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2.5 等腰三角形的轴对称性-（暑假高效预习）2023-2024学年八年级数学同步导与练（苏科版）
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这是一份2.5 等腰三角形的轴对称性-（暑假高效预习）2023-2024学年八年级数学同步导与练（苏科版），文件包含25等腰三角形的轴对称性原卷版docx、25等腰三角形的轴对称性解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页， 欢迎下载使用。
1.把等腰三角形纸片沿顶角平分线折叠，有什么发现？
几何语言说明：
由此可以发现，等腰三角形是 ， 是它的对称轴。
并且得到下面定理：
（1）等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）
几何语言：
（2）等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（三线合一）
几何语言：
已知角平分线，用SAS证高与中线。几何语言：
已知中线，用SSS证角平分线与高线。几何语言：
（3）已知高线，用HL证角平分线与中线。几何语言：
按下列作法，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，高AD=h。
作法：（1）作线段BC=a；（2）作线段BC的垂直平分线，MN交BC与点D；
（3）在MN上截取线段DA，使DA=h；（4）连接AB、AC。▲ABC就是所求作的等腰三角形。
3.已知如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．
方法1：
方法2：
因此，可以得到 是等腰三角形（简称“等角对等边”）
几何语言：
4.（1）回想一下什么是等边三角形，也可以称为什么三角形？
的三角形叫做等边三角形或 三角形。
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它有它特有的性质吗？
等边三角形是 图形，并且有 条对称轴。
已知AB=BC=CA，证∠A=∠B=∠C。
因此，等边三角形的各角都等于 。
几何语言：
5.（1）那如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形吗？
已知∠A=∠B=∠C，证：AB=AC=BC
因此， 的三角形是等边三角形。
几何语言：
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？
已知顶角∠A=60°，AB=AC，证：▲ABC是等边三角形
证：
已知底角∠A=60°，BA=BC，证：▲ABC是等边三角形
证：
因此， 是等边三角形。
几何语言：
6.两个斜边的一半
（1）如图，已知∠B=90°，∠A=30°，证：
因此， 对应的直角边等于斜边的
几何语言：
（2）如图，∠ABC=90°，在AC上取一点D，使得BD=CD
因此，直角三角形斜边上的 等于斜边的 。
几何语言：
【解惑】
例1：如图，中，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例2：如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点F、G．
(1)若，求的周长．
(2)若，求的度数．
例3：在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线外一点作直线的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（ ）
A．甲B．乙C．甲和乙D．都不正确
例4：如图，在四边形中，，，相交于点E，点G，H分别是，的中点，若，则______．
例5：如图，中，，，，点P是边上的动点，则长不可能是（ ）
A．B．C．D．
例6：如图，在中，于点D，，点E、F分别是、的中点且，求证：．
【摩拳擦掌】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线为正五边形的对称轴，连接交于点，以为边作等边，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·广东深圳·九年级校考期中）如图，在中，，且，根据图中的尺规作图痕迹，计算（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，已知在中，平分，平分，且，，若，则的周长是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·广东东莞·八年级虎门五中校考期中）在中，，点D是的中点，，则_____．
5．（2023春·湖南邵阳·八年级校联考期中）如图，在中，，，，点为的中点，则为____________．
6．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）等腰三角形的一个内角是，则它的顶角的度数是___________．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则_____度．
8．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，是等边三角形，是中线，过点D作于点E且交边的延长线于点F，，的长．
9．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）已知：在中，为的中点，，，垂足分别为点、，且．求证：是等腰三角形．
10．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，，平分交于点，是上一点，且．求证：．
11．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点，，分别在，，上，且，，是的中点．求证：．
【知不足】
1．（2023春·广东茂名·七年级校考期中）已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．不能确定
2．（湖南省衡阳市八中教育集团2022-2023学年七年级下学期第二次月考数学试题）等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于（ ）
A．12B．15C．12或15D．17
3．（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）如图，中，，点E为的中点，点D在上，且，相交于点F，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·广东清远·八年级校联考期中）如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交，于点D，E，连接．若，则的长为（ ）
A．1B．C．2D．
5．（2023·河北保定·统考二模）在解答一道习题时，嘉嘉先作出了的一条高，又作出了的一条角平分线，发现作的是同一条线段，则一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
6．（2023春·上海宝山·七年级校考期中）如果一个等腰三角形的两条边长分别等于3厘米和7厘米，那么这个等腰三角形的周长等于________厘米．
7．（2023秋·重庆渝北·八年级统考期末）如图，在直角三角形中，，D为线段上一点，连接．过点A作，连接，当平分时，延长至点F使得，连接．若且，则__________．
8．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，是等边三角形，点E是的中点，过点E作于点F，延长交的反向延长线于点D，若，则的长为__________．
9．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）如图，在等边三角形中，点、分别在、上，且，和相交一点，于，，，___________．
10．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，C为线段上一动点（点C不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O．
(1)求证：；
(2)求．
11．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）等边中，，且．
(1)求证：．
(2)求的度数．
12．（2023·广东广州·校考三模）已知一个等腰三角形的底边长a，底边上的高长b．
(1)求作等腰三角形，底边上的高为（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
(2)若，则的长为______．
13．（2023秋·江苏常州·八年级统考期末）如图，在中，，垂足为D，，垂足为E，F是的中点连接．
(1)求证：；
(2)连接，若，．
①判断的形状，并说明理由；
②_________．
14．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在中，于F，于E，M为的中点．
(1)若＝4，＝10，求的周长；
(2)若，，求的度数．
【一览众山小】
1．（2023春·广东深圳·八年级校联考期中）若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（ ）
A．B．C．或D．无法确定
2．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）如图，在中，，，平分，，点、分别为线段、上的动点，则的最小值是 ____．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在，点是上的一点，连接，平分，交于中点，连接，若，则___________．
4．（2023·黑龙江哈尔滨·校考三模）如图，四边形ABCD中，且，过点A作交BC于点E，若，则___________
5．（2023·山东潍坊·统考三模）如图，小明练习册上的一个等腰三角形被墨迹污染了，只有它的底边和还保留着．
(1)小明要在练习册上画出原来的等腰，用到的基本作图可以是 ___________（填写正确答案的序号）；
①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知角的平分线；④作已知线段的垂直平分线；⑤过一点作已知直线的垂线；
(2)为边上的中线，若的一个外角为，求的度数．
6．（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知，，点M、N分别在线段、上，请用尺规作图法在线段上求作一点P，使得·（保留作图痕迹，不写作法）
7．（2023春·广东深圳·七年级校联考期中）【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理，如图1，可以表述为
∵
∴
【新知应用】已知：在中，，若，则______；若，则______．
【尝试探究】如图2，四边形中，，，若连接，则平分．
某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程．
【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形中，，，，连接，平分吗?请说明理由．
8．（2023春·广东河源·八年级校考期中）如图，已知是边长为的等边三角形，动点P从A点出发，以的速度向B运动，同时点Q从B点出发以速度向C运动，当Q点到达点时，两点停止运动．设点P的运动时间为t（），则
(1) ___________， ___________；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，是等边三角形？
(3)当t为何值时，是直角三角形？
9．（2023春·江西上饶·七年级统考期中）在如图所示的网格纸中，点，，都在网格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图中过点画的垂线，且点在网格点上．
(2)在图中画，再画，且点，都在网格点上．
10．（2023·河南南阳·统考二模）如图，中，，，点F是边上的中点，点D、E分别在线段、边上运动，且保持．连接、、．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)判断的度数，并说明理由．
11．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，交于点，点是的中点，交的延长线于点，交于点，．求证：为的角平分线．
12．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）和均为等腰三角形．
(1)如图1，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．若，求证：；
(2)如图2，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．若，为中DE边上的高，试猜想，，之间的关系，并证明你的结论．
(3)如图1中的和，若在旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线与相交于点O，求的度数．
13．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）综合与实践——探索图形平移中的数学问题．
【问题情境】如图1，已知等边三角形，，点是边的中点，以为边，在外部作等边三角形．
【操作探究】将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点、、的对应点分别为、、
(1)如图2，善思小组的同学画出了时的情形，此吋平移的距离是______；
(2)如图3，点是的中点，在平移过程中，连接交射线于点，勤练小组的同学发现始终成立！请你证明这一结论：
(3)乐学小组发现在平移过程中，存在以、、为顶点的三角形可以为直角三角形，求出此时平移的距离．
14．（2023·江苏·八年级假期作业）【一线三等角模型】如图1：点，，在一条直线上，，当时，有．理由：
，，，，，请将全等证明过程补充完整．
【模型运用】如图2：，，，求的面积；
【能力提升】如图3：在等边中，，分别为，边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点向点运动（不与点重合）时，的度数变化吗？如不变请求出它的度数，如变化，请说明它是怎样变化的？
1.把等腰三角形纸片沿顶角平分线折叠，有什么发现？
几何语言说明：
由此可以发现，等腰三角形是 ， 是它的对称轴。
并且得到下面定理：
（1）等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）
几何语言：
（2）等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（三线合一）
几何语言：
已知角平分线，用SAS证高与中线。几何语言：
已知中线，用SSS证角平分线与高线。几何语言：
（3）已知高线，用HL证角平分线与中线。几何语言：
按下列作法，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，高AD=h。
作法：（1）作线段BC=a；（2）作线段BC的垂直平分线，MN交BC与点D；
（3）在MN上截取线段DA，使DA=h；（4）连接AB、AC。▲ABC就是所求作的等腰三角形。
3.已知如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．
方法1：
方法2：
因此，可以得到 是等腰三角形（简称“等角对等边”）
几何语言：
4.（1）回想一下什么是等边三角形，也可以称为什么三角形？
的三角形叫做等边三角形或 三角形。
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它有它特有的性质吗？
等边三角形是 图形，并且有 条对称轴。
已知AB=BC=CA，证∠A=∠B=∠C。
因此，等边三角形的各角都等于 。
几何语言：
5.（1）那如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形吗？
已知∠A=∠B=∠C，证：AB=AC=BC
因此， 的三角形是等边三角形。
几何语言：
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？
已知顶角∠A=60°，AB=AC，证：▲ABC是等边三角形
证：
已知底角∠A=60°，BA=BC，证：▲ABC是等边三角形
证：
因此， 是等边三角形。
几何语言：
6.两个斜边的一半
（1）如图，已知∠B=90°，∠A=30°，证：
因此， 对应的直角边等于斜边的
几何语言：
（2）如图，∠ABC=90°，在AC上取一点D，使得BD=CD
因此，直角三角形斜边上的 等于斜边的 。
几何语言：
【解惑】
例1：如图，中，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例2：如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点F、G．
(1)若，求的周长．
(2)若，求的度数．
例3：在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线外一点作直线的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（ ）
A．甲B．乙C．甲和乙D．都不正确
例4：如图，在四边形中，，，相交于点E，点G，H分别是，的中点，若，则______．
例5：如图，中，，，，点P是边上的动点，则长不可能是（ ）
A．B．C．D．
例6：如图，在中，于点D，，点E、F分别是、的中点且，求证：．
【摩拳擦掌】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线为正五边形的对称轴，连接交于点，以为边作等边，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·广东深圳·九年级校考期中）如图，在中，，且，根据图中的尺规作图痕迹，计算（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，已知在中，平分，平分，且，，若，则的周长是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·广东东莞·八年级虎门五中校考期中）在中，，点D是的中点，，则_____．
5．（2023春·湖南邵阳·八年级校联考期中）如图，在中，，，，点为的中点，则为____________．
6．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）等腰三角形的一个内角是，则它的顶角的度数是___________．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则_____度．
8．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，是等边三角形，是中线，过点D作于点E且交边的延长线于点F，，的长．
9．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）已知：在中，为的中点，，，垂足分别为点、，且．求证：是等腰三角形．
10．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，，平分交于点，是上一点，且．求证：．
11．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点，，分别在，，上，且，，是的中点．求证：．
【知不足】
1．（2023春·广东茂名·七年级校考期中）已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．不能确定
2．（湖南省衡阳市八中教育集团2022-2023学年七年级下学期第二次月考数学试题）等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于（ ）
A．12B．15C．12或15D．17
3．（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）如图，中，，点E为的中点，点D在上，且，相交于点F，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·广东清远·八年级校联考期中）如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交，于点D，E，连接．若，则的长为（ ）
A．1B．C．2D．
5．（2023·河北保定·统考二模）在解答一道习题时，嘉嘉先作出了的一条高，又作出了的一条角平分线，发现作的是同一条线段，则一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
6．（2023春·上海宝山·七年级校考期中）如果一个等腰三角形的两条边长分别等于3厘米和7厘米，那么这个等腰三角形的周长等于________厘米．
7．（2023秋·重庆渝北·八年级统考期末）如图，在直角三角形中，，D为线段上一点，连接．过点A作，连接，当平分时，延长至点F使得，连接．若且，则__________．
8．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，是等边三角形，点E是的中点，过点E作于点F，延长交的反向延长线于点D，若，则的长为__________．
9．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）如图，在等边三角形中，点、分别在、上，且，和相交一点，于，，，___________．
10．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，C为线段上一动点（点C不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O．
(1)求证：；
(2)求．
11．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）等边中，，且．
(1)求证：．
(2)求的度数．
12．（2023·广东广州·校考三模）已知一个等腰三角形的底边长a，底边上的高长b．
(1)求作等腰三角形，底边上的高为（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
(2)若，则的长为______．
13．（2023秋·江苏常州·八年级统考期末）如图，在中，，垂足为D，，垂足为E，F是的中点连接．
(1)求证：；
(2)连接，若，．
①判断的形状，并说明理由；
②_________．
14．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在中，于F，于E，M为的中点．
(1)若＝4，＝10，求的周长；
(2)若，，求的度数．
【一览众山小】
1．（2023春·广东深圳·八年级校联考期中）若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（ ）
A．B．C．或D．无法确定
2．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）如图，在中，，，平分，，点、分别为线段、上的动点，则的最小值是 ____．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在，点是上的一点，连接，平分，交于中点，连接，若，则___________．
4．（2023·黑龙江哈尔滨·校考三模）如图，四边形ABCD中，且，过点A作交BC于点E，若，则___________
5．（2023·山东潍坊·统考三模）如图，小明练习册上的一个等腰三角形被墨迹污染了，只有它的底边和还保留着．
(1)小明要在练习册上画出原来的等腰，用到的基本作图可以是 ___________（填写正确答案的序号）；
①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知角的平分线；④作已知线段的垂直平分线；⑤过一点作已知直线的垂线；
(2)为边上的中线，若的一个外角为，求的度数．
6．（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知，，点M、N分别在线段、上，请用尺规作图法在线段上求作一点P，使得·（保留作图痕迹，不写作法）
7．（2023春·广东深圳·七年级校联考期中）【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理，如图1，可以表述为
∵
∴
【新知应用】已知：在中，，若，则______；若，则______．
【尝试探究】如图2，四边形中，，，若连接，则平分．
某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程．
【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形中，，，，连接，平分吗?请说明理由．
8．（2023春·广东河源·八年级校考期中）如图，已知是边长为的等边三角形，动点P从A点出发，以的速度向B运动，同时点Q从B点出发以速度向C运动，当Q点到达点时，两点停止运动．设点P的运动时间为t（），则
(1) ___________， ___________；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，是等边三角形？
(3)当t为何值时，是直角三角形？
9．（2023春·江西上饶·七年级统考期中）在如图所示的网格纸中，点，，都在网格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图中过点画的垂线，且点在网格点上．
(2)在图中画，再画，且点，都在网格点上．
10．（2023·河南南阳·统考二模）如图，中，，，点F是边上的中点，点D、E分别在线段、边上运动，且保持．连接、、．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)判断的度数，并说明理由．
11．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，交于点，点是的中点，交的延长线于点，交于点，．求证：为的角平分线．
12．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）和均为等腰三角形．
(1)如图1，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．若，求证：；
(2)如图2，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．若，为中DE边上的高，试猜想，，之间的关系，并证明你的结论．
(3)如图1中的和，若在旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线与相交于点O，求的度数．
13．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）综合与实践——探索图形平移中的数学问题．
【问题情境】如图1，已知等边三角形，，点是边的中点，以为边，在外部作等边三角形．
【操作探究】将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点、、的对应点分别为、、
(1)如图2，善思小组的同学画出了时的情形，此吋平移的距离是______；
(2)如图3，点是的中点，在平移过程中，连接交射线于点，勤练小组的同学发现始终成立！请你证明这一结论：
(3)乐学小组发现在平移过程中，存在以、、为顶点的三角形可以为直角三角形，求出此时平移的距离．
14．（2023·江苏·八年级假期作业）【一线三等角模型】如图1：点，，在一条直线上，，当时，有．理由：
，，，，，请将全等证明过程补充完整．
【模型运用】如图2：，，，求的面积；
【能力提升】如图3：在等边中，，分别为，边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点向点运动（不与点重合）时，的度数变化吗？如不变请求出它的度数，如变化，请说明它是怎样变化的？
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