2021-2022学年上海市宝山区九年级下学期数学月考试题及答案

这是一份2021-2022学年上海市宝山区九年级下学期数学月考试题及答案，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（ ）
A. 50cmB. 500cm
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据成比例线段的性质求解即可．
【详解】解：∵1：50=10:500，
∴长度为10cm的线段实际长为500cm，
故选B．
【点睛】本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键．
2. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，2），点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°<α<90°），那么tanα的值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出直角坐标系，标记点P，连接OP，过点P作PA⊥x轴，再根据正切的定义求解即可．
【详解】解：连接OP，过点P作PA⊥x轴，如图，
则，
∵点P（1，2），
∴，．
．
故选：A．
【点睛】此题考查了坐标与图形，涉及了三角函数的定义，解题的关键是根据题意，构造出直角三角形．
3. 已知单位向量与非零向量、，下列四个选项中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量的定义，平面向量模的定义以及共线向量的定义进行判断即可．
【详解】A.当单位概率与非零向量的方向相同时才成立，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C.当非零向量，的方向相同时才成立，故该选项不正确，不符合题意；
D. 当单位概率与非零向量的方向相同时才成立，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了平面向量知识，理解单位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，单位向量具有确定的方向是解题的关键．
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，DE∥BC，且AD=2CD，那么以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求得的长，根据AD=2CD，求得的长，根据DE∥BC，证明，求得，进而求得的长，勾股定理求得CE的长，进而比较圆心距与半径和，根据圆与圆的位置关系进行判断即可．
【详解】解：连接，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，
∴，
AD=2CD，AC=6，
，．
DE∥BC，
，
，
．
，
．
在中，．
>．
以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是相交．
故选C．
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
5. 一次数学作业共有10道题目，某小组8位学生做对题目数的情况如下表：
那么这8位学生做对题目数的众数和中位数分别是( )
A. 9和8B. 9和8.5C. 3和2D. 3和1
【答案】B
【解析】
【详解】解：由表可知在这8个数据中，9出现次数最多，有3次，则这8位学生做对题目数的众数是9；
∵这8名学生做对题目数从小到大排列的第4个数是8，第5个数是9，
∴这8名学生所得分数的中位数是=8.5，
故选B.
6. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），且顶点在第一象限，那么下列结论：①a+c=b；②x=-1是方程ax2+bx+c＝0的解；③abc>0；④c﹣a＞2，其中正确的结论为（）
A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】将点代入解析式可判断①；由对称性可得另一个交点为，可判断②；由开口方向可判断，根据对称轴，可判断，根据即可判断③，由可判断④．
【详解】解：①抛物线经过点，
，
，故①正确；
②抛物线经过点，
故②正确；
③由抛物线开口向下可得由对称轴为x>0，
，
与轴交于（0，2），，
abc<0，
故③不正确；
④抛物线与y轴交于，
c＝2，
a＜0，
，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，根与系数关系，二次函数图象与系数关系，二次函数图象上点的坐标特征，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且AP＞BP，那么AP：AB的比值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义列即可得答案．
【详解】∵点P是线段的一个黄金分割点，且，
∴AP：AB=．
【点睛】题考查了黄金分割点的应用，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割；其比值是；理解黄金分割点的定义是解题的关键．
8. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC：AB=3：4，那么csA的值为__________
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，设，，根据勾股定理求得，再根据三角函数的定义即可求解．
【详解】解：∵BC：AB=3：4
∴设，
∵∠C=90°
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了勾股定理，以及三角函数的定义，解题的关键是掌握三角函数的定义，利用勾股定理求得的长．
9. 已知一组数据10、3、a、5的平均数为5，那么a为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】根据平均数的计算方法，列出等式然后计算即可．
【详解】解：依题意有，
解得．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了算术平均数，正确理解算术平均数的意义是解题的关键．
10. 已知△ABC的两条中线BD、CE相交于点P，PE=2，那么CP的长为 _____．
【答案】4
【解析】
【分析】根据三角形中线的交点可知点P为△ABC的重心，根据重心的性质重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1即可解答．
【详解】解：如下图所示，
∵BD、CE是ABC的两条中线，且相交于点P，
∴点P为△ABC的重心，
∴，
又∵PE=2，
∴CP=4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，明确重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1是解题的关键．
11. 已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是______．
【答案】
【解析】
【分析】坡度=坡角的正切值，据此直接解答．
【详解】解：∵，
∴坡角=30°．
【点睛】此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握．
12. 正五边形的中心角的度数是_____．
【答案】72°．
【解析】
【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为，则代入求解即可．
【详解】解：正五边形的中心角为： ．
故答案为72°．
【点睛】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．
13. 已知圆O的半径为5，点A在圆O外，如果线段OA的长为d，那么d的取值范围是____．
【答案】d＞5
【解析】
【分析】设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】解：点A在圆O外，则点到圆心的距离大于圆的半径，
d＞5．
故答案为d＞5．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．熟记点与圆位置关系与数量关系的对应是解题的关键，由位置关系可推得数量关系，同样由数量关系也可推得位置关系．
14. 二次函数的图像与y轴的交点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出自变量x为0时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标．
【详解】把代入得：，
∴该二次函数的图象与y轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为0．
15. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边的中点，如果，，用含、的式子表示向量＝_____
【答案】
【解析】
【分析】如图取AB中点F，连接EF，可证，即可解得
【详解】
如图取AB中点F，连接EF
∵四边形ABCD是平行四边形，点E是DC边的中点，点F是AB边中点
∴
∴
∵，
∴
故本题答案为．
【点睛】本题考查了平面向量及平行四边形的性质等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
16. 如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，那么2a+b的值为 _____．
【答案】0
【解析】
【分析】根据二次函数的对称轴，整理即可求解．
【详解】抛物线的对称轴为直线
故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线对称轴的求法，熟记抛物线的对称轴为直线是解题关键．
17. 如图，正方形AFEB和正方形BEDC的边长相等，点A、B、C在同一条直线上．连接AD、BD，那么cs∠ADB的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】连接BF交AD于G，设正方形的边长为a，根据正方形的性质得到，根据相似三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：连接BF交AD于G，
设正方形的边长为a，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵AFEB和BEDC为正方形，BF、BD为对角线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角函数的定义，勾股定理，相似三角形的性质，利用数形结合的思想是解题的关键．
18. 如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinA=，把△ABC绕着点C按顺时针方向旋转．将点A、B的对应点分别记为点A'、B'，如果△AA'B'为直角三角形，那么点A与点A'的距离为_________
【答案】或
【解析】
【分析】△AA'B'为直角三角形，分分别为直角三角形的顶点三种情形讨论，分别解直角三角形求解即可．
【详解】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinBAC=，
，
，
，
,．
旋转，
．
①当时，如图，过点作，
，
，
．
，
．
②当时，如图，过点作，
，
，，
．
，．
，
，
在中，，，
．
．
在中，＝．
当时，过点作，
，
，，
．
，
.
，
综上所述，或．
故答案：或．
【点睛】本题考查了性质的性质，解直角三角形，画出图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：|2sin45°﹣tan45°|+．
【答案】
【解析】
【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【详解】解：

【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的底边AB长20厘米．要截得的矩形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，设EF的长为x厘米，矩形EFGD的面积为y平方厘米，试写出y关于x的函数解析式及定义域，并求当EF的长为4厘米时所截得的矩形的面积，
【答案】y关于x函数关系式是，定义域是0＜x＜10；当EF的长为4厘米时，所截得的矩形的面积为48平方厘米．
【解析】
【分析】由题意得，矩形的面积等于相邻两边之积，根据图中几何关系把ED边用x表示出来，再由矩形EFGD在等腰直角三角形内，求出定义域，最后把EF的长为4厘米，代入函数关系式，求得矩形面积．
【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形EFGD是矩形，
∴△AFE和△DGB都是等腰直角三角形，
∴AF=EF=x，GB=DG=x，FG=AB-AF-GB=20-2x，
∴矩形EFGD的面积y=x(20-2x)=-2x2+20x，
由0<20-2x<20，
解得0∴y关于x的函数关系式是，
定义域是0当x=4时，y=-2×42+20×4=48，
即当EF的长为4厘米时，所截得的矩形的面积为48平方厘米．
【点睛】此题考查等腰直角三角形和矩形的性质，在等腰直角三角形和矩形中解题，要注意几何关系．
21. 如图，已知△ABC中，∠B=45°，AB=4，tanC＝2，⊙O过点A、C，交BC边于点D，且，求CD的长
【答案】
【解析】
【分析】连接AD，AO并延长AO交CD于点E，由题意可得，AE⊥CD，解直角三角形，求得CE即可求解．
【详解】解：连接AD，AO并延长AO交CD于点E，如下图：
∵，AE过圆心O
则AE⊥CD，CE=DE
∵∠B=45°
∴为等腰直角三角形，即，
由勾股定理得，，
解得，
在中，
，
∴．
【点睛】此题考查了垂径定理，三角函数的定义，勾股定理，等腰三角形的判定，解题的关键是根据题意构造出直角三角形．
22. 某小区开展了“关爱老人从我做起”的主题活动，在活动中随机调查了小区部分老人与子女同住情况，根据收集到的数据，绘制成如下统计图表（不完整）
老人与子女同住情况相关数据统计表：
老人与子女同住情况相关数据条形统计图：
据统计图表中提供的信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查中，调查的老人总数为 人，老人与子女同住情况百分比统计表中的a＝ ；
（2）将条形统计图补充完整：（画在答题纸相对应的图上）
（3）根据本次抽样调查，试估计本地区约15万老人中与子女“不同住”的老人总数
为 人．
【答案】（1）50、32％
（2）见解析 （3）96000
【解析】
【分析】（1）由条形统计图中不同住子女在本区的人数除以所占的百分比，求出调查的总人数，进而求出其他情况人数，即可求出a的值；
（2）求出其他的人数，即可求出同住的人数，补充条形统计图即可；
（3）由不同住人数为25+7=32人，利用比例即可求出我区约15万老人中子女“不同住”的老人总人数．
【小问1详解】
解：∵根据条形统计图可知老人与子女不同住（子女在本小区）人数为25人，根据数据统计表可知老人与子女不同住（子女在本小区）占总人数的50%
∴调查的老人总数为人
故答案为50人．
∵根据数据统计表可知其他情况占总人数的4%
∴其他情况人数为人
∴
故答案为32％．
【小问2详解】
解：由（1）可知其他情况人数为人，
老人与子女同住人数为人
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：老人中与子女“不同住”占总人数的百分比为
∴15万老人中与子女“不同住”的老人总数约为人．
【点睛】本题考查了条形统计图与统计表、画条形统计图等知识点，解题的关键是能够将条形统计图与统计表相结合．
23. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，点E在线段DC上，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．
求证：
（1）；
（2）FD⊥DG．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用两角对应相等证明△ADC和△EGC相似即可；
（2）先证四边形AFEG是矩形，证出AF＝EG，进而证出两边成比例且夹角相等，推出△AFD和△CGD相似，证出∠FDG＝90°，即可求出答案．
【小问1详解】
证明：在△ADC和△EGC中，
∵AD是BC边上的高，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠ADC＝∠EGC＝90°，
又∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△EGC，
∴．
【小问2详解】
证明：在四边形AFEG中，
∵∠FAG＝∠AFE＝∠AGE＝90°，
∴四边形AFEG为矩形，
∴AF＝EG．
由（1）知
∴，
∴，
∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC，
∴∠FAD＝∠C，
∴△AFD∽△CGD，
又∠CDG＋∠ADG＝90°，
∴∠ADF＋∠ADG＝90°，
即∠FDG＝90°，
∴FD⊥DG．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，解此题的关键是检查对相似三角形的性质和判定的理解和掌握，难点是找出证明两三角形相似的条件，进而由相似推出新的结论．
24. 已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，）三点，顶点为D．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求经过A、D两点的直线的表达式；
（3）设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点四边形是平行四边形，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据（1）的结论求得点的坐标，进而待定系数法求一次函数解析式即可；
（3）根据题意分①当为对角线时，②当为对角线时，两种情形讨论，根据平行四边形的性质以及点的平移知识进行求解即可．
【小问1详解】
解：二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，）三点，
设抛物线的解析式为，将代入得，
解得
抛物线的解析式为
∴二次函数解析式为；
【小问2详解】
解：∵
设经过A、D两点的直线的表达式为，将A（1，0），代入得，
解得
经过A、D两点的直线的表达式为；
【小问3详解】
解：如图，为顶点的四边形是平行四边形
①当为对角线时，
，
②当为对角线时，
，
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，掌握二次函数与平行四边形的性质是解题的关键．
25. 已知等边△ABC的边长为2，点D为边BC的中点，以点A为圆心的圆交边AC于点E（点E不与点A、C重合），
（1）如果圆A与线段BC有公共点，求线段AE的取值范围；
（2）如果射线DE与线段BA的延长线交于点F，
①设AE=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
②当S△CDE＝S△AEF时，求线段AE的长．
【答案】（1）；
（2）①（）；②；
【解析】
【分析】（1）连接AD，根据勾股定理求得AD的长度，即可求解；
（2）①先求出DG=AE=1，再判断出，得出即可求出答案；②作DN⊥AC，求出，作FM⊥AC，交CA延长线于点M，求出，再利用得出，结合①，即可求解．
【小问1详解】
解：连接AD，如下图：
在等边△ABC中，AB=BC=AC=2，
∵点D为边BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=1，
由勾股定理可得，，
圆A与线段BC有公共点，则，
∴．
【小问2详解】
①作交AC于点G，如下图：
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，即，
，
∵射线DE与线段BA的延长线交于点F，
∴，
∴（）；
②作DN⊥AC，如下图：
在中，，CD=1，
∴，
由勾股定理可得，．
作FM⊥AC，交CA延长线于点M，
在中，，
∴，
∴．
由勾股定理可得，．
∵，
∴，即
由①得，则，
解得，即
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，中位线的性质，由得出比例关系是解题的关键．
做对题目数
6
7
8
9
10
人数
1
1
2
3
1
老人与子女同住情况
同住
不同住（子女在本小区）
不同住（子女在小区外）
其他
百分比
a
50%
b
4%