2023-2024学年湖南省永州市综合职业中专学校高三下学期第四次月考数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省永州市综合职业中专学校高三下学期第四次月考数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）已知全集U＝{a，b，c，d，e，f，g}，M＝{a，e，f}，N＝{b，d，e，f}，则∁U（M∩N）＝（ ）
A．{e，f}B．{c，g}C．{a，b，d}D．{a，b，c，d，g}
2．（4分）“x2﹣x﹣2＞0”是“x＜﹣1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（4分）函数的定义域是（ ）
A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1]
C．[1，+∞）D．（﹣1，1）∪（1，+∞）
4．（4分）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）已知等比数列{an}的前n项和为，则a＝（ ）
A．6B．﹣6C．﹣3D．3
6．（4分）已知，则sin4α﹣cs4α的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（4分）已知F1，F2是椭圆C：16x2+25y2＝1600的两个焦点，直线l过F1交椭圆C于A、B两点，则△ABF2的周长为（ ）．
A．6B．10C．20D．40
8．（4分）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜a＜bB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜b＜a
9．（4分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）＝0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，2）
10．（4分）过点（1，1）的直线与圆x2+y2＝4相交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最大值为（ ）
A．2B．4C．D．
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）函数的最小值为 ．
12．（4分）已知{an}为等比数列，且a8﹣27a5＝0，则公比q＝ ．
13．（4分）若函数是奇函数，则m的值是 ．
14．（4分）已知三角形ABC三顶点的坐标依次为A（5，7），B（1，1），C（1，2），D为A、B的中点，则与向量方向相反的单位向量的坐标是 ．
15．（4分）若双曲线上存在四点A，B，C，D，使四边形ABCD为正方形，则此双曲线的离心率的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共5小题，其中第21、22题为选做题，共60分，解答时应写出简要步骤）
16．（10分）已知函数f（x）＝2ax+1﹣1（a＞0，a≠1）的图象过点A（1，7）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求f（x）的取值范围．
17．（10分）已知函数．
（1）求f（x）的周期和增区间．
（2）求函数f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的取值集合．
18．（10分）已知等差数列{an}中a6＝1，且．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
19．（10分）已知．
（1）求与的夹角θ；
（2）求；
（3）若，求△ABC的面积．
20．（10分）已知椭圆的离心率．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆C相交于A，B两点，且AB中点的横坐标为1，求k的值．
选做题：（注意：第21、22小题任选一题作答，若全部作答，则只评阅21小题）
选做题
21．（10分）设数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}是等比数列，且a1＝b1＝1，a5＝b3．求：
（1）数列{an}与{bn}的通项公式．
（2）已知数列cn＝an+bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
选做题
22．已知抛物线C1的顶点为坐标原点O，焦点F是圆的圆心．
（1）求抛物线C1的方程．
（2）设过点（0，4）且斜率为﹣1的直线l与抛物线C1交于A，B两点，点M为圆C2上的任意一点，求△MAB面积的最大值．
2019-2020学年湖南省永州市综合职业中专学校高三（下）第四次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在本题的每一小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确的选项填入题后的括号内．多选不给分．本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）已知全集U＝{a，b，c，d，e，f，g}，M＝{a，e，f}，N＝{b，d，e，f}，则∁U（M∩N）＝（ ）
A．{e，f}B．{c，g}C．{a，b，d}D．{a，b，c，d，g}
【分析】根据题中所给的集合M，N，以及全集U，先利用集合的交集运算法则计算M∩N，再计算∁U（M∩N）。
【解答】解：∵全集U＝{a，b，c，d，e，f，g}，M＝{a，e，f}，N＝{b，d，e，f}，
∴M∩N＝{e，f}，
∴∁U（M∩N）＝{a，b，c，d，g}，
故选：D。
2．（4分）“x2﹣x﹣2＞0”是“x＜﹣1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】先解出一元二次不等式，再判断充分条件和必要条件是否成立。
【解答】解：∵x2﹣x﹣2＞0，∴（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＜﹣1或x＞2，
∴x＜﹣1或x＞2是x＜﹣1的必要不充分条件，
故选：B。
3．（4分）函数的定义域是（ ）
A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1]
C．[1，+∞）D．（﹣1，1）∪（1，+∞）
【分析】要使f（x）有意义，需使根号下的数大于0或等于0，且真数大于0，即可得到函数的定义域。
【解答】解：要使f（x）有意义，需满足，解得，
故选：B。
4．（4分）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据向量线性运算的坐标表示，向量的模长以及向量数量积的坐标表示对选项逐一检验即可。
【解答】解：由题意可得，
﹣＝（﹣3，﹣2），+＝（﹣1，8），＝＝，＝﹣2+15＝13，
故选：D。
5．（4分）已知等比数列{an}的前n项和为，则a＝（ ）
A．6B．﹣6C．﹣3D．3
【分析】根据题意求得等比数列{an}的前三项，进而建立关于a的方程，解出即可.
【解答】解：a1＝S1＝a﹣6，a2＝S2﹣S1＝a﹣12﹣（a﹣6）＝﹣6，a3＝S3﹣S2＝a﹣24﹣（a﹣12）＝﹣12，
∴（﹣6）2＝﹣12×（a﹣6），解得a＝3.
故选：D。
6．（4分）已知，则sin4α﹣cs4α的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先将原式用平方差公式进行化简sin4α﹣cs4α＝（sin2α+cs2α）（sin2α﹣cs2α），再根据同角三角函数的基本关系化成只关于sinα的式子再进行求值即可。
【解答】解：sin4α﹣cs4α＝（sin2α+cs2α）（sin2α﹣cs2α）＝sin2α﹣（1﹣sin2α）＝2sin2α﹣1＝＝，
故选：B。
7．（4分）已知F1，F2是椭圆C：16x2+25y2＝1600的两个焦点，直线l过F1交椭圆C于A、B两点，则△ABF2的周长为（ ）．
A．6B．10C．20D．40
【分析】先求出椭圆的两个焦点，再根据椭圆的定义即可求解．
【解答】解：∵椭圆C：16x2+25y2＝1600，
∴椭圆C：，
∴F1（﹣6，0），F2（6，0），
∵直线l过F1交椭圆C于A、B两点，
∴|AF1|+|AF2|＝20，|BF1|+|BF2|＝20，
∴△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝40．
故选：D．
8．（4分）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜a＜bB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜b＜a
【分析】根据题意可得0＜a＜1，又b＝2＝＞1，c＝lg2＝﹣1，即可得出答案.
【解答】解：因为a＝2﹣3＝，
所以0＜a＜1，
又b＝2＝＞1，
c＝lg2＝﹣1，
所以c＜a＜b，
故选：A。
9．（4分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）＝0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，2）
【分析】根据题意，作出函数f（x）的大致图像，即可得出答案.
【解答】解：因为函数f（x）定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上单调递减，
又f（2）＝0，
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（﹣2）＝f（2）＝0，
作出函数f（x）的大致图像，如下：
所以f（x）＜0的解集为﹣2＜x＜0或0＜x＜2，
所以不等式的解集为（﹣2，2），
故选：D。
10．（4分）过点（1，1）的直线与圆x2+y2＝4相交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最大值为（ ）
A．2B．4C．D．
【分析】设圆心O到直线AB的距离为d，可表示出，再由0＜d2≤2及二次函数的性质即可得解.
【解答】解：设圆心O到直线AB的距离为d，则，
∴＝，
而圆心与点（1，1）的距离为，则，即0＜d2≤2，
∴当d2＝2时，（S△ABC）max＝2.
故选：A。
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）函数的最小值为 ．
【分析】因为函数f（x）＝csx的值域为[﹣1，1]，因此函数f（x）＝csx的值域为[﹣，]，因此函数f（x）＝csx+1的值域为[，]。
【解答】解：函数f（x）＝csx的值域为[﹣1，1]，
∴函数f（x）＝csx的值域为[﹣，]，
∴函数f（x）＝csx+1的值域为[，]，
故答案为：。
12．（4分）已知{an}为等比数列，且a8﹣27a5＝0，则公比q＝ 3 ．
【分析】依题意，，由此可得解.
【解答】解：∵a8﹣27a5＝0，
∴，解得q＝3.
故答案为：3.
13．（4分）若函数是奇函数，则m的值是 ﹣2 ．
【分析】根据奇函数在x＝0处有意义时有f（0）＝0进行求解即可。
【解答】解：因为函数是奇函数，定义域为R，
所以当x＝0时，y＝0，
所以有1+＝0，解得m＝﹣2，
故答案为：﹣2。
14．（4分）已知三角形ABC三顶点的坐标依次为A（5，7），B（1，1），C（1，2），D为A、B的中点，则与向量方向相反的单位向量的坐标是 （﹣，﹣）。 ．
【分析】根据两点的中点坐标公式先求得D（3，4），再根据向量的坐标表示得到＝（2，2），从而根据与向量方向相反的单位向量的公式为﹣即可求得结果。
【解答】解：由D为A、B的中点，可得D（，），即（3，4），
∴＝（2，2），∴||＝＝2，
∴与向量方向相反的单位向量为﹣＝﹣（2，2）＝（﹣，﹣），
故答案为：（﹣，﹣）。
15．（4分）若双曲线上存在四点A，B，C，D，使四边形ABCD为正方形，则此双曲线的离心率的取值范围为 （，+∞） ．
【分析】设A（m，n），代入双曲线的方程可得n2＝m2﹣b2，由于四边形ABCD是正方形，则m2＝m2﹣b2，进而可得＞a2，即可得出答案.
【解答】解：设A（m，n），由题知﹣＝1，
解得n2＝m2﹣b2，
因为四边形ABCD是正方形，
所以m2＝m2﹣b2，
解得m2＝，
又因为m2＞a2，
所以＞a2，
解得b2﹣a2＞0，
所以c2﹣2a2＞0，
所以e2﹣2＞0，
所以e＞，
所以离心率的取值范围为（，+∞）.
三、解答题（本大题共5小题，其中第21、22题为选做题，共60分，解答时应写出简要步骤）
16．（10分）已知函数f（x）＝2ax+1﹣1（a＞0，a≠1）的图象过点A（1，7）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求f（x）的取值范围．
【分析】（Ⅰ）将点A（1，7）代入到函数f（x）＝2ax+1﹣1中求解即可；
（Ⅱ）利用指数函数的单调性求解即可。
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝2ax+1﹣1（a＞0，a≠1）的图象过点A（1，7），
∴7＝2a2﹣1，
∴a＝±2，
∵a＞0，
∴a＝2，
∴f（x）＝2x+2﹣1；
（Ⅱ）∵f（x）＝2x为定义域区间的增函数，
∴f（x）＝2x+2﹣1为定义域区间的增函数，
∴当x∈[﹣1，2]时，最小值为f（﹣1）＝1，最大值为f（2）＝15，
∴f（x）的取值范围为[1，15]。
17．（10分）已知函数．
（1）求f（x）的周期和增区间．
（2）求函数f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的取值集合．
【分析】（1）将f（x）＝（2cs2x﹣1）+sin2x化为f（x）＝2sin（2x+）求解即可；
（2）利用（1）中得到的f（x）的解析式求解即可。
【解答】解：（1）函数f（x）＝（2cs2x﹣1）+sin2x＝sin2x+cs2x，
∴f（x）＝sin（2x+）＝2sin（2x+），
∴T＝＝π，
当﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴f（x）的增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）；
（2）∵f（x）＝2sin（2x+），
∴f（x）的最大值为2，
当2x+＝+2kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值，
此时x＝+kπ，k∈Z，
∴f（x）取最大值时x的取值集合为{x＝+kπ}（k∈Z）。
18．（10分）已知等差数列{an}中a6＝1，且．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
【分析】（1）先根据等差中项的性质可得a3+a9＝2a6＝2，再根据a6＝1，且，可得a8＝5，再根据等差数列的性质可得2d＝a8﹣a6＝4即d＝2，a1＝﹣9，将d＝2，a1＝﹣9代入等差数列通项公式即可；
（2）将a6＝1和an＝2n﹣11代入等差数列前n项和公式中即可。
【解答】解：（1）∵等差数列{an}中a6＝1，且，
∴a3+a9＝2a6＝2，
∴a8＝5，
∴2d＝a8﹣a6＝4，
∴d＝2，a1＝﹣9，
∴an＝﹣9+2（n﹣1）＝2n﹣11，n∈N+；
（2）Sn＝＝＝n2﹣10n，n∈N+。
19．（10分）已知．
（1）求与的夹角θ；
（2）求；
（3）若，求△ABC的面积．
【分析】（1）对方程＝两边同时作平方可求得＝﹣6，再根据向量的夹角公式csθ＝进行求解即可；
（2）根据向量数量积的性质可得＝4+2﹣6﹣3＝4﹣4﹣3，代入数据求解即可；
（3）根据与的夹角θ为，可得∠ABC＝，再由三角形的面积公式SΔABC＝•AB•BCsin∠ABC＝||||sin进行求解即可。
【解答】解：（1）由＝，得（）2＝13，
∴＝13，16+2+9＝13，
∴＝﹣6，
∴csθ＝＝＝﹣，
∵0≤θ≤π，∴θ＝；
（2）＝4+2﹣6﹣3＝4﹣4﹣3＝4×16﹣4×（﹣6）﹣3×9＝64+24﹣27＝61；
（3）∵与的夹角θ为，∴∠ABC＝，
∴SΔABC＝•AB•BCsin∠ABC＝||||sin＝＝3。
20．（10分）已知椭圆的离心率．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆C相交于A，B两点，且AB中点的横坐标为1，求k的值．
选做题：（注意：第21、22小题任选一题作答，若全部作答，则只评阅21小题）
【分析】（Ⅰ）根据题意建立关于a的方程，求得a的值即可得到答案；
（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理结合题意建立关于k的方程，解出即可.
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率，
∴，解得a＝3，
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）联立，消y并整理可得，（4+9k2）x2﹣30kx﹣11＝0，
则Δ＝（﹣30k）2+44（4+9k2）＝1296k2+176＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
又AB中点的横坐标为1，则，即9k2﹣15k+4＝0，解得或.
选做题
21．（10分）设数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}是等比数列，且a1＝b1＝1，a5＝b3．求：
（1）数列{an}与{bn}的通项公式．
（2）已知数列cn＝an+bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
【分析】（1）先根据a1＝b1＝1，{an}是公差为2的等差数列求得an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N+，再根据a5＝9＝b3求得q＝±3，即bn＝3n﹣1或bn＝（﹣3）n﹣1，n∈N+；
（2）分别求解bn＝3n﹣1或bn＝（﹣3）n﹣1两种情况下的Sn即可。
【解答】解：（1）∵a1＝b1＝1，{an}是公差为2的等差数列，
∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N+，
∴a5＝9＝b3，
∴q2＝，
∴q＝±3，
∴bn＝3n﹣1或bn＝（﹣3）n﹣1，n∈N+；
（2）∵cn＝an+bn，
当bn＝3n﹣1时，Sn＝+＝n2+﹣，n∈N+，
当bn＝（﹣3）n﹣1时，Sn＝+＝n2+﹣，n∈N+。
选做题
22．已知抛物线C1的顶点为坐标原点O，焦点F是圆的圆心．
（1）求抛物线C1的方程．
（2）设过点（0，4）且斜率为﹣1的直线l与抛物线C1交于A，B两点，点M为圆C2上的任意一点，求△MAB面积的最大值．
【分析】（1）先求解出圆心坐标，再根据抛物线C1的顶点为坐标原点O，焦点F是圆的圆心即可求解；
（2）先求解出直线l的解析式，再求解出AB两点间的距离，再求解出圆心到直线的距离即可求解。
【解答】解：（1）圆，
∴圆心坐标为（0，1），半径为2，
∵抛物线C1的顶点为坐标原点O，焦点为（0，1），
∴＝1，p＝2，
∴抛物线的解析式为x2＝4y；
（2）直线l过点（0，4）且斜率为﹣1，
∴直线l的方程为y＝﹣x+4，即x+y﹣4＝0，
∴圆心到直线的距离d＝＝，
联立x2＝4y和y＝﹣x+4可得x2+4x﹣16＝0，
∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣16，
∴|AB|＝＝×＝4，
∴△MAB面积的最大值S＝×|AB|×（d+r）＝2×（2+）＝4+2。