2.4 线段、角的对称性（一~二）-（暑假高效预习）2023-2024学年八年级数学同步导与练（苏科版）

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1.如图，直线PQ是线段AB的垂直平分线，PQ与AB交于点O，
把OA沿直线PQ翻折，可得OA与OB重合。
几何语言：∵直线PQ是线段AB的垂直平分线
∴∠1=∠2=90°，OA=OB
因此，线段是轴对称图形；
它得对称轴是线段的垂直平分线和它本身所在得直线。
2.如图，线段AB的垂直平分线l交AB于点O，点P是l上任意一点，PA与PB相等吗？为什么？通过证明，你发现了什么？用语言描述你得到的结论．科网ZXXK]
PA=PB
证：∵直线l是线段AB的垂直平分线
∴∠1=∠2=90°，OA=OB
在▲PAO与▲PBO中
∴▲PAO≌▲PBO（SAS）
∴PA=PB
因此线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
几何语言：∵直线l是线段AB的垂直平分线，点P是l上一点
∴PA=PB（证明定理：SAS）
3.如图，若点Q是线段AB外任意一点，且QA＝QB，
那么点Q在线段AB的垂直平分线上吗？为什么？
在。过点Q作AB的垂线交AB与点M，可得∠QMA=∠QMB=90°
证：在Rt▲AQM和Rt▲BQM中，∠QMA=∠QMB=90°，
∴Rt▲AQM≌Rt▲BQM（HL）∴AM=BM∴点Q在线段AB的垂直平分线上。
因此线段垂直平分线的判定定理是到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
几何语言：∵QA=QB∴点Q在线段AB的垂直平分线上
4.如图：已知AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD。
证明：∵AC=AD，BC=BD
∴点A、B是线段CD垂直平分线上的点
∴AB垂直平分CD
5.你用尺规画出任一条线段的垂直平分线吗？
作法：
1.分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D。
2.过C、D两点作直线。
直线CD就是线段AB的垂直平分线。
6.在直线AB外任取一点C，用该方法作出线段BC、AC的垂直平分线，你会发现什么？
三角形三边的垂直平分线交于一点.这一点到三角形三个顶点的距离相等
【解惑】
例1：如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，的周长是，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式即可得．
【详解】解：是线段的垂直平分线，
，
，
，
的周长是，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
例2：如图，是的角平分线，、分别是和的高，求证：垂直平分．
【答案】见解析
【分析】利用角平分线的性质证得，再由全等证得，即可证得垂直平分．
【详解】证明：设、的交点为K，
平分，，，
，，
在和中，
，
（HL），
，
是线段的垂直平分线．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等的性质和判定，垂直平分线的判定，解决本题的关键是熟练掌握相关的几何定理．
例3：如图：在中，点是的中点，点，分别在，边上，且．

(1)猜想： （填上“”、“”或“”）；
(2)证明你的猜想．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据图形直接作答即可；
（2）如图，延长至，使，连接，．证明，推出，得出垂直平分，可得，然后根据三角形的三边关系和线段间的代换即可证得结论．
【详解】（1）猜想：；
故答案为：；
（2）证明：如图，延长至，使，连接，．
点是的中点，
．
在和中，
．
．
，
∴垂直平分，
．
，，组成了一个三角形，
，
又，，
．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系以及线段垂直平分线的性质，正确添加辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
例4：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答．
【详解】解：到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，
到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的判定定理，掌握到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上是解题的关键．
例5：已知：两条相交公路与形成的区域内部有两个居民小区，可近似的看作点D与点E．为了给居民提供便利，社区要在内部区域内选择一处地址修建快递柜，使选址点P到两个居民区和两条公路距离均相等．请用尺规作图法作出点P的位图，不写作法，但要保留作图痕迹．
【答案】见解析
【分析】分别作出线段的垂直平分线，的角平分线即可．
【详解】解：如图，点即为所求．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【摩拳擦掌】
1．（2023春·广东河源·八年级校联考期中）到三角形各顶点距离相等的点是三角形三条（ ）
A．中线的交点B．三边垂直平分线的交点C．角平分线的交点D．高线的交点
【答案】B
【分析】根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，即可得出结论．
【详解】解：∵到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，
∴到三角形各顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点；
故选B．
【点睛】本题考查中垂线的判定．熟练掌握到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，是解题的关键．
2．（2023·河北保定·校考模拟预测）如图，在中，，点D为上一点．甲、乙两人按图中的作法，都得到了全等．下列判断错误的是（ ）

甲通过作的垂直平分线得到点P、Q
乙通过过点D作的平行线得到点P、Q
甲证明全等的依据是
乙证明全等的依据是
【答案】D
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，，则根据“”可判断，根据平行线的性质得到，，在根据“”得到．
【详解】解：由图可知，甲通过作的垂直平分线得到点P、Q，则，，
又∵，
∴．
故A、C正确；
由图可知，乙通过过点D作的平行线得到点P、Q，
∵，，
∴，，
又∵
∴．
故B正确，D错误．
故答案选 D．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、平行线的性质、全等三角形的判定等知识，其中掌握基本的作图方法，并能理解作图所使用的原理是解决本题的关键．
3.（2022秋·广东河源·八年级校考期末）如图，是中边上的垂直平分线，如果，，则的周长为（ ）
A．16cmB．18cmC．26cmD．28cm
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，得到，从而得到的周长等于．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∵的周长等于，，，
∴的周长等于cm，
故选：B．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
4．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考开学考试）如图，中，是的垂直平分线，cm，的周长为13cm，的周长为______cm．

【答案】19
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得cm，，然后根据三角形的周长公式结合线段的代换求解即可．
【详解】解：∵是的垂直平分线，cm，
∴cm，，
∵的周长为13cm，
∴cm，
∴的周长为cm；
故答案为：19．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，属于常考题型，熟知线段垂直平分线上的点到一条线段两个端点的距离相等是解题的关键．
5．（2021春·广东清远·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，，，则的周长为______．

【答案】
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长为．
【详解】∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
6．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，线段CD与线段BE互相垂直平分，，，则______．
【答案】72°
【分析】利用线段互相垂直平分，结合余角定义，对该题进行求解即可．
【详解】解：∵线段CD与线段BE互相垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：，
∵线段CD与线段BE互相垂直平分，
∴AC=AD，
∴，
∴．
故答案为：72°．
【点睛】本题主要考查的是线段垂直平分线的应用，以及简单的角度计算，掌握基本性质是解题的关键．
7．（2023春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）如图，已知甲工厂靠近公路a，乙工厂靠近公路b，为了发展经济，甲、乙两工厂准备合建一个仓库，经协商，仓库必须满足以下两个要求：
①到两工厂的距离相等；
②在内，且到两条公路的距离相等．
你能帮忙确定仓库的位置吗？（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】连接，作线段的垂直平分线，作角的平分线，则与的交点F就是仓库的位置．
【详解】解：如图，点F为仓库的位置．
【点睛】本题主要考查了尺规作线段的垂直平分线和角平分线，线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握尺规作线段垂直平分线和角平分线的一般步骤．
8．（2023·广东汕头·校联考一模）如图，在中，．

(1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点P，交于点Q．（要求：先用铅笔作图，再用黑色笔把它涂黑，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接，，，求的周长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）按照作线段垂直平分线的作法进行即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得，则的周长为，即可求得结果．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求作．

（2）解：垂直平分线段，
，
的周长为，
，，
的周长为．
【点睛】本题考查了作图：作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质定理，掌握这些知识是关键．
9．（2023秋·广西河池·八年级统考期末）如图，在中，边，的垂直平分线交于点．
(1)求证：；
(2)求证：点在线段的垂直平分线上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的性质直接可得到答案；
（2）根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵边、的垂直平分线交于点，
∴，，
∴；
（2）证明：∵边，的垂直平分线交于点，
∴，，
∴，
点在的垂直平分线上．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【知不足】
1．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，，有下列结论：①平分；②平分；③平分；④平分．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．只有①
【答案】B
【分析】先证明得到，，，即可判断①②③；根据现有条件无法证明④．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，，，
∴平分，平分，故①正确，②正确；
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴平分，故③正确；
根据现有条件无法证明，即无法证明平分，故④错误；
故选B．
【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等几何知识，熟知全等三角形的性质与判定定理，线段的垂直平分线的判定定理是解题的关键．
2．（2021秋·广东汕尾·八年级统考期中）如图，在中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，现有以下结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（ ）

A．2个B．3个C．4个D．1个
【答案】B
【分析】①由角平分线的性质即可证明；②由题意可知，可得，，从而可以证明；③假设平分，则，可推出，条件不足，故错误；④连接，证明，，得出，，即可证明．
【详解】如图所示，连接，

∵平分，，，
∴．
故①正确；
∵，平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
同理，
∴．
故②正确；
∵，
∴．
假设平分，则，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵的度数是未知的，
∴不能判定平分．
故③错误；
∵是的垂直平分线，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∴．
故④正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
3．（2023春·全国·八年级期中）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，已知AC=10cm，BC=7cm，则△BCD的周长是________cm．
【答案】17
【分析】根据DE垂直平分线AB，得，进而求△BCD的周长；
【详解】解：∵DE垂直平分线AB，
∴，
∵AC=10cm，BC=7cm，
∴△BCD的周长为：cm；
故答案为：17．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4．（2022秋·江苏徐州·八年级统考期中）如图，在 中，，若，过点A作 于点D，在上取一点，使，则 ＝______．
【答案】/20度
【分析】根据直角三角形的性质可求，根据垂直平分线的性质可求 ，再根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：在中， ， ，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质和判定，关键在于利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和计算未知角．
5．（2023春·浙江台州·九年级台州市书生中学校考期中）如图中，，请依据尺规作图的作图痕迹计算_____．
【答案】/83度
【分析】先根据三角形内角和定理求出，由作法可知，是的平分线，得到，由作法可知，是的平分线，得到，再由三角形外角定理即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴．
由作法可知，是的平分线，
∴，
由作法可知， 是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
6．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，有三幢公寓楼分别建在点A、点B、点C处，是连接三幢公寓楼的三条道路，要修建一超市P，按照设计要求，超市要在的内部，且到A、C的距离必须相等，到两条道路的距离也必须相等，请利用尺规作图确定超市P的位置．（不要求写出作法、证明，但要保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【分析】作线段的垂直平分线和的角平分线，则其交点即为点P．
【详解】解：如图，P点即为所作．
【点睛】本题考查作图—线段的垂直平分线，作图—角平分线．掌握基本作图方法是解题关键．
7．（2023·贵州遵义·统考三模）如图，已知，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．

(1)如图1，在边上确定一点，使得；
(2)如图2，在正方形中，点为边上一点，在边上作出一点，使得的周长为线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作的垂直平分线交于点，则点即为所求；
（2）以为圆心，为半径作出交于点，作的垂直平分线，交于点，则即为所求
【详解】（1）如图所示，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；

∵，
∴；
（2）：如图所示，以为圆心，为半径作出交于点，作的垂直平分线，交于点，则即为所求

以为圆心，为半径作出交于点，
∴，
作的垂直平分线，交于点，则即为所求
∴
∴的周长为
【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
8．（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程．
(1)求证：
证明：延长到点E，使
在和中
∵（已作）
（对顶角相等）
____________（中点定义）
∴（____________）
(2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是____________；
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
(3)【问题解决】如下图，中，，，是的边上的中线，，，且，求的长．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解；
（3）由“”可证，则，可求，根据线段垂直平分线的性质可得的长．
【详解】（1）证明：延长到点E，使
在和中，
∵（已作），
（对顶角相等），
（中点定义），
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：如图3，延长交于点F，
∵，
∴，
∴，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴．
【点睛】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题．
【一览众山小】
1．（2023春·广东茂名·八年级统考期中）如图，等腰的底边的长为6，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为（ ）

A．6B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】连接，，先求出，是线段的垂直平分线，求出，的长为的最小值，即可求出周长最小值．
【详解】如图，连接，．
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，
∴，解得．
∵是线段的垂直平分线，
∴点A关于直线的对称点为点C，，
∴，
∴的长为的最小值，
∴的周长．

故选：C．
【点睛】此题考查了将军饮马问题，解题的关键是做辅助线确定．
2．（2023春·八年级课时练习）如图，在中，D为中点，作交于E，交于F，连接，，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】延长到M，使，连接，利用证明，得到，再根据三线合一的逆定理得出，最后根据三角形三边关系即可得解．
【详解】解：延长到M，使，连接，
∵D为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线并根据SAS证明是解题的关键．
3．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）在中，，，点到的距离是，到的距离是，则等于__________
【答案】2或10
【分析】根据可判断点都在的垂直平分线上，然后分两种情况讨论：①当点在的内部时，②当点O在的外部时，分别计算即可．
【详解】解：∵，
∴点都在的垂直平分线上，
由题意知，分两种情况：
①当点在的内部时，；
②当点O在的外部时，；
故答案为：2或10．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的基本性质．解本题的关键在于分类讨论．
4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，点为的平分线上一点，过任作一直线分别与的两边交于，两点，为中点，过作的垂线交于点，，则____ ．
【答案】．
【分析】过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据线段垂直平分线性质求出BD＝CD，证Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB＝∠CDF，推出∠BDC＝∠EDF＝50°，由四边形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：如图：
过作于，于，
则，
平分，
，
为中点，，
，
在和中，，
，
，
．
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确作出辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．
5．（2023春·七年级单元测试）如图所示，是的角平分线，分别是和的高，则与的关系为_________．
【答案】AD垂直平分EF
【分析】利用角平分线的性质证得，再证得，最后根据垂直平分线的判定定理可得垂直平分．
【详解】证明：设、的交点为K，
平分，，，
，，
在和中，
，
，
，
AD垂直平分EF．
故答案为AD垂直平分EF．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、垂直平分线的判定等知识点，掌握到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解答本题的关键．
6．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，已知，P为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点E，使得的周长等于（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】连接，作的垂直平分线，交于点E即可．
【详解】
如图所示，点E即为所求作的点．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，解题的关键是利用垂直平分线的性质，用尺规作出的垂直平分线．
7．（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，两公路与相交于点O，两公路内侧有两工厂C和D，现要修建一货站使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】只要作出的角平分线和线段的垂直平分线，两线的交点即为所求．
【详解】解：如图所示：

点P即为所求．
【点睛】本题考查了尺规作角平分线和线段的垂直平分线以及两者的性质，正确理解题意、熟练掌握基本作图方法是关键．
8．（2023秋·八年级单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，与相交于点，的周长为．请你解答下列问题：
(1)求的长；
(2)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)点在边的垂直平分线上，理由见解析
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论；
（2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论．
【详解】（1）垂直平分，
，
同理，
；
（2）点在边的垂直平分线上，
理由：连接，，，
与是，的垂直平分线，
，，
，
点在边的垂直平分线上．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
9．（2022秋·河北秦皇岛·八年级校联考阶段练习）如图，平分的外角，于点D，于点E，．
(1)求证：点P在线段的垂直平分线上；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图，连接，，，再证明（SAS），可得，从而可得结论；
（2）证明，可得，结合，利用，从而可得结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵平分，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴点P在线段的垂直平分线上．
（2）证明：∵平分，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，作出合适的辅助线证明三角形全等是解本题的关键．
10．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点F.
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若四边形的面积为32，，求点E到边的距离.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)4
【分析】(1)首先根据可知，再根据点为的中点，可证得，根据全等三角形的性质即可得证；
(2)结合全等三角形的性质可知是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可证得，再由线段的和差以及等量代换即可得证；
(3)首先根据全等三角形的性质及线段垂直平分线的性质，可得，，，再根据，即可求得，据此即可求得．
【详解】（1）证明：，
，
又点为的中点，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，，
又，
是线段的垂直平分线，
，即；
（3）解：，
，
是线段的垂直平分线
，，
，
即，
设点E到边的距离为h，
则，
解得，即点E到边的距离为4．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，关键是证明三角形全等．
11．（2023春·山东济南·八年级校考期中）如图，，点为的中点，平分，过点作，垂足为，连结、．
(1)求证：是的平分线．
(2)求证：线段垂直平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先利用证出，得到，再利用证出，得到，即可证明结论；
（2）由（1）知，得到，，再利用证出，得到，，即可证明结论．
【详解】（1）∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（2）如图，由（1）知，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴线段垂直平分．
【点睛】本题考查了全等三角形的综合，熟练掌握角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定是解题的关键．
12．（2022春·七年级单元测试）如图，在中，点D在边上，，垂足分别为E，F．
(1)如图①请你添加一个条件，使，你添加的条件是______，并证明；
(2)如图②，为的平分线，当有一点G从点D向点A运动时，，垂足分别为E，F，这时，是否垂直于？
(3)如图③，为的平分线，当点G在线段的延长线上运动时，其他条件不变，这时，是否垂直于？
【答案】(1)答案不唯一，如平分，证明见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（1）添加平分，依据证明，可得即可得垂直于，从而可得结论；
（2）（3）方法同（1）证明即可得出结论．
【详解】（1）解：答案不唯一，如平分，
证明如下：
∵平分，
∴，
∵
∴
又，
∴，
∴
∴垂直于，即；
（2），理由如下：
∵平分，
∴，
∵
∴
又，
∴，
∴
∴垂直于，即；
（3），理由如下：
∵平分，
∴，
∵
∴
又，
∴，
∴
∴垂直于，即．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判断，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
13．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，过作于点，，交的延长线于点．求证：．

【答案】见解析
【分析】连接，．由角平分线的性质可知，由垂直平分线的性质可知，利用证明，即可证得．
【详解】证明：如图，连接，．

平分，，，
．
垂直平分，
，
，
．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂直平分线的性质定理及全等三角形的判定及性质，掌握相关性质及定理是解决问题的关键．
14．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，已知在中，点D在边上，且．请用尺规作图法，在上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法）

【答案】作图见解析
【分析】作的垂直平分线交于P点，根据线段垂直平分线的性质得到．
【详解】解：如图，点P为所作．

【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
15．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长至点，使，连接，容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图2，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长．
（3）【拓展提升】如图3，在中，为的中点，分别交，于点，．求证：．
【答案】见解析
【分析】（1）先判断出，得出，最后用三角形的三边关系计算；
（2）延长到，使，连接，证明，根据全等三角形的性质解答；
（3）延长到点，使，连接、、，先证明，得，根据三角形的三边关系得，则，由垂直平分得，所以．
【详解】解：（1）延长至点，使，连接，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
（2）延长到，使，连接，如图2，
是中线，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即；
（3）证明：如图3，延长到点，使，连接、，
是边上的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
垂直平分，
，
．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查三角形的中线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段的垂直平分线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．