2023-2024学年湖南省益阳市安化县职业中专学校安化黑茶学校高三上学期第四次月考数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省益阳市安化县职业中专学校安化黑茶学校高三上学期第四次月考数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）已知集合A＝{1，4}，集合B＝{a，3}，且A∪B＝{1，2，3，4}，则a＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（4分）“|x|＝1”是“x＝1”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（4分）函数f（x）＝x2﹣6x+5的单调递减区间是（ ）
A．[3，+∞）B．[﹣3，+∞）C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，﹣3]
4．（4分）已知sinx＝2a﹣1，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣3，1]B．[﹣2，1]C．[﹣1，1]D．[0，1]
5．（4分）不等式|4﹣2x|≤2的解集是（ ）
A．{x|x≤3}B．{x|x≥1}C．{x|x≤1或x≥3}D．{x|1≤x≤3}
6．（4分）点P（1，2）到直线3x﹣4y﹣5＝0的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（4分）在等差数列{an}中，a2+a4+a6+a8+a10＝50，则a5+a7＝（ ）
A．10B．20C．30D．40
8．（4分）已知f（x）＝3x，若f（a+1）＜f（3），则a的取值范围是（ ）
A．（2，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，﹣2）
9．（4分）已知向量＝（），＝（﹣2，2），则（ ）
A．B．∥C．⊥D．
10．（4分）已知函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数（x∈R），且f（x）+g（x）＝x2+2x﹣1，则f（2）﹣g（2）＝（ ）
A．1B．3C．5D．7
二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）
11．（4分）若，则f（f（0））＝ 。
12．（4分）经过点（1，1），且与直线2x+y﹣1＝0平行的直线方程是 。
13．（4分）＝ 。
14．（4分）已知向量||＝2，||＝1，且向量﹣与垂直，则与的夹角是 。（弧度制）
15．（4分）已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3×2n+k，则k＝ 。
三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）已知△ABC三个顶点的坐标为A（3，1），B（﹣4，﹣2），C（2，﹣4），求该三角形BC 边上中线的长。
17．（10分）已知函数f（x）＝lg2（m﹣x）+1，f（5）＝1.
（1）求实数m的值，并写出f（x）的定义域；
（2）当x∈[﹣2，4]，求f（x）的取值范围。
18．（10分）已知两点A（﹣4，1），B（﹣2，3）.求：
（1）求直线AB的方程；
（2）求以AB为直径的圆的标准方程。
19．（10分）在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°．
（1）求A；
（2）求csC。
20．（10分）已知向量＝（csx，1），＝（sinx，﹣1），x∈[0，π].
（1）若，求x的值；
（2）若f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值。
21．（10分）若数列{an}满足a1＝2，且an+1＝3an+2.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn。
2022-2023学年湖南省益阳市安化县职业中专学校安化黑茶学校高三（上）第四次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）已知集合A＝{1，4}，集合B＝{a，3}，且A∪B＝{1，2，3，4}，则a＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据集合并集的定义即可求解．
【解答】解：∵集合A＝{1，4}，集合B＝{a，3}，且A∪B＝{1，2，3，4}，
∴a＝2．
故选：B．
2．（4分）“|x|＝1”是“x＝1”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件的基本概念求解即可。
【解答】解：∵|x|＝1，
∴x＝±1，
∵x＝1，
∴|x|＝1，
∴“|x|＝1”不能够推出“x＝1”，“x＝1”能够推出“|x|＝1”，
∴“|x|＝1”是“x＝1”的必要不充分条件，
故选：A。
3．（4分）函数f（x）＝x2﹣6x+5的单调递减区间是（ ）
A．[3，+∞）B．[﹣3，+∞）C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，﹣3]
【分析】根据二次函数f（x）＝x2﹣6x+5的单调性即可求解．
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣6x+5的单调递减区间是（﹣∞，3]．
故选：C．
4．（4分）已知sinx＝2a﹣1，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣3，1]B．[﹣2，1]C．[﹣1，1]D．[0，1]
【分析】根据正弦函数的值域即可求解．
【解答】解：∵sinx＝2a﹣1，
∴﹣1≤2a﹣1≤1，
∴0≤a≤1，
∴实数a的取值范围是[0，1]．
故选：D．
5．（4分）不等式|4﹣2x|≤2的解集是（ ）
A．{x|x≤3}B．{x|x≥1}C．{x|x≤1或x≥3}D．{x|1≤x≤3}
【分析】根据含绝对值不等式的解法即可求解．
【解答】解：∵|4﹣2x|≤2，
∴|2x﹣4|≤2，
∴﹣2≤2x﹣4≤2，
∴1≤x≤3，
∴不等式的解集为{x|1≤x≤3}．
故选：D．
6．（4分）点P（1，2）到直线3x﹣4y﹣5＝0的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】直接根据点到直线的距离公式求解即可。
【解答】解：点P（1，2）到直线3x﹣4y﹣5＝0的距离为＝2，
故选：B。
7．（4分）在等差数列{an}中，a2+a4+a6+a8+a10＝50，则a5+a7＝（ ）
A．10B．20C．30D．40
【分析】先根据数列{an}是等差数列得到a2+a4+a6+a8+a10＝（a2+a10）+（a4+a8）+a6＝5a6，a5+a7＝2a6，再根据a2+a4+a6+a8+a10＝50得到a6＝10即可求解。
【解答】解：∵数列{an}是等差数列，
∴a2+a4+a6+a8+a10＝（a2+a10）+（a4+a8）+a6＝5a6，a5+a7＝2a6，
∵a2+a4+a6+a8+a10＝50，
∴a6＝10，
∴a5+a7＝2a6＝20，
故选：B。
8．（4分）已知f（x）＝3x，若f（a+1）＜f（3），则a的取值范围是（ ）
A．（2，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，﹣2）
【分析】先根据3＞1得到f（x）＝3x在定义域内单调递增，再根据f（a+1）＜f（3）建立不等式并求解即可。
【解答】解：∵3＞1，
∴f（x）＝3x在定义域内单调递增，
∵f（a+1）＜f（3），
∴a+1＜3，
∴a＜2，
故选：C。
9．（4分）已知向量＝（），＝（﹣2，2），则（ ）
A．B．∥C．⊥D．
【分析】根据向量的运算法则、向量的模长公式以及向量平行和垂直的性质判断求解即可。
【解答】解：∵向量＝（），＝（﹣2，2），
∴||＝＝，||＝＝2，
∴||＝2||，||+||＝3，A选项错误，D选项错误，
∵×2≠1×（﹣2），
∴向量与不平行，B选项错误，
∵×（﹣2）+1×2＝0，
∴，C选项正确，
故选：C。
10．（4分）已知函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数（x∈R），且f（x）+g（x）＝x2+2x﹣1，则f（2）﹣g（2）＝（ ）
A．1B．3C．5D．7
【分析】根据函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数可求出f（x）﹣g（x），从而求出f（2）﹣g（2）．
【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数（x∈R），且f（x）+g（x）＝x2+2x﹣1，
∴f（﹣x）+g（﹣x）＝x2﹣2x﹣1，
∴f（x）﹣g（x）＝﹣x2+2x+1，
∴f（2）﹣g（2）＝﹣4+4+1＝1．
故选：A．
二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）
11．（4分）若，则f（f（0））＝ 。
【分析】先求出f（0）的值，再求解f（f（0））即可.
【解答】解：.
故答案为：.
12．（4分）经过点（1，1），且与直线2x+y﹣1＝0平行的直线方程是 2x+y﹣3＝0 。
【分析】求出直线2x+y﹣1＝0的斜率，根据两直线平行，斜率相等，即可求得所求直线的斜率，最后根据直线的点斜式方程即可求得结果。
【解答】解：直线2x+y﹣1＝0的斜率为﹣2，
因为所求直线与直线2x+y﹣1＝0平行，
所以所求直线的斜率为﹣2，
故经过点（1，1），且与直线2x+y﹣1＝0平行的直线方程是：y﹣1＝﹣2（x﹣1），
整理得2x+y﹣3＝0，
故答案为：2x+y﹣3＝0。
13．（4分）＝ 1 。
【分析】由对数运算法则直接求解即可.
【解答】解：原式＝lg39﹣1＝2﹣1＝1.
故答案为：1.
14．（4分）已知向量||＝2，||＝1，且向量﹣与垂直，则与的夹角是 。（弧度制）
【分析】根据向量﹣与垂直即可求解．
【解答】解：∵向量﹣与垂直，设与的夹角为θ，
∴（﹣）•＝﹣＝1﹣2×1×csθ＝0，
∴csθ＝，
∵0≤θ≤π，
∴θ＝．
故答案为：．
15．（4分）已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3×2n+k，则k＝ ﹣3 。
【分析】先根据Sn＝3×2n+k得到当n＝1时，a1＝S1＝6+k，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝3×2n﹣1，再根据当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝3×2n﹣1得到a2＝6，等比数列{an}的公比为2即可求解。
【解答】解：∵Sn＝3×2n+k，
∴当n＝1时，a1＝S1＝6+k，
∴当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝3×2n﹣1，
∴a2＝6，等比数列{an}的公比为2，
∴2（6+k）＝6，
∴k＝﹣3，
故答案为：﹣3。
三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）已知△ABC三个顶点的坐标为A（3，1），B（﹣4，﹣2），C（2，﹣4），求该三角形BC 边上中线的长。
【分析】先根据线段的中点坐标公式求出BC的中点坐标，再根据两点间的距离公式求出点A到BC中点的距离即可。
【解答】解：即BC的中点为D，则由B（﹣4，﹣2），C（2，﹣4），
可得BC的中点坐标为D（，），即D（﹣1，﹣3），
所以|AD|＝＝＝4，
即该三角形BC边上中线的长为4。
17．（10分）已知函数f（x）＝lg2（m﹣x）+1，f（5）＝1.
（1）求实数m的值，并写出f（x）的定义域；
（2）当x∈[﹣2，4]，求f（x）的取值范围。
【分析】（1）由f（5）＝1，可得m的值，进而得到f（x），由此可求得定义域；
（2）由函数f（x）的单调性，即可求得值域.
【解答】解：（1）依题意，lg2（m﹣5）+1＝1，解得m＝6，
所以f（x）＝lg2（6﹣x）+1，令6﹣x＞0，解得x＜6，
所以函数的定义域为（﹣∞，6）；
（2）函数f（x）＝lg2（6﹣x）+1在[﹣2，4]上单调递减，
则f（x）min＝f（4）＝lg22+1＝2，f（x）max＝f（﹣2）＝3+1＝4，
所以f（x）的取值范围为[2，4].
18．（10分）已知两点A（﹣4，1），B（﹣2，3）.求：
（1）求直线AB的方程；
（2）求以AB为直径的圆的标准方程。
【分析】（1）先设直线AB的方程为y＝kx+b，再根据A（﹣4，1），B（﹣2，3）列出方程组即可求解；
（2）先利用中点坐标公式求得以AB为直径的圆的圆心坐标为（，），即（﹣3，2），再利用两点间距离公式求得以AB为直径的圆的半径为即可。
【解答】解：（1）∵A（﹣4，1），B（﹣2，3），
∴设直线AB的方程为y＝kx+b，
∴﹣4k+b＝1，﹣2k+b＝3，
∴k＝1，b＝5，
∴直线AB的方程为y＝x+5；
（2）∵A（﹣4，1），B（﹣2，3），
∴以AB为直径的圆的圆心坐标为（，），即（﹣3，2），|AB|＝＝2，
∴以AB为直径的圆的圆心坐标为（﹣3，2），半径为，
∴以AB为直径的圆的标准方程为（x+3）2+（y﹣2）2＝2。
19．（10分）在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°．
（1）求A；
（2）求csC。
【分析】（1）根据题干信息和三角函数的正弦定理得到sinA＝＝即可求解；
（2）分A＝60°和A＝120°两种情况讨论求解即可。
【解答】解：（1）∵a＝，b＝，B＝45°，
∴，
∴sinA＝＝，
∴A＝60°或120°；
（2）当A＝60°时，sinA＝，csA＝，sinB＝csB＝，
此时csC＝cs[π﹣（A+B）]＝sinAsinB﹣csAcsB＝＝＝，
当A＝120°时，sinA＝，csA＝﹣，sinB＝csB＝，
此时csC＝cs[π﹣（A+B）]＝sinAsinB﹣csAcsB＝＝＝。
20．（10分）已知向量＝（csx，1），＝（sinx，﹣1），x∈[0，π].
（1）若，求x的值；
（2）若f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值。
【分析】（1）根据共线向量的坐标表示即可求解；
（2）先求出f（x），再根据正弦型函数的值域即可求解．
【解答】解：（1）∵，
∴sinx＝﹣csx，
∴tanx＝﹣1，
∵x∈[0，π]，
∴x＝；
（2）∵f（x）＝＝2csxsinx﹣1＝sin2x﹣1，
∴f（x）的最大值为0，最小值为﹣2．
21．（10分）若数列{an}满足a1＝2，且an+1＝3an+2.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn。
【分析】（1）将an+1＝3an+2转化为an+1+1＝3（an+1）求解即可；
（2）利用（1）中得到的an＝3n﹣1进行分项求和即可。
【解答】解：（1）∵an+1＝3an+2，
∴an+1+1＝3（an+1），
∴＝3，
∵a1＝2，
∴数列{an+1}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴an+1＝3n，
∴an＝3n﹣1，n∈N+；
（2）∵an＝3n﹣1，
∴Sn＝31﹣1+32﹣1+⋯+3n﹣1＝＝﹣n﹣，n∈N+。