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江苏版高考物理一轮复习第4章第2节抛体运动课时学案
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这是一份江苏版高考物理一轮复习第4章第2节抛体运动课时学案，文件包含核心素养部编版语文三年级下册-7鹿角和鹿腿第2课时课件pptx、核心素养部编版语文三年级下册-7鹿角和鹿腿第2课时教学设计含反思docx、核心素养部编版语文三年级下册-7鹿角和鹿腿第2课时分层作业含答案docx、核心素养部编版语文三年级下册-7鹿角和鹿腿第2课时导学案docx等4份课件配套教学资源，其中PPT共46页， 欢迎下载使用。
(对应学生用书第82页)
一、平抛运动
1．定义
将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下所做的运动。
2．性质
加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
3．条件：v0≠0，沿水平方向；只受重力作用。
二、平抛运动的基本规律
1．研究方法
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
2．基本规律
(1)位移关系
(2)速度关系
三、斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动。
4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)
(1)水平方向：v0x＝v0cs_θ，F合x＝0；
(2)竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg。
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。(×)
(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。(×)
(3)两个做平抛运动的物体，初速度大的落地时速度大。(×)
(4)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越短。(×)
(5)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。(√)
二、教材习题衍生
1.(平抛运动的基本规律)从距地面h高度水平抛出一小球，落地时速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列结论中正确的是( )
A．小球初速度为eq \r(2gh)·tan θ
B．小球着地速度大小为eq \f(\r(2gh),sin θ)
C．若小球初速度减为原来一半，则平抛运动的时间变为原来的两倍
D．若小球初速度减为原来一半，则落地时速度方向与水平方向的夹角变为2θ
[答案] B
2．(平抛与斜面的结合)如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，击中坡上的目标A。已知A点高度为h，山坡倾角为θ，重力加速度为g，由此不能算出的是( )
A．轰炸机的飞行高度 B．轰炸机的飞行速度
C．炸弹的飞行时间 D．炸弹投出时的动能
D [设轰炸机投弹位置高度为H，炸弹水平位移为x，则H－h＝eq \f(1,2)vyt，x＝v0t，得eq \f(H－h,x)＝eq \f(1,2)·eq \f(vy,v0)，因为eq \f(vy,v0)＝eq \f(1,tan θ)，x＝eq \f(h,tan θ)，联立解得H＝h＋eq \f(h,2tan2θ)，故A正确；根据H－h＝eq \f(1,2)gt2可求出炸弹的飞行时间，再由x＝v0t可求出轰炸机的飞行速度，故B、C正确；因不知道炸弹的质量，不能求出炸弹投出时的动能，故D错误。]
3．(斜抛运动规律的应用)由消防带水龙头的喷嘴喷出水的流量是0.28 m3/min，水离开喷口时的速度大小为16eq \r(3) m/s，方向与水平面夹角为60°，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是(重力加速度g取10 m/s2)( )
A．28.8 m 1.12×10－2 m3
B．28.8 m 0.672 m3
C．38.4 m 1.29×10－2 m3
D．38.4 m 0.776 m3
A [水离开喷口后做斜抛运动，将运动沿水平方向和竖直方向分解，在竖直方向上：
vy＝vsin θ 代入数据可得vy＝24 m/s
故水柱能上升的高度h＝eq \f(v\\al(2,y),2g)＝28.8 m
水从喷出到最高处着火位置所用的时间t＝eq \f(vy,g)
代入数据可得t＝2.4 s
故空中水柱的水量为V＝eq \f(0.28,60)×2.4 m3＝
1．12×10－2 m3，A项正确。]
平抛与斜抛运动的基本规律
(对应学生用书第83页)
1.(平抛规律的理解与应用)(2022·全国甲卷)将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7。重力加速度大小g取10 m/s2，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
[解析] 设s1对应的水平位移为x，对应的竖直位移为y，则根据平抛运动的特点可知，s2对应的水平位移也为x，对应的竖直位移为3y
有y＝eq \f(1,2)g(4T)2＝0.2 m
s1＝eq \r(,x2＋y2)
s2＝eq \r(,x2＋3y2)
eq \f(s1,s2)＝eq \f(3,7)
解得x＝eq \r(,0.032) m
抛出瞬间小球的速度大小为v0＝eq \f(x,4T)
解得v0＝eq \r(,0.8) m/s。
[答案] eq \r(,0.8) m/s
2.(平抛运动推论的应用)将小球以某一初速度从A点水平向左抛出，运动轨迹如图所示，B为轨迹上的一点。改变抛出点位置，为使小球仍沿原方向经过B点，不计空气阻力，以下做法可能实现的是( )
A．在A点左侧等高处以较小的初速度水平抛出小球
B．在A点右侧等高处以较大的初速度水平抛出小球
C．在A、B两点间轨迹上某点沿切线向左下方抛出小球
D．在A、B两点间轨迹上某点以较小的初速度水平向左抛出小球
C [
根据平抛运动的推论，速度反向延长线过水平位移的中点，如图，在与A等高处其他位置水平抛出，无论左侧还是右侧，只要经过B点，则不满足平抛运动的推论，A、B项错误；当在A、B两点间轨迹上某点沿切线向左下方抛出小球，小球速度等于原小球经过该点的速度，则小球轨迹重合，小球能够沿原方向经过B点，C项正确；在A、B两点间轨迹上某点以较小的初速度水平向左抛出小球，根据几何关系可知：如果沿原方向经过B点，小球速度反向延长线不能过水平位移中点，D项错误。]
3.(不同高度平抛后落在同一水平面上的多体平抛问题)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则( )
A．A和B的位移大小相等
B．A的运动时间是B的2倍
C．A的初速度是B的eq \f(1,2)
D．A的末速度比B的小
A [位移为初位置到末位置的有向线段，如题图所示可得sA＝eq \r(l2＋2l2)＝eq \r(5)l ，sB＝eq \r(l2＋2l2)＝eq \r(5)l，A和B的位移大小相等，A正确；平抛运动运动的时间由高度决定，即tA＝eq \r(\f(2×2l,g))＝eq \r(2)×eq \r(\f(2l,g)) ，tB＝eq \r(\f(2×l,g))＝eq \r(\f(2l,g))，则A的运动时间是B的eq \r(2)倍，B错误；平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则vxA＝eq \f(l,tA)＝eq \f(\r(gl),2) ，vxB＝eq \f(2l,tB)＝eq \r(2gl)，则A的初速度是B的eq \f(\r(2),4)，C错误；小球A、B在竖直方向上的速度分别为vyA＝2eq \r(gl)，vyB＝eq \r(2gl)，所以可得vA＝eq \f(\r(17gl),2)，vB＝2eq \r(gl)＝eq \f(\r(16gl),2)，即vA>vB，D错误。]
4.(同一高度平抛后落在同一竖直面上的多体平抛问题)(2022·江苏七市二模)如图所示，在飞镖比赛中，某同学将飞镖从O点水平抛出，第一次击中飞镖盘上的a点，第二次击中飞镖盘上的b点，忽略空气阻力，则( )
A．飞镖第一次水平抛出的速度较小
B．飞镖第二次抛出时的动能较小
C．飞镖两次在空中运动的时间相等
D．飞镖两次击中飞镖盘时的速度方向相同
B [飞镖做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，有h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝eq \r(\f(2h,g))，知飞镖第二次下降的高度大，运动时间较长。由x＝v0t，x相等，知飞镖第二次水平抛出的速度较小，动能较小，故A、C错误，B正确。飞镖击中飞镖盘时的速度方向与水平方向夹角正切为tan α＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)，知飞镖第二次抛出时运动时间较长，而初速度较小，可知飞镖第二次抛出时击中飞镖盘时的速度方向与竖直方向的夹角较大，故D错误。]
5．(斜抛问题)(2022·山东卷变式)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点，网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变，重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为( )
A．v＝5 m/s B．v＝2eq \r(2) m/s
C．d＝3.6 m D．d＝3.9 m
D [设网球飞出时的速度为v0，
根据运动学公式可知竖直方向veq \\al(2,0y)＝2g (H－h)
代入数据得v0y＝12 m/s
运动时间t＝eq \f(v0y,g)
根据速度的分解有：v0x＝eq \r(v\\al(2,0)－v\\al(2,0y))
网球水平方向到P点的距离
x0x＝v0xt
根据几何关系可得，网球打在墙面上时，垂直墙面的速度分量v0x1＝eq \f(x0x1,t)
平行墙面的速度分量v0x2＝eq \r(v\\al(2,0)－v\\al(2,0y)－v\\al(2,0x1))
反弹后，垂直墙面的速度分量
v0x3＝0.75v0x1
则反弹后的网球速度大小为
v＝eq \r(v\\al(2,0x3)＋v\\al(2,0x2))
联立代入数据解得：v＝3eq \r(2) m/s
网球落到地面的时间t′＝eq \r(\f(2H,g))
着地点到墙壁的距离d＝v0x3t′
代入数据解得：d＝3.9 m
故D正确，ABC错误。]
平抛运动的重要结论和推论
(1)飞行时间
由t＝eq \r(\f(2h,g))知，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程
x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
(3)落地速度
v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))＝eq \r(v\\al(2,0)＋2gh)，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(\r(2gh),v0)，落地速度与初速度v0和下落高度h有关。
(4)两个重要推论
①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即xB＝eq \f(xA,2)。
②做平抛运动的物体在任意时刻，总有tan θ＝2tan α。
有约束条件的平抛运动
(对应学生用书第85页)
1．对平抛运动的约束条件常见的有“斜面”约束和“曲面”约束，解此类问题的关键：
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。
(2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。
(3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。
2．常见类型示例
[典例] (从斜面平抛且落点在斜面上)(一题多法)如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，经过3 s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2)。求：
(1)A点与O点的距离L；
(2)运动员离开O点时的速度大小；
(3)运动员从O点飞出到离斜坡距离最远所用的时间。
审题指导：
[解析] (1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有Lsin 37°＝eq \f(1,2)gt2
L＝eq \f(gt2,2sin 37°)＝75 m。
(2)设运动员离开O点时的速度为v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有Lcs 37°＝v0t，即v0＝eq \f(Lcs 37°,t)＝20 m/s。
(3)方法一：运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为v0cs 37°、加速度为gsin 37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为v0sin 37°、加速度为gcs 37°)。当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡最远，有v0sin 37°＝gcs 37°·t，解得t＝1.5 s。
方法二：当运动员的速度方向平行于斜坡或与水平方向成37°角时，运动员离斜坡最远，有eq \f(gt,v0)＝tan 37°，t＝1.5 s。
[答案] (1)75 m (2)20 m/s (3)1.5 s
与斜面相关平抛问题的两个分解思路
(1)以分解速度为突破口求解平抛运动问题：若知道某时刻的速度方向，要从分解速度的角度来研究，tan θ＝eq \f(gt,v0)(θ为t时刻速度与水平方向间的夹角)，从而得出初速度v0、时间t、夹角θ之间的关系，进而求解具体问题。
(2)以分解位移为突破口求解平抛运动问题：若知道某一时刻物体的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tan α＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)(α为t时刻位移与水平方向间的夹角)，确定初速度v0、时间t、夹角α之间的关系，进而求解具体问题。
[跟进训练]
物体从空中抛出垂直打在斜面上
1.(2023·常州模拟)将一小球以水平速度v0＝10 m/s从O点向右抛出，经eq \r(3) s小球恰好垂直落到斜面上的A点，不计空气阻力，g取10 m/s2，B点是小球做自由落体运动在斜面上的落点，如图所示，以下判断正确的是( )
A．斜面的倾角是60°
B．小球的抛出点距斜面的竖直高度是15 m
C．若将小球以水平速度v′0＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P的上方
D．若将小球以水平速度v′0＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P处
C [设斜面倾角为θ，对小球在A点的速度进行分解，有tan θ＝eq \f(v0,gt)，解得θ＝30°，A项错误；小球距过A点水平面的距离为h＝eq \f(1,2)gt2＝15 m，所以小球的抛出点距斜面的竖直高度肯定大于15 m，B项错误；若小球的初速度为v′0＝5 m/s，过A点作水平面，小球落到该水平面的水平位移是小球以初速度v0＝10 m/s抛出时的一半，延长小球运动的轨迹线，得到小球应该落在P、A之间，C项正确，D项错误。]
物体从斜面上抛出落在斜面上
2．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和eq \f(v,2)的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
A [甲、乙两球都落在同一斜面上，则隐含做平抛运动的甲、乙的最终位移方向相同，根据位移方向与末速度方向的关系，即末速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角的正切值的2倍，可得它们的末速度方向也相同，在速度矢量三角形中，末速度比值等于初速度比值，故A正确。]
3.如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为φ2，若v2>v1，则φ1和φ2的大小关系是( )
A．φ1＞φ2 B．φ1＜φ2
C．φ1＝φ2 D．无法确定
C [根据平抛运动的推论，做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β。由上述关系式结合题图中的几何关系可得：tan(φ＋θ)＝2tan θ，此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1＝φ2，即以不同初速度平抛的物体，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。故C正确。]
4.(2023·南京市高三调研)如图所示，固定斜面PO、QO与水平面MN的夹角均为45°，现由PO斜面上的A点分别以速度v1、v2先后沿水平方向抛出两个小球(可视为质点)，不计空气阻力，其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点，飞行时间为t，以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点，且B、C在同一水平面上，则( )
A．落于B点的小球飞行时间为eq \f(t,2)
B．v2＝gt
C．落于C点的小球的水平位移为eq \f(1,2)gt2
D．A点距水平面MN的高度为eq \f(3,4)gt2
D [
落于C点的小球速度垂直于QO，则两分速度相等，即v1＝gt，得出水平位移x＝v1t＝gt2，故C错误；落于B点的小球分解位移如图所示，其中，B、C在同一水平面，故飞行时间都为t，由图可得tan 45°＝eq \f(\f(1,2)gt2,v2t)＝eq \f(gt,2v2)，所以v2＝eq \f(gt,2)，故A、B错误；设C点距水平面MN的高度为h，由几何关系知x＝2h＋v2t，联立以上几式可得h＝eq \f(1,4)gt2，故A距水平面MN的高度H＝h＋eq \f(1,2)gt2＝eq \f(3,4)gt2，故D正确。 ]
落点在圆弧面上的平抛运动
5.如图所示，从O点以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v1∶v2为( )
A．tan α B．cs α
C．tan αeq \r(tan α) D．cs αeq \r(tan α)
C [设圆弧半径为R，两小球运动时间分别为t1、t2。对球1：Rsin α＝v1t1，Rcs α＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，对球2：Rcs α＝v2t2，Rsin α＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，联立可得eq \f(v1,v2)＝tan αeq \r(tan α)，C正确。]
6.(2023·宜兴中学模拟)如图所示，竖直平面内平抛的小球恰好与光滑半圆轨道相切于B点，已知抛出点在半圆轨道左端点(A点)的正上方，半圆轨道半径为R，直线OB与水平面成60°角，重力加速度为g，则下列关于小球在空中的运动的分析正确的是( )
A．小球到达B点飞行的时间为eq \r(\f(3R,2g))
B．小球平抛的初速度大小为eq \r(\f(3\r(3)gR,2))
C．小球到达B点时水平位移为eq \f(\r(3)R,2)
D．小球到达B点时竖直位移为eq \f(\r(3)R,2)
B [小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，经过B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，则tan 30°＝eq \f(vy,v0)，小球在B点时的位移方向与水平方向的夹角α的正切值tan α＝eq \f(1,2)tan 30°＝eq \f(y,x)，又知x＝R＋Rcs 60°＝eq \f(3,2)R，veq \\al(2,y)＝2gy，联立解得y＝eq \f(\r(3),4)R，vy＝eq \r(\f(\r(3)gR,2))，v0＝eq \r(\f(3\r(3)gR,2))，小球到达B点飞行的时间为t＝eq \f(vy,g)＝eq \r(\f(\r(3)R,2g))，选项A、C、D错误，B正确。]
平抛中的临界、极值问题
(对应学生用书第86页)
平抛中常见的“三种”临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
[典例] (排球平抛运动的临界和极值问题)排球场总长18 m，网高2.25 m，如图所示，设对方飞来一球，刚好在3 m线正上方被我方运动员击回。假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动。(g取10 m/s2)
(1)若击球的高度h＝2.5 m，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？(结果可用根号表示)
(2)若运动员仍从3 m线处起跳，击球高度h满足一定条件时，会出现无论球的水平速度多大都是触网或越界，试求h满足的条件。
[解析] (1)球以v1速度被击回，球正好落在底线上，则h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)
x＝v1t1
将x＝12 m，h＝2.5 m代入得v1＝12eq \r(2) m/s
球以v2速度被击回，球正好触网
h′＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)
x′＝v2t2
将h′＝(2.5－2.25)m＝0.25 m
x′＝3 m代入
得v2＝6eq \r(5) m/s
故球被击回的速度范围是
6eq \r(5) m/s(2)若h较小，如果击球速度大，会越界，如果击球速度小则会触网，临界情况是球刚好从球网上过去，落地时又刚好压底线，则eq \f(x,\r(\f(2h,g)))＝eq \f(x′,\r(\f(2h′,g)))，x、x′的数值同(1)中的值，
h′＝h－2.25 m
由此得h＝2.4 m
故若h<2.4 m，无论击球的速度多大，球总是触网或越界。
[答案] (1)6eq \r(5) m/s 平抛运动临界、极值问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质。
(2)根据题意确定临界状态。
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。
(4)应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。
[跟进训练]
乒乓球平抛运动的临界和极值问题
1．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A.eq \f(L1,2)eq \r(\f(g,6h))B.eq \f(L1,4)eq \r(\f(g,h))C.eq \f(L1,2)eq \r(\f(g,6h))D.eq \f(L1,4)eq \r(\f(g,h))D [设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间。则竖直方向上有3h－h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，水平方向上有eq \f(L1,2)＝v1t1，由两式可得v1＝eq \f(L1,4)eq \r(\f(g,h))。设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，在水平方向有eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L2,2)))2＋L\\al(2,1))＝v2t2，由两式可得v2＝eq \f(1,2)eq \r(\f(4L\\al(2,1)＋L\\al(2,2)g,6h))，则v的最大取值范围为v1＜v＜v2。故选项D正确。]
娱乐节目中平抛运动的临界和极值问题
2．如图为某娱乐节目中某个比赛环节的示意图，参与比赛的选手会遇到一个人造山谷AOB，AO是高h＝3 m的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，∠OAB＝60°，B点右侧是一段水平跑道。选手可以自A点借助绳索降到O点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A点直接跃上跑道。选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)若选手以速度v0水平跳出后，恰好能落到水平跑道上，求v0的最小值；
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间。
[解析] (1)若选手以速度v0水平跳出后，恰好能落到水平跑道上，则hsin 60°＝v0t，hcs 60°＝eq \f(1,2)gt2，解得v0＝eq \f(3\r(10),2) m/s。
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，因v1[答案] (1)eq \f(3\r(10),2) m/s (2)0.6 s
课时分层作业(十一) 抛体运动
(对应学生用书第411页)
题组一 平抛与斜抛运动的基本规律
1．(2022·广东卷)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是( )
A．将击中P点，t大于eq \f(L,v)
B．将击中P点，t等于eq \f(L,v)
C．将击中P点上方，t大于eq \f(L,v)
D．将击中P点下方，t等于eq \f(L,v)
B [由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木运动时间相同，根据h＝eq \f(1,2)gt2，可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有t＝eq \f(L,v)，故选B。]
2．(2021·江苏卷)如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是( )
A．A比B先落入篮筐
B．A、B运动的最大高度相同
C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
D [若研究两个过程的逆过程，可看成是从篮筐沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高度上的两点，则A上升的高度较大，高度决定时间，可知A运动时间较长，即B先落入篮筐中，A、B错误；因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即A在最高点的速度比B在最高点的速度大，C错误；由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，D正确。]
3.
如图所示，A球在B球的斜上方，两球相向水平抛出。若要使两球在与两球抛出的距离相等的竖直线上相遇，则( )
A．A、B两球要同时抛出
B．B球要先抛出
C．A球抛出时的速度大于B球抛出时的速度
D．A球抛出时的速度小于B球抛出时的速度
D [两球都做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，则有h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝eq \r(\f(2h,g))，可知A球做平抛运动的时间较长，由于两球在水平距离相等的竖直线上相遇，所以A球要先抛出，故A、B错误；水平方向有x＝v0t，因为x相等，A平抛运动的时间较长，所以A球抛出时的速度小于B球抛出时的速度，故C错误，D正确。]
题组二 有约束条件的平抛运动
4.(2023·溧阳中学高三月考)如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为3v0，小球仍落在斜面上。则以下说法正确的是( )
A．小球在空中的运动时间不变
B．P、Q间距是原来间距的9倍
C．夹角α与初速度大小有关
D．夹角α将变小
B [位移与水平方向夹角的正切值tan θ＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq \f(gt,2v0)得，小球在空中运动的时间t＝eq \f(2v0tan θ,g)，初速度变为原来的3倍，则小球在空中运动的时间变为原来的3倍，水平位移变为原来的9倍，根据平行四边形定则知，P、Q间距变为原来的9倍，故A错误，B正确；速度与水平方向夹角的正切值tan β＝eq \f(gt,v0)，可知速度方向与水平方向夹角β的正切值是位移与水平方向夹角θ正切值的2倍，小球落在斜面上，位移方向相同，则速度方向相同，可知夹角α与初速度大小无关，故C、D错误。]
5.(2023·江苏扬州高三月考)如图所示，两墙壁平行竖直，小球从P点以垂直于墙面的初速度v0抛出，打在右侧墙壁上的Q点。已知小球与墙壁碰撞前后竖直分速度不变，水平分速度大小不变、方向相反，不计空气阻力，若只改变初速度大小，小球仍能击中Q点，则初速度大小可能为( )
A.eq \f(v0,2) B．2v0
C．3v0 D．4v0
C [设两墙壁之间的距离为x，则小球从P点到Q点的时间t是一定的，则水平方向x＝v0t，(2n＋1)x＝v1t，则v1＝(2n＋1)v0，则当n＝1时v1＝3v0，故选C。]
6.如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端c处。今在c点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的三等分点d处。若不计空气阻力，下列关系式正确的是( )
A．ta＝eq \f(\r(3),2)tb B．ta＝3tb
C．va＝eq \f(\r(3),2)vb D．va＝eq \f(3,2)vb
C [由于a、b两球下降的高度之比为3∶1，根据h＝eq \f(1,2)gt2可知下落时间t＝eq \r(\f(2h,g))，则两小球运动的时间关系是ta＝eq \r(3)tb，故A、B错误；因为两球水平位移之比为3∶2，由v0＝eq \f(x,t)得va＝eq \f(\r(3),2)vb，故C正确，D错误。]
7.(2023·江苏海安高级中学高三月考)如图所示，将一小球从斜面上方的P点沿不同的方向以相同的速率抛出，不计空气阻力。要使得小球从抛出到落到斜面的时间最短，小球抛出的方向是( )
A．水平向左 B．竖直向下
C．垂直斜面向下 D．平行于斜面向下
C [小球抛出后加速度都为g，方向竖直向下，各个小球垂直于斜面方向的分加速度相等。由x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，x、a相等，垂直斜面向下抛出时垂直斜面向下方向的分初速度最大，所用时间最短，故C项正确，A、B、D错误。]
题组三 平抛中的临界、极值问题
8．如图所示，运动员将网球在边界A处正上方B点水平向右击出，恰好过网的上边沿上的C点落在D点，不计空气阻力，已知AB＝h1，网高h2＝eq \f(5,9)h1，A点与球网之间的垂直距离为x，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．落点D与网之间的垂直距离为eq \f(1,3)x
B．网球的初速度大小为xeq \r(\f(g,h1))
C．若击球高度低于eq \f(20,27)h1，球不可能落在对方界内
D．若保持击球高度不变，球的初速度v0只要不大于eq \f(x\r(2gh1),h1)，球一定落在对方界内
C [因为h1－h2＝eq \f(4,9)h1，由t＝eq \r(\f(2h,g))可知，eq \f(tBC,tBD)＝eq \f(2,3)，由x＝v0t可知eq \f(x,x1)＝eq \f(2,3)，其中x1为B、D两点间的水平距离，则落点D与网之间的垂直距离x2＝eq \f(1,2)x，选项A错误；球从B到D的过程中，有h1＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，eq \f(3,2)x＝v0t1，得v0＝eq \f(3,4)xeq \r(\f(2g,h1))，选项B错误；降低击球高度(仍大于h2)，同时调整初速度的大小，会有一临界高度h′，此时球刚好过网又刚好压界，有h′－h2＝eq \f(1,2)g·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,v0′)))2，h′＝eq \f(1,2)geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x,v0′)))2，又有h2＝eq \f(5,9)h1，联立解得h′＝eq \f(20,27)h1，若击球高度小于该临界高度，球不可能落到对方界内，选项C正确；若保持击球高度不变，要想球落在对方界内，既不能出界，又能过网，根据h1＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，得t1＝ eq \r(\f(2h1,g))，则球的最大初速度v0max＝eq \f(2x,t1)＝eq \f(x,h1)eq \r(2gh1)，由h1－h2＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，得t2＝ eq \f(2,3) eq \r(\f(2h1,g))，则球的最小初速度v0min＝eq \f(x,t2)＝eq \f(3x\r(2gh1),4h1)，选项D错误。]
9.将一抛球入框游戏简化如下：在地面上竖直固定一矩形框架，框架高1 m、长3 m，抛球点位于框架底边中点正前方2 m，离地高度为1.8 m，如图所示。假定球被水平抛出，方向可在水平面内调节，不计空气阻力，g取10 m/s2，忽略框架的粗细，球视为质点，球要在落地前进入框内，则球被抛出的速度大小可能为( )
A．2 m/s B．3 m/s
C．6 m/s D．7 m/s
C [球从框架底边中点处入框时，初速度最小，此时水平位移x1＝2 m，飞行时间t1＝ eq \r(\f(2h,g))＝ eq \r(\f(2×1.8,10)) s＝0.6 s，故可得最小初速度v1＝eq \f(x1,t1)＝eq \f(10,3) m/s；球从框的左上角或右上角处穿入框内时，初速度最大，此时水平位移x2＝eq \r(22＋1.52) m＝2.5 m，飞行时间t2＝eq \r(\f(2Δh,g))＝eq \r(\f(2×1.8－1,10)) s＝0.4 s，故可得最大初速度v2＝eq \f(x2,t2)＝6.25 m/s。故球被抛出的初速度的取值范围为eq \f(10,3) m/s10．(2018·江苏卷)某弹射管每次弹出的小球速度相等，在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的( )
A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同
C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同
B [弹射管在竖直方向做自由落体运动，所以弹出小球在竖直方向运动的时间相等，因此两球应同时落地；由于两小球先后弹出，所以小球在水平方向运动的时间不等，且弹出小球的初速度相同，所以水平位移不相等，因此落点不相同，故选项B正确。]
11．(2023·江苏高三月考)如图所示，滑板运动员沿水平地面向前滑行，在横杆前相对于滑板竖直向上起跳，人与滑板分离，分别从杆的上、下通过，忽略人和滑板在运动中受到的阻力。则运动员( )
A．起跳时脚对滑板的作用力斜向后
B．在空中水平方向先加速后减速
C．在空中机械能增加
D．越过杆后仍落在滑板起跳的位置
D [人相对滑板竖直向上起跳，所以起跳时脚对滑板的作用力竖直向下，A错误；因为忽略阻力，在空中水平方向不受外力，所以水平方向匀速运动，B错误；在空中只有重力做功，机械能守恒，C错误；因为水平方向保持匀速，仍与滑板速度相同，所以水平方向相对滑板静止，还会落在滑板起跳的位置，D正确。]
12.如图所示，AB为半圆环ACB的水平直径，C为环上的最低点，环半径为R。一个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是( )
A．v0越大，小球落在圆环时的时间越长
B．即使v0取值不同，小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角也相同
C．若v0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环
D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环
D [小球落在环上的最低点C时时间最长，选项A错误；v0取值不同，小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角不相同，选项B错误；要使小球垂直撞击半圆环，设小球落点与圆心的连线与水平方向夹角为θ，根据平抛运动规律，v0t＝R(1＋cs θ)，Rsin θ＝eq \f(1,2)gt2，tan θ＝eq \f(gt,v0)，联立解得cs θ＝1，即垂直撞击半圆环是不可能的，选项D正确，C错误。]
13.(2021·山东卷)海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤(贝类动物)后，有时会飞到空中将它丢下，利用地面的冲击打碎硬壳。一只海鸥叼着质量m＝0.1 kg 的鸟蛤，在H＝20 m的高度、以v0＝15 m/s的水平速度飞行时，松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上。取重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力。
(1)若鸟蛤与地面的碰撞时间Δt＝0.005 s，弹起速度可忽略，求碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力的大小F；(碰撞过程中不计重力)
(2)在海鸥飞行方向正下方的地面上，有一与地面平齐、长度L＝6 m的岩石，以岩石左端为坐标原点，建立如图所示坐标系。若海鸥水平飞行的高度仍为20 m，速度大小在15 m/s～17 m/s之间，为
保证鸟蛤一定能落到岩石上，求释放鸟蛤位置的x坐标范围。
[解析] (1)设平抛运动的时间为t，鸟蛤落地前瞬间的速度大小为v。竖直方向分速度大小为vy，根据运动的合成与分解得H＝eq \f(1,2)gt2，vy＝gt，v＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))
在碰撞过程中，以鸟蛤为研究对象，取速度v的方向为正方向，由动量定理得－FΔt＝0－mv
联立，代入数据得F＝500 N。
(2)若释放鸟蛤的初速度为v1＝15 m/s，设击中岩石左端时，释放点的x坐标为x1，击中右端时，释放点的x坐标为x2，得x1＝v1t，x2＝x1＋L
联立并代入数据得x1＝30 m，x2＝36 m
若释放鸟蛤时的初速度为v2＝17 m/s，设击中岩石左端时，释放点的x坐标为x′1，击中右端时，释放点的x坐标为x′2，得x′1＝v2t，x′2＝x′1＋L
联立并代入数据得x′1＝34 m，x′2＝40 m
综上得x坐标范围为[34 m,36 m]或(34 m,36 m)。
[答案] (1)F＝500 N (2)[34 m,36 m]或(34 m，36 m)
运动情景
物理量分析
vy＝gt，tan θ＝eq \f(v0,vy)＝eq \f(v0,gt)→t＝eq \f(v0,gtan θ)
x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2→tan θ＝eq \f(y,x)→t＝eq \f(2v0tan θ,g)
tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)→t＝eq \f(v0tan θ,g)
落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ，tan φ＝eq \f(gt,v0)＝eq \f(gt2,v0t)＝eq \f(2y,x)＝2tan θ →α＝φ－θ
tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)→t＝eq \f(v0tan θ,g)
在半圆内的平抛运动，h＝eq \f(1,2)gt2，R＋eq \r(R2－h2)＝v0t
题干关键
获取信息
从O点水平飞出，不计空气阻力
运动员做平抛运动
经过3 s落到斜坡上的A点
空中运动时间为3 s，可求出竖直分运动的位移
斜坡与水平面的夹角θ＝37°
结合竖直分位移可求合位移和水平位移，进而求出水平分速度(即初速度)
(对应学生用书第82页)
一、平抛运动
1．定义
将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下所做的运动。
2．性质
加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
3．条件：v0≠0，沿水平方向；只受重力作用。
二、平抛运动的基本规律
1．研究方法
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
2．基本规律
(1)位移关系
(2)速度关系
三、斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动。
4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)
(1)水平方向：v0x＝v0cs_θ，F合x＝0；
(2)竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg。
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。(×)
(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。(×)
(3)两个做平抛运动的物体，初速度大的落地时速度大。(×)
(4)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越短。(×)
(5)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。(√)
二、教材习题衍生
1.(平抛运动的基本规律)从距地面h高度水平抛出一小球，落地时速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列结论中正确的是( )
A．小球初速度为eq \r(2gh)·tan θ
B．小球着地速度大小为eq \f(\r(2gh),sin θ)
C．若小球初速度减为原来一半，则平抛运动的时间变为原来的两倍
D．若小球初速度减为原来一半，则落地时速度方向与水平方向的夹角变为2θ
[答案] B
2．(平抛与斜面的结合)如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，击中坡上的目标A。已知A点高度为h，山坡倾角为θ，重力加速度为g，由此不能算出的是( )
A．轰炸机的飞行高度 B．轰炸机的飞行速度
C．炸弹的飞行时间 D．炸弹投出时的动能
D [设轰炸机投弹位置高度为H，炸弹水平位移为x，则H－h＝eq \f(1,2)vyt，x＝v0t，得eq \f(H－h,x)＝eq \f(1,2)·eq \f(vy,v0)，因为eq \f(vy,v0)＝eq \f(1,tan θ)，x＝eq \f(h,tan θ)，联立解得H＝h＋eq \f(h,2tan2θ)，故A正确；根据H－h＝eq \f(1,2)gt2可求出炸弹的飞行时间，再由x＝v0t可求出轰炸机的飞行速度，故B、C正确；因不知道炸弹的质量，不能求出炸弹投出时的动能，故D错误。]
3．(斜抛运动规律的应用)由消防带水龙头的喷嘴喷出水的流量是0.28 m3/min，水离开喷口时的速度大小为16eq \r(3) m/s，方向与水平面夹角为60°，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是(重力加速度g取10 m/s2)( )
A．28.8 m 1.12×10－2 m3
B．28.8 m 0.672 m3
C．38.4 m 1.29×10－2 m3
D．38.4 m 0.776 m3
A [水离开喷口后做斜抛运动，将运动沿水平方向和竖直方向分解，在竖直方向上：
vy＝vsin θ 代入数据可得vy＝24 m/s
故水柱能上升的高度h＝eq \f(v\\al(2,y),2g)＝28.8 m
水从喷出到最高处着火位置所用的时间t＝eq \f(vy,g)
代入数据可得t＝2.4 s
故空中水柱的水量为V＝eq \f(0.28,60)×2.4 m3＝
1．12×10－2 m3，A项正确。]
平抛与斜抛运动的基本规律
(对应学生用书第83页)
1.(平抛规律的理解与应用)(2022·全国甲卷)将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7。重力加速度大小g取10 m/s2，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
[解析] 设s1对应的水平位移为x，对应的竖直位移为y，则根据平抛运动的特点可知，s2对应的水平位移也为x，对应的竖直位移为3y
有y＝eq \f(1,2)g(4T)2＝0.2 m
s1＝eq \r(,x2＋y2)
s2＝eq \r(,x2＋3y2)
eq \f(s1,s2)＝eq \f(3,7)
解得x＝eq \r(,0.032) m
抛出瞬间小球的速度大小为v0＝eq \f(x,4T)
解得v0＝eq \r(,0.8) m/s。
[答案] eq \r(,0.8) m/s
2.(平抛运动推论的应用)将小球以某一初速度从A点水平向左抛出，运动轨迹如图所示，B为轨迹上的一点。改变抛出点位置，为使小球仍沿原方向经过B点，不计空气阻力，以下做法可能实现的是( )
A．在A点左侧等高处以较小的初速度水平抛出小球
B．在A点右侧等高处以较大的初速度水平抛出小球
C．在A、B两点间轨迹上某点沿切线向左下方抛出小球
D．在A、B两点间轨迹上某点以较小的初速度水平向左抛出小球
C [
根据平抛运动的推论，速度反向延长线过水平位移的中点，如图，在与A等高处其他位置水平抛出，无论左侧还是右侧，只要经过B点，则不满足平抛运动的推论，A、B项错误；当在A、B两点间轨迹上某点沿切线向左下方抛出小球，小球速度等于原小球经过该点的速度，则小球轨迹重合，小球能够沿原方向经过B点，C项正确；在A、B两点间轨迹上某点以较小的初速度水平向左抛出小球，根据几何关系可知：如果沿原方向经过B点，小球速度反向延长线不能过水平位移中点，D项错误。]
3.(不同高度平抛后落在同一水平面上的多体平抛问题)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则( )
A．A和B的位移大小相等
B．A的运动时间是B的2倍
C．A的初速度是B的eq \f(1,2)
D．A的末速度比B的小
A [位移为初位置到末位置的有向线段，如题图所示可得sA＝eq \r(l2＋2l2)＝eq \r(5)l ，sB＝eq \r(l2＋2l2)＝eq \r(5)l，A和B的位移大小相等，A正确；平抛运动运动的时间由高度决定，即tA＝eq \r(\f(2×2l,g))＝eq \r(2)×eq \r(\f(2l,g)) ，tB＝eq \r(\f(2×l,g))＝eq \r(\f(2l,g))，则A的运动时间是B的eq \r(2)倍，B错误；平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则vxA＝eq \f(l,tA)＝eq \f(\r(gl),2) ，vxB＝eq \f(2l,tB)＝eq \r(2gl)，则A的初速度是B的eq \f(\r(2),4)，C错误；小球A、B在竖直方向上的速度分别为vyA＝2eq \r(gl)，vyB＝eq \r(2gl)，所以可得vA＝eq \f(\r(17gl),2)，vB＝2eq \r(gl)＝eq \f(\r(16gl),2)，即vA>vB，D错误。]
4.(同一高度平抛后落在同一竖直面上的多体平抛问题)(2022·江苏七市二模)如图所示，在飞镖比赛中，某同学将飞镖从O点水平抛出，第一次击中飞镖盘上的a点，第二次击中飞镖盘上的b点，忽略空气阻力，则( )
A．飞镖第一次水平抛出的速度较小
B．飞镖第二次抛出时的动能较小
C．飞镖两次在空中运动的时间相等
D．飞镖两次击中飞镖盘时的速度方向相同
B [飞镖做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，有h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝eq \r(\f(2h,g))，知飞镖第二次下降的高度大，运动时间较长。由x＝v0t，x相等，知飞镖第二次水平抛出的速度较小，动能较小，故A、C错误，B正确。飞镖击中飞镖盘时的速度方向与水平方向夹角正切为tan α＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)，知飞镖第二次抛出时运动时间较长，而初速度较小，可知飞镖第二次抛出时击中飞镖盘时的速度方向与竖直方向的夹角较大，故D错误。]
5．(斜抛问题)(2022·山东卷变式)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点，网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变，重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为( )
A．v＝5 m/s B．v＝2eq \r(2) m/s
C．d＝3.6 m D．d＝3.9 m
D [设网球飞出时的速度为v0，
根据运动学公式可知竖直方向veq \\al(2,0y)＝2g (H－h)
代入数据得v0y＝12 m/s
运动时间t＝eq \f(v0y,g)
根据速度的分解有：v0x＝eq \r(v\\al(2,0)－v\\al(2,0y))
网球水平方向到P点的距离
x0x＝v0xt
根据几何关系可得，网球打在墙面上时，垂直墙面的速度分量v0x1＝eq \f(x0x1,t)
平行墙面的速度分量v0x2＝eq \r(v\\al(2,0)－v\\al(2,0y)－v\\al(2,0x1))
反弹后，垂直墙面的速度分量
v0x3＝0.75v0x1
则反弹后的网球速度大小为
v＝eq \r(v\\al(2,0x3)＋v\\al(2,0x2))
联立代入数据解得：v＝3eq \r(2) m/s
网球落到地面的时间t′＝eq \r(\f(2H,g))
着地点到墙壁的距离d＝v0x3t′
代入数据解得：d＝3.9 m
故D正确，ABC错误。]
平抛运动的重要结论和推论
(1)飞行时间
由t＝eq \r(\f(2h,g))知，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程
x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
(3)落地速度
v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))＝eq \r(v\\al(2,0)＋2gh)，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(\r(2gh),v0)，落地速度与初速度v0和下落高度h有关。
(4)两个重要推论
①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即xB＝eq \f(xA,2)。
②做平抛运动的物体在任意时刻，总有tan θ＝2tan α。
有约束条件的平抛运动
(对应学生用书第85页)
1．对平抛运动的约束条件常见的有“斜面”约束和“曲面”约束，解此类问题的关键：
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。
(2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。
(3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。
2．常见类型示例
[典例] (从斜面平抛且落点在斜面上)(一题多法)如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，经过3 s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2)。求：
(1)A点与O点的距离L；
(2)运动员离开O点时的速度大小；
(3)运动员从O点飞出到离斜坡距离最远所用的时间。
审题指导：
[解析] (1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有Lsin 37°＝eq \f(1,2)gt2
L＝eq \f(gt2,2sin 37°)＝75 m。
(2)设运动员离开O点时的速度为v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有Lcs 37°＝v0t，即v0＝eq \f(Lcs 37°,t)＝20 m/s。
(3)方法一：运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为v0cs 37°、加速度为gsin 37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为v0sin 37°、加速度为gcs 37°)。当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡最远，有v0sin 37°＝gcs 37°·t，解得t＝1.5 s。
方法二：当运动员的速度方向平行于斜坡或与水平方向成37°角时，运动员离斜坡最远，有eq \f(gt,v0)＝tan 37°，t＝1.5 s。
[答案] (1)75 m (2)20 m/s (3)1.5 s
与斜面相关平抛问题的两个分解思路
(1)以分解速度为突破口求解平抛运动问题：若知道某时刻的速度方向，要从分解速度的角度来研究，tan θ＝eq \f(gt,v0)(θ为t时刻速度与水平方向间的夹角)，从而得出初速度v0、时间t、夹角θ之间的关系，进而求解具体问题。
(2)以分解位移为突破口求解平抛运动问题：若知道某一时刻物体的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tan α＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)(α为t时刻位移与水平方向间的夹角)，确定初速度v0、时间t、夹角α之间的关系，进而求解具体问题。
[跟进训练]
物体从空中抛出垂直打在斜面上
1.(2023·常州模拟)将一小球以水平速度v0＝10 m/s从O点向右抛出，经eq \r(3) s小球恰好垂直落到斜面上的A点，不计空气阻力，g取10 m/s2，B点是小球做自由落体运动在斜面上的落点，如图所示，以下判断正确的是( )
A．斜面的倾角是60°
B．小球的抛出点距斜面的竖直高度是15 m
C．若将小球以水平速度v′0＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P的上方
D．若将小球以水平速度v′0＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P处
C [设斜面倾角为θ，对小球在A点的速度进行分解，有tan θ＝eq \f(v0,gt)，解得θ＝30°，A项错误；小球距过A点水平面的距离为h＝eq \f(1,2)gt2＝15 m，所以小球的抛出点距斜面的竖直高度肯定大于15 m，B项错误；若小球的初速度为v′0＝5 m/s，过A点作水平面，小球落到该水平面的水平位移是小球以初速度v0＝10 m/s抛出时的一半，延长小球运动的轨迹线，得到小球应该落在P、A之间，C项正确，D项错误。]
物体从斜面上抛出落在斜面上
2．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和eq \f(v,2)的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
A [甲、乙两球都落在同一斜面上，则隐含做平抛运动的甲、乙的最终位移方向相同，根据位移方向与末速度方向的关系，即末速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角的正切值的2倍，可得它们的末速度方向也相同，在速度矢量三角形中，末速度比值等于初速度比值，故A正确。]
3.如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为φ2，若v2>v1，则φ1和φ2的大小关系是( )
A．φ1＞φ2 B．φ1＜φ2
C．φ1＝φ2 D．无法确定
C [根据平抛运动的推论，做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β。由上述关系式结合题图中的几何关系可得：tan(φ＋θ)＝2tan θ，此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1＝φ2，即以不同初速度平抛的物体，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。故C正确。]
4.(2023·南京市高三调研)如图所示，固定斜面PO、QO与水平面MN的夹角均为45°，现由PO斜面上的A点分别以速度v1、v2先后沿水平方向抛出两个小球(可视为质点)，不计空气阻力，其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点，飞行时间为t，以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点，且B、C在同一水平面上，则( )
A．落于B点的小球飞行时间为eq \f(t,2)
B．v2＝gt
C．落于C点的小球的水平位移为eq \f(1,2)gt2
D．A点距水平面MN的高度为eq \f(3,4)gt2
D [
落于C点的小球速度垂直于QO，则两分速度相等，即v1＝gt，得出水平位移x＝v1t＝gt2，故C错误；落于B点的小球分解位移如图所示，其中，B、C在同一水平面，故飞行时间都为t，由图可得tan 45°＝eq \f(\f(1,2)gt2,v2t)＝eq \f(gt,2v2)，所以v2＝eq \f(gt,2)，故A、B错误；设C点距水平面MN的高度为h，由几何关系知x＝2h＋v2t，联立以上几式可得h＝eq \f(1,4)gt2，故A距水平面MN的高度H＝h＋eq \f(1,2)gt2＝eq \f(3,4)gt2，故D正确。 ]
落点在圆弧面上的平抛运动
5.如图所示，从O点以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v1∶v2为( )
A．tan α B．cs α
C．tan αeq \r(tan α) D．cs αeq \r(tan α)
C [设圆弧半径为R，两小球运动时间分别为t1、t2。对球1：Rsin α＝v1t1，Rcs α＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，对球2：Rcs α＝v2t2，Rsin α＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，联立可得eq \f(v1,v2)＝tan αeq \r(tan α)，C正确。]
6.(2023·宜兴中学模拟)如图所示，竖直平面内平抛的小球恰好与光滑半圆轨道相切于B点，已知抛出点在半圆轨道左端点(A点)的正上方，半圆轨道半径为R，直线OB与水平面成60°角，重力加速度为g，则下列关于小球在空中的运动的分析正确的是( )
A．小球到达B点飞行的时间为eq \r(\f(3R,2g))
B．小球平抛的初速度大小为eq \r(\f(3\r(3)gR,2))
C．小球到达B点时水平位移为eq \f(\r(3)R,2)
D．小球到达B点时竖直位移为eq \f(\r(3)R,2)
B [小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，经过B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，则tan 30°＝eq \f(vy,v0)，小球在B点时的位移方向与水平方向的夹角α的正切值tan α＝eq \f(1,2)tan 30°＝eq \f(y,x)，又知x＝R＋Rcs 60°＝eq \f(3,2)R，veq \\al(2,y)＝2gy，联立解得y＝eq \f(\r(3),4)R，vy＝eq \r(\f(\r(3)gR,2))，v0＝eq \r(\f(3\r(3)gR,2))，小球到达B点飞行的时间为t＝eq \f(vy,g)＝eq \r(\f(\r(3)R,2g))，选项A、C、D错误，B正确。]
平抛中的临界、极值问题
(对应学生用书第86页)
平抛中常见的“三种”临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
[典例] (排球平抛运动的临界和极值问题)排球场总长18 m，网高2.25 m，如图所示，设对方飞来一球，刚好在3 m线正上方被我方运动员击回。假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动。(g取10 m/s2)
(1)若击球的高度h＝2.5 m，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？(结果可用根号表示)
(2)若运动员仍从3 m线处起跳，击球高度h满足一定条件时，会出现无论球的水平速度多大都是触网或越界，试求h满足的条件。
[解析] (1)球以v1速度被击回，球正好落在底线上，则h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)
x＝v1t1
将x＝12 m，h＝2.5 m代入得v1＝12eq \r(2) m/s
球以v2速度被击回，球正好触网
h′＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)
x′＝v2t2
将h′＝(2.5－2.25)m＝0.25 m
x′＝3 m代入
得v2＝6eq \r(5) m/s
故球被击回的速度范围是
6eq \r(5) m/s
h′＝h－2.25 m
由此得h＝2.4 m
故若h<2.4 m，无论击球的速度多大，球总是触网或越界。
[答案] (1)6eq \r(5) m/s
(1)确定研究对象的运动性质。
(2)根据题意确定临界状态。
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。
(4)应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。
[跟进训练]
乒乓球平抛运动的临界和极值问题
1．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A.eq \f(L1,2)eq \r(\f(g,6h))
娱乐节目中平抛运动的临界和极值问题
2．如图为某娱乐节目中某个比赛环节的示意图，参与比赛的选手会遇到一个人造山谷AOB，AO是高h＝3 m的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，∠OAB＝60°，B点右侧是一段水平跑道。选手可以自A点借助绳索降到O点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A点直接跃上跑道。选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)若选手以速度v0水平跳出后，恰好能落到水平跑道上，求v0的最小值；
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间。
[解析] (1)若选手以速度v0水平跳出后，恰好能落到水平跑道上，则hsin 60°＝v0t，hcs 60°＝eq \f(1,2)gt2，解得v0＝eq \f(3\r(10),2) m/s。
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，因v1
课时分层作业(十一) 抛体运动
(对应学生用书第411页)
题组一 平抛与斜抛运动的基本规律
1．(2022·广东卷)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是( )
A．将击中P点，t大于eq \f(L,v)
B．将击中P点，t等于eq \f(L,v)
C．将击中P点上方，t大于eq \f(L,v)
D．将击中P点下方，t等于eq \f(L,v)
B [由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木运动时间相同，根据h＝eq \f(1,2)gt2，可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有t＝eq \f(L,v)，故选B。]
2．(2021·江苏卷)如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是( )
A．A比B先落入篮筐
B．A、B运动的最大高度相同
C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
D [若研究两个过程的逆过程，可看成是从篮筐沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高度上的两点，则A上升的高度较大，高度决定时间，可知A运动时间较长，即B先落入篮筐中，A、B错误；因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即A在最高点的速度比B在最高点的速度大，C错误；由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，D正确。]
3.
如图所示，A球在B球的斜上方，两球相向水平抛出。若要使两球在与两球抛出的距离相等的竖直线上相遇，则( )
A．A、B两球要同时抛出
B．B球要先抛出
C．A球抛出时的速度大于B球抛出时的速度
D．A球抛出时的速度小于B球抛出时的速度
D [两球都做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，则有h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝eq \r(\f(2h,g))，可知A球做平抛运动的时间较长，由于两球在水平距离相等的竖直线上相遇，所以A球要先抛出，故A、B错误；水平方向有x＝v0t，因为x相等，A平抛运动的时间较长，所以A球抛出时的速度小于B球抛出时的速度，故C错误，D正确。]
题组二 有约束条件的平抛运动
4.(2023·溧阳中学高三月考)如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为3v0，小球仍落在斜面上。则以下说法正确的是( )
A．小球在空中的运动时间不变
B．P、Q间距是原来间距的9倍
C．夹角α与初速度大小有关
D．夹角α将变小
B [位移与水平方向夹角的正切值tan θ＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq \f(gt,2v0)得，小球在空中运动的时间t＝eq \f(2v0tan θ,g)，初速度变为原来的3倍，则小球在空中运动的时间变为原来的3倍，水平位移变为原来的9倍，根据平行四边形定则知，P、Q间距变为原来的9倍，故A错误，B正确；速度与水平方向夹角的正切值tan β＝eq \f(gt,v0)，可知速度方向与水平方向夹角β的正切值是位移与水平方向夹角θ正切值的2倍，小球落在斜面上，位移方向相同，则速度方向相同，可知夹角α与初速度大小无关，故C、D错误。]
5.(2023·江苏扬州高三月考)如图所示，两墙壁平行竖直，小球从P点以垂直于墙面的初速度v0抛出，打在右侧墙壁上的Q点。已知小球与墙壁碰撞前后竖直分速度不变，水平分速度大小不变、方向相反，不计空气阻力，若只改变初速度大小，小球仍能击中Q点，则初速度大小可能为( )
A.eq \f(v0,2) B．2v0
C．3v0 D．4v0
C [设两墙壁之间的距离为x，则小球从P点到Q点的时间t是一定的，则水平方向x＝v0t，(2n＋1)x＝v1t，则v1＝(2n＋1)v0，则当n＝1时v1＝3v0，故选C。]
6.如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端c处。今在c点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的三等分点d处。若不计空气阻力，下列关系式正确的是( )
A．ta＝eq \f(\r(3),2)tb B．ta＝3tb
C．va＝eq \f(\r(3),2)vb D．va＝eq \f(3,2)vb
C [由于a、b两球下降的高度之比为3∶1，根据h＝eq \f(1,2)gt2可知下落时间t＝eq \r(\f(2h,g))，则两小球运动的时间关系是ta＝eq \r(3)tb，故A、B错误；因为两球水平位移之比为3∶2，由v0＝eq \f(x,t)得va＝eq \f(\r(3),2)vb，故C正确，D错误。]
7.(2023·江苏海安高级中学高三月考)如图所示，将一小球从斜面上方的P点沿不同的方向以相同的速率抛出，不计空气阻力。要使得小球从抛出到落到斜面的时间最短，小球抛出的方向是( )
A．水平向左 B．竖直向下
C．垂直斜面向下 D．平行于斜面向下
C [小球抛出后加速度都为g，方向竖直向下，各个小球垂直于斜面方向的分加速度相等。由x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，x、a相等，垂直斜面向下抛出时垂直斜面向下方向的分初速度最大，所用时间最短，故C项正确，A、B、D错误。]
题组三 平抛中的临界、极值问题
8．如图所示，运动员将网球在边界A处正上方B点水平向右击出，恰好过网的上边沿上的C点落在D点，不计空气阻力，已知AB＝h1，网高h2＝eq \f(5,9)h1，A点与球网之间的垂直距离为x，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．落点D与网之间的垂直距离为eq \f(1,3)x
B．网球的初速度大小为xeq \r(\f(g,h1))
C．若击球高度低于eq \f(20,27)h1，球不可能落在对方界内
D．若保持击球高度不变，球的初速度v0只要不大于eq \f(x\r(2gh1),h1)，球一定落在对方界内
C [因为h1－h2＝eq \f(4,9)h1，由t＝eq \r(\f(2h,g))可知，eq \f(tBC,tBD)＝eq \f(2,3)，由x＝v0t可知eq \f(x,x1)＝eq \f(2,3)，其中x1为B、D两点间的水平距离，则落点D与网之间的垂直距离x2＝eq \f(1,2)x，选项A错误；球从B到D的过程中，有h1＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，eq \f(3,2)x＝v0t1，得v0＝eq \f(3,4)xeq \r(\f(2g,h1))，选项B错误；降低击球高度(仍大于h2)，同时调整初速度的大小，会有一临界高度h′，此时球刚好过网又刚好压界，有h′－h2＝eq \f(1,2)g·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,v0′)))2，h′＝eq \f(1,2)geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x,v0′)))2，又有h2＝eq \f(5,9)h1，联立解得h′＝eq \f(20,27)h1，若击球高度小于该临界高度，球不可能落到对方界内，选项C正确；若保持击球高度不变，要想球落在对方界内，既不能出界，又能过网，根据h1＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，得t1＝ eq \r(\f(2h1,g))，则球的最大初速度v0max＝eq \f(2x,t1)＝eq \f(x,h1)eq \r(2gh1)，由h1－h2＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，得t2＝ eq \f(2,3) eq \r(\f(2h1,g))，则球的最小初速度v0min＝eq \f(x,t2)＝eq \f(3x\r(2gh1),4h1)，选项D错误。]
9.将一抛球入框游戏简化如下：在地面上竖直固定一矩形框架，框架高1 m、长3 m，抛球点位于框架底边中点正前方2 m，离地高度为1.8 m，如图所示。假定球被水平抛出，方向可在水平面内调节，不计空气阻力，g取10 m/s2，忽略框架的粗细，球视为质点，球要在落地前进入框内，则球被抛出的速度大小可能为( )
A．2 m/s B．3 m/s
C．6 m/s D．7 m/s
C [球从框架底边中点处入框时，初速度最小，此时水平位移x1＝2 m，飞行时间t1＝ eq \r(\f(2h,g))＝ eq \r(\f(2×1.8,10)) s＝0.6 s，故可得最小初速度v1＝eq \f(x1,t1)＝eq \f(10,3) m/s；球从框的左上角或右上角处穿入框内时，初速度最大，此时水平位移x2＝eq \r(22＋1.52) m＝2.5 m，飞行时间t2＝eq \r(\f(2Δh,g))＝eq \r(\f(2×1.8－1,10)) s＝0.4 s，故可得最大初速度v2＝eq \f(x2,t2)＝6.25 m/s。故球被抛出的初速度的取值范围为eq \f(10,3) m/s
A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同
C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同
B [弹射管在竖直方向做自由落体运动，所以弹出小球在竖直方向运动的时间相等，因此两球应同时落地；由于两小球先后弹出，所以小球在水平方向运动的时间不等，且弹出小球的初速度相同，所以水平位移不相等，因此落点不相同，故选项B正确。]
11．(2023·江苏高三月考)如图所示，滑板运动员沿水平地面向前滑行，在横杆前相对于滑板竖直向上起跳，人与滑板分离，分别从杆的上、下通过，忽略人和滑板在运动中受到的阻力。则运动员( )
A．起跳时脚对滑板的作用力斜向后
B．在空中水平方向先加速后减速
C．在空中机械能增加
D．越过杆后仍落在滑板起跳的位置
D [人相对滑板竖直向上起跳，所以起跳时脚对滑板的作用力竖直向下，A错误；因为忽略阻力，在空中水平方向不受外力，所以水平方向匀速运动，B错误；在空中只有重力做功，机械能守恒，C错误；因为水平方向保持匀速，仍与滑板速度相同，所以水平方向相对滑板静止，还会落在滑板起跳的位置，D正确。]
12.如图所示，AB为半圆环ACB的水平直径，C为环上的最低点，环半径为R。一个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是( )
A．v0越大，小球落在圆环时的时间越长
B．即使v0取值不同，小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角也相同
C．若v0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环
D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环
D [小球落在环上的最低点C时时间最长，选项A错误；v0取值不同，小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角不相同，选项B错误；要使小球垂直撞击半圆环，设小球落点与圆心的连线与水平方向夹角为θ，根据平抛运动规律，v0t＝R(1＋cs θ)，Rsin θ＝eq \f(1,2)gt2，tan θ＝eq \f(gt,v0)，联立解得cs θ＝1，即垂直撞击半圆环是不可能的，选项D正确，C错误。]
13.(2021·山东卷)海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤(贝类动物)后，有时会飞到空中将它丢下，利用地面的冲击打碎硬壳。一只海鸥叼着质量m＝0.1 kg 的鸟蛤，在H＝20 m的高度、以v0＝15 m/s的水平速度飞行时，松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上。取重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力。
(1)若鸟蛤与地面的碰撞时间Δt＝0.005 s，弹起速度可忽略，求碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力的大小F；(碰撞过程中不计重力)
(2)在海鸥飞行方向正下方的地面上，有一与地面平齐、长度L＝6 m的岩石，以岩石左端为坐标原点，建立如图所示坐标系。若海鸥水平飞行的高度仍为20 m，速度大小在15 m/s～17 m/s之间，为
保证鸟蛤一定能落到岩石上，求释放鸟蛤位置的x坐标范围。
[解析] (1)设平抛运动的时间为t，鸟蛤落地前瞬间的速度大小为v。竖直方向分速度大小为vy，根据运动的合成与分解得H＝eq \f(1,2)gt2，vy＝gt，v＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))
在碰撞过程中，以鸟蛤为研究对象，取速度v的方向为正方向，由动量定理得－FΔt＝0－mv
联立，代入数据得F＝500 N。
(2)若释放鸟蛤的初速度为v1＝15 m/s，设击中岩石左端时，释放点的x坐标为x1，击中右端时，释放点的x坐标为x2，得x1＝v1t，x2＝x1＋L
联立并代入数据得x1＝30 m，x2＝36 m
若释放鸟蛤时的初速度为v2＝17 m/s，设击中岩石左端时，释放点的x坐标为x′1，击中右端时，释放点的x坐标为x′2，得x′1＝v2t，x′2＝x′1＋L
联立并代入数据得x′1＝34 m，x′2＝40 m
综上得x坐标范围为[34 m,36 m]或(34 m,36 m)。
[答案] (1)F＝500 N (2)[34 m,36 m]或(34 m，36 m)
运动情景
物理量分析
vy＝gt，tan θ＝eq \f(v0,vy)＝eq \f(v0,gt)→t＝eq \f(v0,gtan θ)
x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2→tan θ＝eq \f(y,x)→t＝eq \f(2v0tan θ,g)
tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)→t＝eq \f(v0tan θ,g)
落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ，tan φ＝eq \f(gt,v0)＝eq \f(gt2,v0t)＝eq \f(2y,x)＝2tan θ →α＝φ－θ
tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)→t＝eq \f(v0tan θ,g)
在半圆内的平抛运动，h＝eq \f(1,2)gt2，R＋eq \r(R2－h2)＝v0t
题干关键
获取信息
从O点水平飞出，不计空气阻力
运动员做平抛运动
经过3 s落到斜坡上的A点
空中运动时间为3 s，可求出竖直分运动的位移
斜坡与水平面的夹角θ＝37°
结合竖直分位移可求合位移和水平位移，进而求出水平分速度(即初速度)
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