3.1 勾股定理-（暑假高效预习）2023-2024学年八年级数学同步导与练（苏科版）

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1.如图，若将每个小正方形的面积看作1，以B′C′为边的正方形的面积是9，以A′C′为边的正方形的面积是16，那以A′B′的面积为多少呢？
25
2.如图一，使用的方法是？如图二，使用的方法是？
图一的方法是拼补法；图二是分割法。
图二
图一
图一
3.上图求完后，可以发现三个正方形的面积关系是？
两个小正方形的面积相加=大正方形的面积
而由于正方形的面积公式为边长²，所以可以得出B′C′²+A′C′²=A′B′²。
因此，直角三角形的斜边、直角边有如下关系：
直角三角形两个直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，这个定理称为勾股定理。也称为毕达哥拉斯定理。在古代我们把较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。因此有了勾三股四弦五的结论。
几何语言：∵∠C=90°∴a²+b²=c²
注：在使用勾股定理的时候，可以灵活运用公式，，，
4.勾股定理的证明
图一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
证明： ，所以．
证明名称：邹元治证明
图二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
证明： ，所以．

证明名称：赵爽弦图
图三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．

证明： ，所以．
证明名称：1876年美国总统伽菲尔德证明
图四：如图（4）所示
证明：证▲ACI≌▲ADB，由同底等高可以得出
，由，得出
同理可得，，所以AB²+BC²=AC²
证明名称：欧几里得证明
（4）
【解惑】
例1：在中，，，的对边分别是，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理解答即可．
【详解】解：，，的对边分别是，，，，
为斜边，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
例2：如图，是一张直角三角形的纸片，，，，将沿折叠，使点点重合，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由折叠可知，在中根据勾股定理求出，设，则，在中，由勾股定理可得，即，解出，即为的长．
【详解】解：由折叠可知，
∵在中，，，
∴，
设：，则，
∵在中，，
∴，
解得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠图形的性质和勾股定理，熟练应用勾股定理解直角三角形是解答本题的关键．
例3：若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是（ ）
A．30B．60C．D．40
【答案】A
【分析】设另一直角边为x，根据勾股定理求出x的值，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：设另一直角边为x，
∵斜边的长为13，一条直角边长为5，
∴，
∴．
故选A
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
例4：“赵爽弦图”巧妙地利用而积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为．较短直角边长为，若，，则小正方形的面积是______________．
【答案】1
【分析】求出大正方形的边长，再减去4个三角形的面积即可．
【详解】解：由勾股定理可知大正方形的边长，
大正方形的面积为25，
∴小正方形的面积是，
故答案为：1．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
例5：勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：

证明：连接，过点D作边上的高，则，
∵，，
∴
∴．
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中．
求证：．
【答案】见解析
【分析】连接，过点B作边上的高，则，仿照已知材料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可．
【详解】
证明：连接，过点B作边上的高，则．
∵，
又∵，
∴，
∴，
，
，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正确理解题意、得出五边形面积的不同表示方法是解题的关键．
【摩拳擦掌】
1．（2023·贵州贵阳·校考一模）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，，为半径画弧，两弧交于一点，连接交于点，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由作图知，由勾股定理求出，再根据三角形的面积，即可求解．
【详解】解：由作图知，
∵，，，
∴由勾股定理，，
∴，
∴在中由勾股定理得．
故选：A．
【点睛】本题考查尺规作图，勾股定理，三角形的面积．掌握尺规作图-经过一点作线段的垂线，利用面积法求解是解题的关键．
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）直角三角形的两条直角边分别为和，则斜边中线长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】解：直角三角形的两条直角边分别为和，
由勾股定理，斜边，
斜边中线，
故选：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
3．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是5，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别是a、，则的值为（ ）

A．16B．9C．4D．3
【答案】B
【分析】由勾股定理得，由小正方形面积是1，得出，即可得出结果．
【详解】由题意可知：大正方形的面积=
4个直角三角形的面积之和=
所以
故选：B．
【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4.（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，在中，，斜边的垂直平分线l交于点D，连接．若，则的周长为（ ）

A．18B．17C．D．11
【答案】B
【分析】先利用勾股定理求出，再利用线段垂直平分线的性质得到，由此即可利用三角形周长公式求出答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵斜边的垂直平分线l交于点D，
∴，
∴的周长，
故选B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为_________．

【答案】
【分析】勾股定理求出的长，折叠得到，利用即可得解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵翻折，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理和折叠问题．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．
6．（2023·贵州贵阳·统考三模）如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面积分别为10，18，则正方形的面积是________．

【答案】28
【分析】根据正方形的面积与边长的关系，可知，由此即可求解．
【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知，
∴
故答案为：28．
【点睛】本题主要考查勾股定理，理解并掌握勾股定理是解题的关键．
7．（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高 米的市民正对门缓慢走到离门米的感应器地方时（即米），则人头顶离测温仪的距离等于________ 米．

【答案】1
【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
【详解】解：过点D作，如图所示，

∵，，，
∴，，
∴，
∴在中，由勾股定理得：米，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．
8．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，一张直角三角形纸片ABC中，，将它沿折痕折叠，使点A与点B重合，则___________．

【答案】
【分析】由折叠的性质得出，设，则．在中运用勾股定理列方程，解方程即可求出的长．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质得：，
设，则．
在中，由勾股定理得：，
解得：．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．解题时，设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质，用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
9．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，在中，，，，于．求：

(1)的长和的面积；
(2)的长．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据勾股定理求得的长；利用三角形的面积公式可求出的面积；
（2）再根据三角形的面积公式是一定值求得即可．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴，
∴．
（2）解：，
，
．
【点睛】此题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
10．（2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
(1)在图中以格点为顶点画一个面积为10的正方形．
(2)把所作正方形分割成赵爽弦图．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）画出边长为的正方形即可；
（2）根据赵爽弦图画图即可．
【详解】（1）解：如图，正方形即为所求；
其中，，
∴面积为；
（2）如图，即为所求．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，无理数，赵爽弦图的知识，解题的关键是能准确识图，能够构造边长为的正方形．
11．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，中，，，．

(1)用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)若（1）中所作的垂直平分线交于点D，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；
（2）设，再利用勾股定理列方程得出答案．
【详解】（1）如图直线MN即为所求．

（2）∵垂直平分线段，
∴，设，
在中，∵，
∴，
解得，
∴．
【点睛】此题主要考查了基本作图，勾股定理，正确运用勾股定理是解题关键．
12．（2023春·湖南郴州·八年级校考期中）如图，在中，，，，求BC边上的高AD的长．

【答案】12
【分析】为高，那么题中有两个直角三角形．在这两个直角三角形中，设为未知数，可利用勾股定理都表示出长．求得长，再根据勾股定理求得长即可．
【详解】解：设，则，
在中，，
在中，，
∴，
，
解得，
在中，．
【点睛】本题考查了勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点．主要利用了勾股定理进行解答．
【知不足】
1．（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）如图，，与按如图方式拼接在一起，，，，则的值为( )

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等腰直角三角形的性质和三角形面积公式，根据勾股定理可求的值即可求解．
【详解】解： ，，
，，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为和，斜边为，那么．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
2．（2023春·广东潮州·九年级潮州市金山实验学校校考期末）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形的面积的大小为（ ）

A．144B．100C．49D．25
【答案】C
【分析】首先利用勾股定理求得另一直角边的长度，然后结合图形求得小正方形的边长，易得小正方形的面积．
【详解】解：如图，

根据勾股定理，得．
所以．
所以正方形的面积为：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理求得直角三角形的另一直角边的长度．
3．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，则需要______天才能把隧道凿通．

【答案】12
【分析】先根据三角形的内角和定理判断是直角三角形，再根据勾股定理求得的长，从而可以求得结果.
【详解】解：∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，
∴，
∵天，
∴12天才能将隧道凿通．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是对文字的理解，是学生在学习过程中需要具备的基本能力，因而此类问题在中考中极为常见，在各种题型中均有出现，需多加关注．
4．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，长方形中，，，，则______．

【答案】4.8
【分析】利用长方形的性质得到，利用勾股定理计算出，利用面积法计算出即可．
【详解】解：∵四边形长方形，
∴，
在中，，
∵，
∴．
故答案为：4.8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等积法求直角三角形的高，解题的关键是熟练掌握勾股定理求出．
5．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，在中，，的平分线交于点D，若厘米，厘米，则点D到直线的距离是______厘米．

【答案】9
【分析】先根据已知条件得出的长，再根据角平分线定理得点到直线的距离等于的长度，即可求出答案．
【详解】解：过点D作于F，如图，
厘米，厘米，，
厘米，
由角平分线定理得：厘米，
故点到直线的距离是9厘米；
故答案为：9．

【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、点到直线的距离等知识，在解题时要能灵活应用各个知识点是本题的关键，难度适中．
6．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留）

【答案】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．
【详解】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴是的直径，
∵，
∴，
∴的半径为，
∴的面积为，矩形的面积为，
∴阴影部分的面积为；
故答案为；

【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．
7．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为________．

【答案】
【分析】利用角平分线的性质构造辅助线，将的面积分解成的面积和面积和，转化成以为未知数的方程求出．
【详解】如图：过点作于点，

，
由题意得：平分，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、直角三角形面积，重点掌握勾股定理的运用，直角三角形的面积转换是解题的关键．
8．（2023春·安徽六安·八年级校联考阶段练习）如图所示，与都是等腰直角三角形，，点为边上的一点．

(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)21
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，，，，根据等式的性质得出，然后利用判断出；
（2）由全等三角形的性质得，进而得出，在中，由勾股定理得的长度，进而得出答案．
【详解】（1）证明：与都是等腰直角三角形，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是能求出和的长．
9．（2023春·福建厦门·八年级厦门市槟榔中学校考期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足，，，，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示）
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由大正方形的面积的两种表示列出等式，可求解；
（2）由四边形的面积两种计算方式列出等式，即可求解；
（3）分别求出a，b，由勾股定理可求解．
【详解】（1）解：∵大正方形的面积，大正方形的面积，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图：连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴；
（3）解：由题意可得：，，
∴，，
∴，，
∴，
∴正方形的面积为．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
10．（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）问题呈现：通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的方法，例如利用图甲可以给予解释的一个公式为___．
问题解决：图乙中的是一个直角三角形，，人们很早就发现将图乙的直角三角形拼成图丙的正方形，会发现并找到a、b、c一个确定的数量关系，请你找到这个关系，并说明理由．

拓展应用：根据问题解决，下列几何图形中，可以正确的解释“问题解决”中直角三角形三边a、b、c这一关系的图有___（先将图序号填在横线上，然后选一种序号图说明理由）

【答案】问题呈现：；问题解决：；理由见解析；拓展应用：①④⑤；理由见解析
【分析】问题呈现：根据图形中面积关系可以得出答案；
问题解决：根据图丙大正方形面积的两种表示方法，可以得出答案；
拓展应用：根据图中的面积关系进行判断即可．
【详解】解：问题呈现：根据长方形面积公式，图甲中长方形的面积可以表示为：，
图甲中长方形的面积可以用大正方形的面积减去小正方形的面积，即，
∴，
∴利用图甲可以解释的一个公式为．
故答案为：．

问题解决：a、b、c一个确定的数量关系为：；理由如下：
图丙中大正方形的边长为c，则面积可以表示为：，
另外大正方形的面积可以用中间小正方形的面积加四周四个直角三角形的面积，
即，
∴；
拓展应用：①过点C作于点D，如图所示：

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同理可得：，
∴，，
∴，
∴，
即，故①符合题意；
②大长方形的长为，宽为，则面积为，
另外，图中两个小长方形的面积为，，小正方形的边长为c，面积为，
即大长方形的面积可以表示为，
∴，故②不符合题意；

③梯形的面积为，
另外，图中两个直角三角形的面积分别为，，小正方形的边长为c，面积为，
即图中梯形的面积可以表示为，
∴，故③不符合题意；

④中间小正方形的边长为c，面积为，
另外，图中大正方形的边长为，面积为，四个直角三角形的面积为，
即中间小正方形的面积可以表示为：
，
∴，故④符合题意；

⑤图中直角三角形的面积为，
另外，图中梯形的面积为，两个直角三角形面积每个为，
即图中直角三角形面积可以表示为：
，
∴，
即，故⑤符合题意；

综上分析可知，可以正确的解释“问题解决”中直角三角形三边a、b、c这一关系的图有①④⑤．
故答案为：①④⑤．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的图形证明，三角形全等的判定和性质，平方差公式的图形证明，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形、梯形、正方形、长方形的面积公式．
【一览众山小】
1.（2023春·广东韶关·八年级校考期中）如图，在中，，，点D为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点B落在点E处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，点A恰好与点E重合．若，则的长为（ ）．
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据折叠的性质和勾股定理定理即可解答．
【详解】解：∵将沿翻折，使点B落在点E处，
∴，
∵将沿翻折，点A恰好与点E重合，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了翻折变换、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识点，灵活利用相关性质定理是解答本题的关键．
2．（2023·河北·统考模拟预测）如图，中，，点为各内角平分线的交点，过点作的垂线，垂足为，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接、、，过作于，于，根据角平分线的性质得出，根据三角形的面积公式求出的面积，根据图形得出，再代入求出即可．
【详解】解：连接、、，过作于，于，
∵点为各内角平分线的交点，，，，
∴，
∵，，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，能根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出是解题的关键．
3．（2023·广东佛山·统考三模）如图，在Rt中，的垂直平分线分别交于两点，则的周长等于（ ）

A．12B．14C．16D．17
【答案】D
【分析】根据垂直平分线的性质得出，即可将求的周长的问题转化为求与的和，再根据已知条件进一步计算即可得解．
【详解】解：∵垂直平分
∴
∵
∴
∴
故答案是：D
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形的周长公式，其中利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等进行转化是解题的关键．
4.（2023春·广东河源·八年级校考开学考试）如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为____．

【答案】
【分析】根据，可得，从而得到，找到的中点O，即可得到，即可得到当、、三点共线时距离最小，即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
如图找到的中点O，

∴，
∴当、、三点共线时距离最小，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴线段长的最小值为：，
故答案为：；
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是得到，结合三点共线找到最小距离点．
5．（2023春·新疆阿勒泰·八年级统考期中）如图，等腰三角形的底边长为10，腰的长为13，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则△CDM周长的最小值为______．

【答案】
【分析】连接，由于是等腰三角形，点D为边的中点，故，再根据勾股定理求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】如图，连接，

∵是等腰三角形，点D为边的中点，，
∴，,
∵
∴
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，，
∴，
∴周长的最小值
故答案为：．
【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题6．（2023春·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则光线从点到点经过路线长是________．

【答案】15
【分析】延长交轴于．根据光的反射原理，点、关于轴对称，．路径长就是的长度．结合点坐标，运用勾股定理求解即可．
【详解】解：延长交轴于，

则点、关于轴对称，，点的坐标为，
，
，
光线从点到点经过路线长为：，
故答案为：15．
【点睛】本题考查的是勾股定理，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键．
7．（2023春·广东梅州·七年级校考阶段练习）问题情境：把四个直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形拼成如图的两个正方形和，设每个直角三角形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为S．
(1)尝试解决：请你写出、，S之间存在的关系；
(2)根据三角形和正方形的面积公式，试用含a，b，c的关系式表示、和S；
(3)合作探究：综合（1），（2）可得一个等式，对这个等式进行化简可以证明勾股定理，请你写出这个等式，并写出化简过程；
(4)若，，你能求出的值吗？试试看．
【答案】(1)
(2)，，
(3)，化简过程见解析
(4)的值为6
【分析】（1）根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形面积的和，可得得S、、的关系；
（2）根据，，求解即可；
（3）根据（1）（2）得，化简即得答案；
（4）把，代入求解即可．
【详解】（1）∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形面积的和，
∴；
（2），，；
（3）由（1）（2）的关系式可得：
，
∴；
（4）把，代入得
，
∴，
∵，
∴
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，运用整体思想、方程思想是解题的关键．
8．（2023春·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知，如图，中，，，，以斜边为底边作等腰三角形，腰刚好满足，并作腰上的高．

(1)求证：；
(2)求等腰三角形的腰长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平行线的性质得，由等腰三角形的性质得，可证，再根据证明可得结论；
（2）由（1）得：，，设，在中由勾股定理得出方程求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）由（1）得：，，
设，则，
在中,由勾股定理得,
，
即，
解得：，
即．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键．
9．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．

(1)用含t的代数式表示
①当点P在线段上时，________．
②当点P在线段的延长线上时，________．
(2)当为直角三角形时，求t的值；
【答案】(1)① ；②
(2)或
【分析】（1）先根据勾股定理求出的长度，然后再根据图形求解即可；
（2）当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出此时的t值即可．
【详解】（1）∵，，，
∴．
∵动点P从点B出发沿射线以的速度移动，
∴．
①当点P在线段上时，．
②当点P在线段的延长线上时，．
故答案为：①；②；
（2）①当为直角时，点P与点C重合，，即；
②当为直角时，，，
在中，，
在中，，
即：，
解得，
故当为直角三角形时，或；
【点睛】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理，以及分情况讨论．
10．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，在四边形中，是对角线，将点绕点逆时针旋转得到点，连接．
(1)求的度数；
(2)若是等边三角形，且，求的长．
【答案】(1)的度数为
(2)的长为
【分析】（1）根据旋转的性质得到，再根据等边三角形的判定与性质得到的度数为；
（2）根据等边三角形的性质及全等三角形的判定得到，再根据全等三角形的性质及勾股定理得到．
【详解】（1）解：∵将点绕点逆时针旋转得到点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
即的度数为；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
11．（2023·安徽·统考中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均为格点（网格线的交点）．

(1)画出线段关于直线对称的线段；
(2)将线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段；
(3)描出线段上的点及直线上的点，使得直线垂直平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质找到关于直线的对称点，，连接，则线段即为所求；
（2）根据平移的性质得到线段即为所求；
（3）勾股定理求得，，则证明得出，则，则点即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求；

（2）解：如图所示，线段即为所求；

（3）解：如图所示，点即为所求

如图所示，

∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴
∴，
∴垂直平分．
【点睛】本题考查了轴对称作图，平移作图，勾股定理与网格问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
12．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边，如图，在四边形中，，，．

(1)求的度数．
(2)判断四边形是否是“勾股四边形”，并说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形是“勾股四边形”，理由见解析
【分析】（1）在四边形中，由四边形内角和定理即可得出结果；
（2）连接，以为边向下作等边三角形，由等边三角形的性质得出，，证出，证明，得出，，证出，再由勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）在四边形中，
，，，
；
（2）四边形是“勾股四边形”，
理由：连接，以为边向下作等边三角形，连接，

则，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
四边形是“勾股四边形”．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了四边形内角和定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理以及逆定理，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
13．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，在中，为中点，点在直线上（点不与点重合），连接，过点作交直线于点，连接．

(1)如图（a），当点与点重合时，请直接写出线段与的数量关系：__________；
(2)如图（b），当点不与点重合时，证明：；
(3)若，请直接写出线段的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或1
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质证明即可．
（2）过点作交的延长线于点，连接．证明，结合勾股定理证明即可．
（3）分点在线段上，点在线段的延长线上
【详解】（1）∵，D为中点，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴．
故答案为：．
（2）证明：如图（b）中，过点作交的延长线于点，连接．
∵，
∴，
∴，

∵为中点，
∴，
在和中，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）如图（c）中，当点在线段上时，设，

则．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
如图（d）中，当点在线段的延长线上时，
设，则．
∵，
∴，

∵，
∴，
∴，
∴，
当点E在延长线上时，
∵，
∴不成立；
综上所述，的长为或1．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，分类思想，熟练掌握三角形全等的判定和性质，勾股定理，分类思想是解题的关键．
14．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，在矩形中，，点在边的延长线上，点是线段上一点与点，不重合，连接并延长，过点作，垂足为．
(1)若为的平分线．请判断与的数量关系，并证明；
(2)若，≌，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）由角平分线的性质和直角三角形的性质可求，可得，即可得结论；
（2）由勾股定理可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
为的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）≌，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．