2.2-2.3 轴对称的性质（二）与设计轴对称图案-（暑假高效预习）2023-2024学年八年级数学同步导与练（苏科版）

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1.轴对称的性质（二）
试一试：在网格中画出图形的另一半。
2.点A在直线外，按下列方法画点A关于直线l的对称点。
画法：1.画AO⊥l，垂足为O；2.在AO的延长线上截取OA′，使OA′=AO；
点A′就是点A关于直线l对称的点。
3.（1）在下图用三角尺画线段AB关于直线l对称的线段A′B′；
（2）在下图用三角尺画▲ABC关于直线l对称的▲A′B′C′。
因此，画一个图形关于一条直线对称的图形，关键是确定某些点关于这条线的对称点。
右边两个三角形关于直线MN对称，取AC中点为点P
，连接BP，BP为AC上的中线；可以在右边把BP的对称
图形画出来吗？
因此，成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。
设计轴对称图案
如图，由小正方形组成的网格中，请分别在三个网格中涂黑两个方格，使整个网络中的黑色方格构成的图案为轴对称图形．

【解惑】
例1：下面的图形中对称轴最多的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别作出各个图形的对称轴，进行比较即可得到答案．
【详解】 A选项图形有2条对称轴；
B选项图形有2条对称轴；
C选项图形有3条对称轴；
D选项图形有1条对称轴；
所以，C选项图形的对称轴最多．
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称变换，正确得出每个图形的对称轴是解题的关键．
例2：如图正方形网格中的每一个小正方形边长都是1．
(1)画出下面图形的另一半，使得它们是轴对称图形．
(2)求图中这棵树的面积．
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】（1）根据轴对称的性质找出所给图形中关键点关于虚线的对称点，顺次连接即可；
（2）这棵树可以分为上中下三部分，从上到下依次为三角形、梯形、正方形，求出三部分的面积，相加即可．
【详解】（1）解：补全后图形如下所示：
（2）解：图中这棵树的面积．
【点睛】本题考查作轴对称图形，利用方格求图形面积，解题的关键是掌握轴对称图形的性质．
例3：画出四边形关于直线的轴对称的图形．
【答案】见详解
【分析】根据轴对称图形的特点直接作图即可．
【详解】作图如下：
四边形即为所求．
【点睛】此题主要考查轴对称图形的作法，根据已知分别作出A，B，C、D的关于l对称点是解决问题的关键．
例4：（1）观察图①~图③中阴影部分的图形，写出这3个图形具有的两个共同特征；
（2）在图④和⑤中，各设计一个与前面不同的图形，使它们也具有（1）中的两个共同特征．
【答案】（1）共同特征：①它们都是轴对称图形．②它们的面积都是8；（2）图形见解析．
【分析】（1）从图形的对称性，以及图形中阴影部分的面积进行分析即可得到答案；
（2）只要根据（1）所得共同特征，画出图形即可得到答案．
【详解】解：（1）共同特征：
①它们都是轴对称图形；
②它们的面积都是8；
（其他答案只要正确，也可以）
（2）图形如下所示：
【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，解题时要注意判断图形的共性，首先要看对称性；有阴影的，注意观察阴影部分的面积是否相同．
例5：如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中画图（保留画图痕迹）．
(1)在图1中，为格点，在上画点，使；
(2)在图2中，画的中线；
(3)在图3中，画的高；
(4)在图4中，画线段上的点，使．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)作图见详解
(4)作图见详解
【分析】（1）以为边作直角三角形，与交于点，连接并延长，到点，以为斜边，过点作直角三角形，可知，，，由此即可求解；
（2）作线段，连接交于点，连接，，即可求解；
（3）是的高，取格点，连接格点与点，有直角三角形，连接，有直角三角形，交于点，交于点，由题意可知，可证，即，即为所求高线；
（4）根据对称性，过作的对称点，连接交于点，可知，，，点的位置即为所求点．
【详解】（1）解：如图所示，
以为边作直角三角形，与交于点，连接并延长，到点，以为斜边，过点作直角三角形，可知，，且，，
∴，
∴，
∴即为所求平行线．
（2）解：如图所示，
作线段，连接交于点，连接，
∴，
∴，即点为中点，
∴即为所求中线．
（3）解：如图所示，
是的高，取格点，连接格点与点，有直角三角形，连接，有直角三角形，交于点，交于点，由题意可知，
根据作图，，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∴即为所求高线．
（4）解：如图所示，
根据对称性，过作的对称点，连接交于点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴点的位置即为所求点．
【点睛】本题主要考查格点与三角形的综合，掌握三角形的中线，高，平行线的画法，对称性的特点是解题的关键．
【摩拳擦掌】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，这是由三个全等的小正方形拼接成的图形，若只平移其中一个小正方形，与其他两个小正方形重新拼接无覆盖，有公共顶点，可以拼接成不全等的轴对称图形的方法有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】B
【分析】根据题意，画出图形即可解答．
【详解】解：如图，共有四种可能．

故选：．
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，不重不漏的画出所有可能图形是解题的关键．
2．（2022秋·七年级单元测试）如图，在的正方形网格中，有个小正方形已经涂黑，再涂黑任意个白色的小正方形，使新构成的黑色图形是轴对称图形，这样的涂法有_____种．

【答案】2
【分析】根据轴对称图形的定义进行设计图案即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：如图所示，当分别将，位置涂黑，构成的黑色图形是轴对称图形，共有种情况，
故答案为：2．

【点睛】本题主要考查了设计轴对称图案，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
3．（2023秋·八年级课时练习）如图是由三个相同的小正方形组成的图形，请你用四种不同的方法在图中补画一个相同的小正方形，使补画后的四个小正方形组成的图形是轴对称图形．

【答案】见解析
【分析】由于小正方形是轴对称图形，所以只要构成的大图是轴对称图象即可．
【详解】解：如图所示，即为所求．

【点睛】本题主要考查了设计轴对称图案，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．
4．（2022春·七年级单元测试）图形设计：请将网格中的某些小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法）

【答案】见解析
【分析】根据轴对称图形的性质来画轴对称图形，先确定对称轴，再找出阴影部分图形关键点的对称点，画出图形即可，图形的两部分沿对称轴折叠后可完全重合
【详解】解：画图如下：

【点睛】此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是掌握轴对称图形的定义．
5．（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）如图1，网格中的每一个小正方形的边长为1，为格点三角形（点、、在小正方形的格点上），直线为格点直线（直线经过小正方形的格点）．
(1)如图1，作出关于直线的轴对称图形；
(2)如图2，在直线上找到一点，使的值最小；
(3)如图3，仅用直尺将网格中的格点三角形的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′、B′、C′，然后顺次连接即可即可．
（2）作点B关于直线m的对称点，连接，交直线m于点P，则点P即为所求作的点；
（3）如图，取格点O，使得即可解答．
【详解】（1）解：如图1所示，即为所求作．
（2）解：如图2，点即为所求作．
（3）解：如图3所示即为所作．
【点睛】本题主要考查了轴对称变换、格点三角形的面积，线段和最小值问题，掌握数形结合是解题的关键．
6．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）用三角尺画关于直线对称的三角形．
【答案】见解析
【分析】由各点作直线l的垂线，再在垂线上截取和各点到直线相同的距离点为对称点，连接各对称点得到对称三角形．
【详解】解：如图所示，
【点睛】本题考查轴对称图形的画法，掌握这个方法是关键．
【知不足】
1．（2022秋·江苏泰州·八年级校考期中）如图，是正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有______种选择．

【答案】3
【分析】利用轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．即可得出符合题意的答案．
【详解】解：如图所示，

使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有3种选择．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是正确把握轴对称图形的定义．
2．（2023春·七年级单元测试）如图，在的正方形网格中已将图中的四个小正方形涂上阴影，如果再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是_____．
【答案】①
【分析】轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此逐个判断即可．
【详解】解：有个使之成为轴对称图形分别为：②，③，④，
在①处不是轴对称图形，
故答案为：①．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．
3．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）如图是小正三角形组成的网格，每个网格里已经有3个涂上了阴影的小正三角形．在每个网格里，再将两个小正三角形涂上阴影，使得整个阴影部分构成轴对称图形．（每个网格里的阴影部分的图形不能相同）
【答案】见解析
【分析】根据轴对称图形的有关概念沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合对每一个图形进行分析即可得出正确答案．
【详解】解：图形如图①②③所示：
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使整个图形是一个轴对称图形．（要求：①画出4种不同的补充完整的轴对称图形；②画出补充完整轴对称图形的一条对称轴；③每个图形所画对称轴是不同的直线）
【答案】见解析
【分析】根据轴对称图形的定义即可解决问题．
【详解】解：如图：图1，图2，图3，图4为所求；
．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．（2022秋·七年级单元测试）指出下列图形中的轴对称图形，是轴对称图形的指出对称轴．

【答案】见解析
【分析】根据轴对称图形的定义判断轴对称图形，然后作出对称轴即可．
【详解】解：由题意知，轴对称图形，以及轴对称图形的对称轴如下：

【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，作对称轴．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）图中两个五边形成轴对称吗？如果是，请你标出A，B，C三点的对称点，并想办法画出对称轴．
【答案】详见解析
【分析】观察图形找出对应关系即可得到点A、B、C的对应点、、，连接，作的垂直平分线即为对称轴．
【详解】解：这两个五边形成轴对称，如图，的垂直平分线l即为对称轴．
7．（2022秋·八年级课时练习）下列图形是轴对称图形吗？你是怎样判别的？对于各轴对称图形，你能找出对称轴吗？有哪些方法？
【答案】见解析
【分析】把图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形
【详解】这四个图形都是轴对称图形；
判断一个图形是否是轴对称图形，就是看是否存在一条直线，使得这个图形的一部分沿着这条直线折叠，能够和另外一部分互相重合；
能找出对称轴，找一条直线，再沿这条直线折叠，使其直线两旁的部分能够互相重合即可；
各图形的对称轴如下图所示：
【点睛】本题考查轴对称图形的特征，关键是理解该知识点
8．（2022秋·八年级课时练习）作出下列轴对称图形的所有对称轴．
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】根据轴对称图形的性质，对称轴两边的部分能够完全重合，作出各图形的对称轴即可
【详解】（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟记轴对称图形的性质是解题的关键
【一览众山小】
1．（2023春·七年级单元测试）如图，16个相同的小正方形拼成一个正方形网格，其中的三个小方格已涂黑，请你用四种方法在图中再涂黑一个小方格，使它成为轴对称图形．
【答案】见解析
【分析】根据轴对称图形的定义进行设计图案即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：如图所示，即为所求．
【点睛】本题主要考查了设计轴对称图案，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．
2．（2023秋·江西南昌·八年级统考期末）如图是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形，请用无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作答，但要保留作图的痕迹）．
(1)在图1中，作一个小正方形；
(2)在图2中，作图形的对称轴．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接正方形的对角线，交于点，则即为所求，
（2）连接正方形的对角线，过等腰三角形的直角顶点与对角线的交点的连线即为所求．
【详解】（1）如图所示，正方形即为所求，
根据轴对称的性质，得出关于对称，又是等腰直角数形，则是正方形，
（2）如图所示，直线即为所求，
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．
3．（2022·辽宁葫芦岛·八年级校考期中）如图，网格中的与为轴对称图形．
(1)利用网格线作出与的对称轴l；
(2)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积为______．
(3)顶点在格点，找出为一边且与全等（不与重合）的三角形，这样的三角形在网格内共能画出______个．
(4)在对称轴l上找到一点P，使最短．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)1
(4)见解析
【分析】（1）利用网格特点作的垂直平分线即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（3）利用全等三角形的判定方法作图；
（4）连接，与直线l的交点即为所求．
【详解】（1）解：如图，直线l为所作；
；
（2）解：的面积；
故答案为：3；
（3）解：如图，以为一边且与全等（不与重合）的三角形，这样的三角形在网格内能画1个．
故答案为：1．
（4）解：如图所示，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：作对称点的连线段的垂直平分线得到对称轴．也考查了全等三角形的判定．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）请画出下列轴对称图形的所有对称轴．
【答案】见解析
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可．
【详解】解：如下图所示，即为所求．
【点睛】本题主要考查了画轴对称图形的对称轴， 熟知轴对称图形中对称轴的定义是解题的关键．
5．（2022秋·江西赣州·八年级统考期中）（1）如图1，四边形与四边形关于直线l对称．连接、．设它们相交于点P．请作出点P关于直线l对称的对称点Q．
（2）如图2，已知五边形和关于直线m对称，请用无刻度的直尺画出直线m．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）根据轴对称的性质，连接、，交点即为点Q；
（2）根据轴对称的性质，连接和，和，两交点所在直线即为对称轴直线m．
【详解】解：（1）如图1所示，点Q即为所求；
（2）如图2所示，直线m即为所求．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，成轴对称的两个图形全等；如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
6．（2023春·全国·七年级专题练习）找出下列图形的所有的对称轴，并一一画出来．
【答案】见解析
【分析】找到并连接关键点，作出关键点的连线的垂直平分线．
【详解】解：所画对称轴如下所示：
【点睛】本题考查了对称轴，解答此题要明确轴对称的性质：（1）对称轴是一条直线；（2）垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；（3）在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等；（4）在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相等的两份；（5）如果两个图形关于某7．（2022秋·江苏南京·八年级统考期中）已知图①、图②都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）：
(1)在图①中，作出该图形的对称轴l；
(2)在图②中，作出点P的对称点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接AC、BD交于点F，连接FE，FE即为所求对称轴l；
（2）延长AD、BC交于点E，令AC、BD的交点为F，连接EF并延长交AB于点H，EH所在直线为该图形的对称轴，连接BP，交EH于点G，连接AG并延长，交BC于点，点即为所求．
【详解】（1）如图所示，连接AC、BD交于点F，连接FE，FE即为所求对称轴l，
（2）如图所示，延长AD、BC交于点E，令AC、BD的交点为F，连接EF并延长交AB于点H，EH所在直线为该图形的对称轴，连接BP，交EH于点G，连接AG并延长，交BC于点，点即为所求，
【点睛】本题考查轴对称图形，尺规作图，找出图形的对称轴是解题的关键．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）与关于直线成轴对称，如图所示：
(1)请用无刻度的直尺，在图1中作出对称轴所在直线．
(2)类比图1的思维方式，请用无刻度的直尺，在图2中作出对称轴所在直线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据图形轴对称的性质“若对应线段所在直线相交，则交点在对称轴上”，设BC、EF交于点G，作过点A和点G的直线，即为所作直线L；
（2）根据图形轴对称的性质“若对应线段所在直线相交，则交点在对称轴上”，分别延长两组对应边AB与DE，CB与FE，得到两个交点M和N，然后过M、N作直线，即为对称直线L．
【详解】（1）解：如图3所示：
（2）如图4所示：
【点睛】本题主要考查了作对称轴的知识，熟练掌握图形轴对称的性质是解题关键．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）只用无刻度的直尺作图：在图①中画出正五边形ABCDE中∠A的角平分线、图②的网格中作出已知角的角平分线（保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【分析】①根据对称性，连接交于点，作射线，即为所求；②连接，根据网格的特点找到的中点， 作射线，即为所求．
【详解】解：如图，
【点睛】本题考查了角平分线的定义，轴对称图形的性质，找到对称轴是解题的关键．
10．（2022秋·吉林长春·九年级吉林大学附属中学期末）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
(1)如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，画出四边形ABCD的对称轴m；
(2)如图②，四边形ABCD中，∠A=∠D，AD//BC，画出BC边的垂直平分线n．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析
【分析】（1）连接AC，AC所在直线即为对称轴m；
（2）由四边形的特点得到四边形为等腰梯形，由此延长BA、CD交于一点，连接AC、BC交于一点，连接两点得垂直平分线n．
(1)
解：如图1，直线m即为所求．
(2)
解：∵四边形ABCD中， AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°，
∵∠A=∠D，
∴∠B=∠C，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
如图2，直线n即为所求．．
【点睛】此题考查了画轴对称图形，等腰梯形的判定及性质，确定轴对称图形的对称轴，正确掌握轴对称图形的特点是解题的关键．