山东省滕州市第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)

山东省滕州市第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知三棱锥中,点M,N分别为AB,OC的中点,且,,,则( )A. B. C. D.2．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖,在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）,把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合,这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1,则点A到平面QGC的距离是( )A. B. C. D.3．已知P是抛物线上的一点,过点P作直线的垂线,垂足为H,若Q是圆上任意一点,则的最小值是( )A. B.4 C.5 D.64．数列满足：首项,,则下列说法正确的是( )A.该数列的奇数项,,···成等比数列,偶数项,,···成等差数列B.该数列的奇数项,,···成等差数列,偶数项,,···成等比数列C.该数列的奇数项,,···分别加4后构成一个公比为2的等比数列D.该数列的偶数项,,···分别加4后构成一个公比为2的等比数列5．已知等差数列的公差为2,前n项和为,且,,成等比数列.令,则数列的前50项和( )A. B. C. D.6．已知圆与圆,则两圆的位置关系是( )A.相离 B.外切 C.相交 D.内切7．已知直线l的方程为,,则直线l的倾斜角范围是( )A. B. C. D.8．设,分别为双曲线的左､右焦点,A为双曲线的左顶点,以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M,N两点,且,（如图）,则该双曲线的离心率为( )A. B. C.2 D.二、多项选择题9．设是等差数列,为其前n项和,且,,则下列结论正确的是( )A. B. C. D.、均为的最大值10．已知曲线C的方程为( )A.当时,曲线C是半径为2的圆B.当时,曲线C为双曲线,其渐近线方程为C.存在实数k,使得曲线C为离心率为的双曲线D.“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件11．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术,更是中国传统戏曲文化的重要载体.如图,“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C.半圆的方程为,半椭圆的方程为.则下列说法正确的是( )A.点A在半圆上,点B在半椭圆上,O为坐标原点,,则面积的最大值为6B.曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7C.若,,P是半椭圆上的一个动点,则的最小值为D.画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线,其交点都在与椭圆同中心的圆上.称该圆为椭圆的蒙日圆,那么半椭圆扩充为整个椭圆后,椭圆的蒙日圆方程为12．在《九章算术》中,底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图,在堑堵中,P是的中点,,若平面过点P,且与平行,则( )A.异面直线与所成角的余弦值为B.三棱锥的体积是该“堑堵”体积的C.当平面截棱柱的截面图形为等腰梯形时,该图形的面积等于D.当平面截棱柱的截面图形为直角梯形时,该图形的面积等于三、填空题13．若数列为等比数列,且,则___________.（其中n为正整数）14．如图,在棱长为2的正方体中,M,N分别为棱,的中点,则的重心到直线BN的距离为_______________.15．已知空间向量,,则向量在向量上的投影向量的坐标是________________.16．已知椭圆上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若,设,且,则该椭圆离心率e的最大值为_______________.四、解答题17．已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10,且,,是等比数列的前3项.(1)求,;(2)设,求的前n项和.18．如图,在三棱锥中,底面ABC,.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,,.(1)求证：平面BDE;(2)求直线AC与平面EMN的夹角的正弦值;(3)求点A到平面EMN的距离.19．已知直线与圆交于M,N两点.(1)求出直线l恒过定点的坐标;(2)用点斜式写出直线方程,并求直线l的斜率k的取值范围;(3)若O为坐标原点,直线OM,ON的斜率分别为,试问是否为定值？若是,求出该定值：若不是,请说明理由.20．如图,在三棱柱中,侧面ABCD为正方形,,,,,点M在线段PB上,平面MAC.(1)求证：M为PB的中点;(2)求二面角的大小;(3)在线段AC上是否存在点N,使得直线MN与平面BDP所成的角为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.21．已知数列的前n项和为,数列是以-9为首项,1为公差的等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和.22．已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,动点P在椭圆E上,的周长为6.（1）求椭圆E的方程;（2）设直线与椭圆E的另一个交点为Q,过P,Q分别作直线的垂线,垂足为M,N,l与x轴的交点为T.若四边形PMNQ的面积是面积的3倍,求直线PQ斜率的取值范围.参考答案1．答案：D解析：.故选：D.2．答案：C解析：建立空间直角坐标系如图所示：则,,,,,,设平面QGC的法向量为,则,即,则平面QGC的一个法向量为,则点A到平面QGC的距离.故选：C.3．答案：D解析：抛物线的焦点是,准线方程是,PH与准线的交点是,圆C的半径为,圆心为,依题意作下图：由图可知： , ,当C,P,F三点共线时最小,的最小值是6;故选：D.4．答案：D解析：已知数列满足,则,,,,,对于A,,即,所以该数列的奇数项,,···成等比数列不成立,,即,所以该数列的偶数项,,···成等差数列不成立,A选项错误;对于B,,即,所以该数列的奇数项,,···成等差数列不成立,,即,所以该数列的偶数项,,···成等比数列不成立,B选项错误;对于C,,,,,所以该数列的奇数项,,···分别加4后构成一个公比为2的等比数列不成立,C选项错误;对于D,令,由,可得,所以,所以即是公比为2的等比数列,则该数列的偶数项,,···分别加4后构成一个公比为2的等比数列,D选项正确;故选：D.5．答案：D解析：因为,,,由题意得,解得,所以,则,则.故选：D.6．答案：D解析：因为圆可化为：,圆心坐标为,半径;圆可化为：,圆心坐标为,半径;圆心距,因为,所以圆与圆内切,故选：D.7．答案：B解析：,则,设直线的倾斜角为,故,所以当时,直线l的倾斜角;当时,直线l的倾斜角;综上所述：直线l的倾斜角故选：B.8．答案：D解析：依题意得, 以线段为直径的圆的方程为,双曲线C的一条渐近线的方程为.由以及解得或不妨取,则.因为,所以, 又 , 所以,所以,所以该双曲线的离心率.故选：D.9．答案：ABD解析：,,,,则,故选项A,B正确;,,,故C错误.易知数列的前8项为正数,第9项为0,从第10项开始为负数,故选项D正确;故选：ABD.10．答案：ABD解析：A.当时,曲线方程为,所以是半径为2的圆,故正确;B.当时,曲线方程为,所以是双曲线,且其渐近线方程为,故正确;C.若曲线C为离心率为的双曲线,则,方程无解,故错误;D.当时,,曲线C为焦点在y轴上的椭圆,故不充分,当曲线C为焦点在x轴上的椭圆时,则,解得,故必要,故正确;故选：ABD.11．答案：ABD解析：对于A,因为点A在半圆上,点B在半椭圆上,O为坐标原点,,则,,则,当B位于椭圆的下顶点时取等号,所以面积的最大值为6,故A正确;对于B,半圆上的点到O点的距离都是3,半椭圆上的点到O点的距离的最小值为3,最大值为4,所以曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7,故B正确;对于C,,是椭圆的两个焦点,在中,,由余弦定理知：,当且仅当时取等号,所以的最小值为,故C错误;对于D,由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点,在椭圆中取两条切线：和,它们交点为,该点在蒙日圆上,半径为此时蒙日圆方程为：,故D正确.故选：ABD.12．答案：ABC解析：对于A,由题可知AC,CB,两两垂直,如图建立空间直角坐标系,则,,,所以,所以,所以异面直线与CP所成角的余弦值为,故A正确;对于B,,,所以B正确;对于C,如图,E,F,G分别为,,的中点,则,,,,,,,所以,,P,E,F,G共面,又,平面PEFG,平面PEFG,所以平面PEFG,则四边形PEFG为平面截棱柱的截面图形,所以四边形PEFG是等腰梯形,且高为,当E不是中点时,PE不平行平面,则四边形不是梯形,等腰梯形有且仅有一个,,所以C正确;对于D,如图,Q,R,S分别为AB,AC,的中点,则,,,,,,,所以,同理可得四边形PQRS为平面截棱柱的截面图形,由题可知,,,平面,平面,所以平面,所以平面,又平面,所以,故四边形PQRS是直角梯形,当S不是中点时,PS不平行平面ABC,则四边形不是梯形,直角梯形有且仅有一个,其面积为,故D错误.故选：ABC.13．答案：4解析：因为数列为等比数列,,,所以.则.故答案为：4.14．答案：解析：以DA,DC,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,则,,,,,设的重心是,则,,,即,,,,,,,则是锐角,,所以G到直线BN的距离为.故答案为：.15．答案：解析：,所以向量在向量上的投影向量为.故答案为：.16．答案：解析：已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B、F为其右焦点,设椭圆的左焦点为N,连接AF,AN,BF,BN,所以四边形AFBN为长方形,根据椭圆的定义,且,则,所以,又由离心率的公式得,由,则,所以,即椭圆的离心率的最大值为.故答案为：.17．答案：(1),(2)解析：（1）设等差数列的公差为d,前n项和为,则,因为,则,即,又因为,,成等比数列,所以,即,整理得,又因为,所以,联立,解得,所以,又,,是等比数列,所以,则.（2）由（1）得,所以,所以数列的前n项和.18．答案：(1)证明见解析(2)(3)解析：（1）证明：取AB中点F,连接MF、NF,M是线段AD的中点, ,平面BDE,平面BDE,平面BDE.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点, ,平面BDE,平面BDE, 平面BDE.,MF平面MNF,平面平面BDE,平面MNF, 平面BDE.（2）底面ABC,,以A为原点建立如图所示空间直角坐标系,则有,,,,,,,,,设平面EMN的法向量为,则,令,则有,设AC与平面EMN所成角为,则直线AC与平面EMN的夹角的正弦值为.（3）由（2）得,,设MA与平面EMN所成角为,则点A到平面EMN的距离为.19．答案：(1);(2);;(3)为定值1.解析：（1）将直线l方程整理为：,令,解得：,所以直线l恒过定点.（2）直线l斜率为k,由（1）得,直线l的点斜式方程为：,即,圆的圆心,半径,因为直线l与圆C交于M,N两点,则圆心C到直线l距离,即,解得：,所以直线l斜率的取值范围为.（3）设,,当时,与圆C仅有一个交点,不合题意,即有,则直线,令直线l方程为,由得：,由（2）知：,,,因此,所以为定值1.20．答案：(1)详见解析;(2);(3)存在,或.解析：（1）设,连接OM,因为侧面ABCD为正方形,所以O为BD的中点,因为平面MAC,平面PBD,平面平面,所以,又O为BD的中点,所以M为PB的中点;（2）因为,所以,又,,平面ADP,平面ADP,所以平面ADP,取AD的中点G,则,由平面ADP,平面ADP,可得,又,平面ABCD,平面ABCD,所以平面ABCD,如图以G为原点建立空间直角坐标系,则,,,,,所以,设平面PBD的法向量为,则,令,则,又平面ADP的法向量可取,所以,所以二面角的大小为;（3）假设在线段AC上存在点N,使得直线MN与平面BDP所成的角为,设,因为,,所以,,又,所以,又平面PBD的一个法向量为,所以,整理可得,解得或,所以在线段AC上存在点N,使得直线MN与平面BDP所成的角为,的值为或.21．答案：(1)(2)解析：（1）设等差数列的首项为,公差为d,则,所以当时,又也符合上式,故数列的通项公式为.（2）当时,,数列的前n项和;当时,,数列的前n项和,.综上所述：22．答案：（1）;（2）.解析：（1）因为P是E上的点,且,为E的左、右焦点,所以,又因为|,的周长为6,所以,又因为椭圆的离心率为,所以,解得,.所以,E的方程为.（2）依题意,直线PQ与x轴不重合,故可设直线PQ的方程为,由,消去x得：,设,则有且,.设四边形PMNQ的面积和面积的分别为,,则,又因为,.所以,即,得,又,,于是,所以,由得,解得,设直线PQ的斜率为k,则,所以,解得或,所以直线PQ斜率的取值范围是.