2.1-2.2 轴对称与轴对称图形、轴对称的性质（一）-（暑假高效预习）2023-2024学年八年级数学同步导与练（苏科版）

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1.观察右图它们有什么特点？
（1）有两个图形
（2）两个图形能完全重合（形状大小一样）
（3）一个图形通过翻折变换得到另一个（位置关系）
2.观察右图它们有什么特点？
（1） 只有1个图形
（2）两边能完全重合（形状大小一样）
（3）一边通过翻折变换得到另一边
由图1我们可以发现：
把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称。这条直线叫做对称轴。两个图形中的对应点叫做对称点。
由图2我们可以发现：
把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么称这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
注：轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条甚至无数条．
说一说轴对称与轴对称图形的共同点与不同点，并讨论他们之间的联系
共同点：都能通过翻折得到，直到两边能完全重合；
不同点：轴对称是2个图形，轴对称图形是1个图形。
联系：
（1）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称；
（2）如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，它是一个轴对称图形。
5.轴对称的性质（一）
把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把纸展开，两针孔分别记为点、点，折痕记为；连接，与相交于点 ，线段AA′与直线l有什么关系？
把纸重新沿l折叠后，点A与A′重合，OA=OA′；
直线l把平角∠AOA′分成的两个角相等，且都是直角。
定义： 垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
几何语言：
如图，直线 交线段AB于点O,
∵∠1＝90°，AO＝BO
∴直线是线段AB的垂直平分线
6.仿照上面的操作，在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点、点，连接．你有什么新的发现？
结论：
（1）；
（2）直线垂直平分；
（3）
7.仿照上面的操作，在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点C、点C′，连接 ．你有什么新的发现？
你能得出什么结论？
（1）
（2） 直线垂直平分
（3）
轴对称的性质：
（1）成轴对称的两个图形全等；
（2）成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；
（3）成轴对称的两个图形中，对应点的连线互相平行或在同一条直线上.
注：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，沿对称轴折叠后，重合的点是对应点，叫做对称点．类似地，重合的线段是对应线段，重合的角是对应角．对应线段相等，对应角相等．
【解惑】
例1：下列不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、矩形是轴对称图形，则此项不符合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形，则此项符合题意；
C、菱形是轴对称图形，则此项不符合题意；
D、正方形是轴对称图形，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形，熟记轴对称图形的定义是解题关键
例2：如图，把一个长方形纸条沿折叠，若，则的度数为（ ）．

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由平行线的性质得，由折叠的性质得，再由平角定义求出即可．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，
∴，
折叠的性质得：，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键．
例3：如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的ABC，则与ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有____个．
【答案】5
【分析】解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．
【详解】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG，△CDF，△AEF，△DBH，△BCG共5个，
故答案为5.
【点睛】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键．
例4：图（1）是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），在图（1）中，图（3）中用含有的式子表示 ___________．
【答案】
【分析】根据平行线的性质和翻折的性质判断即可．
【详解】解：在图①中，
∵，，
∴，
∴，
在图②中，，
在图③中，由折叠的性质得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，图形的翻折变换，运用了数形结合的思想．解题关键是熟练运用翻折的性质、平行线的性质判断角的大小．
例5：已知，村庄和村庄都位于笔直的小河l同侧，要在河边建一引水站，使它到村庄，需铺设的水管长度之和最小．
(1)请画出引水站的位置，并连接（包括画图痕迹）；
(2)若不计杂料，所用水管之和为米，且比 长米，两村庄购买水管花费元，约定按长度分摊费用，请计算两村庄各需付水管购买费多少元？
【答案】(1)见解析
(2)元；元
【分析】（1）先作出点关于河流的对称点，然后连接，与河流的交点即为所求作的水站的位置，此时最小．
（2）先求出每米水管的费用，然后列方程组求得，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，水站修在点处才能使所需的管道最短．
（2）解：水管每米的费用为：（元），
由题意得，，
解得，
∴村所付水管费用为（元），
村所付水管费用为（元），
【点睛】本题考查了轴对称性质的应用，二元一次方程组的应用，读懂题意是解题的关键．
【摩拳擦掌】
1．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）下列图片中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】判断一个图形是否是轴对称图形，关键是要抓住定义，找一条将图形分成两部分的直线，并看这两部分对折后是否重合．
【详解】解：由定义可知，选项A、C、D都是轴对称图形，故将其排除． B不是轴对称图形．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，将一张长方形纸条沿折叠，点A，B分别折叠至点，，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由折叠的性质得，再由平行线的性质可求得，从而得解．
【详解】解：由折叠得：，
四边形是长方形，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
3．（2022秋·八年级单元测试）在下列说法中，正确的是（ ）
A．如果两个三角形全等，则它们一定能关于某直线成轴对称
B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C．等腰三角形是以底边高线为对称轴的轴对称图形
D．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧
【答案】B
【分析】利用轴对称的性质进行判定后即可得到正确的答案．
【详解】解：A、全等的三角形不一定对称，故A错误，不合题意；
B、关于某条直线对称的两个三角形一定全等，故B正确，符合题意；
C、等腰三角形是以底边的高线所在的直线为对称轴的轴对称图形，故C错误，不合题意；
D、若两个图形关于某条直线对称，则它们的对应点不一定位于对称轴的两侧，故D错误，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的概念和全等三角形的性质，在解题时要注意灵活应用全等三角形的性质和定义是本题的关键．
4．（2023春·七年级单元测试）如图，从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是______．
【答案】2
【分析】根据轴对称图形的定义求解即可．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：由轴对称图形的定义可得，
应该拿走的小正方形的标号是2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
5．（2023春·广东深圳·七年级统考期中）如图，将一条长方形纸条进行两次折叠，折痕分别为．若，，则的度数为________．

【答案】/50度
【分析】由折叠的性质可得，从而求得，再根据平行线的性质定理求出，最后再根据平行线性质定理求出．
【详解】解：如图，由折叠的性质，可得，

∵纸带对边互相平行
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
6．（2023春·七年级单元测试）如图，点P为内一点，分别作出P点关于的对称点，连接交于M，交于N，若线段长为，则的周长为________．
【答案】12
【分析】根据轴对称的性质可得，，然后求出的周长．
【详解】解：∵P点关于的对称点，
的周长为： cm
故答案为：12．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任一点到两个对应点之间的距离相等．
7．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，是正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在从剩余的13个白色小正方形中选出一个涂成黑色，使涂成黑色的四个小正方形所构成的图形是轴对称图形，请你用4种不同的方法在备用图中涂出．
【答案】见解析
【分析】根据轴对称图形的定义：把一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合，画图即可．
【详解】解：如图所示，
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称的性质：沿着一直线折叠后重合．
【知不足】
1．（2023·山东济南·统考三模）在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）下列图案中是轴对称图形的有（ ）

A． 个B． 个C． 个D． 个
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念逐一分析即可．
【详解】解：第1个图形与第4个图形能确定这样的直线，使图形沿这条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形，第2个，第3个图形不是轴对称图形，
故选B
【点睛】本题考查的是轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的概念是解本题的关键，一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形是轴对称图形．
3．（2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，将长方形沿折叠，使点A落在边上的点E处，点B落在点F处，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据折叠求出，，根据，求出，得出，求出即可．
【详解】解：根据折叠可知，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，求出．
4．（2022春·九年级单元测试）如图，在中，，，，，平分交于点，、分别是，上的动点，则的最小值为（ ）

A．B．5C．3D．
【答案】D
【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则的最小值即为点到的垂线段长度．
【详解】解：在上取一点，使，如图，

，，
，
，
，
则最小值是垂直时，的长度，
∵，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是根据角平分线构造全等以及线段和差极值问题．
5．（2022春·七年级单元测试）粗圆体的汉字“口，品，土”等多是轴对称图形．请再写出至少三个以上这样的汉字________．
【答案】十，中，日（答案不唯一）
【分析】根据轴对称的定义写出三个即可．
【详解】解：根据轴对称的定义，
轴对称图形的汉字：十，中，日．
故答案为：十，中，日（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
6．（2023·湖北十堰·统考二模）如图，将矩形纸条折叠，B点的对应点为，折痕为，再次折叠，C点的对应点落在上处，折痕为，则两条折痕的夹角的度数为_________．

【答案】/90度
【分析】根据折叠的性质得到，再根据平角的定义得到，即可得到的度数．
【详解】解：∵矩形纸片的一角折叠，顶点B落在处，另一角折叠，顶点C落在上的点处，
∴，
而，
∴，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了平角的定义．
7．（2022秋·吉林松原·八年级校联考阶段练习）如图，直线是正五边形的一条对称轴，连接，则的度数是______．
【答案】/度
【分析】根据正五边形的性质解答．
【详解】解：多边形是正五边形，
，
，
根据对称的性质，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟悉轴对称的性质和五边形的性质是解题的关键．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，现有一张长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点，点的对应点为点．若，则的度数为________．
【答案】/124度
【分析】根据题意可知，根据平行线的性质可得，，进而得出，由折叠，得，，进而可得出答案．
【详解】由题意，得，
，，
，
由折叠，得，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
9．（2023春·七年级单元测试）如图，P在内，点M，N分别是点P关于的对称点，分别交于E，F．
(1)若的周长是，求的长；
(2)若，试求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由轴对称的性质可得，由三角形周长公式得到，则，即；
（2）根据轴对称的性质得到，进一步推出．
【详解】（1）解：∵点M，N分别是点P关于的对称点，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴，即；
（2）解：如图所示，连接，
∵点M，N分别是点P关于的对称点，
∴，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质，正确得到，是解题的关键．
【一览众山小】
1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫并积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A． 有症状早就医B． 防控疫情我们在一起C． 打喷喷摄口鼻D． 勤洗手勤通风
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此作答即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．
2．（2023·福建泉州·统考二模）《国语•楚语》记载：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图，将长方形纸片沿翻折，点C，D的对应点分别是点G，H，若，则的大小是___________．

【答案】/80度
【分析】根据平行线的性质可得，，则．
【详解】解：长方形中，，
，，
，
由轴对称的性质得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质、轴对称的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；折叠前后对应角相等．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）在线段、角、圆、长方形、梯形、三角形、等腰三角形中，不是轴对称图形的有______个．
【答案】2
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此作答．
【详解】解：线段的垂直平分线所在的直线是对称轴，是轴对称图形，不符合题意；
角的平分线所在直线就是对称轴，是轴对称图形，不符合题意；
圆有无数条对称轴，是轴对称图形，不符合题意；
长方形有二条对称轴，是轴对称图形，不符合题意；
梯形不一定是轴对称图形，符合题意；
三角形不一定是轴对称图形，符合题意；
等边三角形三条中线所在的直线是对称轴，是轴对称图形，不符合题意；
∴不是轴对称图形的有2个，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，图象沿某一直线折叠后可以重合．
5．（2023春·广东佛山·七年级佛山市第十四中学校考期中）如图，和关于直线对称，已知，，．求的度数及、的长度．

【答案】，、
【分析】根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等即可得出答案．
【详解】解：和关于直线对称，
，，，
又，，．
，，，
【点睛】本题考查轴对称的性质，两个图象关于某直线对称，对应边相等，对应角相等．
6．（2023秋·八年级课时练习）如图，点为内一点，分别作出点关于，的对称点，，连接，交于点，交于点，则的周长等于图中哪一条线段的长？说明理由．

【答案】的周长等于的长，见解析
【分析】根据轴对称的性质可得，，，然后求出的周长．
【详解】解：的周长等于的长.理由：
由对称性可知，，，
所以的周长.
【点睛】本题考查了轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．
7．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为．

(1)如果，，试求的周长；
(2)如果，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据轴对称的性质得出，就有的周长而求出结论；
（2）设，则，由可以求出，由直角三角形的性质就可以求出结论．
【详解】（1）解：由折叠的性质可得： ，．
∵的周长，
∴的周长．
∵，，
∴的周长；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，三角形的周长公式的运用，直角三角形的性质的运用，解答时根据轴对称的性质求解是关键．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形（阴影部分）为轴对称图形．
【答案】答案见解析
【分析】根据轴对称的概念作答，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：所补画的图形如下所示：

【点睛】本题考查了轴对称，解题的关键是掌握轴对称的概念和性质．
9．（2021秋·陕西商洛·八年级统考期末）如图，点A是将军和马居住的营帐，点B是一块儿指定的草地，一条小河L潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，P点在何处时，将军和马儿走过的路的值最小．
(1)请在图中画出最短路径，标出点P的位置；
(2)证明这时最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作点A关于L的对称点，连接交L于点P，P点即为所求；
（2）在L上另取一点，连接、，在中，当点与点P重合时，有：，即：，即问题得证．
【详解】（1）如图，作点A关于L的对称点，连接交L于点P，
P点即为所求．
（2）在L上另取一点，
连接、，在中，
当点与点P重合时，有：，
即：，
∴当位于点P时，最小．
【点睛】本题属于一类将军饮马的问题，掌握P点的作图方法是解答本题的关键．
10．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，其中.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)在图1中，先画边上的中线；再画的平分线；
(2)在图2中，先画于点F；M是边上一点，再画点M关于直线的对称点N．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图可知竖直有个格，取上A点上方两个格的点D，连接；先作的角平分线，点Q是三角形三条角平分线的交点，过Q作射线交于点E；
（2）连接，交于点F；作A关于的对称点，过M作交B于点M．
【详解】（1）如图，即为所作；
（2）如图，和点M即为所作．
【点睛】本题考查三角形的高线、中线、角平分线和轴对称，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
11．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图1，已知点A，B，C，D．按要求画图：
①连接；
②画射线；
③反向延长交直线于点M；
④画点P，使得的值最小，这样画图的依据是___________．
（2）如图2，将长方形纸片沿折叠，使得点A和点D分别落到点E和点F处．已知，直接写出的大小．
【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；④见解析；两点之间线段最短；（2）
【分析】（1）根据题意画图即可得出线段，射线，连接、，则与的交点即为点P；
（2）先根据，得出，再根据折叠性质得出，即可得出答案．
【详解】解：（1）①如图，为所求作的线段；
②如图，为所求作的射线；
③如图，反向延长交直线于点M；
④如图，连接、，交于一点P，则点P为所求作的点；这样画图的依据是两点之间线段最短；
故答案为：两点之间线段最短．
（2）∵，
∴，
根据折叠可知，，
∴．
【点睛】本题主要考查了画线段、射线、直线，两点之间线段最短，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，线段、射线和直线的定义．
12．（2023秋·八年级课时练习）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹.

(1)如图①，四边形中，，，，画出四边形的对称轴；
(2)如图②，四边形中，，，画出边的垂直平分线.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质，对称线交点在对称轴上，结合，，，找到交点即可得到答案；
（2）根据轴对称的性质，对称线交点在对称轴上，结合，，，找到交点即可得到答案；
【详解】（1）解：由轴对称的性质可得，
∵，，，
∴与，与，关于对称轴对称，
连接即可得到对称轴，如图所示，

（2）解：由轴对称的性质可得，
∵，，
∴与关于对称轴对称，
连接交于一点，相交于一点，连接两点得到直线即为对称轴，如图所示；
【点睛】本题考查作对称轴及轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握：对称线交点在对称轴上．
13．（2022秋·八年级单元测试）如图1，点A、B两点在直线的同侧，点与A关于直线对称，连接交于点，设．

(1)求；
(2)若点是直线上异于点的任意一点．求证：；
(3)如图2，在上求作一点，使最小．作法：

【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用轴对称性质得到边长关系即可求出；
（2）利用轴对称换边，再使用三角形三边大小关系证明即可；
（3）利用最短路径写出作法即可．
【详解】（1）点与A关于直线对称，
，
，
，
；
（2）连接，

点与A关于直线对称，
，，
，，
中，
；
（3）作点A关于直线对称点，连接交直线于点，如下图所示．

【点睛】本题考查最短路径的画法和证明，轴对称的性质为对称轴上的点到关于对称轴对称的两个对应点的距离相等．求解在直线上找一点使该点到直线同侧的两点的距离和最小，作法为作其中一点关于直线的对称点，连接另一点与直线的交点．
14．（2023·全国·八年级假期作业）已知是一张三角形的纸片．
(1)如图①，沿折叠，使点落在边上点的位置，与的之间存在怎样的数量关系？为什么？
(2)如图②所示，沿折叠，使点落在四边形的内部点的位置，、与之间存在怎样的数量关系？为什么？
(3)如图③，沿折叠，使点落在四边形的外部点的位置，、与之间存在怎样的数量关系？为什么？
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据翻折的性质，可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，解答即可；
（2）根据翻折的性质和平角的定义，用、表示出和，再根据三角形的内角和定理，列式整理，即可得解；
（3）根据翻折的性质，可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式整理，即可得解．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵点沿折叠落在点的位置，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴；
（2）解：，理由见如下：
∵点沿折叠落在点的位置，
∴，，
∴，，
在中，，
∴，
整理得：；
（3）解：，理由如下：
如图，

∵点沿折叠落在点的位置，
∴，
∵，，
∴，
即．
【点睛】本题考查了翻折的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在理清图形中角之间的数量关系．
15．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）请你沿着图1中的虚线，用两种方法将图1划分为两个全等的图形；
（2）如图2，是的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影，请你从其余的13个白色的小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形．请用三种方法在图中补全图形，并画出它们各自的对称轴（所画的三个图形不能全等）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】(1)根据全等图形的概念，可先从面积上考虑将图形分形大小相等的两块，然后从形状上考虑，所分成的两部分必须形状相同即可，注意答案不唯一；
(2)根据轴对称图形的概念，添加部分与原来的能构成轴对称图形即可．
【详解】(1)如图：
(2)如图：
【点睛】本题考查的是全等图形和轴对称图形的应用，关键是掌握全等图形和轴对称图形的概念．