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数学选择性必修 第一册第2章 平面解析几何初步2.3 两条直线的位置关系学案设计
展开(2)会判断两条直线平行或垂直.
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 两条直线平行❶
对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2
1.____________且b1≠b2⇔l1∥l2.
2.若k1=k2,并且b1=b2,则两条直线________.
3.若直线l1和l2的斜率都不存在,它们都与x轴垂直但在x轴上的截距不同,仍有l1∥l2.
要点二 两条直线垂直❷
对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2
1.l1⊥l2⇔____________.
2.若两条直线中的一条直线没有斜率,另一条直线的斜率为____时,它们互相垂直.
批注❶ 两条直线平行时,不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况.
批注❷ 两条直线垂直时,不要忘记一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零的情况.
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若直线l1与l2倾斜角相等,则l1∥l2.( )
(2)若直线l1⊥l2,则k1k2=-1.( )
(3)若直线的斜率不存在,则这条直线一定平行于y轴.( )
(4)若两条直线的斜率不相等,则两直线不平行.( )
2.已知A(2,0),B(3,3),直线l∥AB,则直线l的斜率k等于( )
A.-3 B.3 C.- D.
3.如果直线l1的斜率为2,l1⊥l2,则直线l2的斜率为( )
A.- B.2 C. D.-2
4.过点A(2,5)和点B(-4,5)的直线与直线y=3的位置关系是( )
A.相交 B.平行
C.重合 D.以上都不对
5.l1过点A(m,1),B(-3,4),l2过点C(0,2),D(1,1),且l1∥l2,则m=________.
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 两条直线平行的判定及应用
例1 (1)(多选)下列直线l1与直线l2平行的有( )
A.l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7)
B.l1的斜率为2,l2经过点A(1,1),B(2,2)
C.l1的倾斜角为30°,l2经过点M(1,),N(-2,-2)
D.l1经过点E(-3,2),F(-3,10),l2经过点P(5,-2),Q(5,5)
(2)已知两条直线y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相平行,则a等于( )
A.1或-3 B.-1或3
C.1或3 D.-1或-3
(3)过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为____________;
(4)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,3),求顶点D的坐标.
方法归纳
(1)判断两直线是否平行的方法
(2)与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+λ=0,这是常用的解题技巧.
巩固训练1 (1)(多选)下列各组直线平行的有( )
A.y=-3x+2与x+3y-1=0
B.y=x+2与x-y-2=0
C.4x-2y+3=0与x+2y-1=0
D.=1与3x+2y-2=0
(2)已知两条不重合的直线l1:ax+2y-1=0和l2:x+(a+1)y+=0,a∈R,若l1∥l2,则a=________;
(3)与直线3x-2y=0平行,且过点(4,-3)的直线方程为____________.
题型2 两条直线垂直的判定及应用
例2 (1)(多选)下列各对直线互相垂直的是( )
A.l1的倾斜角为120°,l2过点P(1,0),Q(4,)
B.l1的斜率为-,l2过点P(1,1),Q(0,-)
C.l1的倾斜角为30°,l2过点P(3,),Q(4,2)
D.l1过点M(1,0),N(4,-5),l2过点P(-6,0),Q(-1,3)
(2)[2022·湖南临澧一中测试]直线(3a+4)x+ay+8=0与直线ax+(a+4)y-7=0垂直,则a的值为( )
A.-2 B.0
C.-2或0 D.0或2
(3)三角形的三个顶点分别是A(4,0),B(6,7),C(0,3),求AC边上的高所在的直线方程.
方法归纳
(1)利用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+λ=0,这是常用到的解题技巧.
巩固训练2 (1)已知直线l1:3x+y-2=0,l2:ax-6y+1=0,若l1⊥l2,则a的值为( )
A.2 B.3
C.- D.-2
(2)过点A(-3,2)且与直线3x-5y+1=0垂直的直线方程为____________.
题型3 直线平行与垂直的综合应用
例3 在平面直角坐标系xOy中,四边形OPQR的顶点坐标分别为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0且t≠.试判断四边形OPQR的形状.
方法归纳
利用直线平行或垂直来判定图形形状的步骤
巩固训练3 已知在▱ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).
(1)求点D的坐标;
(2)试判定▱ABCD是否为菱形?
易错辨析 忽视直线斜率不存在的情况致错
例4 已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),P(-1,a-2),若l1⊥l2,则a的值为________.
解析:当直线l1的斜率存在时,
则由l1⊥l2知k1·k2=-1,
即·=-1,解得a=0,
当直线l1的斜率不存在时,
则a-2=3,得a=5,
此时k2=0,故l1⊥l2.
综上a的值为0或5.
答案:0或5
【易错警示】
2.3 两条直线的位置关系
2.3.1 两条直线平行与垂直的判定
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1.k1=k2
2.重合
要点二
1.k1k2=-1
2.0
[基础自测]
1.(1)× (2)× (3)× (4)√
2.解析:kAB==3,∵l∥AB,∴kl=3.故选B.
答案:B
3.解析:由于直线l1的斜率为2且l1⊥l2,所以直线l2的斜率为-.
答案:A
4.解析:由题意,点A(2,5)和点(-4,5),可得kAB==0,所以AB的方程为y=5,又由直线y=3的斜率为0,且两直线不重合,所以两直线平行.
答案:B
5.解析:==-1,l1∥l2,
==-1,∴m=0.
答案:0
题型探究·课堂解透
例1 解析:(1)A中,kAB==-,kCD==-,
∴kAB=kCD,∴l1∥l2.
B中,k2==1≠k1=2,
∴l1不平行l2.
C中,k1=tan 30°=,k2==.
∴k1≠k2,∴l1不平行l2.
D中,l1的斜率不存在,
l2的斜率也不存在,∴l1∥l2.
故选AD.
解析:(2)由a=,a2+2a-3=0,所以a=-3,a=1,经检验都符合.
(3)设直线方程是x-2y+C=0,因为直线过点(-1,3),所以-1-6+C=0,解得C=7,故所求直线方程是x-2y+7=0.
(4)设D(m,n),因为四边形ABCD为平行四边形,可得AB∥DC,AD∥BC,所以kAB=kDC,kAD=kBC,可得,解得m=3,n=4,所以顶点D的坐标为(3,4).
答案:(1)AD (2)A (3)x-2y+7=0 (4)见解析
巩固训练1 解析:(1)分别求出各组直线的斜率可得BD正确.
(2)由题意:a·(a+1)-2×1=0,∴a=1或a=-2,
当a=1时,则l1:x+2y-1=0,
l2:x+2y+=0,∴l1∥l2,
当a=-2时,则l1:-2x+2y-1=0,即x-y+=0.
l2:x-y+=0,
∴两直线重合(舍去).
故a=1.
(3)设直线方程是3x-2y+t=0,
则3×4-2×(-3)+t=0,
∴t=-18.
故所求直线方程是3x-2y-18=0.
答案:(1)BD (2)1 (3)3x-2y-18=0
例2 解析:(1)设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2.
对于A,因为k1=-,k2=,所以k1·k2=-1,故两直线垂直.
对于B,因为k1=-,k2=,所以k1·k2=-1,故两条直线垂直.
对于C,因为k1=,k2=,而k1·k2=1≠-1,所以l1与l2不垂直.
对于D,因为k1=-,k2=,所以k1·k2=-1,故两条直线垂直.
(2)当a=0时,直线l1为x=-2,直线l2为y=,直线l1和l2互相垂直.当两直线的斜率都存在时,根据斜率之积等于-1可得(-)·=-1,∴a=-2,综上,a=0或a=-2.
(3)∵AC边上的高垂直于AC,由已知kAC==-,∴高所在的直线方程斜率为,
又AC边上的高过点B(6,7),
故所求直线方程为y-7=(x-6),
故AC边上的高所在的直线方程是4x-3y-3=0.
答案:(1)ABD (2)C (3)见解析
巩固训练2 解析:(1)因为直线l1:3x+y-2=0,l2:ax-6y+1=0,若l1⊥l2,则3a-6=0,可得a=2.
(2)设所求直线方程为:5x+3y+t=0,
则5×(-3)+3×2+t=0,∴t=9,
故所求的直线方程为:5x+3y+9=0.
答案:(1)A (2)5x+3y+9=0
例3 解析:由斜率公式,得kOP==t,
kQR===t,kOR==-,
kPQ===-,kOQ=,kPR=.
所以kOP=kQR,kOR=kPQ,
所以OP∥QR,OR∥PQ,
所以四边形OPQR为平行四边形.
又kOP·kOR=-1,所以OP⊥QR.
又kOQ·kPR≠-1,所以OQ与PR不垂直,
所以四边形OPQR为矩形.
巩固训练3 解析:(1)设点D坐标为(a,b),因为四边形ABCD为平行四边形,所以kAB=kCD,kAD=kBC,
所以解得
所以D(-1,6).
(2)因为kAC==1,kBD==-1,
所以kAC·kBD=-1,所以AC⊥BD,所以▱ABCD为菱形.出错原因
纠错心得
本题容易由k1·k2=-1得a=0而出错,误认为直线l1的斜率存在.
已知点的坐标中有参数的,首先判断直线的斜率是否存在,本题中直线l1的斜率就要分存在与不存在两种情况解答.
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