高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册2.4 空间向量在立体几何中的应用精品一课一练

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1．已知异面直线，的方向向量分别是，，则，夹角的大小是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，夹角为，则，又，
所以．故选B．
2．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则直线与平面所成的角
的大小是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线与平面所成的角为，则，又，所以．
故选B．
3．已知平面，的法向量分别为，，则二面角的平面角的大小为
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】依题意，得．
当二面角为锐二面角时，其大小为；当二面角为钝二面角时，其大小为．故选C．
4．已知，，，则点到直线的距离为
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】依题意，得，．因此在上得投影长为
，
所以点到直线的距离为．故选A．
5．在三棱锥中，底面，，，，则点到
平面的距离是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在三棱锥中，底面，，，． 以为原点，以，为轴，轴的正方向，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则
，， ，
因此，，．
设平面的法向量，则，
取，得，所以点到平面的距离．故选B．
6．(多选题) 在长方体中，，，，以为原点，以，，
分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是
A．
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．平面的一个法向量为
D．二面角的余弦值为
【答案】ACD
【解析】在长方体中，，，，
以为原点，以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得，
所以，故选项A 正确．
因为，，所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故选项B错误．
设平面的一个法向量为
由，，则 ，所以 ，取，
得，故选项C正确．
由上可得平面的一个法向量为，
又平面的法向量为，则，
所以二面角的余弦值为，故选项D正确．故选ACD．
二．填空题（每小题5分）．
7．已知点，直线过点，且一个方向向量为，则点到直线的距离
为___________．
【答案】
【解析】依题意，得．因此在上得投影长为
，
所以点到直线的距离为．
8．已知平面的法向量为，点在平面内，若点到平面的距离
为，则________．
【答案】或
【解析】依题意，得．因此点到平面的距离即在上得投影长为
，解得或．
9．如图，正四棱柱的底面边长为，记，，若，
则此棱柱的体积为______．
【答案】
【解析】建立如图所示以为原点空间直角坐标系，设，又，
则，，，，所以，，
因为，所以，得，解得．此棱柱的体积为．
10．如图，在底面边长均为，高为的长方体中，、分别为、的中点，
则异面直线、所成角的大小为 ；平面与平面所成锐二面角的余弦值
为 ．
【答案】
【解析】如下图，以点为原点，以，，
分别为，，轴建立空间直角坐标系，
根据题意，则有，，
故有，，
假设异面直线，所成角的大小，
则有，故可得．
又因为平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，
则有，即得，取，
设平面与平面所成锐二面角为，
则．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
11．（本小题满分12分）
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且
．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为平面，四边形为矩形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，，
，，
则，，
因为，则，
解得，故．
（2）设平面的法向量为，则，，
由，取，可得，
设平面的法向量为，
又，，
由，取，可得，
所以，
所以，
因此，二面角的正弦值为．
12．（本小题满分12分）
如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，且点和分别为和的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明详见解析；（2）．
【解析】（1）证明：以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，， ，因为，分别为，的中点，则，，
由题意可知，是平面的一个法向量，又，
所以，又平面，故平面；
（2）因为，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，故，所以，
设点到平面的距离为，则，
所以点到平面的距离为；
13．（本小题满分12分）
如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．
（1）证明：平面⊥平面；
（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明详见解析；（2）．
【解析】（1）由题设可得，，从而．
又是直角三角形，所以．
取的中点，连接，则，．
又由于是正三角形，故，所以为二面角的平面角．
在中，．又，
所以，故．
所以平面⊥平面．
（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．
则．
由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，
从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点，得．
故．
设是平面DAE的法向量，则，即，可取．
设是平面的法向量，则同理可取．
则．所以二面角的余弦值为．
14．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，平面，，，是的中点．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为．
【解析】（1）如图所示建立空间直角坐标系，则，，， ．∴，，
设平面的法向量为，则，
即令，则．
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（2）解：假设在棱上存在一点，使得平面与平面所成二面角为，
设，．则，设平面的法向量为，
则，即，取，则．
由（1）知平面的法向量为．
所以，即，而，故．
故在棱上存在一点，使得平面与平面所成二面角为，点的坐标为．
15．（本小题满分12分）
已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．
（1）证明：；
（2）当为何值时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小?
【答案】（1）证明详见解析；（2）当时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小．
【解析】因为三棱柱是直三棱柱，
所以底面，所以．
因为，，所以．
又，所以平面，
所以两两垂直．
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
则，．
由题设（）．
因为，所以，
所以．
（2）设平面的法向量为，又因为，
所以，即，令，取．
因为平面的一个法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则．
当时，取最小值为，此时取最大值为．
所以，此时．