【专项练习】全套专题数学八年级上册 专题08 一元二次方程的应用（二）（知识精讲+综合训练）（习题及答案）

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知识精讲
知识点01 传播问题
1、比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．
2、传播问题：
，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数．
【典例分析】
1．一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则经过三轮传染后患流感的人数共有（ ）
A．7人B．49人C．121人D．512人
2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程正确的是（ ）
A．1+x2＝91B．（1+x）2＝91
C．1+x+x2＝91D．1+（1+x）+（1+x）2＝91
3．疫情期间，若有1人染上“新冠”，不及时治疗，经过两轮传染后有361人染上“新冠”，平均一个人传染（ ）个人．
A．14B．16C．18D．20
知识点02 利率、利润问题
1、利率问题
基本公式：利息=本金*利率*期数
2、利润问题
基本公式：
单件利润=售价-成本；
利润=（售价-成本）*销售的件数．
【典例分析】
4．某超市销售一批玩具，平均每天可售出120件，每件盈利4元，市场调查发现售价每涨1元，销售量减少10件；售价每降1元，销售量增加10件．爱动脑的嘉嘉发现：在一定范围内，涨a元与降b元所获得的利润相同，则a与b满足（ ）
A．B．C．D．
5．某网店销售一批运动装，平均每天可销售20套，每套盈利45元；为扩大销售量，增加盈利，采取降价措施，一套运动服每降价1元，平均每天可多卖4套，若网店要获利2100元，设每套运动装降价元，则列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（ ）
A．22元B．24元C．26元D．28元
知识点03 面积问题整式
1、面积问题：
判断清楚要设的未知数是关键点，找出题目中的等量关系，列出方程．
【典例分析】
7．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，若将如图1所示的正方形剪成四块，恰能拼成如图2所示的长方形，设，则b的值为（ ）
B．C．D．
9．如图，某校在操场东边开发出一块边长分别为米、米的长方形菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为平方米．设小道的宽为米，可列方程为( )
A．
B．
C．
D．
知识点04 动态几何类问题
1、动态几何类问题：（1）若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式；
（2）如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式
【典例分析】
10．在中，，，，动点从点沿线段向点动，一动点从点沿线段向点移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点运动的时间是（ ）
A．B．C．或D．或
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（ ）
A．2sB．3sC．4sD．5s
12．如图，在中，，cm，cm．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从顶点出发，沿线段向点方向运动，如果点的速度是2cm/s，点的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，当，两点运动 秒时，的面积等于5cm2．
A．1B．3C．3或5D．1或5
13．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排共计28场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛?若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（ ）
A． B．
C．D．
14．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间要赛一场，计划安排15场比赛，则比赛组织者邀请球队的数量是（ ）
A．10B．8C．7D．6
15．今年为庆祝共青团成立100周年，教体局举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了支球队参加比赛．根据题意可列方程是（ ）
A．B．C．D．
综合训练
一、解答题
1．第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一百货商业中心．主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长25米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为320平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳50米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？
解：令这个长方形垂直于墙的一边为宽，平行于墙的一边为长；
设这个长方形的宽为米，则长为_________米．（用含x代数式表示）
（完成填空后继续解题）
2．已知的两边是关于x的方程的两根，第三边的长为4，当m为何值时，是等腰三角形？并求出这两边的长．
3．随着夏天的临近，某商场购进了一批凉鞋，每双凉鞋的进货价为18元，市场调研表明：当每双凉鞋销售价格为30元时，平均每天可以卖出30双；而当销售价格每双每降低1元时，平均每天可以多卖10双．商场要想使这种凉鞋的销售利润平均每天达到540元且尽量减少库存，则每双凉鞋的定价应为多少元？
4．温州某学校的学生进行综合实践活动时，探究每盆植株培育株数与市场销售价格之间的关系，通过实验和市场调查发现，每盆植株在5株以内（含5株），植株的品质较高，单株售价3元，超过5株后，每盆每多种1株，单株售价降低0.3元，当每盆种植株株数超过12株后，植株品质较低，市场统一收购价单株0.8元，每盆最多可种植18株．
(1)设每盆种植株，
①则单株售价___________元，每盆售价___________元（用含x的代数式表示）；
②当每盆售价为16.2元时，求x的值．
(2)该学生实验小组共种植了40盆，每盆培育所需费用y（元）与每盆种植株数x（株）之间满足，每盆植株除培育费用外无其他支出．该小组将其中10盆赠送给学校，其余放至市场出售，全部售出后销售所得扣除培育费用后还剩余100元，求每盆的种植株数．
5．东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第_______档次产品；
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
6．某商店如果将进货价为每件10元的商品按每件12元出售，每天可销售200件，这种商品如果每涨价一元，其销售量就减少10件．
(1)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润达到1200元？
(2)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大的利润是多少？
7．有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了个人．
（1）第二轮被传染上流感人数是______；（用含的代数式表示）
（2）在进入第二轮传染之前，如果有名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有人患病的情况发生，并说明理由．
8．某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．
(1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；
(2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔高并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？
9．读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3﹣x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2﹣x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2﹣x﹣2＝0，可得方程x3﹣x2﹣2x＝0的解．
(1)问题：方程x3﹣x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ．
(2)拓展：用“转化”思想求方程的解．
(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝6m，宽AB＝4m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．
(1)填空：BQ＝ cm，PB＝ cm．（用含t的代数式表示）
(2)当t为几秒时，△PBQ的面积等于5cm2？
(3)是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积等于△ABC面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由．
11．中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．
（1）填空：________，________（用含的代数式表示）；
（2）当为何值时，的长度等于？
（3）是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
12．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积为8cm2？
（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，经过 秒后，△PBQ的面积为1cm2？
13．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知产品的销售单价比产品的销售单价高元，1件产品与1件产品售价和为元．
(1)、两种产品的销售单价分别是多少元？
(2)随着时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制产品的生产车间．预计产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加；产品产量将在去年的基础上减少，但产品的销售单价将提高．则今年、两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加．求的值．
14．在抗击新冠肺炎期间，市场上防护口罩热销．某口罩生产厂家计划生产成人口罩与儿童口罩共200箱．已知生产成人口罩数量不超过60箱时，每箱成人口罩成本为80元，若超过60箱时，每增加1箱口罩，每箱口罩成本降低2元，厂家考虑到原材料消耗，每箱成人口罩成本不低于50元．每箱儿童口罩的成本为40元，设生产成人口罩x箱．
(1)根据信息填表
(2)若生产的口暈总成本为9400元，则生产成人口罩多少箱？
15．请根据图片内容，回答下列问题：
(1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
(2)按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？
款式
数量（箱）
成本（元/箱）
成人口罩
x（不超过60箱时）
80
x（超过60箱时）
儿童口罩
40