江苏省盐城市第一中学2023-2024学年高一（上）期末数学试题（含解析）

这是一份江苏省盐城市第一中学2023-2024学年高一（上）期末数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试题
本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则集合中的元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知函数，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
3．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
4．下列四组数中大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，则“”是“点在第一象限内”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
7．今年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（ ）（参考数据:）
A．年B．年C．年D．年
8．已知为上的奇函数，，若对于，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．
C．若，则D．
10．已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数B．函数为偶函数
C．若，则D．若，则
11．已知函数的图象关于点成中心对称，则（ ）
A．在区间上单调递减
B．函数在区间上的最大值为
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．若在上有两个不相等的实根，则的取值范围是
12．已知，为函数的两个零点，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．
C．D．若，则
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．求值 .
14．若函数（，且）的图象经过定点，若点在角的终边上（是坐标原点），则 .
15．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
16．已知实数，且，则的最小值是 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知集合，.
(1)求；
(2)集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶角与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，且.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
19．已知函数.
(1)求实数的值，使得为偶函数；
(2)当为偶函数时，设，若，都有成立，求实数的取值范围.
20．已知函数（，，）的部分图象如图所示，若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象.
(1)求的解析式，并写出在上的单调递减区间；
(2)若在区间上恰有100个零点，求的取值范围.
21．2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环万只并能全部销售完，平均每万只的销售投入为万元，且．当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元．
(1)求出的值并写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；
(2)当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
22．定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“距”增函数.
(1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由；
(2)若，，其中（）为常数.若是“2距”增的数，求的最小值.
参考答案与解析
1．B
【分析】由函数的定义域可得，由交集运算即可求得结果.
【解答】根据可得，解得，
即可得，又
所以，因此集合中的元素的个数为2个.
故选：B
2．A
【分析】分段函数求值根据自变量所属范围代入相应部分的解析式求值.
【解答】因为，
所以.
故选：.
3．C
【分析】根据题意，结合三角函数的图象变换，即可求解.
【解答】由函数，
所以只需把函数向左平移个单位，即可得到函数的图象.
故选：C.
4．C
【分析】结合指数函数、对数函数、幂函数性质即可求解.
【解答】对A，，故，错误；
对B，在第一象限为增函数，故，错误；
对C，为增函数，故，正确；
对D，，，故，错误；
故选：C
5．B
【分析】结合三角函数的想先符号判断即可.
【解答】若，则在第一或三象限，
则或，则点在第一或三象限，
若点在第一象限，
则，则.
故“”是“点在第一象限内”的必要不充分条件.
故选：B
6．C
【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.
【解答】因为函数在上连续单调递增，
且,
所以函数的零点在区间内，故选C.
【点拨】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
7．B
【分析】根据已知条件得，解方程组求出的值，当时，在等式两边取对数即可求解.
【解答】由题意得:，解得，
所以，
当时，得，即，
两边取对数得，
所以，
即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要年.
故选：B.
8．B
【分析】令，由题可知为上的偶函数且在上单调递减，由，将不等式转化为或，结合的单调性即可求解.
【解答】，
因为，所以，
则有，即.
令，则在上单调递减.
因为为上的奇函数，所以，
所以为上的偶函数，故在上单调递增.
又，
则不等式可转化为
所以，解得.
又当时，，不合题意.
所以的解集为.
故选：B
9．C
【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.
【解答】由于值不确定，若时，则无意义，故A错误，
由于，所以，B错误，
若，则，又，则，故，C正确，
若，则，故D错误，
故选：C
10．BD
【分析】先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，可判断A，B，由，可判断C，
假设，对不等式进行证明，即可判断D.
【解答】将点代入函数得：，则.
所以，显然在定义域上为减函数，所以A错误；
，所以为偶函数，所以B正确；
当时，，即，所以C错误；
当若时，
假设，整理得
，化简得，，
即证明成立，
利用基本不等式，，因为，故等号不成立，成立；
即成立，所以D正确.
故选：BD.
11．ACD
【分析】根据对称可得，即可根据三角函数的性质逐一求解.
【解答】由于的图象关于点成中心对称，
所以,故，由于，所以，，
对于A，当，则，故在区间上单调递减，A正确，
对于B，，则，故当时，即时，取最大值2，B错误，
对于C，，故C正确，
对于D，，，要使在上有两个不相等的实根，则在上有两个不相等的实根，
因此，解得，故D正确，
故选：ACD
12．ABD
【分析】作出函数图象，得到零点范围，在逐个分析选项即可.
【解答】将问题化为与在上有两个交点，且横坐标分别为，，
由在上递减，且值域为；
由，且时，
在上递减，对应值域为；
在上递增，对应值域为；
综上，与交点在两侧，
即原函数的两个零点分别在区间、上各一个，
故恒成立，故A正确，
不妨设，则，
故解得，故B正确，C错误，
令，由指数函数单调性得在上单调递增，
若证，则证，，显然D正确，
故选：ABD
13．2
【分析】根据指数以及对数的运算性质即可求解.
【解答】，
故答案为：2
14．
【分析】利用对数函数图象性质可得，再由三角函数定义即可得.
【解答】由对数函数图象性质易知函数过定点，
点在角的终边上，由三角函数定义可得，
所以.
故答案为：
15．
【分析】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是.
【解答】由不等式以及可得，
依题意可知即可，
令，
又，由可得，
利用二次函数性质可知，即可得；
即实数的取值范围是.
故答案为：
16．
【分析】利用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值即可.
【解答】因为，所以，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以，即，
所以的最小值是，
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）解不等式得到，利用补集和并集的概念求出答案；
（2）求出，根据题意得到包含关系，从而得到不等式，求出实数的取值范围.
【解答】（1）或，
，
故，；
（2）因为，所以，
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
又恒成立，故只能，
实数的取值范围为.
18．(1)
(2)或
【分析】（1）依题意，利用诱导公式化简可得；
（2）由可得，由同角三角函数之间的基本关系可得结果.
【解答】（1）由题意可知钝角，
所以.
（2）由可得,
即，可得，
即，所以；
可得，即，
解得或.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，结合，化简得到恒成立，即可求解；
（2）根据题意，求得，令，结合指数函数的性质，求得，，结合二次函数的性质，即可求解.
【解答】（1）解：由函数为上的偶函数，则，
即，
即，即恒成立，
所以.
（2）解：由（1）知，
可得，
令，因为函数在都是增函数，
所以函数在上为递增函数，则，
所以，
因为函数的对称轴为，所以函数在递增，
所以，当时，，
要使得，都有成立，则，即实数的取值范围.
20．(1),的减区间为,．
(2)
【分析】（1）结合图象求出，，代入点的坐标，求出，从而求出函数的解析式，通过图象变换，求出函数的解析式；进而利用整体法求解单调性，
（2）先求出的零点，再利用正弦函数的性质求解即可．
【解答】（1）根据函数的部分图象，可得，，，
把点,代入得，，，
，，
，，
则，
若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象，
则．
令，，
，，
故函数的减区间为,，，
,，可得函数的减区间为,．
（2）令，
则，，，，
若在区间上恰有100个零点，
则时，是内的第一个零点，故，是第100个零点，
，是第101个零点，
则，即，
即的取值范围为
21．(1)，
(2)当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．
【分析】（1）由题意可得，由可求出，然后可得的解析式；
（2）利用二次函数的知识求出当时的最大值，利用基本不等式求出当时的最大值，然后作比较可得答案.
【解答】（1）由题意可得
当时，所以
解得
所以
（2）当时，，其对称轴为
所以当时取得最大值万元
当时，万元
当且仅当即时等号成立
因为
所以当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．
22．(1)函数是“1距”增函数；理由见解析
(2)当时，；当时，
【分析】（1）根据题意，只需判断是否成立，即可求解；
（2）根据题意，当当时，恒成立，根据为增函数，得到，再分和，两种情况讨论，即可求解.
【解答】（1）解：函数是“1距”增函数.
理由如下：
由函数，
则
，
当时，可得，
所以，即，所以是“1距”增函数.
（2）解：由，，
因为函数是“2距”增的数，所以当时，恒成立，
又因为为增函数，所以，
当时，，即恒成立，
所以，解得；
当时，，即恒成立，
所以，解得，
综上可得，，所以，
令，则，
①当时，即时，当时，；
②当时，即时，当时，，
综上可得，当时，；当时，.