_上海市闵行区龙铭中学2021-2022学年九年级下学期期中数学试卷(含答案)

2021-2022学年上海市闵行区龙铭中学九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.

1．（4分）下列单项式中，与是同类项的是　　

A． B． C． D．

2．（4分）如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是　　

A． B． C． D．

3．（4分）某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是　　

A．3次 B．3.5次 C．4次 D．4.5次

4．（4分）已知在中，，是角平分线，点在边上，设，，那么向量用向量、表示为　　

A． B． C． D．

5．（4分）如图，平行四边形的对角线，交于点，顺次连接四边形各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①，②与周长相等；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．（4分）如图， 在中，，，，点在边上，，的半径长为 3 ，与相交， 且点在外， 那么的半径长的取值范围是　　

A ． B ． C ． D ．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．（4分）因式分解：　　．

8．（4分）函数的定义域是　 　．

9．（4分）方程的解是　　．

10．（4分）如果，，那么代数式的值为　 　．

11．（4分）不等式组的非负整数解是 　　．

12．（4分）如果关于的方程有两个实数根，那么实数的范围是 　　．

13．（4分）已知反比例函数，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，的值随着的值增大而减小，那么的取值范围是　 　．

14．（4分）有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是　 　．

15．（4分）在中，点、分别是边、的中点，那么的面积与的面积的比是　 　．

16．（4分）今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是　 　．

17．（4分）如图，航拍无人机从处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为90米，那么该建筑物的高度约为　　米．（精确到1米，参考数据：

18．（4分）我们规定：一个正边形为整数，的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正边形的“特征值”，记为，那么　 　．

三、解答题：（本大题共7题，满分34分）

19．（10分）先化简，再求值：，其中．

20．（10分）解方程：．

21．如图，在中，，，点在边上，且，，垂足为点，联结，求：

（1）线段的长；

（2）的余弦值．

22．某物流公司引进、两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，种机器人也开始搬运，如图，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时的函数图象，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时的函数图象．根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）求关于的函数解析式；

（2）如果、两种机器人连续搬运5个小时，那么种机器人比种机器人多搬运了多少千克？

23．已知：如图，是的外接圆，，点在边上，，．

（1）求证：；

（2）如果点在线段上（不与点重合），且，求证：四边形是平行四边形．

24．如图，抛物线经过点，与轴的负半轴交于点，与轴交于点，且，抛物线的顶点为点．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结、、、，求四边形的面积；

（3）如果点在轴的正半轴上，且，求点的坐标．

25．（14分）已知：如图，梯形中，，，．动点在射线上，以为半径的交边于点（点与点不重合），联结、．设，．

（1）求证：；

（2）求关于的函数解析式，并写出定义域；

（3）联结，当时，以为圆心半径为的与相交，求的取值范围．

参考答案

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填填在答题纸的相应位置上】

1．（4分）下列单项式中，与是同类项的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合选项解答即可．

解：、与所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项正确；

、与所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项错误；

、与所含字母相同，但相同字母和字母的指数都不相同，不是同类项，本选项错误；

、与所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，本选项错误．

故选：．

2．（4分）如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是　　

A． B． C． D．

【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

解：抛物线向下平移1个单位，

抛物线的解析式为，即．

故选：．

3．（4分）某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是　　

A．3次 B．3.5次 C．4次 D．4.5次

【分析】加权平均数：若个数，，，，的权分别是，，，，，则叫做这个数的加权平均数，依此列式计算即可求解．

解：

（次．

答：这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是4次．

故选：．

4．（4分）已知在中，，是角平分线，点在边上，设，，那么向量用向量、表示为　　

A． B． C． D．

【分析】由中，是角平分线，结合等腰三角形的性质得出，可求得的值，然后利用三角形法则，求得答案．

解：如图所示：在中，，是角平分线，

，

，

，

，

．

故选：．

5．（4分）如图，平行四边形的对角线，交于点，顺次连接四边形各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①，②与周长相等；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．

解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．

①，

新的四边形成为矩形，符合条件；

②四边形是平行四边形，

，．

与周长相等，

．

根据等腰三角形的性质可知，

．所以新的四边形成为矩形，符合条件；

③四边形是平行四边形，

．

，

．

．

，

四边形是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；

④，，

，即平行四边形的对角线互相垂直，

新四边形是矩形．符合条件．

所以①②④符合条件．

故选：．

6．（4分）如图， 在中，，，，点在边上，，的半径长为 3 ，与相交， 且点在外， 那么的半径长的取值范围是　　

A ． B ． C ． D ．

【分析】连接，

根据勾股定理得到，

根据圆与圆的位置关系得到，

由点在外，

于是得到，

即可得到结论 ．

解： 连接，

，，，

，

的半径长为 3 ，与相交，

，

，

，

点在外，

，

的半径长的取值范围是，

故选：．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．（4分）因式分解：　　．

【分析】原式提取，再利用平方差公式分解即可．

解：原式，

故答案为：

8．（4分）函数的定义域是　　．

【分析】直接利用分式有意义的条件得出答案．

解：函数的定义域是：．

故答案为：．

9．（4分）方程的解是　　．

【分析】把方程两边平方后求解，注意检验．

解：把方程两边平方得，

整理得，

解得：或，

经检验，是原方程的解．

故本题答案为：．

10．（4分）如果，，那么代数式的值为　　．

【分析】把与的值代入原式计算即可得到结果．

解：当，时，，

故答案为：

11．（4分）不等式组的非负整数解是 　0　．

【分析】先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，再写出它的所有非负整数解即可求解．

解：，

解①得，

解②得．

故不等式组的解集是．

故它的所有非负整数解为0．

故答案为：0．

12．（4分）如果关于的方程有两个实数根，那么实数的范围是 　且　．

【分析】由关于的方程有两个实数根，可得出该方程是一元二次方程，且判别式大于或等于0，解出即可得出的取值范围．

解：关于的方程有两个实数根，

，

解得：且．

故答案为：且．

13．（4分）已知反比例函数，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，的值随着的值增大而减小，那么的取值范围是　　．

【分析】直接利用当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大，进而得出答案．

解：反比例函数，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，的值随着的值增大而减小，

的取值范围是：．

故答案为：．

14．（4分）有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是　　．

【分析】共有6种等可能的结果数，其中点数是3的倍数有3和6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是3的倍数的概率．

解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率．

故答案为．

15．（4分）在中，点、分别是边、的中点，那么的面积与的面积的比是　　．

【分析】构建三角形中位线定理得，推出，所以，由此即可证明．

解：如图，，，

．，

，

，

故答案为．

16．（4分）今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是　6000　．

【分析】根据自驾车人数除以百分比，可得答案．

解：由题意，得

，

公交，

故答案为：6000．

17．（4分）如图，航拍无人机从处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为90米，那么该建筑物的高度约为　208　米．（精确到1米，参考数据：

【分析】分别利用锐角三角函数关系得出，的长，进而求出该建筑物的高度．

解：由题意可得：，

解得：，

，

解得：，

故该建筑物的高度为：，

故答案为：208．

18．（4分）我们规定：一个正边形为整数，的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正边形的“特征值”，记为，那么　　．

【分析】如图，正六边形中，对角线、交于点，连接．易知是正六边形最长的对角线，是正六边形的最短的对角线，只要证明是直角三角形即可解决问题．

解：如图，正六边形中，对角线、交于点，连接．

易知是正六边形最长的对角线，是正六边形的最短的对角线，

是等边三角形，

，

，

，

，

，

，

是直角三角形，

，

，

故答案为．

三、解答题：（本大题共7题，满分34分）

19．（10分）先化简，再求值：，其中．

【分析】将被除式分子、分母因式分解、把除法转化为乘法，再约分计算乘法，最后计算减法即可化简原式，继而把的值代入计算可得．

解：原式

，

当时，

原式

．

20．（10分）解方程：．

【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行计算即可．

解：去分母得，，

移项、合并同类项得，，

解得，，

经检验是增根，舍去；是原方程的根，

所以原方程的根是．

21．如图，在中，，，点在边上，且，，垂足为点，联结，求：

（1）线段的长；

（2）的余弦值．

【分析】（1）根据题意，，，可得的长度，根据等腰直角三角形的性质可得，由的长度，则，计算即可得出答案；

（2）过点作，垂足为，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，，则，根据勾股定理可得，在中，由计算即可得出答案．

解：（1），，

，

，

，

，，

，

；

（2）过点作，垂足为，如图，

，

，

，

，

在中，

．

22．某物流公司引进、两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，种机器人也开始搬运，如图，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时的函数图象，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时的函数图象．根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）求关于的函数解析式；

（2）如果、两种机器人连续搬运5个小时，那么种机器人比种机器人多搬运了多少千克？

【分析】（1）设关于的函数解析式为，将点、代入一次函数函数的解析式得到关于，的方程组，从而可求得函数的解析式；

（2）设关于的解析式为．将代入可求得关于的解析式，然后将，代入一次函数和正比例函数的解析式求得，的值，最后求得与的差即可．

解：（1）设关于的函数解析式为．

将点、代入得：，

解得：，．

所以关于的函数解析式为．

（2）设关于的解析式为．

根据题意得：．

解得：．

所以．

当时，（千克）；

时，（千克）．

（千克）．

答：如果、两种机器人各连续搬运5小时，种机器人比种机器人多搬运了150千克．

23．已知：如图，是的外接圆，，点在边上，，．

（1）求证：；

（2）如果点在线段上（不与点重合），且，求证：四边形是平行四边形．

【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，得出，再根据全等三角形的判定得，即可得出；

（2）连接并延长，交边于点，由等腰三角形的性质和外心的性质得出，再由垂径定理得，得出与平行且相等．

【解答】证明：（1）在中，

，

，

，

，

，

，

在和中，，

，

；

（2）连接并延长，交边于点，

，为半径，

，

，

，

，

，即，

，

，

，

四边形是平行四边形．

24．如图，抛物线经过点，与轴的负半轴交于点，与轴交于点，且，抛物线的顶点为点．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结、、、，求四边形的面积；

（3）如果点在轴的正半轴上，且，求点的坐标．

【分析】（1）先得出点坐标，再由，得出点坐标，将、两点坐标代入解析式求出，；

（2）分别算出和的面积，相加即得四边形的面积；

（3）由可知，，过作边上的高，利用等面积法求出，从而算出，而是已知的，从而利用可求出长度，也就求出了点坐标．

解：（1）抛物线与轴交于点，

，

．

，

，

又点在轴的负半轴上，

．

抛物线经过点和点，

，解得，

这条抛物线的表达式为．

（2）由，得顶点的坐标为．

连接，

点的坐标是，点的坐标是，

又，，

．

（3）过点作，垂足为点．

，，

，

在中，，，，

．

在中，，，

，

，得，

点的坐标为．

25．（14分）已知：如图，梯形中，，，．动点在射线上，以为半径的交边于点（点与点不重合），联结、．设，．

（1）求证：；

（2）求关于的函数解析式，并写出定义域；

（3）联结，当时，以为圆心半径为的与相交，求的取值范围．

【分析】（1）根据梯形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论；

（2）分别过、、作的垂线，垂足分别为点、、．推出四边形是矩形，，求得，根据勾股定理得到，根据平行线分线段成比例定理得到，，求得，根据勾股定理即可得到结论；

（3）作交于．推出四边形是平行四边形．得到，即，根据相似三角形的性质得到，根据相切两圆的性质即可得到结论．

【解答】（1）证明：梯形，，

，

，

，

，

；

（2）解：分别过、、作的垂线，垂足分别为点、、．

梯形中，，，，，

四边形是矩形，，

，，

，

在中，

，

，

，即，

，，

，

在中，，

，即；

（3）解：作交于．

，

四边形是平行四边形．

，即，

，，

又，，

．

，

，即，

解得：，

即，

，

当两圆外切时，，即（舍去）；

当两圆内切时，，即（舍去），；

即两圆相交时，．