4.1 平方根-（暑假高效预习）2023-2024学年八年级数学同步导与练（苏科版）

这是一份4.1 平方根-（暑假高效预习）2023-2024学年八年级数学同步导与练（苏科版），文件包含41平方根原卷版docx、41平方根解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。

1.如图，网格边长为1，可以算出下面线段长度吗？
AB²=25
DF²=41
2.在初一的时候我们有学过无理数，我们用数轴来表示出正方形的斜边长度。
正方形的边长为1时，斜边为多少？
设斜边为a，所以a²=2，那a等于多少呢？
带着疑问，我们看下面题目：
当x²=4时，因为2²=4，（-2）²=4，所以x=±2；
当x²=100时，因为10²=100，（-10）²=100，所以x=±10；
当x²=169时，因为13²=169，（-13）²=169，所以x=±13；
因此，x²=a（a＞0）成立的数有两个，它们互为相反数。如果x²=a（a≥0），那么x叫做a的平方根，也称为二次方根。一个正数a的正的平方根，记作“ EQ \R(,a) ”，；正数a的负的平方根记作“－ EQ \R(,a) ”．这两个平方根合起来记作“± EQ \R(,a) ”，读作“正、负根号a”。
所以当a²=2时，a＝±，∵a为边长，为正数 ∴a=。
3.填写括号里面的正确数字
（ ）²＝9，（ ）²＝16，（ ）²＝ EQ \F(9,25) ；
（ ）²＝0，（ ）²＝－ EQ \F(4,9) ，（ ）²＝－4．
有什么发现？
正数有两个平方根，它们互为相反数
0只有一个平方根，它是0本身
负数没有平方根
求一个数的平方根的运算叫做开平方。
4.我们发现，一个正数的平方根有 2 个，它们互为 相反数 ，我们把正的平方根叫做这个正数的算术平方根。比如： 10 叫做100的算术平方根， 13 叫做169的算术平方根。
填写下面横线上面的内容。
（1） 叫做a的平方根，也称为 二次方根 。
（2）.一般地，正数a的正的平方根记作 ，负的平方根记作 ，
正数a的平方根记作，读作 正、负根号a 。
（3）一个正数有 2 个平方根，它们互为相反数；0的平方根 0； 负数没有平方根。
（4）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方；开平方运算与平方运算是互逆的运算.
（5） 的算术平方根为
5.填空
（1）= （2） （3）
（4） （5） （6）
因此，可以得到
a a (a≧0)= -a (a≦0)
同时具有双重非负性，即：（1）a≥0 （2）≥0
【解惑】
例1：这7个数中，无理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：，，
∴无理数有共2个，
故选B．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
例2：若，则的值等于( )
A．2B．0C．1D．
【答案】B
【分析】首先根据算术平方根的非负性，求出与的值，然后代入代数式中．
【详解】解：∵
∴，，
解得，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查算术平方根的非负性，以及有理数的乘方的计算，解题关键是熟练掌握算术平方根的非负性．
例3：实数的算术平方根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴的算术平方根是．
故选：B．
【点睛】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
例4：已知和是一个数的平方根，则这个数是_____．
【答案】16或1
【分析】由于一个正数的平方根有两个，且互为相反数，据此列出方程即可求解．
【详解】解：由题意可得：或，
解得：或，
把或，
∴这个数是16或1，
故答案为：16或1．
【点睛】本题考查了平方根的逆运算，掌握一个正数的平方根互为相反数是解题的关键，知道，还要考虑到这一情况．
例5：利用平方根求下列x的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）方程直接开平方即可求出解；
（2）方程变形后，把看作一个整体，利用平方根定义开方即可求出解．
【详解】（1）解：，
∴；
（2），
∴，
∴，
解得：或．
【点睛】此题考查了立方根，平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
【摩拳擦掌】
1．（2023春·广东肇庆·七年级肇庆市第一中学校考期中）若，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根据算术平方根的性质得出且，即可得出，进而代入得出的值．
【详解】根据题意，得且，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的性质，熟练掌握相关概念是解题关键．
2．（2023春·广东深圳·九年级统考阶段练习）在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据无理数的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、是无理数，故本选项符合题意；
B、不是无理数，故本选项不符合题意；
C、不是无理数，故本选项不符合题意；
D、不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了无理数，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
3．（2023春·福建莆田·七年级统考期中）如图，小明将一张长方形纸片沿着虚线折叠，得到两个面积分别为25和9的小正方形，则阴影部分的面积为（ ）

A．6B．8C．10D．12
【答案】A
【分析】由算术平方根的定义求出小长方形的边长可得出答案．
【详解】解：如图，

由题意可知，，
，
，
阴影部分的面积为．
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠的性质，算术平方根的运算，求出小长方形的边长是解题的关键．
4．（2023春·广东梅州·八年级统考期中）若，则_______．
【答案】
【分析】由平方根的含义可得答案.
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是利用平方根的含义解方程，熟知平方根的含义是解本题的关键.
5．（2022秋·七年级单元测试）已知的平方根是，则__，已知，则__．
【答案】 4
【分析】因为2的平方根是，那么，即可得到x的值；因为，所以，那么，即可得到x的值．
【详解】解：∵2的平方根是，
那么，
∴；
∵，
∴，
那么，
∴，
故答案为：①4，②．
【点睛】本题主要考查的是算数平方法和平方根等知识内容，注意一个正数的平方根有两个是本题解题的关键．
6．（2023春·福建龙岩·七年级统考期中）根据下表回答：的算术平方根是___________．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于a，这个正数就叫做a的平方根，即可求出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，熟知定义是解本题的关键．
7．（2023春·广东东莞·八年级校考期中）计算：__________．
【答案】6
【分析】利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
【详解】
故答案为：6．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，熟记概念是解题的关键．
8．（2023春·七年级课时练习）如图，由一个大正方形和一个小正方形再加上一个小长方形（阴影部分）拼成一个大长方形．已知大正方形的面积为9，小正方形的面积为4，求图中小长方形（阴影部分）的面积．

【答案】2
【分析】先求出正方形的边长，然后利用大长方形的面积减去两个正方形的面积．
【详解】解：由已知得图中大、小正方形的边长分别为3和2，
所以大长方形的长为，宽为3，
所以大长方形的面积为，所以图中小长方形（阴影部分）的面积为.
【点睛】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的计算方法是解题的关键．
9.（2023春·广东东莞·七年级校考期中）若．
(1)求x，y的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)的平方根为：
【分析】（1）直接利用非负数的性质得出关于x，y的方程组，进而得出答案；
（2）利用平方根的定义求出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）得：，
则的平方根为：．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，解二元一次方程组，求一个数的平方根，根据非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0，正确得出x，y的值是解题关键．
10．（2023·河北·统考二模）在数学夏令营活动中，李老师设计了一款游戏：四名同学分别代表一种运算，这四名同学可任意排列；每次排列代表一种运算顺序，一名同学负责说数，其他同学进行运算，运算结果既对又快者获胜．下面我们用四张卡片分别代表四名同学（如下），每张卡片上写有他们代表的运算．

比如，说的数是1，这四名同学从左到右的排列顺序（后面简称为排列顺序）为A、B、C、D，那么经过A、B、C、D的顺序运算后，结果分别为2，3，9，11，所以结果为11．
【体验】先列式，再计算：
(1)如果说的数是，四名同学的排列顺序为B，C，A，D，运算的结果是多少？
(2)如果说的数是，四名同学的排列顺序为D，C，A，B，运算结果是9，是多少？
(3)如果甲乙两同学说的数分别为，，按照的顺序运算后，要使乙同学的结果大，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)
【分析】（1）根据题意和图形，可以计算出经过B，C，A，D的顺序运算后的结果；
（2）根据题意，可以列出关于a的方程，利用平方根解方程从而可以求得a的值；
（3）根据题意，得到不等式，解即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，，，
解得：或；
（3）解：按的顺序运算，
甲同学的结果是，
乙同学的结果是，
由题意，得，
即．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，解一元一次不等式，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法以及解一元一次不等式的步骤．
【知不足】
1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据单项式的规律可得，系数为，字母为，指数为1开始的自然数，据此即可求解．
【详解】解：按一定规律排列的单项式：，第个单项式是，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．
2．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）下列各数中没有平方根的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据负数没有平方根，找出计算结果为负数即可．
【详解】解：A、，故有平方根，不合题意；
B、，故没有平方根，符合题意；
C、，故有平方根，不合题意；
D、，故有平方根，不合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
3．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）在中，已知的度数之比是，，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用三角形内角和定理求出，然后再利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：的度数之比是，，
，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了含度角的直角三角形，勾股定理，三角形的内角和定理等，熟练掌握含度角的直角三角形的性质是解题的关键．
4．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）若a，b满足等式，则___________．
【答案】
【分析】利用偶次方和算术平方根的非负性可得，，从而可得，，然后再利用积的乘方的逆运算，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质和积的乘方，解题关键是熟练运用非负数的性质求出，的值，准确运用积的乘方的逆运算求解．
5．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期中）若一个正数的平方根分别为和，则的值为________.
【答案】
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数得出并求解即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是平方根的性质，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决此题的关键．
6．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）若与互为相反数，则的值是_____．
【答案】9
【分析】根据非负数的性质可得关于a、b的方程组，解方程组即可求出a、b，再代值计算即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∴；
故答案为：9
【点睛】本题主要考查了非负数的性质和二元一次方程组的求解，熟练掌握非负数的性质、正确求得a、b的值是关键．
7．（2023春·广东肇庆·七年级校考期中）已知，则的值是_________．
【答案】16
【分析】根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式进行计算即可得到答案．
【详解】解：，，，
，
，
，
，
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性的应用、算术平方根的非负性的应用，熟练掌握非负数的性质：几个非负数的和为零时，这几个非负数都为零，是解题的关键．
8．（2022秋·山东威海·七年级校联考期中）（1）计算：
（2）已知，求的平方根
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先计算算术平方根、零次幂，再进行加减运算；
（2）根据非负数的性质求出x，y的值，再求的平方根．
【详解】解：（1）
；
（2），，
，，
，，
，
，
即的平方根是．
【点睛】本题考查算术平方根、平方根、零次幂、非负数的性质等，解题的关键是掌握平方根、算术平方根的区别．
9．（2023·浙江温州·校联考二模）(1)计算：；
(2)化简：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据化简绝对值，负整数指数幂，求一个数的算术平方根，以及有理数的混合运算进行计算即可求解；
（2）完全平方公式以及单项式乘以多项式进行计算即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了化简绝对值，负整数指数幂，求一个数的算术平方根，以及有理数的混合运算，完全平方公式以及单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则以及完全平方公式是解题的关键．
10．（2022春·广东江门·七年级江门市第一中学校考期中）观察下列等式.并回答下列问题：
①；
②；
③；
④；
……
(1)请写出第⑤个等式：_______；
(2)写出你猜想的第个等式：_________；（用含的式子表示）
(3)计算．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，；
（2）由前4个等式可以猜想第个等式为；
（3）可以根据规律得到结果．
【详解】（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：，
故答案为：；
（2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为，
故答案为：．
（3）解：，
【点睛】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
【一览众山小】
1．（2023春·广东湛江·七年级校考期中）若，则的值为( )
A．B．C．2D．1
【答案】D
【分析】由绝对值和算术平方根的非负性列出关于x、y的方程，求出x、y的值，再代入式中计算即可．非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
故选：D
【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握三种常见的非负数形式是解题的关键．三种常见的非负数形式：①绝对值，②平方，③算术平方根．
2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若一个三角形的a、b、c、p为四个连续正整数，则此三角形的面积为________．
【答案】6
【分析】不妨设，根据已知条件和三角形三边的关系证明，再由a、b、c、p为四个连续正整数得到，则，求出，则，由此代入公式求出面积即可．
【详解】解：不妨设，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵a、b、c、p为四个连续正整数，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的应用，求一个数的算术平方根，正确求出a、b、c、p的值是解题的关键．
3．（2023春·湖北咸宁·七年级咸宁市温泉中学校考期中）在草稿纸上计算：
①；③；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：______．
【答案】5050
【分析】先分别求出①②③④的结果，根据发现的规律并用规律进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
………
∴．
故答案为：5050．
【点睛】本题属于与算术平方根有关的规律探索题，主要考查了学生的计算、分析、总结归纳的能力，解题关键是从题中数据的特点找到规律，并利用规律解题．
4．（2023春·广东肇庆·七年级校考期中）已知，则的算术平方根是 _____．
【答案】4
【分析】由非负数的性质得出a和b的值，代入再求算术平方根即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
则，
∴的算术平方根是4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质和算术平方根，正确求出a和b的值是解答本题的关键．
5．（2023春·广东广州·七年级校联考期中）已知，求的值．
【答案】或
【分析】根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：由等式的性质可得，，
由平方根的定义可得，，
即或，
【点睛】本题考查平方根以及等式的性质，掌握平方根的定义以及等式的性质正确解答的前提．
6．（2023春·广东珠海·七年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
(1)分析发现：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 倍；
(2)若一块长方形纸片的面积是400cm2，长与宽之比为2：1，求这块长方形纸片的长与宽（精确到，，．
【答案】(1)
(2)这块长方形纸片的长为，宽为
【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致；
（2）设这块长方形的纸片的宽为，则长为，根据题意列出方程，进而根据（1）的结论，即可求解．
【详解】（1）被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍；
故答案为：．
（2）设这块长方形的纸片的宽为，则长为，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，，
答：这块长方形纸片的长为，宽为．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．
7．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）已知，，且，求的值．
【答案】4或8
【分析】根据题意求出符合条件的未知数的值，然后代入代数式求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，，
当，时，；
当，时，；
∴代数式的值为4或8．
【点睛】本题主要考查绝对值的意义、平方根及代数式的值，熟练掌握绝对值的意义、平方根及代数式的值是解题的关键．
8．（2023春·广东东莞·七年级校考阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是4，
(1)求，的值．
(2)求的平方根．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据平方根和算术平方根得出，，解之即可；
（2）将、的值代入求得其结果，再由平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：根据题意知：，，
解得，；
（2）∵，，
∴，
则的平方根为．
【点睛】本题主要考查平方根、算术平方根，解题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义和求法．
9．（2023春·广东东莞·七年级校考阶段练习）求x的值
【答案】．
【分析】先移项，然后根据平方根的定义解方程即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了根据平方根的定义解方程，正确计算是解题的关键．
10．（2022春·广东肇庆·八年级期中）已知a、b、c满足．
(1)求a、b、c的值；
(2)以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)能构成三角形，此三角形是直角三角形，三角形的面积为
【分析】（1）直接根据非负数的性质求出，，的值即可；
（2）根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】（1）解：、、满足，
，，，
，，；
（2）能，理由如下：
，，，
，，，
，
、、为边能构成三角形，此三角形是直角三角形，
三角形的面积．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系及勾股定理的逆定理，能根据题意判断出三角形是直角三角形是解题的关键．
11．（2023春·全国·七年级专题练习）已知正实数x的平方根分别为a和
(1)若，则的值为_________，x的值为__________；
(2)当时，求a；
(3)若，求x的值．
【答案】(1)2，4
(2)
(3)
【分析】（1）首先根据平方根的性质得到，然后结合求出b的值，进而可求出的值和x的值；
（2）首先根据平方根的性质得到，然后结合求出a的值；
（3）首先根据平方根的概念得到，，进而得到，然后化简，代入求解即可．
【详解】（1）∵正实数x的平方根分别为a和，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2，4．
（2）∵正实数x的平方根分别为a和，
∴，
∵
∴；
（3）∵正实数x的平方根分别为a和，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴解得．
【点睛】此题考查了平方根和算术平方根的综合应用，解题的关键是熟练掌握平方根和算术平方根的定义 及其应用．
12．（2023春·广东东莞·七年级校考期中）先观察下列各式：；；；；
(1)计算： ；
(2)n为正整数，观察并归纳，请写出： ；
(3)应用上述结论，请计算：的值．
【答案】(1)6
(2)n
(3)12
【分析】（1）按照题干给出的式子的规律继续写下去可得；
（2）总结规律，可以发现被开方数是奇数之和为，开方即可；
（3）先把被开方数提取公因数4，再将括号内的按规律求和解答即可．
【详解】（1）．
故答案为：6．
（2）．
故答案为：n．
（3）
．
【点睛】本题主要考查了奇数求和，算术平方根，认真读题，寻找规律，掌握奇数求和的方法和算术平方根的定义是解答的关键．
13．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果：

(1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为
如图2，当时，拼成的大正方形的边长为
如图3，当时，拼成的大正方形的边长为
(2)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由．
(3)小周想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)；；
(2)能，见解析
(3)不能，见解析
【分析】（1）①先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；②先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；③先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；
（2）假设可行，设长方形的长宽分别为和，则根据面积可求得的值，发现的值比正方形的边长小，故可能；
（3）假设可行，设长方形的长宽分别为和，则根据面积可求得的值，，发现加边框后的长至少要，比正方形的边长大，故不可能．
【详解】（1）解：当时，则正方形的面积为，边长为；
当时，则正方形的面积为，边长为；
当时，则正方形的面积为，边长为．
（2）能裁出这样的长方形，理由如下：
设长方形的长为，则宽为
∴
解得：
∴
∴能裁出这样的长方形．
（3）不能裁出这样的长方形，理由如下：
设长方形的长为，则宽为
∴
解得：
∴
又∵要求长方形的四周至少留出的边框
因此加边框后的长至少要
∵
∴不能裁出这样的长方形．
【点睛】本题考查图形的探究，利用长宽比设未知数是解题的技巧，根据题意列方程是解题的关键．
x
16
256
…
…
…
…