辽宁省葫芦岛市连山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份辽宁省葫芦岛市连山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．8B．9C．10D．11
2．小方用两块相同的含角的直角三角板拼成如下平面图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A．B．C．2D．
6．如图，与位似，位似中心为点O，若，的周长为3，则的周长为（ ）
A．6B．9C． D．
7．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示．则血液中药物浓度不低于微克/毫升的持续时间为（ ）
A．小时B．小时C．小时D．小时
8．如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
A．B．
C．D．
10．已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（ ）

A．①②B．①④C．②③D．②④
二、填空题
11．某工厂一月份某机器产量为100台，一月份起进行技术升级，升级后三月份生产的这种机器数量为144台，如果每个月的产量增长率平均为，那么可列方程为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为 ．
13．如图，中，为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若，，，则的长为 ．

14．如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是18，，则 ．
15．如图，四边形是边长为5的菱形，，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，点、旋转后的对应点分别为、，连接，在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，线段的长为 ．
三、解答题
16．计算
(1)计算：．
(2)解方程：；
17．2023年“十一”期间，小明同学和家人一起来葫芦岛旅游．他和家人提前做好攻略，到了酒店后不确定首先去哪儿的时候，他发现酒店有出售各景点的照片．他灵机一动就想到了用所学的数学知识帮助解决问题，首先他在酒店买了如图所示的四张旅游景点照片（除正面内容不同外，其余均相同），现将四张照片背面朝上，洗匀放好．
A． B． C． D．
(1)小明从中随机抽取一张照片，抽到葫芦古镇的概率是______．
(2)小明从中随机抽取两张照片，请用列表法或画树状图法，求小明抽取的两张照片恰好是兴城古城和龙回头的概率（这四张照片依次分别用字母、、、表示）．
18．阅读与思考：下面是小亮同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
今天是2023年12月4日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了人教九年级下册19页“活动2”的探究活动．
活动2
任务：
(1)你认为表中第几组数据是错误的？请把这组数据改正过来；
(2)在平面直角坐标系中，画出与的函数图象；
(3)这条曲线是反比例函数的一支吗？为什么？并直接写出关于的函数表达式；
(4)点在这条曲线上吗？说明理由．
19．如图，是位于校园内的旗杆，在学习了27章“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度，有以下两种方案：
方案一：如图1，在距离旗杆底点远的处竖立一根高的标杆，小丽在处站立，她的眼睛所在位置、标杆的顶端和塔顶点三点在一条直线上．已知小丽的眼睛到地面的距离，，，，，点、、在同一直线上．
方案二：如图2，小颖拿着一根长为的木棒站在离旗杆的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即、、在一条直线上，、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为．
图1 图2
请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度．
20．莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到；参考数据：，，，，，）

21．如图，是⊙的直径，是⊙的切线，、是⊙的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P．
(1)求证：；
(2)若⊙的半径，求线段的长．
22．民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面．经过锅心和盖心的纵断面是一段拋物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为，把锅盖纵断面所在的圆记作．
图1 图2 图3
(1)求抛物线解析式和弧所在的半径；
(2)锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度；
(3)如果将底面直径，高度为的圆柱形蒸笼若干个叠加起来（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？
23．完成下面各题
（1）如图1，等腰中，，点为斜边中点，点是边上一点（不与重合），将射线绕点逆时针旋转交于点．学习小组发现，不论点在边上如何运动，始终成立．请你证明这个结论；
【类比迁移】
（2）如图2，，，，点为斜边中点，点是延长线上一点，将线段绕点逆时针旋转得到，点恰好落的延长线上，求的值；
【拓展提升】
（3）如图3，等腰中，，，点是边上一点，且，以为边在的上方作等边，交于点，连接，，取的中点，连接，当时，求的面积．
如右图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来，在中点的左侧距离中点处桂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧秤与中点的距离（单位：），看弹簧秤的示数（单位：N）有什么变化．
第一步，实验测量．改变弹簧秤与中点的距离，观察弹簧秤的示数的值，并做好记录，（共记录了7组数据）．
第二步，整理数据．
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
第七组
…
5
10
14
20
25
35
40
…
…
49
8
…
第三步，描点连线．以的数值为横坐标，对应的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点．
在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．
参考答案：
1．A
【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：m＜9，
m的值可能是：8．
故选：A.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则，是解题的关键．
2．D
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．熟记相关结论即可．
【详解】解：A：是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B：是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C：是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D：既是轴对称图形又是中心对称图形，故D符合题意；
故选：D
3．B
【分析】连接菱形对角线，设大矩形的长=2a，大矩形的宽=2b，可得大矩形的面积，根据题意可得菱形的对角线长，从而求出菱形的面积，根据“顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形”，可得小矩形的长，宽分别是菱形对角线的一半，可求出小矩形的面积，根据阴影部分的面积=菱形的面积-小矩形的面积可求出阴影部分的面积，再求出阴影部分与大矩形面积之比即可得到飞镖落在阴影区域的概率．
【详解】解：如图，连接EG，FH，
设AD=BC=2a，AB=DC=2b，
则FH=AD=2a，EG=AB=2b，
∵四边形EFGH是菱形，
∴S菱形EFGH===2ab，
∵M，O，P，N点分别是各边的中点，
∴OP=MN=FH=a，MO=NP=EG=b，
∵四边形MOPN是矩形，
∴S矩形MOPN=OPMO=ab，
∴S阴影= S菱形EFGH-S矩形MOPN=2ab-ab=ab，
∵S矩形ABCD=ABBC=2a2b=4ab，
∴飞镖落在阴影区域的概率是，
故选B．
【点睛】本题考查了几何概率问题．用到的知识点是概率=相应的面积与总面积之比．
4．B
【分析】连接，根据与相切易得，在中，已知，可以求出的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出的度数，最后根据可得．
【详解】如下图，连接，
∵切于点，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及平行线的性质，综合运用以上性质定理是解题的关键．
5．D
【分析】首先构造以∠A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【详解】解：连接BD，如图所示：
根据网格特点可知，，
∴，
∵， ，
∴在Rt△ABD中，tanA＝＝，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．
6．B
【分析】本题考查位似，根据相似图形的周长比等于相似比直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，，
∴，，
∴的周长的周长，
∴的周长为，
故选：B．
7．B
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．先分别设出正比例函数以及反比例函数的解析式，代入点坐标，求出解析式；再令分别得出的值，进而得出答案．
【详解】解：当时，设直线解析式为：，
将代入得：，
解得：，
故直线解析式为：，
当时，设反比例函数解析式为：，
将代入得：，
解得：，
反比例函数解析式为：；
当时，令，则；
当时，令，；
∴（小时）．
故选：B．
8．A
【分析】利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可．
【详解】解：过B点作AC垂线，垂足为G，
根据正六边形性质可知，，
∴，
∴S扇形=，
故选：A．
【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键．
9．C
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB．
【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，
∴，
∴（cm），
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求．
10．D
【分析】由抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，可得，， ，故①不符合题意；当与时的函数值相等，可得，故②符合题意；当时函数值最大，可得，故③不符合题意；由点和点在该图象上，而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题意．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，
∴，，，
∴，
∴，故①不符合题意；
∵对称轴为直线，
∴当与时的函数值相等，
∴，故②符合题意；
∵当时函数值最大，
∴，
∴；故③不符合题意；
∵点和点在该图象上，
而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，
∴．故④符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的开口方向，与y轴的交点坐标，对称轴方程，增减性的判定，函数的最值这些知识点是解本题的关键．
11．
【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．根据三月份的产量一月份的产量列方程即可．
【详解】解：由题意，可列方程为，
故答案为：．
12．
【分析】过B作于，过作轴于，构建，即可得出答案．
【详解】过B作于，过作轴于，
∴，
∴，
由旋转可知，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质以及如何构造全等三角形求得线段的长度，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键．
13．5
【分析】连接，根据基本作图，得到，利用平行四边形的性质，得，在中，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图所示，连接，
根据基本作图，可设，

∵，，，
∴，，，
在中，，由勾股定理得，
∴，
解得，
即，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的基本作图，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数k的几何意义，余弦的定义．根据可得，设，则，代入可得，进而可得，推出，根据k的几何意义可得，再根据反比例函数图象所在象限得出，即可求解．
【详解】解：轴，四边形是矩形，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
反比例函数第二象限，
，
．
故答案为：．
15．10或或
【分析】本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、旋转的性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和旋转的性质是解题的关键，属于中考常考题型．分三种情况，①当时，先证四边形是菱形，过点作于点，则，设，则，由菱形的性质求出，则，，再由勾股定理得，进而由勾股定理求出的长，即可得出的长；②当时，则，证、、三点共线，即可得出的长；③当，且在上方时，过点作于点，则，由锐角三角函数定义求出，，则，再由勾股定理求出的长即可．
【详解】①如图4，当时，
四边形是菱形，
，
由旋转的性质得：，，
，
四边形是菱形，
过点作于点，
则，
设，则，
由勾股定理得：，
四边形是边长为5的菱形，
，
，
，，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
②如图5，当时，则，
，
，
，
，
，
，
，
、、三点共线，
；
③如图6，当，且在上方时，过点作于点，
则，
，
结合，易得，，
，
；
综上所述，的长为或10或．
16．(1)2
(2)，
【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的混合计算和解一元二次方程，
（1）先计算特殊角三角函数值、零指数幂和有理数乘方，然后根据实数的混合计算法则计算即可；
（2）利用公式法求解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2），
，，，
，
∴，
则，．
17．(1)
(2)图形见解析，小明抽取的两张照片恰好是兴城古城和龙回头的概率为；
【分析】（1）本题考查求概率，根据直接求解即可得到答案；
（2）本题考查树状图法求概率，先画出树状图，找到所有情况及需要的情况，再利用求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
；
（2）解：由题意可得，
画树状图如下：
由树状图可知：共有种结果，每种结果出现的可能性都相同，其中小明抽取的两张照片恰好是兴城古城和龙回头，即和的结果有2种，
∴小明抽取的两张照片恰好是兴城古城和龙回头的概率为．
18．(1)第六组数据是错误的，正确应该是：时，
(2)图形见解析
(3)
(4)点在这条曲线上，理由见解析
【分析】（1）根据表格数据，可发现与F的乘积为定值245，再进行判断即可；
（2）画出与的函数图象即可；
（3）先判断这条曲线是否反比例函数的一支，再直接写出关于的函数表达式；
（4）判断点在是否这条曲线上即可．
【详解】（1）根据表格数据，可发现与F的乘积为定值245，
第六组数据：，是错误的，
正确应该是：时，；
（2）画出与的函数图象如图：
（3）这条曲线是反比例函数的一支；
因为在平面直角坐标系中，以它们为坐标的点都满足；
其函数表达式为：；
（4）点在这条曲线上；
理由：∵，
∴点满足反比例函数的解析式，因此它在这条曲线上．
19．旗杆的高度为12米，方案一和方案二的过程见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点，求出（米），（米），
（米），进而求出（米），再证明得到，据此求出（米），进而可得到（米）；若选择方案二：如图，过点作，垂足为，交于点，则，证明，得到，即，可得（米）．
【详解】解：若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点，
由题意得：，（米），（米），
（米），
（米），，
又，
，
，即，
（米），
（米）
答：旗杆的高度为12米；
若选择方案二：
如图，过点作，垂足为，交于点，则
，
，
，
由题意得：（厘米）（米），（厘米）（米），（米），
，
，
，即，
（米）
答：旗杆的高度为12米．
20．座板距地面的最大高度为．
【分析】过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，利用和的余弦值求出，，然后利用线段的和差和矩形的性质求解即可．
【详解】如图所示，过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，

由题意可得，四边形和四边形是矩形，
∴，，
∵秋千链子的长度为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴座板距地面的最大高度为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据是的切线，得出．根据，可证．得出．根据同弧所对圆周角性质得出即可；
（2）连接．根据直径所对圆周角性质得出，．可证．得出．根据勾股定理．再证．求出即可．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴．
∵
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）解：如图，连接．
∵为直径，
∴
，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
，
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，熟练掌握圆周角性质和三角形相似判定与性质是解题关键．
22．(1)；的半径为
(2)水面宽度为
(3)为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的蒸笼4个
【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为：，代入求出的值即可；圆心为，连接，设，则，由垂径定理出，根据勾股定理求出半径即可；
（2）根据题意把代入（1）中抛物线的解析式，求出即可；
（3）先在抛物线中求出时，的值，即的值，再借助图形在中，求出距轴的距离，即的值，再用，求出其整数值即可．
【详解】（1）由题意知抛物线的顶点为，且过，，
设抛物线解析式为：，
，解得：，
抛物线解析式为：，
如图：圆心为，连接，
设，则，
，
，
在中，
由勾股定理可得：，
，
解得：，
的半径为；
（2）锅中原有水的最大深度为，又重新加入一定量的水，水位升高，
加水后水面水的最大深度为
水面距锅沿的竖直高度为，
当时，，
解得，
水面宽度为；
（3）对于抛物线，如图所示：
当时，，
；
对于，如图所示：
当时，，
，
，
，
，
，
为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的蒸笼4个．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，垂径定理，勾股定理，解题的关键是求出抛物线的解析式和的半径，采用数形结合的思想解题．
23．（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）连接，由等腰直角三角形的性质得出，利用同角的余角·相等得出，利用证明可得，即可得出结论；
（2）连接，，根据直角三角形斜边中线的性质可得，根据可证明为等边三角形，根据旋转的性质可得，，利用证明得出，，进而求出，利用的三角函数即可得答案；
（3）取的中点，连接，，根据中位线的性质，，根据含角的直角三角形的性质可得，根据是等边三角形得出即可证明，设，则，利用勾股定理列方程可求出的值，利用三角形面积公式即可得答案．
【详解】证明：（1）连接，
∵是等腰直角三角形，
∵点为斜边中点，
，，，
，，
∵，
∴，
∴，
在和中，；
∴，
∴，
∴，即．
（2）连接，
∵点是斜边的中点
，
∵，，
，
∴为等边三角形
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
；
（3）取的中点，连接，
∵，，
，，
，
∵是的中点，是的中点，
是的中位线，
，，
，，
∵是等边三角形，
，
，
，，
，
，
∵，
，
，
，
，
设，则，
又∵，
，
在中，，
，
解得，，
当时，，不符题意舍去，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义、含角的直角三角形的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等知识．利用性质进行边与角的相关计算与证明是解决问题的常用方法．