq \f(T,2)，故B正确，C错误；小球的初速度为eq \f(v,2)时，可知小球在匀速阶段的时间变为原来的2倍，接触弹簧过程，根据弹簧振子的周期公式T0＝2πeq \r(\f(m,k))可知，接触弹簧过程中所用时间与速度无关，因此总的运动周期小于2T，故D错误。故选B。]
3.(简谐振动规律的应用)弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离为10 cm，由B→C运动时间为1 s，则( )
A．从B开始经过0.25 s，振子通过的路程是2.5 cm
B．经过两次全振动，振子通过的路程为80 cm
C．该振子任意1 s内通过的路程都一定是10 cm
D．振动周期为2 s，振幅为10 cm
C [由B→C运动时间为1 s，则周期T＝2 s，则从B开始经过0.25 s＝eq \f(T,8)，振子通过的路程小于2.5 cm，选项A错误；一次全振动振子的路程为20 cm，则经过两次全振动，振子通过的路程为40 cm，选项B错误；由运动的对称性可知，该振子任意1 s内通过的路程都一定是10 cm，选项C正确；振动周期为2 s，振幅为5 cm，选项D错误。]
4．(弹簧振子的周期性与多解性的应用)一个弹簧振子做简谐振动，若从平衡位置开始计时，经过3 s时，振子第一次到达P点，又经过2 s第二次经过P点，则该弹簧振子的振动周期可能为( )
A．32 s B．16 s
C．8 s D．4 s
B [
若从O点开始向右振动，按下面路线振动，作出示意图如图，则弹簧振子的振动周期为：T1＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(2,2))) s＝16 s；若振子从O点开始向左振动，则按下面路线振动，
作出示意图如图，设从P到O的时间为t，则有：eq \f(2,2)＋t＝eq \f(3－t,2)，解得：t＝eq \f(1,3) s，则周期为：T＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋1)) s＝eq \f(16,3) s。故选项B正确，A、C、D错误。]
简谐运动的“五个特征”
(1)动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
(2)运动学特征：简谐运动的加速度的大小与物体偏离平衡位置的位移的大小成正比，而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。
(3)运动的周期性特征：相隔T或nT的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同。
(4)对称性特征
①相隔eq \f(T,2)或eq \f(2n＋1,2)T(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。
②如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
③振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。
④振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
(5)能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。
简谐运动的图像的理解与应用
(对应学生用书第309页)
根据简谐运动图像可获取的信息
(1)确定振动的振幅A和周期T。(如图所示)
(2)可以确定振动物体在任一时刻的位移。
(3)确定各时刻质点的振动方向。判断方法：振动方向可以根据下一时刻位移的变化来判定。下一时刻位移若增加，质点的振动方向是远离平衡位置；下一时刻位移如果减小，质点的振动方向指向平衡位置。
(4)比较各时刻质点的加速度(回复力)的大小和方向。
eq \x(\a\al(从图像读取x,大小及方向))eq \(――→,\s\up7(F＝kx))eq \x(\a\al(F的大小,及方向))eq \(――→,\s\up7(F＝ma))eq \x(\a\al(a的大小,及方向))
(5)比较不同时刻质点的势能和动能的大小。质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能越小。
[典例] (简谐运动图像的理解)如图甲所示，一水平弹簧振子在A、B两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，取水平向右为正方向，其振动图像如图乙所示。由振动图像可知( )
甲 乙
A．t1时刻振子位于O点
B．t3时刻振子的速度为零
C．t2时刻振子的运动方向与t4时刻振子的运动方向相反
D．从t1时刻到t3时刻，振子运动的加速度逐渐减小
D [由题图乙知在t1时刻振子位于正向位移最大处即B点，故A错误；t3时刻振子位于平衡位置，所以此时速度最大，故B错误；由题意可知，t2时刻振子处于从B向O运动过程中，t4时刻振子处于从O到A的运动过程中，所以两时刻运动方向相同，故C错误；从t1时刻到t3时刻，振子从最大位移B处向平衡位置O处运动，所以加速度越来越小，速度越来越大，故D正确。]
对简谐运动图像的两点说明
(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，如图所示。
甲 乙
(2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。
[跟进训练]
简谐振动图像的应用
1．如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图像，下列判断正确的是( )
A．t＝2×10－3 s时刻纸盆中心的速度最大
B．t＝3×10－3 s时刻纸盆中心的加速度最大
C．在0～1×10－3 s之间纸盆中心的速度方向与加速度方向相同
D．纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.5×10－4cs 50πt(m)
C [t＝2×10－3 s时刻在波谷位置，则纸盆中心的速度为零，选项A错误；t＝3×10－3 s时刻纸盆中心在平衡位置，此时的加速度为零，选项B错误；在0～1×10－3 s之间纸盆中心的速度方向与加速度方向均向下，方向相同，选项C正确；因为ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,4×10－3) rad/s＝500π rad/s则纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.5×10－4cs 500 πt(m)，选项D错误。]
两个简谐运动图像的对比
2．如图是质量相等的甲、乙两个物体分别做简谐运动时的图像，则下列判断错误的是( )
A．甲、乙两物体的振幅分别是2 m和1 m
B．甲的振动频率比乙的大
C．前2 s内两物体的加速度均为负值
D．第2 s末甲的速度最大，乙的加速度最大
A [由题图知，甲、乙两物体的振幅分别为2 cm和1 cm，A错误；8 s内甲完成2次全振动，乙完成1次全振动，甲的振动频率比乙的大，B正确；前2 s内，甲、乙的位移均为正，所以加速度均为负值，C正确；第2 s末甲在平衡位置，速度最大，乙在最大位移处，加速度最大，D正确。]
单摆及其周期公式
(对应学生用书第310页)
1．对周期公式的理解
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立。
(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，即l＝l线＋r球。
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m和振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。
2．周期公式应用
(1)只要测出单摆摆长l和周期T，就可以根据g＝eq \f(4π2l,T2)求当地重力加速度g。
(2)可以制作计时仪器。
3．单摆振动中的等效问题
(1)等效摆长：摆球重心到摆动圆弧圆心的距离。
(2)等效重力加速度：①分析摆球的受力，确定摆球相对静止的位置(即平衡位置)；②计算摆球的视重(即平衡位置的拉力); ③利用g′＝eq \f(F,m)求出等效重力加速度。
单摆周期公式的理解与应用
1．(2022·江苏苏州三模)如图甲所示，细线下端悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。将摆线拉开一较小幅度，当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向以速度v匀速拖动木板，得到喷在木板上的墨汁图样如图乙所示，若测得木板长度为L，墨汁图样与木板边缘交点P、Q恰好是振动最大位置处，已知重力加速度为g，则该单摆的等效摆长为( )
甲 乙
A.eq \f(gv2,25π2L2) B．eq \f(gL2,25π2v2)
C.eq \f(25gL2,16π2v2) D．eq \f(25gv2,16π2L2)
B [由图乙可知，该单摆恰好摆动2.5个周期，故满足eq \f(5,2)T＝eq \f(L,v)，单摆周期公式为T＝2πeq \r(\f(l,g))，联立解得该单摆的等效摆长为l＝eq \f(gL2,25π2v2)，B正确。]
单摆图像及其应用
2．甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以断定( )
A．甲、乙两单摆振动的周期之比是3∶2
B．甲、乙两单摆振动的频率之比是2∶3
C．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆摆长之比是9∶4
D．若甲、乙两单摆摆长相同，在不同地点摆动，则甲、乙两单摆所在地的重力加速度之比为9∶4
D [根据图像可知，甲和乙的周期之比为T甲∶T乙＝2∶3，故A错误；因为f＝eq \f(1,T)，所以甲、乙的频率之比为f甲∶f乙＝3∶2，故B错误；根据单摆的周期公式可知T＝2πeq \r(\f(l,g))，同一地点，重力加速度相同，则甲、乙的摆长之比和周期的平方成正比，即为4∶9，故C错误；摆长相同，重力加速度和周期的平方成反比，即甲、乙两单摆所在地的重力加速度之比为9∶4，故D正确。]
单摆的振动图像的应用
3．将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，如图所示，甲图中O点为单摆的悬点，现将小球(可视为质点)拉到A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的ABC之间来回摆动，其中B点为运动中最低位置，∠AOB＝∠COB＝α，α小于5°且是未知量。图乙表示由计算机得到细线对摆球的拉力大小F随时间变化的曲线，且图中t＝0时刻为摆球从A点开始运动的时刻，根据力学规律和题中信息(g取10 m/s2)求：
甲 乙
(1)单摆的周期和摆长；
(2)摆球的质量。
[解析] (1)摆球受力分析如图所示：
小球在一个周期内两次经过最低点，根据该规律，知：
T＝0.4π s
由单摆的周期公式：T＝2πeq \r(\f(L,g))
代入数据解得：L＝0.4 m。
(2)在最高点A，有：
Fmin＝mgcs α＝0.495 N
在最低点B，有：Fmax－mg＝meq \f(v2,L)
其中Fmax＝0.510 N
从A到B，小球机械能守恒，有：mgL(1－cs α)＝eq \f(1,2)mv2
联立并代入数据得：m＝0.05 kg。
[答案] (1)0.4π s 0.4 m (2)0.05 kg
受迫振动、共振
(对应学生用书第311页)
1．(受迫振动和共振的理解)(2023·天一中学模拟预测)如图甲所示，一个有固定转动轴的竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动图像如图乙所示。圆盘匀速转动时，小球做受迫振动。小球振动稳定时。下列说法正确的是( )
甲 乙
A．小球振动的固有频率是4 Hz
B．小球做受迫振动时周期一定是4 s
C．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著增大
D．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著减小
C [小球振动的固有周期T＝4 s，则其固有频率为f＝eq \f(1,T)＝0.25 Hz，A错误；小球做受迫振动时周期等于驱动力的周期，即等于圆盘转动周期，不一定等于固有周期4 s，B错误；圆盘转动周期在4 s附近时，驱动力周期等于振动系统的固有周期，小球产生共振现象，振幅显著增大，C正确，D错误。]
2.(单摆的共振曲线的理解)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则( )
A．此单摆的固有周期约为1 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长减小，共振曲线的峰将向左移动
B [由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz，固有周期为2 s；再由T＝2πeq \r(\f(l,g))，得此单摆的摆长约为1 m；若摆长减小，单摆的固有周期减小，固有频率增大，则共振曲线的峰将向右移动；若摆长增大，单摆的固有频率减小，故选项B正确，A、C、D错误。]
3.(受迫振动和共振的应用)半径为R的光滑球面，已知圆弧AB≪R，且A、B等高，其中B点和圆弧最低点之间由光滑斜面相连，现有三个小球，A球从A点从静止释放沿圆弧下滑，B球从B点从静止释放沿斜面下滑，C球从圆心O点由静止释放，若三个小球同时释放，则下列说法正确的是( )
A．A球最先运动到圆弧最低点
B．B球最先运动到圆弧最低点
C．C球最先运动到圆弧最低点
D．三个小球同时到达圆弧最低点
C [A球是等效单摆，A球从静止运动到最低点的时间tA＝eq \f(T,4)＝eq \f(1,4)×2πeq \r(\f(R,g))＝eq \f(π,2)eq \r(\f(R,g))，设弦轨道的倾角为θ，对于B球，有2Rcs(90°－θ)＝eq \f(1,2)gsin θ·teq \\al(2,B)，可得tB＝2eq \r(\f(R,g))，C球做自由落体运动，有R＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,C)可得tC＝eq \r(\f(2R,g))则有tB>tA>tC则C球最先运动到圆弧最低点，故A、B、D错误，C正确。]
自由振动、受迫振动和共振的关系比较
课时分层作业(三十五) 机械振动
(对应学生用书第479页)
题组一 简谐运动的描述与规律
1．关于简谐运动，下列说法正确的是( )
A．位移的方向总指向平衡位置
B．加速度方向总和位移方向相反
C．位移方向总和速度方向相反
D．速度方向跟位移方向相同
B [简谐运动的位移的初始位置是平衡位置，所以简谐运动中位移的方向总是背离平衡位置的，故A选项错误；加速度的方向总是指向平衡位置的，故B选项正确；位移方向与速度方向可能相同，也可能相反，故C、D选项错误。]
2.把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是( )
A．小球在O位置时，动能最小，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功
D．小球从B到O的过程中，振动的能量不断减小
C [振子经过平衡位置时，速度最大，位移为零，所以经过平衡位置动能最大，回复力为零，加速度为零，故A错误；在A、B位置时，速度为零，位移最大，回复力最大，加速度最大，故B错误；由于回复力指向平衡位置，所以振子从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功，故C正确；振子的动能和弹簧的势能相互转化，且总量保持不变，即振动的能量保持不变，故D错误。]
题组二 简谐运动的图像的理解与应用
3．如图1所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图2所示，下列说法正确的是( )
图1 图2
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向右
B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度完全相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子速度逐渐增大
D [由图可知t＝0.8 s时，振子在平衡位置向左运动，A错误；由题中图像得振子的位移x＝12sin eq \f(5,4)πt(cm)，故t＝0.2 s时，x＝6eq \r(2) cm，故B错误；当t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子分别在B、A两点，加速度大小相等，方向相反，C错误；在0.4 s～0.8 s时间内，振子由最大位移处向平衡位置运动，速度越来越大，D正确。]
4．(2023·江苏姜堰中学期末)学校实验室中有甲、乙两单摆，其振动图像为如图所示的正弦曲线，则下列说法中不正确的是( )
A．甲、乙两单摆的摆球质量之比是1∶2
B．甲、乙两单摆的摆长之比是1∶4
C．t＝1.5 s时，两摆球的加速度方向相同
D．3～4 s内，两摆球的势能均减少
A [单摆的周期与振幅和摆球的质量无关，无法求出甲、乙两单摆摆球的质量关系，A错误；由题图图像可知甲、乙两单摆的周期之比为1∶2，根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，周期与摆长的二次方根成正比，所以甲、乙两单摆的摆长之比是1∶4，B正确；由加速度公式a＝eq \f(F回,m)＝eq \f(－kx,m)，t＝1.5 s时，两摆球位移方向相同，所以它们的加速度方向相同，C正确；3～4 s内，两摆球均向平衡位置运动，两摆球的势能均减少，D正确。]
题组三 单摆及其周期公式
5．做简谐振动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的eq \f(1,2)，则单摆振动的( )
A．频率、振幅都不变
B．频率、振幅都改变
C．频率不变、振幅改变
D．频率改变、振幅不变
C [由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))，可知，单摆摆长不变，则周期不变，频率不变；振幅A是反映单摆运动过程中的能量大小的物理量，由Ek＝eq \f(1,2)mv2可知，摆球经过平衡位置时的动能不变，但质量增加，所以高度减小，因此振幅改变，故A、B、D错误，C正确。]
6.(2023·南通模拟)如图，长为l的轻绳上端固定在O点，下端系一小球(小球可视为质点)。在O点正下方距O点eq \f(l,2)处的P点固定一小钉子。现将小球拉至A点，使细线与竖直方向间夹角为θ(θ很小)，然后由静止释放小球。小球运动的最低点为B，点C(图中未标出)是小球能够到达的左方最高位置。A、B、P、O在同一竖直平面内，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的有( )
A．点C比点A高
B．点C在点A下方
C．小球摆动的周期为2πeq \r(\f(l,g))
D．小球摆动的周期为πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(l,g))＋\r(\f(l,2g))))
D [小球摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒，由于夹角为θ很小，可知两侧最高点动能均为零，故重力势能也相等，故最大高度相同，即点C与点A等高，故A、B错误；小球B→A→B的时间为：t1＝eq \f(1,2)T1＝πeq \r(\f(l,g))；小球B→C→B的时间为：t2＝eq \f(1,2)T2＝πeq \r(\f(l,2g))；故小球摆动的周期为：T＝t1＋t2＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(l,g))＋\r(\f(l,2g))))，故C错误，D正确。]
题组四 受迫振动、共振
7．蜘蛛会根据丝网的振动情况感知是否有昆虫“落网”，若丝网的固有频率为200 Hz，下列说法正确的是( )
A．“落网”昆虫翅膀振动的频率越大，丝网的振幅越大
B．当“落网”昆虫翅膀振动的频率低于200 Hz时，丝网不振动
C．当“落网”昆虫翅膀振动的周期为0.005 s时，丝网的振幅最小
D．昆虫“落网”时，丝网振动的频率由“落网”昆虫翅膀振动的频率决定
D [根据共振的条件可知，系统的固有频率等于驱动力的频率时，系统达到共振，振幅达最大，故A错误；当“落网”昆虫翅膀振动的频率低于200 Hz时，丝网仍然振动，B错误；当“落网”昆虫翅膀振动的周期为0.005 s时，其频率：f＝eq \f(1,T)＝200 Hz，与丝网的固有频率相等，所以丝网的振幅最大，故C错误；受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以昆虫“落网”时，丝网振动的频率由“落网”昆虫翅膀振动的频率决定，故D正确。]
8．如图所示，在一根张紧的水平绳上挂有5个单摆，其中b摆球质量最大，其余4个摆球质量相等，摆长关系为Lc>Lb＝Ld>La>Le，现将b摆垂直纸面向里拉开一微小角度后释放，经过一段时间后，其余各摆均振动起来并达到稳定，下列叙述正确的是( )
A．4个单摆的周期Tc>Td>Ta>Te
B．4个单摆的频率fa＝fc＝fd＝fe
C．4个单摆的振幅Aa＝Ac＝Ad＝Ae
D．4个单摆中c摆振幅最大
B [b摆垂直纸面向里拉开一微小角度后释放，使得其他4个单摆都做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以4个单摆频率相同，周期也一样，所以A错误，B正确；当驱动力的频率等于物体的固有频率时，振幅最大，即达到共振。根据T＝2πeq \r(\f(l,g)) 知，d摆长与b摆长相等，则驱动力的周期等于d摆的固有周期，发生共振，所以d摆振幅最大，C、D错误。]
9．一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动。可把游艇浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是( )
A．0.5 s B．0.75 s
C．1.0 s D．1.5 s
C [由题中所给条件写出游船做简谐运动的振动方程y＝20sin eq \f(2π,T)t＝20sin eq \f(2π,3)t(cm)，画出y-t图像，如图所示，
能舒服登船的时间Δt＝t2－t1，在一个周期内，当y＝10 cm时，解得t1＝0.25 s，t2＝1.25 s，则Δt＝t2－t1＝1.25 s－0.25 s＝1.0 s，C正确。]
10.(2023·无锡市大桥实验中学模拟)如图所示，质量分别为m和2m的小物块P和Q，用轻质弹簧连接后放在水平地面上，P通过一根水平轻绳连接到墙上。P的下表面光滑，Q与地面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。用水平拉力将Q向右缓慢拉开一段距离，撤去拉力后，Q恰好能保持静止。弹簧形变始终在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k，重力加速度大小为g。若剪断轻绳，P在随后的运动过程中相对于其初始位置的最大位移大小为( )
A.eq \f(μmg,k) B． eq \f(2μmg,k)
C.eq \f(4μmg,k) D．eq \f(6μmg,k)
C [Q恰好能保持静止时，设弹簧的伸长量为x，满足kx＝2μmg，若剪断轻绳后，物块P与弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的最大压缩量也为x，因此P相对于其初始位置的最大位移大小为s＝2x＝eq \f(4μmg,k)，故A、B、D错误，C正确。]
11．弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8 cm，周期为0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt＋\f(π,2)))(m)
B．x＝4×10－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt－\f(π,2)))(m)
C．x＝8×10－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,2)))(m)
D．x＝4×10－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt－\f(π,2)))(m)
B [振子振动范围0.8 cm，所以2A＝0.8 cm，振幅A＝0.4 cm，周期为0.5 s，所以ω＝eq \f(2π,T)＝4π rad/s，而初始时刻具有正向最大加速度，即振子在负向最大位移处，综上可得：x＝4×10－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt－\f(π,2)))(m)，B正确A、C、D错误。]
12.有一摆长为L的单摆悬点正下方某处有一小钉，摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部被小钉挡住，使摆长发生变化。现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M至左边最高点N运动过程中的闪光照片如图所示(悬点与小钉未被摄入)。P为摆动中的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与P点的距离为( )
A.eq \f(L,4) B．eq \f(L,2)
C.eq \f(3L,4) D．无法确定
C [设每相邻两次闪光的时间间隔为t，则摆球在右侧摆动的周期为T1＝8t，在左侧摆动的周期为T2＝4t，T1∶T2＝2∶1。则T1＝2πeq \r(\f(L1,g))；T2＝2πeq \r(\f(L2,g))；两式两边相除得L2＝eq \f(1,4)L1，所以，小钉与悬点的距离s＝L1－L2＝eq \f(3,4)L。故选C。]
13．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v。
(1)求弹簧振子振动周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm。从平衡位置计时，写出弹簧振子位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像。
[解析] (1)根据弹簧振子简谐运动的对称性可得：
T＝0.5×2 s＝1.0 s。
(2)若B、C之间距离为25 cm，
则振幅A＝eq \f(1,2)×25 cm＝12.5 cm
振子4.0 s内通过的路程s＝eq \f(4.0,1.0)×4×12.5 cm＝200 cm。
(3)根据x＝Asin ωt，A＝12.5 cm，ω＝eq \f(2π,T)＝2π
得x＝12.5sin 2πt(cm)振动图像如图所示。
[答案] (1)1.0 s (2)200 cm
(3)x＝12.5sin 2πt(cm) 图像见解析
14.如图所示，弹簧振子在光滑水平面上以振幅A做简谐运动，质量为M的滑块上面放一个质量为m的砝码，砝码随滑块一起做简谐运动，已知弹簧的劲度系数为k，试求：
(1)使砝码随滑块一起振动的回复力是什么力？它跟位移成正比的比例常数k′等于多少？
(2)当滑块运动到振幅一半位置时，砝码所受回复力有多大？方向如何？
(3)当砝码与滑块的动摩擦因数为μ时，要使砝码与滑块不发生相对滑动的最大振幅为多大？
[解析] (1)使砝码随滑块一起做简谐振动的回复力是滑块对砝码的静摩擦力。
对M、m整体：F＝kx＝(M＋m)a
对m：f＝ma
由以上两式可得f＝eq \f(mk,M＋m)x
所以k′＝eq \f(mk,M＋m)。
(2)f＝k′·eq \f(A,2)＝eq \f(mkA,2M＋m)
方向指向平衡位置。
(3)fm＝μmg＝k′Am
Am＝eq \f( μmg,k′)＝eq \f(μM＋mg,k)。
[答案] (1)滑块对砝码的静摩擦力 eq \f(mk,M＋m)
(2)eq \f(mkA,2M＋m) 方向指向平衡位置 (3)eq \f( μM＋mg,k)
知能模块
考点内容
高考(江苏卷)五年命题情况对照分析
2018
2019
2020
2021年
适应考
2021
2022
命题分析
第1讲
机械振动
简谐运动
T13：简谐运动的回复力、速度、位移
T5简谐运动的公式
T10：简谐运动的公式
高考对本章的考查形式有选择题、实验题和计算题。命题热点为简谐运动的特点及波长、波速、和频率的关系，波动与振动的综合应用。
简谐运动的公式和图像
单摆、周期公式
受迫振动和共振
第2讲
机械波
机械波、横波和纵波
T12：由质点的振动图像求波长、波速
T8：振动和波
横波的图像
波速、波长和频率(周期)的关系
波的干涉和衍射现象
多普勒效应
实验十七 用单摆测量重力加速度的大小
核心素养
物理观念：简谐运动、弹簧振子、单摆、受迫振动、横波、多普勒效应、干涉、衍射。
科学思维：简谐运动的公式和图像、共振曲线。
科学探究：探究单摆的周期与摆长的定量关系、会用单摆测重力加速度。
科学态度与责任：多普勒效应。
模型
弹簧振子
单摆
示意图
弹簧振子(水平)
简谐运
动条件
①弹簧质量要忽略
②无摩擦等阻力
③在弹簧弹性限度内
①摆线为不可伸缩的轻细线
②无空气阻力等
③最大摆角小于等于5°
回复力
弹簧的弹力提供
摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力
平衡位置
弹簧处于原长处
最低点
周期
与振幅无关
T＝2πeq \r(\f(L,g))
能量
转化
弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒
重力势能与动能的相互转化，机械能守恒
振动类型
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力作用
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期
或频率
由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T0或
f驱＝f0
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(摆角θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
机械振动
(对应学生用书第306页)
一、简谐运动的描述与规律
1．简谐运动
(1)定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
(2)条件：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
(3)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
(4)回复力
①定义：使物体返回到平衡位置的力。
②方向：总是指向平衡位置。
③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
(5)简谐运动的特征
①动力学特征：F回＝－kx。
②运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意v、a的变化趋势相反)。
③能量特征：系统的机械能守恒，振幅A不变。
2．简谐运动的两种模型
3.简谐运动的表达式
(1) 回复力与位移关系，亦即动力学表达式： F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
(2)振动位移与时间关系，亦即运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf，表示简谐运动的快慢，ωt＋φ代表运动的相位，φ代表初相位。
二、简谐运动的图像
1．物理意义：表示振子的位移随时间变化的规律，为正弦(或余弦)曲线。
2．简谐运动的图像
(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图像如图甲所示。
甲 乙
(2)从最大位置开始计时，函数表达式为x＝Acs ωt，图像如图乙所示。
三、受迫振动和共振
1．受迫振动
(1)概念：振动系统在周期性驱动力作用下的振动。
(2)特点：受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关。
2．共振
(1)现象：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大。
(2)条件：驱动力的频率等于固有频率。
(3)特征：共振时振幅最大。
(4)共振曲线(如图所示)。f＝f0时，A＝Am，f与f0差别越大，物体做受迫振动的振幅越小。
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。(×)
(2)做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的。(×)
(3)公式x＝Asin ωt说明是从平衡位置开始计时。(√)
(4)简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。(×)
(5)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。(√)
(6)物体受迫振动的频率与驱动力的频率无关。(×)
二、教材习题衍生
1．(失重对振动的影响)图甲中的装置水平放置，将小球从平衡位置O拉到A处后释放，小球在O点附近来回振动；图乙中被细绳拴着的小球由静止释放后可绕固定点来回摆动。若将上述装置安装在太空中的我国空间站内进行同样操作，下列说法正确的是( )
甲 乙
A．甲图中的小球将保持静止
B．甲图中的小球仍将来回振动
C．乙图中的小球仍将来回摆动
D．乙图中的小球将做匀速圆周运动
B [甲图做简谐运动，回复力为弹力，在太空中不受重力影响，故仍来回振动，故A错误，B正确；乙图小球受重力影响来回摆动，太空中重力不计，故不能摆动或匀速圆周运动，故CD错误。故选B。]
2．(简谐振动的描述与规律)下列关于简谐运动的说法正确的是( )
A．加速度第一次恢复为原来的大小和方向所经历的过程为一次全振动
B．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同
C．一个全振动指的是动能或势能第一次恢复为原来的大小所经历的过程
D．位移减小时，加速度减小，速度增大
D [加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程不是一次全振动，故A错误；回复力与位移方向相反，故加速度和位移方向相反，但速度方向可以与位移方向相同，也可以相反，物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反，背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，故B错误；一次全振动过程中，动能和势能均会有两次恢复为原来的大小，故C错误；当位移减小时，回复力减小，则加速度在减小，物体正在返回平衡位置，速度在增大，故D正确。]
3.(简谐振动的规律与共振)如图所示为受迫振动的演示装置，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆(称为“驱动摆”)驱动另外几个单摆。下列说法不正确的是( )
A．某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度可能不同而加速度一定相同
B．如果驱动摆的摆长为L，则其他单摆的振动周期都等于2πeq \r(\f(L,g))
C．如果驱动摆的摆长为L，振幅为A，若某个单摆的摆长大于L，振幅也大于A
D．如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的振幅最大
C [某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同，根据F＝－kx可得，加速度a＝eq \f(F,m)＝－eq \f(k,m)x，故加速度一定相同，A正确；如果驱动摆的摆长为L，根据单摆的周期公式有T＝2πeq \r(\f(L,g))，而其他单摆都是受迫振动，故其振动周期都等于驱动摆的周期，B正确；当受迫振动的单摆的固有周期等于驱动摆的周期时，受迫振动的振幅最大，故某个单摆的摆长大，振幅不一定也大，C错误；同一地区，单摆的固有频率只取决于单摆的摆长，则只有摆长等于驱动摆的摆长时，单摆的振幅能够达到最大，这种现象称为共振，D正确。]
4．(简谐振动的图像)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振动物体的位移x随时间t的变化如图乙所示，则由图可知( )
甲 乙
A．t＝0.2 s时，振动物体的加速度方向向左
B．t＝0.6 s时，振动物体的速度方向向右
C．在t＝0.4 s到t＝0.8 s时间内，振动物体的动能逐渐减小
D．在t＝0到t＝2.4 s时间内，振动物体通过的路程是80 cm
A [由题图乙可知，t＝0.2 s时，振动物体远离平衡位置向右运动，位移增大，根据F＝－kx可知，回复力方向向左，故加速度方向向左，A正确；t＝0.6 s时，振动物体靠近平衡位置向左运动，故振动物体的速度方向向左，B错误；在t＝0.4 s到t＝0.8 s时间内，振动物体向平衡位置运动，速度逐渐增大，动能逐渐增大，C错误；在t＝0到t＝2.4 s时间内，振动物体通过的路程是4A×eq \f(2.4 s,1.6 s)＝60 cm，故D错误。]
5．(简谐运动的特点)一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的( )
A．动能增大 B．速度增大
C．回复力增大 D．机械能增大
C [由简谐运动的特点可知，当偏角增大，摆球偏离平衡位置的速度减小，动能减小，故A错误；当偏角增大，动能转化为重力势能，所以速度减小，故B错误；由回复力F＝－kx可知，位移增大，回复力增大，故C正确；单摆做简谐运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒，故D错误。]
简谐运动的描述与规律
(对应学生用书第308页)
1.(简谐运动的描述)(2021·江苏卷)如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为( )
A．x＝Rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωt－\f(π,2))) B．x＝Rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωt＋\f(π,2)))
C．x＝2Rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωt－\f(π,2))) D．x＝2Rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωt＋\f(π,2)))
B [由题图可知，影子P做简谐运动的振幅为R，以向上为正方向，设P的振动方程为
x＝Rsin(ωt＋φ)
由图可知，当t＝0时，P的位移为R，所用时间为t＝eq \f(π,ω)
代入振动方程解得φ＝eq \f(π,2)
则P做简谐运动的表达式为x＝Rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωt＋\f(π,2)))
故B正确，A、C、D错误。故选B。]
2．(简谐运动中各物理量分析)(2023·无锡市调研)如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距x。套在杆上的小球从中点以初速度v向右运动，小球将做周期为T的往复运动，则( )
A．小球做简谐运动
B．小球动能的变化周期为eq \f(T,2)
C．两根弹簧的总弹性势能的变化周期为T
D．小球的初速度为eq \f(v,2)时，其运动周期为2T
B [物体做简谐运动的条件是在运动过程中所受回复力与位移成正比，且方向始终指向平衡位置，但小球在杆中点到接触弹簧过程中，所受合力为零，故小球不是做简谐运动，故A错误；假设杆中点为O，小球向右压缩弹簧至最大压缩量时的位置为A，小球向左压缩弹簧至最大压缩量时的位置为B，可知小球做周期为T的往复运动，运动过程为O→A→O→B→O，根据对称性可知小球从O→A→O与O→B→O，这两个过程的动能变化完全一致，两根弹簧的总弹性势能的变化完全一致，故小球动能的变化周期为eq \f(T,2)，两根弹簧的总弹性势能的变化周期为eq \f(T,2)，故B正确，C错误；小球的初速度为eq \f(v,2)时，可知小球在匀速阶段的时间变为原来的2倍，接触弹簧过程，根据弹簧振子的周期公式T0＝2πeq \r(\f(m,k))可知，接触弹簧过程中所用时间与速度无关，因此总的运动周期小于2T，故D错误。故选B。]
3.(简谐振动规律的应用)弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离为10 cm，由B→C运动时间为1 s，则( )
A．从B开始经过0.25 s，振子通过的路程是2.5 cm
B．经过两次全振动，振子通过的路程为80 cm
C．该振子任意1 s内通过的路程都一定是10 cm
D．振动周期为2 s，振幅为10 cm
C [由B→C运动时间为1 s，则周期T＝2 s，则从B开始经过0.25 s＝eq \f(T,8)，振子通过的路程小于2.5 cm，选项A错误；一次全振动振子的路程为20 cm，则经过两次全振动，振子通过的路程为40 cm，选项B错误；由运动的对称性可知，该振子任意1 s内通过的路程都一定是10 cm，选项C正确；振动周期为2 s，振幅为5 cm，选项D错误。]
4．(弹簧振子的周期性与多解性的应用)一个弹簧振子做简谐振动，若从平衡位置开始计时，经过3 s时，振子第一次到达P点，又经过2 s第二次经过P点，则该弹簧振子的振动周期可能为( )
A．32 s B．16 s
C．8 s D．4 s
B [
若从O点开始向右振动，按下面路线振动，作出示意图如图，则弹簧振子的振动周期为：T1＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(2,2))) s＝16 s；若振子从O点开始向左振动，则按下面路线振动，
作出示意图如图，设从P到O的时间为t，则有：eq \f(2,2)＋t＝eq \f(3－t,2)，解得：t＝eq \f(1,3) s，则周期为：T＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋1)) s＝eq \f(16,3) s。故选项B正确，A、C、D错误。]
简谐运动的“五个特征”
(1)动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
(2)运动学特征：简谐运动的加速度的大小与物体偏离平衡位置的位移的大小成正比，而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。
(3)运动的周期性特征：相隔T或nT的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同。
(4)对称性特征
①相隔eq \f(T,2)或eq \f(2n＋1,2)T(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。
②如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
③振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。
④振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
(5)能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。
简谐运动的图像的理解与应用
(对应学生用书第309页)
根据简谐运动图像可获取的信息
(1)确定振动的振幅A和周期T。(如图所示)
(2)可以确定振动物体在任一时刻的位移。
(3)确定各时刻质点的振动方向。判断方法：振动方向可以根据下一时刻位移的变化来判定。下一时刻位移若增加，质点的振动方向是远离平衡位置；下一时刻位移如果减小，质点的振动方向指向平衡位置。
(4)比较各时刻质点的加速度(回复力)的大小和方向。
eq \x(\a\al(从图像读取x,大小及方向))eq \(――→,\s\up7(F＝kx))eq \x(\a\al(F的大小,及方向))eq \(――→,\s\up7(F＝ma))eq \x(\a\al(a的大小,及方向))
(5)比较不同时刻质点的势能和动能的大小。质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能越小。
[典例] (简谐运动图像的理解)如图甲所示，一水平弹簧振子在A、B两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，取水平向右为正方向，其振动图像如图乙所示。由振动图像可知( )
甲 乙
A．t1时刻振子位于O点
B．t3时刻振子的速度为零
C．t2时刻振子的运动方向与t4时刻振子的运动方向相反
D．从t1时刻到t3时刻，振子运动的加速度逐渐减小
D [由题图乙知在t1时刻振子位于正向位移最大处即B点，故A错误；t3时刻振子位于平衡位置，所以此时速度最大，故B错误；由题意可知，t2时刻振子处于从B向O运动过程中，t4时刻振子处于从O到A的运动过程中，所以两时刻运动方向相同，故C错误；从t1时刻到t3时刻，振子从最大位移B处向平衡位置O处运动，所以加速度越来越小，速度越来越大，故D正确。]
对简谐运动图像的两点说明
(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，如图所示。
甲 乙
(2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。
[跟进训练]
简谐振动图像的应用
1．如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图像，下列判断正确的是( )
A．t＝2×10－3 s时刻纸盆中心的速度最大
B．t＝3×10－3 s时刻纸盆中心的加速度最大
C．在0～1×10－3 s之间纸盆中心的速度方向与加速度方向相同
D．纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.5×10－4cs 50πt(m)
C [t＝2×10－3 s时刻在波谷位置，则纸盆中心的速度为零，选项A错误；t＝3×10－3 s时刻纸盆中心在平衡位置，此时的加速度为零，选项B错误；在0～1×10－3 s之间纸盆中心的速度方向与加速度方向均向下，方向相同，选项C正确；因为ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,4×10－3) rad/s＝500π rad/s则纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.5×10－4cs 500 πt(m)，选项D错误。]
两个简谐运动图像的对比
2．如图是质量相等的甲、乙两个物体分别做简谐运动时的图像，则下列判断错误的是( )
A．甲、乙两物体的振幅分别是2 m和1 m
B．甲的振动频率比乙的大
C．前2 s内两物体的加速度均为负值
D．第2 s末甲的速度最大，乙的加速度最大
A [由题图知，甲、乙两物体的振幅分别为2 cm和1 cm，A错误；8 s内甲完成2次全振动，乙完成1次全振动，甲的振动频率比乙的大，B正确；前2 s内，甲、乙的位移均为正，所以加速度均为负值，C正确；第2 s末甲在平衡位置，速度最大，乙在最大位移处，加速度最大，D正确。]
单摆及其周期公式
(对应学生用书第310页)
1．对周期公式的理解
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立。
(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，即l＝l线＋r球。
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m和振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。
2．周期公式应用
(1)只要测出单摆摆长l和周期T，就可以根据g＝eq \f(4π2l,T2)求当地重力加速度g。
(2)可以制作计时仪器。
3．单摆振动中的等效问题
(1)等效摆长：摆球重心到摆动圆弧圆心的距离。
(2)等效重力加速度：①分析摆球的受力，确定摆球相对静止的位置(即平衡位置)；②计算摆球的视重(即平衡位置的拉力); ③利用g′＝eq \f(F,m)求出等效重力加速度。
单摆周期公式的理解与应用
1．(2022·江苏苏州三模)如图甲所示，细线下端悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。将摆线拉开一较小幅度，当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向以速度v匀速拖动木板，得到喷在木板上的墨汁图样如图乙所示，若测得木板长度为L，墨汁图样与木板边缘交点P、Q恰好是振动最大位置处，已知重力加速度为g，则该单摆的等效摆长为( )
甲 乙
A.eq \f(gv2,25π2L2) B．eq \f(gL2,25π2v2)
C.eq \f(25gL2,16π2v2) D．eq \f(25gv2,16π2L2)
B [由图乙可知，该单摆恰好摆动2.5个周期，故满足eq \f(5,2)T＝eq \f(L,v)，单摆周期公式为T＝2πeq \r(\f(l,g))，联立解得该单摆的等效摆长为l＝eq \f(gL2,25π2v2)，B正确。]
单摆图像及其应用
2．甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以断定( )
A．甲、乙两单摆振动的周期之比是3∶2
B．甲、乙两单摆振动的频率之比是2∶3
C．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆摆长之比是9∶4
D．若甲、乙两单摆摆长相同，在不同地点摆动，则甲、乙两单摆所在地的重力加速度之比为9∶4
D [根据图像可知，甲和乙的周期之比为T甲∶T乙＝2∶3，故A错误；因为f＝eq \f(1,T)，所以甲、乙的频率之比为f甲∶f乙＝3∶2，故B错误；根据单摆的周期公式可知T＝2πeq \r(\f(l,g))，同一地点，重力加速度相同，则甲、乙的摆长之比和周期的平方成正比，即为4∶9，故C错误；摆长相同，重力加速度和周期的平方成反比，即甲、乙两单摆所在地的重力加速度之比为9∶4，故D正确。]
单摆的振动图像的应用
3．将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，如图所示，甲图中O点为单摆的悬点，现将小球(可视为质点)拉到A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的ABC之间来回摆动，其中B点为运动中最低位置，∠AOB＝∠COB＝α，α小于5°且是未知量。图乙表示由计算机得到细线对摆球的拉力大小F随时间变化的曲线，且图中t＝0时刻为摆球从A点开始运动的时刻，根据力学规律和题中信息(g取10 m/s2)求：
甲 乙
(1)单摆的周期和摆长；
(2)摆球的质量。
[解析] (1)摆球受力分析如图所示：
小球在一个周期内两次经过最低点，根据该规律，知：
T＝0.4π s
由单摆的周期公式：T＝2πeq \r(\f(L,g))
代入数据解得：L＝0.4 m。
(2)在最高点A，有：
Fmin＝mgcs α＝0.495 N
在最低点B，有：Fmax－mg＝meq \f(v2,L)
其中Fmax＝0.510 N
从A到B，小球机械能守恒，有：mgL(1－cs α)＝eq \f(1,2)mv2
联立并代入数据得：m＝0.05 kg。
[答案] (1)0.4π s 0.4 m (2)0.05 kg
受迫振动、共振
(对应学生用书第311页)
1．(受迫振动和共振的理解)(2023·天一中学模拟预测)如图甲所示，一个有固定转动轴的竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动图像如图乙所示。圆盘匀速转动时，小球做受迫振动。小球振动稳定时。下列说法正确的是( )
甲 乙
A．小球振动的固有频率是4 Hz
B．小球做受迫振动时周期一定是4 s
C．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著增大
D．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著减小
C [小球振动的固有周期T＝4 s，则其固有频率为f＝eq \f(1,T)＝0.25 Hz，A错误；小球做受迫振动时周期等于驱动力的周期，即等于圆盘转动周期，不一定等于固有周期4 s，B错误；圆盘转动周期在4 s附近时，驱动力周期等于振动系统的固有周期，小球产生共振现象，振幅显著增大，C正确，D错误。]
2.(单摆的共振曲线的理解)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则( )
A．此单摆的固有周期约为1 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长减小，共振曲线的峰将向左移动
B [由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz，固有周期为2 s；再由T＝2πeq \r(\f(l,g))，得此单摆的摆长约为1 m；若摆长减小，单摆的固有周期减小，固有频率增大，则共振曲线的峰将向右移动；若摆长增大，单摆的固有频率减小，故选项B正确，A、C、D错误。]
3.(受迫振动和共振的应用)半径为R的光滑球面，已知圆弧AB≪R，且A、B等高，其中B点和圆弧最低点之间由光滑斜面相连，现有三个小球，A球从A点从静止释放沿圆弧下滑，B球从B点从静止释放沿斜面下滑，C球从圆心O点由静止释放，若三个小球同时释放，则下列说法正确的是( )
A．A球最先运动到圆弧最低点
B．B球最先运动到圆弧最低点
C．C球最先运动到圆弧最低点
D．三个小球同时到达圆弧最低点
C [A球是等效单摆，A球从静止运动到最低点的时间tA＝eq \f(T,4)＝eq \f(1,4)×2πeq \r(\f(R,g))＝eq \f(π,2)eq \r(\f(R,g))，设弦轨道的倾角为θ，对于B球，有2Rcs(90°－θ)＝eq \f(1,2)gsin θ·teq \\al(2,B)，可得tB＝2eq \r(\f(R,g))，C球做自由落体运动，有R＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,C)可得tC＝eq \r(\f(2R,g))则有tB>tA>tC则C球最先运动到圆弧最低点，故A、B、D错误，C正确。]
自由振动、受迫振动和共振的关系比较
课时分层作业(三十五) 机械振动
(对应学生用书第479页)
题组一 简谐运动的描述与规律
1．关于简谐运动，下列说法正确的是( )
A．位移的方向总指向平衡位置
B．加速度方向总和位移方向相反
C．位移方向总和速度方向相反
D．速度方向跟位移方向相同
B [简谐运动的位移的初始位置是平衡位置，所以简谐运动中位移的方向总是背离平衡位置的，故A选项错误；加速度的方向总是指向平衡位置的，故B选项正确；位移方向与速度方向可能相同，也可能相反，故C、D选项错误。]
2.把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是( )
A．小球在O位置时，动能最小，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功
D．小球从B到O的过程中，振动的能量不断减小
C [振子经过平衡位置时，速度最大，位移为零，所以经过平衡位置动能最大，回复力为零，加速度为零，故A错误；在A、B位置时，速度为零，位移最大，回复力最大，加速度最大，故B错误；由于回复力指向平衡位置，所以振子从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功，故C正确；振子的动能和弹簧的势能相互转化，且总量保持不变，即振动的能量保持不变，故D错误。]
题组二 简谐运动的图像的理解与应用
3．如图1所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图2所示，下列说法正确的是( )
图1 图2
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向右
B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度完全相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子速度逐渐增大
D [由图可知t＝0.8 s时，振子在平衡位置向左运动，A错误；由题中图像得振子的位移x＝12sin eq \f(5,4)πt(cm)，故t＝0.2 s时，x＝6eq \r(2) cm，故B错误；当t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子分别在B、A两点，加速度大小相等，方向相反，C错误；在0.4 s～0.8 s时间内，振子由最大位移处向平衡位置运动，速度越来越大，D正确。]
4．(2023·江苏姜堰中学期末)学校实验室中有甲、乙两单摆，其振动图像为如图所示的正弦曲线，则下列说法中不正确的是( )
A．甲、乙两单摆的摆球质量之比是1∶2
B．甲、乙两单摆的摆长之比是1∶4
C．t＝1.5 s时，两摆球的加速度方向相同
D．3～4 s内，两摆球的势能均减少
A [单摆的周期与振幅和摆球的质量无关，无法求出甲、乙两单摆摆球的质量关系，A错误；由题图图像可知甲、乙两单摆的周期之比为1∶2，根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，周期与摆长的二次方根成正比，所以甲、乙两单摆的摆长之比是1∶4，B正确；由加速度公式a＝eq \f(F回,m)＝eq \f(－kx,m)，t＝1.5 s时，两摆球位移方向相同，所以它们的加速度方向相同，C正确；3～4 s内，两摆球均向平衡位置运动，两摆球的势能均减少，D正确。]
题组三 单摆及其周期公式
5．做简谐振动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的eq \f(1,2)，则单摆振动的( )
A．频率、振幅都不变
B．频率、振幅都改变
C．频率不变、振幅改变
D．频率改变、振幅不变
C [由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))，可知，单摆摆长不变，则周期不变，频率不变；振幅A是反映单摆运动过程中的能量大小的物理量，由Ek＝eq \f(1,2)mv2可知，摆球经过平衡位置时的动能不变，但质量增加，所以高度减小，因此振幅改变，故A、B、D错误，C正确。]
6.(2023·南通模拟)如图，长为l的轻绳上端固定在O点，下端系一小球(小球可视为质点)。在O点正下方距O点eq \f(l,2)处的P点固定一小钉子。现将小球拉至A点，使细线与竖直方向间夹角为θ(θ很小)，然后由静止释放小球。小球运动的最低点为B，点C(图中未标出)是小球能够到达的左方最高位置。A、B、P、O在同一竖直平面内，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的有( )
A．点C比点A高
B．点C在点A下方
C．小球摆动的周期为2πeq \r(\f(l,g))
D．小球摆动的周期为πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(l,g))＋\r(\f(l,2g))))
D [小球摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒，由于夹角为θ很小，可知两侧最高点动能均为零，故重力势能也相等，故最大高度相同，即点C与点A等高，故A、B错误；小球B→A→B的时间为：t1＝eq \f(1,2)T1＝πeq \r(\f(l,g))；小球B→C→B的时间为：t2＝eq \f(1,2)T2＝πeq \r(\f(l,2g))；故小球摆动的周期为：T＝t1＋t2＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(l,g))＋\r(\f(l,2g))))，故C错误，D正确。]
题组四 受迫振动、共振
7．蜘蛛会根据丝网的振动情况感知是否有昆虫“落网”，若丝网的固有频率为200 Hz，下列说法正确的是( )
A．“落网”昆虫翅膀振动的频率越大，丝网的振幅越大
B．当“落网”昆虫翅膀振动的频率低于200 Hz时，丝网不振动
C．当“落网”昆虫翅膀振动的周期为0.005 s时，丝网的振幅最小
D．昆虫“落网”时，丝网振动的频率由“落网”昆虫翅膀振动的频率决定
D [根据共振的条件可知，系统的固有频率等于驱动力的频率时，系统达到共振，振幅达最大，故A错误；当“落网”昆虫翅膀振动的频率低于200 Hz时，丝网仍然振动，B错误；当“落网”昆虫翅膀振动的周期为0.005 s时，其频率：f＝eq \f(1,T)＝200 Hz，与丝网的固有频率相等，所以丝网的振幅最大，故C错误；受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以昆虫“落网”时，丝网振动的频率由“落网”昆虫翅膀振动的频率决定，故D正确。]
8．如图所示，在一根张紧的水平绳上挂有5个单摆，其中b摆球质量最大，其余4个摆球质量相等，摆长关系为Lc>Lb＝Ld>La>Le，现将b摆垂直纸面向里拉开一微小角度后释放，经过一段时间后，其余各摆均振动起来并达到稳定，下列叙述正确的是( )
A．4个单摆的周期Tc>Td>Ta>Te
B．4个单摆的频率fa＝fc＝fd＝fe
C．4个单摆的振幅Aa＝Ac＝Ad＝Ae
D．4个单摆中c摆振幅最大
B [b摆垂直纸面向里拉开一微小角度后释放，使得其他4个单摆都做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以4个单摆频率相同，周期也一样，所以A错误，B正确；当驱动力的频率等于物体的固有频率时，振幅最大，即达到共振。根据T＝2πeq \r(\f(l,g)) 知，d摆长与b摆长相等，则驱动力的周期等于d摆的固有周期，发生共振，所以d摆振幅最大，C、D错误。]
9．一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动。可把游艇浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是( )
A．0.5 s B．0.75 s
C．1.0 s D．1.5 s
C [由题中所给条件写出游船做简谐运动的振动方程y＝20sin eq \f(2π,T)t＝20sin eq \f(2π,3)t(cm)，画出y-t图像，如图所示，
能舒服登船的时间Δt＝t2－t1，在一个周期内，当y＝10 cm时，解得t1＝0.25 s，t2＝1.25 s，则Δt＝t2－t1＝1.25 s－0.25 s＝1.0 s，C正确。]
10.(2023·无锡市大桥实验中学模拟)如图所示，质量分别为m和2m的小物块P和Q，用轻质弹簧连接后放在水平地面上，P通过一根水平轻绳连接到墙上。P的下表面光滑，Q与地面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。用水平拉力将Q向右缓慢拉开一段距离，撤去拉力后，Q恰好能保持静止。弹簧形变始终在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k，重力加速度大小为g。若剪断轻绳，P在随后的运动过程中相对于其初始位置的最大位移大小为( )
A.eq \f(μmg,k) B． eq \f(2μmg,k)
C.eq \f(4μmg,k) D．eq \f(6μmg,k)
C [Q恰好能保持静止时，设弹簧的伸长量为x，满足kx＝2μmg，若剪断轻绳后，物块P与弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的最大压缩量也为x，因此P相对于其初始位置的最大位移大小为s＝2x＝eq \f(4μmg,k)，故A、B、D错误，C正确。]
11．弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8 cm，周期为0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt＋\f(π,2)))(m)
B．x＝4×10－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt－\f(π,2)))(m)
C．x＝8×10－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,2)))(m)
D．x＝4×10－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt－\f(π,2)))(m)
B [振子振动范围0.8 cm，所以2A＝0.8 cm，振幅A＝0.4 cm，周期为0.5 s，所以ω＝eq \f(2π,T)＝4π rad/s，而初始时刻具有正向最大加速度，即振子在负向最大位移处，综上可得：x＝4×10－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt－\f(π,2)))(m)，B正确A、C、D错误。]
12.有一摆长为L的单摆悬点正下方某处有一小钉，摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部被小钉挡住，使摆长发生变化。现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M至左边最高点N运动过程中的闪光照片如图所示(悬点与小钉未被摄入)。P为摆动中的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与P点的距离为( )
A.eq \f(L,4) B．eq \f(L,2)
C.eq \f(3L,4) D．无法确定
C [设每相邻两次闪光的时间间隔为t，则摆球在右侧摆动的周期为T1＝8t，在左侧摆动的周期为T2＝4t，T1∶T2＝2∶1。则T1＝2πeq \r(\f(L1,g))；T2＝2πeq \r(\f(L2,g))；两式两边相除得L2＝eq \f(1,4)L1，所以，小钉与悬点的距离s＝L1－L2＝eq \f(3,4)L。故选C。]
13．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v。
(1)求弹簧振子振动周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm。从平衡位置计时，写出弹簧振子位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像。
[解析] (1)根据弹簧振子简谐运动的对称性可得：
T＝0.5×2 s＝1.0 s。
(2)若B、C之间距离为25 cm，
则振幅A＝eq \f(1,2)×25 cm＝12.5 cm
振子4.0 s内通过的路程s＝eq \f(4.0,1.0)×4×12.5 cm＝200 cm。
(3)根据x＝Asin ωt，A＝12.5 cm，ω＝eq \f(2π,T)＝2π
得x＝12.5sin 2πt(cm)振动图像如图所示。
[答案] (1)1.0 s (2)200 cm
(3)x＝12.5sin 2πt(cm) 图像见解析
14.如图所示，弹簧振子在光滑水平面上以振幅A做简谐运动，质量为M的滑块上面放一个质量为m的砝码，砝码随滑块一起做简谐运动，已知弹簧的劲度系数为k，试求：
(1)使砝码随滑块一起振动的回复力是什么力？它跟位移成正比的比例常数k′等于多少？
(2)当滑块运动到振幅一半位置时，砝码所受回复力有多大？方向如何？
(3)当砝码与滑块的动摩擦因数为μ时，要使砝码与滑块不发生相对滑动的最大振幅为多大？
[解析] (1)使砝码随滑块一起做简谐振动的回复力是滑块对砝码的静摩擦力。
对M、m整体：F＝kx＝(M＋m)a
对m：f＝ma
由以上两式可得f＝eq \f(mk,M＋m)x
所以k′＝eq \f(mk,M＋m)。
(2)f＝k′·eq \f(A,2)＝eq \f(mkA,2M＋m)
方向指向平衡位置。
(3)fm＝μmg＝k′Am
Am＝eq \f( μmg,k′)＝eq \f(μM＋mg,k)。
[答案] (1)滑块对砝码的静摩擦力 eq \f(mk,M＋m)
(2)eq \f(mkA,2M＋m) 方向指向平衡位置 (3)eq \f( μM＋mg,k)
知能模块
考点内容
高考(江苏卷)五年命题情况对照分析
2018
2019
2020
2021年
适应考
2021
2022
命题分析
第1讲
机械振动
简谐运动
T13：简谐运动的回复力、速度、位移
T5简谐运动的公式
T10：简谐运动的公式
高考对本章的考查形式有选择题、实验题和计算题。命题热点为简谐运动的特点及波长、波速、和频率的关系，波动与振动的综合应用。
简谐运动的公式和图像
单摆、周期公式
受迫振动和共振
第2讲
机械波
机械波、横波和纵波
T12：由质点的振动图像求波长、波速
T8：振动和波
横波的图像
波速、波长和频率(周期)的关系
波的干涉和衍射现象
多普勒效应
实验十七 用单摆测量重力加速度的大小
核心素养
物理观念：简谐运动、弹簧振子、单摆、受迫振动、横波、多普勒效应、干涉、衍射。
科学思维：简谐运动的公式和图像、共振曲线。
科学探究：探究单摆的周期与摆长的定量关系、会用单摆测重力加速度。
科学态度与责任：多普勒效应。
模型
弹簧振子
单摆
示意图
弹簧振子(水平)
简谐运
动条件
①弹簧质量要忽略
②无摩擦等阻力
③在弹簧弹性限度内
①摆线为不可伸缩的轻细线
②无空气阻力等
③最大摆角小于等于5°
回复力
弹簧的弹力提供
摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力
平衡位置
弹簧处于原长处
最低点
周期
与振幅无关
T＝2πeq \r(\f(L,g))
能量
转化
弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒
重力势能与动能的相互转化，机械能守恒
振动类型
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力作用
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期
或频率
由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T0或
f驱＝f0
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(摆角θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
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