北师大版九年级下册1 锐角三角函数课堂教学ppt课件

这是一份北师大版九年级下册1 锐角三角函数课堂教学ppt课件，共46页。PPT课件主要包含了逐点学练，本节小结，作业提升，学习目标，本节要点，学习流程，知识点，感悟新知，坡度与坡角，锐角三角函数等内容，欢迎下载使用。
正切正切与梯子的倾斜程度的关系坡度与坡角正弦、余弦锐角三角函数
正切的概念如图1-1-1，在Rt △ ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠ A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠ A 的正切，记作tan A，即tan A= . 如果用a，b分别表示∠ A 的对边与邻边，那么tan A= .
特别提醒●tan A不表示“tan”乘“A”.tan A是一个完整的符号，它表示∠ A 的正切.● tan A＞0且没有单位，它表示一个比值，tan A 的大小只与∠ A 的大小有关.
[中考·桂林] 如图1-1-2，在Rt △ ABC 中，∠ ACB=90°，AC=8，BC=6，CD ⊥ AB，垂足为D，则tan ∠ BCD= __________.
解题秘方：紧扣正切的定义，找出该锐角所在的直角三角形的两直角边的比值，或与之相等的锐角所在直角三角形的两直角边的比值.
解：∵∠ BCD+ ∠ ACD=90°，∠ CAB+ ∠ ACD=90°，∴∠ BCD= ∠ CAB，∴ tan ∠ BCD=tan ∠ CAB
1-1. 在Rt △ ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA 的值是( )
正切与梯子的倾斜程度的关系
正切与梯子的倾斜程度的关系(1)当梯子与地面所成的角为锐角A 时 ，tan A 的值越大，梯子越陡. 因此，可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度.
特别提醒●在很多实际问题中，人们无法测量倾斜角(如梯子与地面的夹角)，这时通常采用倾斜角的正切值来刻画倾斜程度.●一个锐角的正切值随角度的增大(减小)而增大( 减小).
(2)当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定，这一比值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关.(3)对“倾斜程度”的理解：①倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾斜角越大的物体，就说它放得越“陡”.②通过计算物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，夹角的正切值越大，物体放置得越“陡”.
如图1-1-3，李佳怡和王慧珍将两根木棒分别斜靠在墙上，其中AB=10 cm，CD=6 cm，BE=6 cm，DE=2 cm，你能判断出哪根木棒更陡吗？说明理由.
解题秘方：紧扣倾斜程度与正切值的关系以及正切值的求法解决问题.
方法点拨：比较物体倾斜程度的两种方法.1.通过测量物体与地面夹角的大小来判断物体的倾斜程度，夹角越大，物体放置得越陡.2. 通过计算物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，夹角的正切值越大，物体放置得越陡.
解：木棒CD 更陡. 理由如下：在Rt △ ABE 中，AE=∴ tan ∠ ABE=在Rt △ CDE 中，CE=∴ tan ∠ CDE=∵ tan ∠ CDE ＞ tan ∠ ABE，∴木棒CD 更陡.
2-1. 如图， 梯子AB 和EF中，更陡的是( )A. 一样陡B. 梯子ABC. 梯子EFD. 不能确定
特别提醒●坡度是一个比；坡角是一个角.●坡度一般写成1∶m的形式，比的前项为1，后项m可以是小数，也可以是带根号的数.
如图1-1-4， 拦水坝的横截面为梯形ABCD，BC ∥ AD，斜坡AB 的坡度为1 ∶ 3，坝顶宽BC=3 m，坝高为4 m，斜坡CD=5 m .(1)试比较斜坡AB 和CD 哪个更陡；(2)求坝底AD 的长.
解题秘方：紧扣坡度与坡面的倾斜程度之间的关系解决问题.
解：(1)如图1-1-4，过点C 作CF ⊥ AD，垂足为F，则CF=4 m.在Rt △ CFD 中， 根据勾股定理， 得FD= ，∴ tan D=∵ tan A= ，∴ tan D ＞ tan A，∴斜 坡CD 更陡.
(2)如图1-1-4，过点B作BE⊥AD，垂足为E，易知BE=4 m，EF=BC=3 m. 在Rt △ AEB 中，∵ tan A=∴ AE=3BE=3×4=12(m).∴ AD=AE+EF+FD=12+3+3=18(m)，即坝底AD 的长为18 m.
3-1. [2021· 山西] 太原地铁2 号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020 年12 月26 日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB 的坡度i=5 ∶ 12(i 为铅直高度与水平宽度的比). 王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5 米/ 秒的速度用时40 秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC 为________ 米.
1. 正弦、余弦的定义
2. 正弦、余弦与梯子的倾斜程度的关系(1)sin A 的值越大，梯子越陡；(2)cs A 的值越小，梯子越陡.
特别提醒1.sin A，cs A都是一个完整的符号，注意事项与正切类似 A，cs A没有单位，其值与锐角A的大小有关，与所在直角三角形的边长无关.
在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别用a，b，c 表示，其中a=5，b=12，求∠ A 的正弦值和∠ B 的余弦值.
解题秘方：紧扣正弦、余弦的定义结合直角三角形的边长解决问题.
解：在Rt△ ABC中，由勾股定理，得
4-1. 如图，在Rt △ ABC中， ∠ C=90 °，AC=2BC，求∠ B 的正弦、余弦和正切值.
1. 锐角三角函数的定义锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠ A 的三角函数. 锐角三角函数sin A(或cs A 或tan A)是以锐角A 为自变量的函数. 对于锐角A 的每一个确定的值，sin A(或cs A 或tan A)都有唯一确定的值与其对应.
∠ABC的正弦表示为sin∠ABC，∠1的余弦表示为cs∠1，其中“∠”不能省略.
深度理解1.锐角三角函数之间的关系都可用定义推导得出.2.三角函数定义速记口诀：正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻，函数特点要牢记.
2. 锐角三角函数之间的关系(1)同一锐角的三角函数之间的关系①平方关系：sin2A+cs2A=1；②商除关系： =tan A.(2)互余两角的三角函数之间的关系sin A= cs(90°－∠ A)；cs A=sin(90 °－∠ A).
在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别为a，b，c. 已知a=6，b=8，求出∠ A 的三个三角函数值.
解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义”求解.
方法点拨：已知直角三角形的任意两边长求某个锐角的三角函数值时，运用数形结合思想，首先画出符合题意的直角三角形，然后根据勾股定理求出未知边长，最后结合锐角三角函数的定义求锐角的三角函数值.
解：如图1-1-5，在Rt △ ABC 中，∵∠ C=90°，a=6，b=8，
5-1.[中考· 滨州] 在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=5，BC=12， 则sinA的值为__________.5-2.[中考· 扬州] 在△ ABC 中，∠ C=90°，a，b，c 分别为∠ A，∠ B，∠ C 的对边，若b2=ac，则sin A 的值为_________.
在△ ABC 中，∠ C=90°，sin A= ，则tan B=( )
解题秘方：当三角形出现边与边的比时，可引入参数，用这个参数表示出三角形的三边长，再用定义求解.
技巧点拨：在直角三角形中，给出某一锐角的三角函数值，求另一个锐角的三角函数值时，可以用设辅助元即引入“参数”的方法来解决，注意在最后计算时约去辅助元.
解：由sin A= ，可设BC=4k(k>0)，则AB=5k，根据勾股定理，得AC=3k，∴ tan B= .
6-1. 已知sinα = ，α 为锐角， 求csα 和tanα 的值.
如图1-1-6，在等腰三角形ABC 中，AB=AC，如果2AB=3BC，求∠ B 的三个三角函数值.
解题秘方：紧扣“求锐角三角函数值的前提是在直角三角形中”这一特征，用“构造直角三角形法”求解.
解：过点A 作AD ⊥ BC 于点D，如图1-1-6，∵ AB=AC，∴ BD=DC.又∵ 2AB=3BC，∴设AB=AC=3k(k>0)，则BC=2k.∴ BD=CD=k，∴ AD=2 k.
7-1.[中考·连云港] 如图，在6×6 正方形网格中， △ ABC 的顶点A，B，C 都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sin A= ________.
如图1-1-7， 在△ ABC 中， ∠ ACB=90 °，AC=BC=4，将△ ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，EF 是折痕，若AE=3，则sin ∠ BFD 的值为( )
解题秘方：紧扣“角相等则其三角函数值也相等”这一特征，用“等角转换法”将所要求的角的三角函数值转化为直角三角形中与该角相等的角的三角函数值.
解：∵在△ ABC 中，AC=BC=4，∴∠ A = ∠ B.由折叠得∠ EDF = ∠ A= ∠ B，AE=DE=3.∵∠ CDF = ∠ CDE + ∠ EDF = ∠ B + ∠ BFD，∴∠ CDE = ∠ BFD.∵ CE=AC－AE=1，∴ sin ∠ BFD=sin ∠ CDE=
8-1 . 如图， CD 是Rt △ ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3， 求cs ∠ BCD 的值.