数学选择性必修 第一册第2章 平面解析几何初步2.3 两条直线的位置关系学案设计

这是一份数学选择性必修 第一册第2章 平面解析几何初步2.3 两条直线的位置关系学案设计，共8页。

(2)会判断两条直线平行或垂直．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 两条直线平行❶
对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2
1．____________且b1≠b2⇔l1∥l2.
2．若k1＝k2，并且b1＝b2，则两条直线________．
3．若直线l1和l2的斜率都不存在，它们都与x轴垂直但在x轴上的截距不同，仍有l1∥l2.
要点二 两条直线垂直❷
对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2
1．l1⊥l2⇔____________．
2．若两条直线中的一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为____时，它们互相垂直．
批注❶ 两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况．
批注❷ 两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零的情况．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2.( )
(2)若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1.( )
(3)若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴．( )
(4)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．( )
2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于( )
A．－3 B．3 C．－ D．
3．如果直线l1的斜率为2，l1⊥l2，则直线l2的斜率为( )
A．－ B．2 C． D．－2
4．过点A(2，5)和点B(－4，5)的直线与直线y＝3的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．重合 D．以上都不对
5．l1过点A(m，1)，B(－3，4)，l2过点C(0，2)，D(1，1)，且l1∥l2，则m＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 两条直线平行的判定及应用
例1 (1)(多选)下列直线l1与直线l2平行的有( )
A．l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)
B．l1的斜率为2，l2经过点A(1，1)，B(2，2)
C．l1的倾斜角为30°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)
D．l1经过点E(－3，2)，F(－3，10)，l2经过点P(5，－2)，Q(5，5)
(2)已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a等于( )
A．1或－3 B．－1或3
C．1或3 D．－1或－3
(3)过点(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为____________；
(4)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求顶点D的坐标．
方法归纳
(1)判断两直线是否平行的方法
(2)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋λ＝0，这是常用的解题技巧．
巩固训练1 (1)(多选)下列各组直线平行的有( )
A．y＝－3x＋2与x＋3y－1＝0
B．y＝x＋2与x－y－2＝0
C．4x－2y＋3＝0与x＋2y－1＝0
D．＝1与3x＋2y－2＝0
(2)已知两条不重合的直线l1：ax＋2y－1＝0和l2：x＋(a＋1)y＋＝0，a∈R，若l1∥l2，则a＝________；
(3)与直线3x－2y＝0平行，且过点(4，－3)的直线方程为____________．
题型2 两条直线垂直的判定及应用
例2 (1)(多选)下列各对直线互相垂直的是( )
A．l1的倾斜角为120°，l2过点P(1，0)，Q(4，)
B．l1的斜率为－，l2过点P(1，1)，Q(0，－)
C．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2)
D．l1过点M(1，0)，N(4，－5)，l2过点P(－6，0)，Q(－1，3)
(2)[2022·湖南临澧一中测试]直线(3a＋4)x＋ay＋8＝0与直线ax＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a的值为( )
A．－2 B．0
C．－2或0 D．0或2
(3)三角形的三个顶点分别是A(4，0)，B(6，7)，C(0，3)，求AC边上的高所在的直线方程．
方法归纳
(1)利用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋λ＝0，这是常用到的解题技巧．
巩固训练2 (1)已知直线l1：3x＋y－2＝0，l2：ax－6y＋1＝0，若l1⊥l2，则a的值为( )
A．2 B．3
C．－ D．－2
(2)过点A(－3，2)且与直线3x－5y＋1＝0垂直的直线方程为____________．
题型3 直线平行与垂直的综合应用
例3 在平面直角坐标系xOy中，四边形OPQR的顶点坐标分别为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t>0且t≠.试判断四边形OPQR的形状．
方法归纳
利用直线平行或垂直来判定图形形状的步骤
巩固训练3 已知在▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判定▱ABCD是否为菱形？
易错辨析 忽视直线斜率不存在的情况致错
例4 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，3)，直线l2经过点C(2，3)，P(－1，a－2)，若l1⊥l2，则a的值为________．
解析：当直线l1的斜率存在时，
则由l1⊥l2知k1·k2＝－1，
即·＝－1，解得a＝0，
当直线l1的斜率不存在时，
则a－2＝3，得a＝5，
此时k2＝0，故l1⊥l2.
综上a的值为0或5.
答案：0或5
【易错警示】
2．3 两条直线的位置关系
2．3.1 两条直线平行与垂直的判定
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．k1＝k2
2．重合
要点二
1．k1k2＝－1
2．0
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：kAB＝＝3，∵l∥AB，∴kl＝3.故选B.
答案：B
3．解析：由于直线l1的斜率为2且l1⊥l2，所以直线l2的斜率为－.
答案：A
4．解析：由题意，点A(2，5)和点(－4，5)，可得kAB＝＝0，所以AB的方程为y＝5，又由直线y＝3的斜率为0，且两直线不重合，所以两直线平行．
答案：B
5．解析：＝＝－1，l1∥l2，
＝＝－1，∴m＝0.
答案：0
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)A中，kAB＝＝－，kCD＝＝－，
∴kAB＝kCD，∴l1∥l2.
B中，k2＝＝1≠k1＝2，
∴l1不平行l2.
C中，k1＝tan 30°＝，k2＝＝.
∴k1≠k2，∴l1不平行l2.
D中，l1的斜率不存在，
l2的斜率也不存在，∴l1∥l2.
故选AD.
解析：(2)由a＝，a2＋2a－3＝0，所以a＝－3，a＝1，经检验都符合．
(3)设直线方程是x－2y＋C＝0，因为直线过点(－1，3)，所以－1－6＋C＝0，解得C＝7，故所求直线方程是x－2y＋7＝0.
(4)设D(m，n)，因为四边形ABCD为平行四边形，可得AB∥DC，AD∥BC，所以kAB＝kDC，kAD＝kBC，可得，解得m＝3，n＝4，所以顶点D的坐标为(3，4)．
答案：(1)AD (2)A (3)x－2y＋7＝0 (4)见解析
巩固训练1 解析：(1)分别求出各组直线的斜率可得BD正确．
(2)由题意：a·(a＋1)－2×1＝0，∴a＝1或a＝－2，
当a＝1时，则l1：x＋2y－1＝0，
l2：x＋2y＋＝0，∴l1∥l2，
当a＝－2时，则l1：－2x＋2y－1＝0，即x－y＋＝0.
l2：x－y＋＝0，
∴两直线重合(舍去)．
故a＝1.
(3)设直线方程是3x－2y＋t＝0，
则3×4－2×(－3)＋t＝0，
∴t＝－18.
故所求直线方程是3x－2y－18＝0.
答案：(1)BD (2)1 (3)3x－2y－18＝0
例2 解析：(1)设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.
对于A，因为k1＝－，k2＝，所以k1·k2＝－1，故两直线垂直．
对于B，因为k1＝－，k2＝，所以k1·k2＝－1，故两条直线垂直．
对于C，因为k1＝，k2＝，而k1·k2＝1≠－1，所以l1与l2不垂直．
对于D，因为k1＝－，k2＝，所以k1·k2＝－1，故两条直线垂直．
(2)当a＝0时，直线l1为x＝－2，直线l2为y＝，直线l1和l2互相垂直．当两直线的斜率都存在时，根据斜率之积等于－1可得(－)·＝－1，∴a＝－2，综上，a＝0或a＝－2.
(3)∵AC边上的高垂直于AC，由已知kAC＝＝－，∴高所在的直线方程斜率为，
又AC边上的高过点B(6，7)，
故所求直线方程为y－7＝(x－6)，
故AC边上的高所在的直线方程是4x－3y－3＝0.
答案：(1)ABD (2)C (3)见解析
巩固训练2 解析：(1)因为直线l1：3x＋y－2＝0，l2：ax－6y＋1＝0，若l1⊥l2，则3a－6＝0，可得a＝2.
(2)设所求直线方程为：5x＋3y＋t＝0，
则5×(－3)＋3×2＋t＝0，∴t＝9，
故所求的直线方程为：5x＋3y＋9＝0.
答案：(1)A (2)5x＋3y＋9＝0
例3 解析：由斜率公式，得kOP＝＝t，
kQR＝＝＝t，kOR＝＝－，
kPQ＝＝＝－，kOQ＝，kPR＝.
所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，
所以OP∥QR，OR∥PQ，
所以四边形OPQR为平行四边形．
又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥QR.
又kOQ·kPR≠－1，所以OQ与PR不垂直，
所以四边形OPQR为矩形．
巩固训练3 解析：(1)设点D坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
所以解得
所以D(－1，6)．
(2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形．出错原因
纠错心得
本题容易由k1·k2＝－1得a＝0而出错，误认为直线l1的斜率存在．
已知点的坐标中有参数的，首先判断直线的斜率是否存在，本题中直线l1的斜率就要分存在与不存在两种情况解答．