【专项练习】全套专题数学八年级上册 专题05 一般一元二次方程的解法及韦达定理（知识精讲+综合训练）（习题及答案）

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知识精讲
知识点01 一般一元二次方程的解法
1、将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
配方法的步骤
先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数；
移项：把常数项移到方程右边；
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成的形式；
当时，用直接开平方的方法解变形后的方程．
2、把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法是公式法。
求根公式法的一般步骤
把一元二次方程化成一般形式（）；
确定a、b、c的值；
求出的值（或代数式）；
若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②．
【典例分析】
填空：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】，；x，；，；x，．
【解析】通过公式进行解答．
【总结】本题考查通过公式进行配方．
如果是一个完全平方式，那么的值可以是（）
A．2B．C．2或D．都不对
【答案】D
【解析】通过公式进行解答，根据完全平方有和的平方，差的平方两种，所以有两种情况，并且中间一项是积的2倍．
【总结】本题考查通过公式进行配方，要考虑两种情形．
已知是有理数，试证明关于x的方程：
的根也是有理数．
【答案】略．
【解析】由，可得：，
所以，由于是有理数，
所以也是有理数，所以即证．
【总结】本题考查一元二次方程的解法的应用．
已知关于x的方程：，当m取任意有理数
时，方程的根都是有理数，求k的值或者是k的取值范围．
【答案】．
【解析】解：，
得，
当取任意有理数时，方程的根都是有理数，是完全平方式，
，．
【总结】本题综合性较强，主要考查学生对方程的根是有理数的理解．
知识点02 韦达定理
韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ．
那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系．
【典例分析】
若方程有解，利用适当的方法解这两个根，分别是
___________________________；若这两个根互为相反数则m的值是_______________；若两个根互为倒数，则m的值是_______________．
【答案】；；．
【解析】利用十字相乘法因式分解得到方程的两根，后依据相反数和倒数的概念得出相应m
的值．
【总结】本题考查一元二次方程的解法．
如果，是方程的两个根，那么=_____________；
=_______________．
【答案】；．
【解析】由韦达定理，可得：，．
【总结】本题考查韦达定理，的应用．
综合训练
一、单选题
1．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2026B．2024C．2022D．2020
2．方程 的解是（ ）
A．B．C．D．
3．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．定义新运算“※”：对于实数m、n、p、q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
5．关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）
A．p是正数，q是负数B．
C．q是正数，p是负数D．
6．用配方法解方程时．变形结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．下列因式分解中，正确的是（ ）
A．＝（x+2）（x﹣2）B．﹣4x+4＝（x﹣2）
C． +x＝x（x+1）D． +t﹣16＝（t+4）（t﹣4）+t
8．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．B．C．D．
10．用一根长为厘米的绳子，围成一个面积为平方厘米的长方形，则的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．在等腰中，，、的长是关于的方程的两根，则的值是_______．
12．在实数范围内分解因式：_________________．
13．已知 ，，则 ＝ ________________ ．（用含a，t的代数式表示）
14．已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为______．
15．已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为______．
16．若二次三项式在实数范围内可分解因式为，则该二次三项式对应一元二次方程的值分别为________________．
17．若关于x的一元二次方程的解是，，则关于x的一元二次方程的解是______．
18．设是方程的两个根，则的值为___________．
19．若关于x的一元二次方程的两个根分别是和，则__________．
20．我们知道一元二次方程 的两个根为，，那么在关于m的方程中，实数m的值是___．
三、解答题
21．（1）解方程：；
（2）用配方法解方程：．
22．求下列各式中的x
(1)
(2)
(3)
23．（1）．
（2）．
（3）
（4）．
参考答案：
1．A
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a=3，a+b=−1，将其代入即可求出结论．
【详解】解：∵a，b是方程x2+x−3=0的两个实数根，
∴a2+a=3，a+b=−1，
∴b=-a-1，
=2026
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程的解及根与系数的关系是解决本题的关键．
2．C
【分析】直接开平方法求方程的根，对照选择即可．
【详解】解：因为，
解得，
故选C．
【点睛】本题考查了直接开平方法求方程的根，解题的关键是熟练掌握解方程的方式．
3．C
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程2x2-2x-1=0，
整理得：x2-x=，
配方得：x2-x+=，即（x-）2=．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．C
【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．
【详解】解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0，
∴．
整理得，．
∵方程有两个实数根，
∴判别式且．
由得，，
解得，．
∴k的取值范围是且．
故选：C
【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．
5．D
【分析】设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8，即可判断B与D．
【详解】解：设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．
∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，
∴x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，
故选项A与C说法均错误，不符合题意；
∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，
∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，
∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），
故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键．
6．A
【分析】先给方程两边同除2，然后再根据完全平方公式和等式的性质配方即可．
【详解】解：
．
故选A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把方程整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
7．C
【分析】根据平方差公式完全平方公式，提公因式法因式分解因式计算即可求解，对于D选项先解一元二次方程求得方程的根．
【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；
B．，故该选项不正确，不符合题意；
C．，故该选项正确，符合题意；
D．令，解得，
∴，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解，解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键．
8．B
【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了配方法在解一元二次方程中的应用，要熟练掌握．
9．A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，可知，，将化简为，代入即可得出结论．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，，
∵
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简，根据根与系数的关系得到，是解答本题的关键．
10．A
【分析】设围成矩形的长为厘米，则围成矩形的宽为厘米，利用矩形的面积计算公式，即可得出，利用完全平方公式可得出，利用平方的非负性可求出的最大值，再对比各选项中的数据后即可得出结论．
【详解】解：设围成矩形的长为厘米，
∴围成矩形的宽为：，
∴
，
∵
∴
∴，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴的值不可能为．
故选：A．
【点睛】本题考查列代数式，完全平方公式，平方的非负性．根据各数量之间的关系，找出关于的关系式是解题的关键．
11．24或25##25或24
【分析】等腰中，可能是方程的腰也可能是方程的底边，应分两种情况进行讨论．当是底边时，，则方程有两个相等的实根，即，即可得到关于的方程，求得的值；当是腰时，则方程一定有一个解是，根据一元二次方程的根与系数的关系即可求得另一边即底边，与的值．
【详解】解：在方程中，，
当这两边是等腰三角形的腰时，有，
∴，
当有两个边的长都为4时，有，
∴，
，
∴或25．
故答案为：24或25．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
12．
【分析】先解方程，求得方程的两个根，即可求解．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解，正确的求得方程的两根是解题的关键．
13．##
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果．
【详解】解：∵ ，，
∴
．
故答案为：a3t．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
14．0
【分析】先确定，再用表示，后代入求值即可．
【详解】因为、是方程的两个实数根，
所以，，
所以
=
=
=
=
=．
故答案为：0．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，完全平方公式的应用，熟练掌握根根与系数关系定理，活用完全平方公式是解题的关键．
15．4
【分析】先确定，再用表示，后代入求值即可．
【详解】因为、是方程的两个实数根，
所以；
所以
=
=
=
=
=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，完全平方公式的应用，熟练掌握根根与系数关系定理，活用完全平方公式是解题的关键．
已经向邓老师汇报，等信息，请老师撤回吧！
16．，
【分析】利用平方差公式计算后，再利用平方差公式计算，再和二次三项式比较即可．
【详解】解：
=
，
故答案为：，．
【点睛】本题考查二次三项式的因式分解、一元二次方程的一般式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式能灵活运用是解题关键．
17．，
【分析】令y=x+3，代入a(x−h+3)2+k=0 可求得y的值，从而求得x的值．
【详解】解：令y=x+3，代入a(x−h+3)2+k=0 可得：
a(y−h)2+k=0，
由已知可得：y1=-2或y2=1，
∵x=y-3，
∴x1=−5， x2=−2，
故答案为x1=−5， x2=−2．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．
18．
【分析】由根与系数的关系可得，，再由，代入计算即可．
【详解】解：∵，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握，是解题的关键．
19．4
【分析】利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与2，则有，然后两边平方得到=4．
【详解】由得，解得，可知两根互为相反数．
∵一元二次方程的两个根分别是和，
∴，解得，
∴一元二次方程的两个根分别是与2，
∴，
∴=4．
【点睛】本题考查直接开方法解一元二次方程方程，正数的平方根互为相反数等知识，掌握正数的平方根互为相反数是解题的关键．
20．
【分析】将变形为，可知是方程的一个根，据此即可作答．
【详解】将变形为，
可知是方程的一个根，
∵的根是3和-1，
又∵
∴，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了运用一元二次方程的根解特定的高次方程的知识，理解方程的根的定义是解答本题的关键．
21．（1），；（2），
【分析】（1）把方程移项变形后，利用因式分解法解方程即可；
（2）直接利用配方法解方程即可．
【详解】解：（1）
解：移项，得
因式分解得，，
∴或，
解得，；
（2），
解：方程两边同除以，得，
移项，得，
方程两边同加上一次项系数一半的平方，得，
即，
∴，
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）对方程移项，化简后，直接进行开平方根即可解答；
（2）对方程移项，化简后，直接进行开平方根即可解答；
（3）对方程化简后，直接进行开立方根即可解答；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了求解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键．
23．（1），（2），（3）（4）
【分析】（1）用因式分解法即可解得答案
（2）用因式分解法即可解得答案
（3）先化简再用配方法可得答案；
（4）用配方法可得答案．
【详解】解：（1）
，
∴ 或 ，
∴， ．
（2），
∴，
（3）
即
∴；
（4），
，
，即 ，
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，并掌握选用较简便的方法解一元二次方程．