【专项练习】全套专题数学八年级上册 专题06 一元二次方程的判别式及应用（知识精讲+综合训练）（习题及答案）

这是一份【专项练习】全套专题数学八年级上册 专题06 一元二次方程的判别式及应用（知识精讲+综合训练）（习题及答案），文件包含专题06一元二次方程的判别式及应用知识精讲+综合训练原卷版docx、专题06一元二次方程的判别式及应用知识精讲+综合训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。


知识精讲
知识点01 判别式的值与根的关系
一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
2. 一元二次方程根的判别式的逆用
在方程中，
（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；
（2）方程有两个相等的实数根=0；
（3）方程没有实数根﹤0.
【典例分析】
如果a、c异号，那么一元二次方程的根的情况是（）．
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【答案】A【答案】【答案】
【解析】a、c异号，则有恒成立，可知方程有两不等实根，故选A．
【总结】考查一元二次方程根的判别式的应用．
不解方程，判定下列方程的根的情况：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）两个不相等的实数根；（2）无实数根；（3）略．【答案】【答案】
【解析】（1）因为，，，则有，所以方程有两个不相等的实数根；
整理即为，则，，，则有，所以原方程无实数根；
（3），可知当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根．
【总结】考查根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况．
已知是方程的两个实数根，且，求q的最大值
【答案】【答案】【答案】
【解析】因为是方程的两个实数根，根据韦达定理可得：，
，由，即得，则有，
同时韦达定理成立的前提是方程有实数根，即得，得，
即的最大值为．
【总结】考查一元二次方程的韦达定理，同时注意韦达定理成立的前提是方程有实数根．
知识点02 根的判别式的应用
（1）不解方程判定方程根的情况；
（2）根据参数系数的性质确定根的范围；
（3）解与根有关的证明题．
【典例分析】
填空：
一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值为__________；
若一元二次方程有两个相等的实数根，则m =__________．
【答案】（1）（应排除的情形）；（2）．【答案】【答案】
【解析】（1）方程有两个相等实根，则有，即得：，则；
（2）因为方程有两个相等实根，则有，方程为
一元二次方程，可得：，则有，．
【总结】方程有两个相等实根，即，注意题目隐含条件．
已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求m的取值范围．
【答案】且．【答案】【答案】
【解析】方程有两个实数根，则有，方程必为一元二次方程，且
，即得：且．
【总结】考查一元二次方程根的判别式确定方程根的情况，注意有两个相等实根的情况和二次项系数不为0的隐含条件．
说明不论m取何值，关于x的方程总有两个不相等的实数根．
【答案】略．【答案】【答案】
【解析】方程整理为一般形式即，恒成
立，即证方程总有两个不相等的实数根．
【总结】方程总有不等实根，恒成立即可，注意先整理成一般形式再说明．
综合训练
一、单选题
1．下列关于x的二次三项式中（m表示实数），在实数范围内一定能分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
2．在实数范围内不能分解因式的是（ ）
A．B．
C．D．
3．定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：
①如果x＝2是的倒方程的解，则；
②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程无实数根，则它的倒方程也无实数根；
④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．已知一元二次方程x2+x-1=0，下列判断正确的是（ ）
A．该方程有两个相等的实数根
B．该方程有两个不相等的实数根
C．该方程无实数根
D．该方程根的情况不确定
5．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
6．已知方程（1）与方程（2），其中ac≠0，a≠c．下列说法：①当方程（1）有两个不相等的实数根时，方程（2）也有两个不相等的实数根；②当两个方程均存在实数根时，它们的根一定相同；③当方程（1）有一个根是1时，方程（2）也有一个根是1；④当方程（1）有一个根是2时，方程（2）也有一个根是．其中正确的是（ ）．
A．①②B．①③C．①③④D．②③④
7．定义：如果一元二次方程满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．a＝cB．a＝bC．b＝cD．a＝b＝c
8．已知方程的两个根分别为，则下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．0
C．D．方程的根有可能为0
9．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．2-5x+2=0B．-x+1=0C．+3x-1=0D．5-x-3=0
二、填空题
10．一元二次方程2x2﹣x+1＝0的根的情况是 _____实数根（填“有”或“没有”）．
11．若关于x的一元二次程（a﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个相等的实数根，则a的值是 _____．
12．已知关于x的方程，若等腰三角形ABC的一边长a=1，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为_______．
13．若一元二次方程有两个相等的实数根，则常数___________．
14．等腰三角形的一边长为，另两边的长是关于x的方程的两根，那么k的值是_____．
15．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+(a+2)x+6－a=0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是________．
16．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法正确的有_____．
①若b＝2，则此方程一定有两个相等的实数根；
②若此方程有两个不等的实数根，则方程x2﹣bx+ac＝0也一定有两个不等的实数根；
③若a﹣b+c＝0，则此方程一定有两个不等的实数根；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2；
17．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是______．
18．若关于的方程在实数范围内有解，则的取值范围是________．
19．若关于的一元二次方程没有实数根，请写出一组正确的，的值______，______．
三、解答题
20．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个根均为整数，求正整数的值．
21．已知关于x的一元二次方程（m为实数）．
(1)如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
(2)如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围．
(3)如果该方程没有实数根，求m的取值范围．
22．已知：关于x的方程．
(1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为1，求m的值．
23．已知关于的一元二次方程．
(1)如果方程有两个实数根，求的取值范围；
(2)如果等腰三角形的一条边长为，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求的值．
参考答案：
1．D
【分析】对每个选项，令其值为0，得到一元二次方程，计算判别式的值，即可判断实数范围内一定能分解因式的二次三项式．
【详解】解：A．，，方程没有实数根，即在实数范围内不能分解因式；
B．，，方程没有实数根，即在实数范围内不能分解因式；
C．，的值有可能大于0，小于0，等于0，方程可能没有实数根，即在实数范围内不一定能因式分解，故此选项错误；
D．，，方程有两个不相等的实数根，即在实数范围内能分解因式；
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解以及根的判别式，解题的关键是把问题转化为一元二次方程是否有实数根的问题．
2．C
【分析】二次三项式可分解因式的前提是方程有实数根，根据方程根的判别式与0的大小关系判断方程是否有实数根，即是否可分解因式．
【详解】A、，
B、，
C、，
D、，只有C选项小于0 ，即C选项不能分解因式，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次三项式是否可因式分解，熟练运用根的判别式是解题的关键．
3．C
【分析】将x=2代入+2x+c＝0的倒方程中求出c可判断①；根据判别式与根的关系结合一元二次方程的定义可判断②③④，进而可得出结论．
【详解】解：①的倒方程为+2x+1＝0，
将x=2代入+2x+1＝0中，得4c+5=0，
解得：，故①正确；
②∵ac＜0，
∴两个方程都是一元二次方程，它们的判别式都是，
当ac＜0时，＞0，
故这两个方程都有两个不相等的实数根，故②正确；
③如果一元二次方程﹣2x+c＝0无实数根时，
则，即ac＞1，
那么它的倒方程－2x+a＝0也是一元二次方程，
判别式为，
∴它的倒方程也无解，故③正确；
④如果一元二次方程+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则＞0，
它的倒方程+bx+a＝0，
当b≠0，c=0时是一元一次方程，只有一个实数解，
所以如果一元二次方程+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程不一定也有两个不相等的实数根，故④错误，
综上，正确的有①②③，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义、方程的解、解一元一次方程，解题关键是理解新定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根，还要注意一元二次方程的二次项系数不为0．
4．B
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式求解即可.
【详解】解： ∵a=1，b=1，c=-1，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题关键.
5．A
【分析】分两种情况讨论：当 方程为一元一次方程，再解方程即可判断，当 方程为一元二次方程，再根据根的判别式建立不等式求解即可．
【详解】解：∵关于的方程有实数根，
当 方程化为
解得： 此时方程有实数根，
当时，方程有实数根，
∴
解得：
综上：关于的方程有实数根，则
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，理解方程有实数根时的分类讨论是解本题的关键．
6．C
【分析】①方程（1）有两个相等的实数根，则，对于方程（2）有，则方程（2）也有两个相等的实数根；②利用求根公式分别求出两个方程的解，然后进行判断即可；③把x=1分别代入，，得：，于是得到结论正确；
④把x=2分别代入，得：，等式的两边通除以4得到得：，于是得到结论正确．
【详解】解：①∵方程（1）有两个相等的实数根，
∴，
∴方程（2）的，
∴方程（2）也有两个相等的实数根，故正确；
②当时，
解方程（1），得，
解方程（2），得，
∵a不一定等于c，
∴两个方程均存在实数根时，它们的根不一定相同；故错误；
③∵把x=1代入 ，得：，
把x=1代入，得：，
∴当方程（1）有一个根是1时，方程（2）也有一个根是1，故正确；
④∵把x=2分别代入，得：，
∴，
∴是方程（2）的一个根，故正确；
综上分析可知，①③④正确，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程（a≠0）的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
7．A
【分析】根据a+b+c＝0得b＝﹣a﹣c，根据方程有两个相等的实数根得，将b＝﹣a﹣c代入得到，进而即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，
代入得＝0，
即，
∴a＝c．
∴b＝﹣a﹣c=﹣2a
故选：A．
【点睛】本题考查根的判别式，将a+b+c＝0变形成b＝﹣a﹣c再代入化简是解题的关键．
8．B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系、根的判别式逐项判断即可．
【详解】解：∵方程的两个根分别为，
∴ ，
∴ ，
故C选项不符合题意；
∵＝3＞0，
故A选项不符合题意；
∵，
∴方程的根有可能为0，
故B选项符合题意，D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识点，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
9．B
【分析】求出一元二次方程根的判别式，根据符号即可得到结论．
【详解】解：A、方程2-5x+2=0，
∵Δ=-4ac=,
∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、方程-x+1=0，
∵Δ=-4ac=，
∴方程没有实数根，故本选项符合题意；
C、方程 +3x-1=0，
∵Δ=-4ac=,
∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
D、方程5-x-3=0，
∵Δ=-4ac=,
∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．一元二次方程a+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=-4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
10．没有
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解答．
【详解】解：在此方程中，a=2，b=-1，c=1，
，
，
一元二次方程2x2﹣x+1＝0没有实数根，
故答案为：没有．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键．
11．##
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义即可解答．
【详解】解：根据题意得a﹣1≠0且Δ＝22﹣4（a﹣1）×（﹣2）＝0，
解得a＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义、根的判别式等知识点，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：（1）Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ<0⇔方程没有实数根．
12．5
【分析】已知a=1，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【详解】解：①若a=1为底边，则b，c为腰长，则b=c，则Δ=0．
∴，
解得：k=2．
此时原方程化为，
∴==2，即b=c=2．
此时△ABC三边为1，2，2能构成三角形，
∴△ABC的周长为：1+2+2=5；
②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，
∵把x=1代入方程，得1-（k+2）+2k=0，
解得k=1，
∴此时方程为，
解得=1，=2，
∴方程另一根为2，
∵1、1、2不能构成三角形，
∴此情况舍去．
综上所述，所求△ABC的周长为5．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
13．##0.125
【分析】由题意结合根的判别式可得 ，即可得出关于a的方程求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式时有两个相等的实数根是解题的关键．
14．或
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，根据题意可得或,进而即可求解．
【详解】解：设的两个根分别为，
∴，
∵等腰三角形的一边长为，另两边的长是关于x的方程的两根，
∴或,
∴或，
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
15．10
【分析】先根据△=0求出a的值，由于△ABC是等腰三角形，因此b=4或a．根据三角形三边之间的关系进行讨论确定b的值，最后求出三角形的周长．
【详解】解：∵一元二次方程x2+（a+2）x+6－a=0有两个相等的实数根，
∴△=（a+2）2－4（6－a）=0，
∴a2+8a－20=0，
∴（a－2）（a+10）=0，
∴a=2或a=－10（不符合题意，舍去），
∵△ABC是等腰三角形， 三条边长分别为4，a，b，
∴b=4或b=2（不能构成三角形，舍去） ，
∴△ABC的周长=4+4+2=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根的判别式，根据三角形三边之间的关系确定等腰三角形的边长．熟练掌握以上知识是解题的关键．
16．①②④
【分析】①由b=2可得b2=4ac，再根据根的判别式的意义即可作出判断；
②方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则Δ=b2-4ac＞0，判断方程cx2+bx+a=0也一定有两个不等的实数根，只要证明方程的判别式的值大于0即可；
③由a-b+c=0得：b=a+c，所以b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，故方程有实数根，但不一定有两个实数根；
④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，即方程有实根，判别式△≥0，结合m是方程的根，代入一定成立，即可作出判断．
【详解】解：①若b=2，等式两边平方得b2=4ac，即b2-4ac=0，所以方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；
②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则b2-4ac＞0，
方程x2-bx+ac=0中根的判别式也是b2-4ac＞0，所以也一定有两个不等的实数根；
③若a-b+c=0，则b=a+c，方程ax2+bx+c=0中根的判别式Δ=b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，
故方程有实数根，但不一定有两个不等的实数根；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可得x0=，
把x0的值代入（2ax0+b）2，可得b2-4ac=（2ax0+b）2，
综上所述其中正确的①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示x0，整体代入求b2-4ac=（2ax0+b）2．
总结：一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
17．且
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得Δ＝−4k×（−3）≥0 且k≠0，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵一元二次方程k＋2x−3＝0有两个实数根，
∴
∴且
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．
18．
【分析】先将方程变形为，再根据一元二次方程根的判别式列出不等式即可解答．
【详解】解：方程可变形为：，
则，
解得或，
∵，
∴不符合题意，故舍去，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查解无理方程，解题的关键是对原方程进行变形，转化为一元二次方程．
19． （答案不唯一） （答案不唯一）
【分析】利用一元二次方程的定义得到，再利用根的判别式得到，则，然后先确定一个的值，再确定一个的值（答案不唯一）．
【详解】解：方程为一元二次方程，
，
方程没有实数根，
，
即，
当时，，可以取，此时方程没有实数解．
故答案为：，（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
20．(1)证明见解析
(2)m=1或3
【分析】（1）根据判别式得到，利用非负数的性质得到，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）利用公式法可求出，然后利用整除性即可得到m的值．
【详解】（1）证明：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
∵，
即，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m=1或3．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及解方程，掌握公式准确计算是本题的解题关键．
21．(1)且
(2)
(3)
【分析】（1）先根据一元二次方程的定义可得，再根据一元二次方程的根的判别式即可得；
（2）先根据一元二次方程的定义可得，再根据一元二次方程的根的判别式即可得；
（3）先根据一元二次方程的定义可得，再根据一元二次方程的根的判别式即可得．
【详解】（1）∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
解得，
如果该方程有两个不相等的实数根，
则其根的判别式，
解得，
故此时的取值范围为且；
（2）如果该方程有两个相等的实数根，
则其根的判别式，
解得；
（3）如果该方程没有实数根，
则其根的判别式，
解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题关键．
22．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）根据根的判别式得出即可证明；
（2）设方程有两个实数根，，根据根与系数的关系得出，，代入得出关于m的方程，解之可得答案．
【详解】（1）证明：∵
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根
（2）解：设方程有两个实数根，，
∴，
∵方程有一个根为1
∴，
∴，
解得：
故m的值为或．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题关键是掌握是方程的解时，，．
23．(1)
(2)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围；
（2）分为等腰三角形的底或腰两种情形，讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴当方程有两个实数根，的取值范围为．
（2）①当为底时，由题意得，，则，
解得：，
此时一元二次方程，
解得，因为，不符合题意，舍去；
②当为腰时，
∵等腰三角形的一条边长为，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，
∴是方程的根，
∴，
解得：或，
当时，一元二次方程为，
解得，，
∴三边长为、、，因为（不符合题意，舍去），
当时，一元二次方程为，
解得，，
∴三边长为、、，可以构成三角形，
∴的值为．
【点睛】本题考查根的判别式，等腰三角形的性质，三角形三边关系，解一元二次方程，一元二次方程解的定义．解题的关键是根据等腰三角形的性质和一元二次方程解的定义，把问题转化为方程解决．