三年广东中考数学模拟题分类汇总之三角形

这是一份三年广东中考数学模拟题分类汇总之三角形，共34页。

A．b=3aB．a=3bC．b=2aD．a＝b
2．（2023•舟山模拟）如图，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的面积为36，则△ABC的周长为（ ）
A．48B．36C．24D．12
3．（2023•江山市模拟）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝EFB．AE＝DBC．BC∥EFD．∠C＝∠F
4．（2023•衢江区三模）已知一个三角形的两边长分别为1和2，则第三边的长可以是（ ）
A．1B．2C．3D．3.5
5．（2022•拱墅区模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F．若AD＝7，DE＝5，则BF的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
6．（2022•宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AC=25，BC=4，则DF的长为（ ）
A．12B．1C．32D．2
7．（2022•西湖区校级一模）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（ ）
A．α−β2B．2α﹣βC．α+β2D．3α﹣β
8．（2022•鹿城区二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EB，EG，延长EG交CD于点M，若∠BEM＝90°，则BE：EM的值为（ ）
A．1：2B．3：4C．5：6D．5：12
9．（2021•鹿城区校级一模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图（如图1）．图2为小明同学根据弦图思路设计的．在正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径作AC，再以CD为直径作半圆交AC于点E，若边长AB＝10，则△CDE的面积为（ ）
A．20B．2523C．24D．105
10．（2021•海曙区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC，DB分别交GF，AH于点N，K，连接KN交AG于点M，若S1﹣S2＝2，AC＝4，则AB的长为（ ）
A．2B．2C．22D．73
二．填空题（共6小题）
11．（2023•金东区三模）如图1是某品牌电脑支架，整体支架由3组支撑条和2组活动条组成，支撑条AB＝BC＝28cm，CD＝24cm，相连两根支撑条可绕交点转动，活动条EF，GH一端分别与支撑条BC，CD中点连接，并且可绕固定支点E与支点G转动，通过转动活动条，将末端点F与点H分别卡入支撑条AB及BC上的孔洞中，以此来完成支架调节，其中活动条GH＝16cm．
将电脑支架调节到如图2所示，底部一组支撑条贴合水平桌面，调节活动条EF，使得∠ABC＝30°，调节活动条GH使得GH⊥CD，此时活动条末端点H到桌面的距离为 ，如图3某电脑键盘面与显示屏面长度相等，即MP＝NP，将其放置到上述状态电脑支架上，使点M与点C重合，此时点P恰好与点D重合，开合电脑显示屏，点N到桌面的最大高度是 ．
​
12．（2023•温州模拟）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD的延长线于点F．且BC＝CD＝10，AB＝21，AD＝9．则AC的长为 ．
13．（2022•临安区一模）如图，已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠ABC＝45°），其中点B在直线n上，若∠1＝25°，则∠2的度数为 ．
14．（2022•新昌县校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D为AB上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任一点，G为EF的中点，则线段CG长的最小值是 ．
15．（2021•江干区三模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为 ．
16．（2021•宁波模拟）如图，点A是半径为2的⊙O上一点，点C是⊙O上一动点（不与点A重合），以C为直角顶点画等腰直角△ABC，O，C在直线AB的两侧，则线段OB长的最小值为 ．
三．解答题（共6小题）
17．（2023•金东区三模）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC上一点，AE＝AB，连结DE．
（1）求证：△ABD≌△AED．
（2）已知AB＝9，△CDE周长为15，求△ABC的周长．
18．（2023•龙港市二模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，BE平分∠DEC．
（1）求证：BC＝CE．
（2）若CE＝AB，EA＝EB，求∠C的度数．
19．（2022•诸暨市二模）如果有两点到一条直线的距离相等，那么称这条直线为“两点的等距线”．
（1）如图1，直线CD经过线段AB的中点P，试说明直线CD是点A、B的一条等距线．
（2）如图2，A、B、C是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“A、B的等距线”．
（3）如图3，△ABC中，A（1，2），B（0，﹣1），C（﹣2，1）．x轴上是否存在点P，使S△APC＝S△BPC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2022•下城区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上（不与点A，点C重合），连接BD，BD＝AB．
（1）设∠C＝50°时，求∠ABD的度数；
（2）若AB＝5，BC＝6，求AD的长．
21．（2021•西湖区校级三模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．
（1）若∠A＝35°，求∠CBE的度数；
（2）若AE＝3，EC＝1，求△ABC的面积．
22．（2021•西湖区校级二模）如图，D，E为△GCF中GF边上两点，过D作AB∥CF交CE的延长线于点A，AE＝CE．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若GB＝4，BC＝6，BD＝2，求AB的长．
三年广东中考数学模拟题分类汇总之三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋•宁波期末）如图，点A，B，C，D顺次在直线l上，AC＝a，BD＝b，以AC为边向下作等边△ACF，以BD为底边向上作等腰Rt△BDE，当AB的长度变化时，△CDF与△ABE的面积差S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A．b=3aB．a=3bC．b=2aD．a＝b
【考点】等腰直角三角形；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】过点F作FG⊥AD于点G，过点E作EH⊥AD于H，分别利用直角三角形的性质和勾股定理求出FG和EH，然后设AB＝x，分别表示出△CDF与△ABE的面积，再将二者相减得到关于x的代数式，因为x变化时，S不变，所以x的系数为0，则可得到a与b的关系式．
【解答】解：过点F作FG⊥AD于点G，过点E作EH⊥AD于H，
∵△ACE是等边三角形，AC＝a，
∴FG=32AC=3a2，
∵BD＝b，EH⊥AD，等腰Rt△BDE，
∴BH=12BD=b2，BE=22b，
在Rt△BHE中，
EH＝BH=b2，
设AB＝x，
则S△ABE=12AB•EH=12x×12b，
S△CDF=12CD•FG=12（b﹣a+x）×3a2，
∴S＝S△CDF﹣S△ABE=12x×b2−12（b﹣a+x）×32a=（b4−3a4）x−3a(b−a)4，
∵当AB的长度变化时，S始终保持不变，
∴b4−3a4=0，
∴b=3a．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质及三角形的面积计算，熟练掌握等腰三角形的相关性质是解题的关键．
2．（2023•舟山模拟）如图，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的面积为36，则△ABC的周长为（ ）
A．48B．36C．24D．12
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，过点E作EG⊥AC，垂足为G，根据角平分线的性质可得EG＝EF＝ED＝3，然后根据三角形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，过点E作EG⊥AC，垂足为G，
∵BE平分∠ABC，ED⊥BC，EF⊥AB，
∴EF＝ED＝3，
∵CE平分∠ACB，ED⊥BC，EG⊥AC，
∴ED＝EG＝3，
∴△ABC的面积＝△ABE的面积+△BEC的面积+△AEC的面积
=12AB⋅EF+12BC⋅ED+12AC⋅EG=12×3(AB+BC+AC)=36，
∴AB+BC+AC＝24，
即△ABC的周长为24．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
3．（2023•江山市模拟）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝EFB．AE＝DBC．BC∥EFD．∠C＝∠F
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】A
【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断．
【解答】解：∵AC∥DF，
∴∠A＝∠D，
A、添加BC＝EF，不能判定△ABC≌△DEF，故A符合题意；
B、由AE＝BD，得的AB＝DE，又∠A＝∠D，AC＝DF，由SAS判定△ABC≌△DEF，故B不符合题意；
C、由BC∥EF，得到∠ABC＝∠DEF，又∠A＝∠D，AC＝DF，由AAS判定△ABC≌△DEF，故C不符合题意；
D、∠C＝∠F，又∠A＝∠D，AC＝DF，由ASA判定△ABC≌△DEF，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
4．（2023•衢江区三模）已知一个三角形的两边长分别为1和2，则第三边的长可以是（ ）
A．1B．2C．3D．3.5
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】设第三边的长为l，再根据三角形的三边关系进行解答即可．
【解答】解：设第三边的长为l，则2﹣1＜l＜2+1，
即1＜l＜3，
所以只有2适合，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
5．（2022•拱墅区模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F．若AD＝7，DE＝5，则BF的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【考点】三角形中位线定理．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】由三角形中位线定理知：AB＝2DE＝10．结合已知条件可以推知AF＝AD＝7，所以由图形得到BF＝AB﹣AD．
【解答】解：∵以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F，AD＝7，
∴AF＝AD＝7．
在△ABC中，
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝10．
∴BF＝AB﹣AF，即BF＝AB﹣AD＝10﹣7＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，根据已知条件“以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F”得到AF＝AD＝7是解题的突破口．
6．（2022•宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AC=25，BC=4，则DF的长为（ ）
A．12B．1C．32D．2
【考点】三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE=12AB＝3，BE=12BC＝2，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理求出EF＝BE＝2，计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝25，BC＝4，
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=6，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠EBF，
∵D，E分别为CA，CB的中点，
∴DE∥AB，DE=12AB＝3，BE=12BC＝2，
∴∠ABF＝∠EFB，
∴∠EFB＝∠EBF，
∴EF＝BE＝2，
∴DF＝DE﹣EF＝1，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
7．（2022•西湖区校级一模）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（ ）
A．α−β2B．2α﹣βC．α+β2D．3α﹣β
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】先根据等腰三角形的性质，用β的代数式表示∠AEC．在三角形AED中，用α和β的代数式表示∠ADE，最后在等腰三角形ABD中根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可表示出∠B的度数．
【解答】解：由题意得：BA＝BD，CA＝CE，
∵CA＝CE，∠ACB＝β，
∴∠AEC=∠EAC=180−β2=90°−12β，
在△AED中，∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠EAD
＝180°−α−(90°−12β)
＝90°+12β−α，
∵BA＝BD，
∴∠ADE=∠BAD=90°+12β−α，
在△BAD中，
∠B=180°−2(90°+12β−α)
＝2α﹣β．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点．解决本题的关键是熟练掌握和运用等腰三角形的性质．
8．（2022•鹿城区二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EB，EG，延长EG交CD于点M，若∠BEM＝90°，则BE：EM的值为（ ）
A．1：2B．3：4C．5：6D．5：12
【考点】勾股定理的证明．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】如图过G作GN∥ED交CD于N，根据∠BEM＝90°和正方形的性质可以EF＝BF＝AE，然后利用赵爽弦图可知EH＝HD＝GH＝GC，最后利用平行线分线段成比例即 解决问题．
【解答】解：如图，过G作GN∥ED交CD于N，
∵∠BEM＝90°，而EM为正方形EFGH的对角线，
∴∠FEG＝∠EGF＝45°，
∴∠EBF＝45°，
∴EF＝BF＝AE，
设BF＝a，
∴AF＝2a，EF＝FG＝a，
∴EG＝BE=2a，
根据赵爽弦图可知EH＝HD＝GH＝GC＝a，
∵GN∥ED，
∴GNHD=CGCH=12，
∴GNED=GMEM=14，
∴GMEG=13，
∴GM=13EG=132a，
∴BE：EM=2a：（132a+2a）＝3：4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质和赵爽弦图的性质，同时也利用了平行线分线段成比例的性质，综合性比较强，对于学生的要求比较高．
9．（2021•鹿城区校级一模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图（如图1）．图2为小明同学根据弦图思路设计的．在正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径作AC，再以CD为直径作半圆交AC于点E，若边长AB＝10，则△CDE的面积为（ ）
A．20B．2523C．24D．105
【考点】勾股定理的证明；数学常识．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据相似三角形的判定与性质，可以得到DE和CE的值，从而可以求得△CDE的面积．
【解答】解：取CD的中点F，连接BF、BE、EF，
由题意可得，FE＝FC，BE＝BC，
∴BF是EC的垂直平分线，
∴∠FBC+∠BCE＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCE+∠BCE＝90°，
∴∠FBC＝∠DCE，
又∵∠BCF＝∠CED＝90°，
∴△BCF∽△CED，
∴BCCE=CFED=BFCD，
∵BC＝10，CD＝10，CF＝5，∠BCF＝90°，
∴BF=102+52=55，
∴10CE=5ED=5510，
解得CE＝45，ED＝25，
∴△CDE的面积为：45×252=20，
故选：A．
【点评】本题考查圆的有关计算、勾股定理、正方形的性质、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（2021•海曙区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC，DB分别交GF，AH于点N，K，连接KN交AG于点M，若S1﹣S2＝2，AC＝4，则AB的长为（ ）
A．2B．2C．22D．73
【考点】勾股定理．
【专题】创新题型；解题方法；几何直观；推理能力；应用意识．
【答案】A
【分析】根据图形条件，（1）可以得到“K”型△ABC与△FNC全等，得到NF＝AB＝x；（2）连接GK，可以发现△GNK的面积＝GN×AG÷2＝2GN，同理△KAG的面积＝2AK，利用条件S1﹣S2＝2，得到GN﹣AK＝1；（3）注意在△KBC中，有射影定理AB2＝AC×AK．这样可以得到方程，求解问题．
【解答】解：（1）如图，根据条件得到“K”型△ABC≌△FNC，得到NF＝AB＝x．
（2）连接GK，可以发现△GNK的面积＝GN×AG÷2＝2GN，同理△KAG的面积＝2AK．
利用条件S1﹣S2＝2，得到GN﹣AK＝1，即n﹣m＝1，又因为n+x＝4，所以m＝3﹣x．
（3）在△KBC中，有射影定理AB2＝AC×AK．
这样可以得到方程：x2＝4×（3﹣x），解得x＝2，即AB＝2．
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形，一元二次方程，是一个综合型问题．该题知识点考查了基本图形：K型全等，母子三角形等中常见的思路与结论，建立一元二次方程，求解．
二．填空题（共6小题）
11．（2023•金东区三模）如图1是某品牌电脑支架，整体支架由3组支撑条和2组活动条组成，支撑条AB＝BC＝28cm，CD＝24cm，相连两根支撑条可绕交点转动，活动条EF，GH一端分别与支撑条BC，CD中点连接，并且可绕固定支点E与支点G转动，通过转动活动条，将末端点F与点H分别卡入支撑条AB及BC上的孔洞中，以此来完成支架调节，其中活动条GH＝16cm．
将电脑支架调节到如图2所示，底部一组支撑条贴合水平桌面，调节活动条EF，使得∠ABC＝30°，调节活动条GH使得GH⊥CD，此时活动条末端点H到桌面的距离为 4cm ，如图3某电脑键盘面与显示屏面长度相等，即MP＝NP，将其放置到上述状态电脑支架上，使点M与点C重合，此时点P恰好与点D重合，开合电脑显示屏，点N到桌面的最大高度是 483+1545cm ．
​
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】4cm；483+1545cm．
【分析】①根据题上条件，依据勾股定理先求出CH长，再算出BH长，利用∠ABC＝30°求出活动条末端点H到桌面的距离即可；
②如图4，当DN⊥AB时，点N到桌面的高度最大，作CL⊥AB于点L，延长ND交AB于点K，作CS⊥DK于点K，作GT⊥AB于点T，交CS于点O，交BC于点J，作GI⊥BC于点I，辅助线构造直角三角形，矩形．根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，求出CL，根据矩形性质，求出CL＝SK＝OT，根据勾股定理求出CH，面积法求出GI，再用勾股定理求出CI、解直角三角形求出GJ、IJ，进而求出CJ，BJ，再根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，求出JT，进而求出GT、GO，再根据三角形中位线定理，求出DS，即可求解NK的值，即点N到桌面的最大高度．
【解答】解：①∵CG=12CD＝12cm，GH＝16cm，GH⊥CD，
∴CH=CG2+GH2=122+162=20cm，
∴BH＝BC﹣CH＝28﹣20＝8cm，
又∵∠ABC＝30°，
∴活动条末端点H到桌面的距离=12BH＝4cm；
②如图4，当DN⊥AB时，点N到桌面的高度最大，
作CL⊥AB于点L，延长ND交AB于点K，作CS⊥DK于点K，作GT⊥AB于点T，交CS于点O，交BC于点J，作GI⊥BC于点I，
在Rt△CLK中，BC＝28cm，∠ABC＝30°，
∴CL=12BC=12×28＝14cm，
∵CL⊥AB，CS⊥DK，NK⊥AB，GT⊥AB，
∴四边形CLKS为矩形，四边形CLTO为矩形，
∴CL＝SK＝OT＝14cm，
∵S△CGH=12CG•GH=12CH•GI，CG＝12cm，GH＝16cm，CH＝20cm，
∴12×16＝20GI，
∴GI=485cm，
在Rt△CGI中，CI=CG2−GI2=122−(485)2=365cm，
∵GT⊥AB，CL⊥AB，
∴GT∥CL，
∴∠CJG＝∠BCL＝90°﹣30°＝60°，
∵GI⊥BC，
∴GJ=GIsin60°=3235cm，IJ=12GJ=1635cm，
∴CJ＝CI+IJ=36+1635cm，
∴BJ＝BC﹣CJ＝28−36+1635=104−1635cm，
在Rt△BJT中，∠ABC＝30°，
∴JT=12BJ=52−835cm，
∴GT＝GJ+JT=3235+52−835=243+525cm，
∴GO＝GT﹣OT=243+525−14=243−185cm，
∵GT⊥AB，NK⊥AB，
∴GT∥NK，
∵CG＝DG，
∴CO＝SO，
∴DS＝2OG＝2×243−185=483−365cm，
∵CD＝MP＝NP＝24cm，DN＝NP，
∴NK＝DN+DS+SK＝24+483−365+14=483+1545cm，
即点N到桌面的最大高度是483+1545cm．
故答案为：4cm；483+1545cm．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，矩形的性质等知识点，综合性较强，添辅助线构造直角三角形是解题的关键．
12．（2023•温州模拟）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD的延长线于点F．且BC＝CD＝10，AB＝21，AD＝9．则AC的长为 17 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】17．
【分析】根据垂直定义可得∠F＝∠CEA＝∠CEB＝90°，再利用角平分线的性质可得CF＝CE，从而利用HL证明Rt△CFD≌Rt△CEB，然后利用全等三角形的性质可得DF＝BE，从而利用HL证明Rt△AFC≌Rt△AEC，进而可得AF＝AE，再根据线段的和差关系可求出DF＝BE＝6，从而在Rt△BCE中，利用勾股定理求出CE的长，最后在Rt△AEC中，利用勾股定理求出AC的长，即可解答．
【解答】解：∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠F＝∠CEA＝∠CEB＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴CF＝CE，
∵CD＝BC＝10，
∴Rt△CFD≌Rt△CEB（HL），
∴DF＝BE，
∵AC＝AC，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AF＝AE，
∴AD+DF＝AB﹣BE，
∴9+DF＝21﹣BE，
解得：DF＝BE＝6，
∴CE=BC2−BE2=102−62=8，
在Rt△AEC中，AE＝AB﹣BE＝21﹣6＝15，
∴AC=AE2+CE2=152+82=17，
故答案为：17．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
13．（2022•临安区一模）如图，已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠ABC＝45°），其中点B在直线n上，若∠1＝25°，则∠2的度数为 20° ．
【考点】等腰直角三角形；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】20°．
【分析】作直线CE∥m，根据平行线的性质即可得到∠BCE的度数，再根据角的和差即可得到结论．
【解答】解：作直线CE∥m，
∵直线m∥n，
∴直线CE∥m∥n，
∴∠ACE＝∠2，∠BCE＝∠1＝25°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACE+∠BCE＝45°，
∴∠ACE＝20°，
∴∠2＝20°，
故选：20°．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
14．（2022•新昌县校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D为AB上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任一点，G为EF的中点，则线段CG长的最小值是 9 ．
【考点】含30度角的直角三角形；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力；模型思想；应用意识．
【答案】9．
【分析】首先连接AG，DG，根据线段中垂线性质定理逆定理得出AG为线段DE的中垂线，然后得出∠GAD＝30°，而后证明∠CAG＝60°即∠CAG为定值，得出G的运动轨迹，再根据垂线段最短即可得出CG的最小值．
【解答】解：连接DG，AG，AG交DE于H，
∵∠FDE＝90°，G为EF中点，
∴DG=12EF=GE=FG，
∵△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∵AD＝AE，GD＝GE，
∴AG是DE的中垂线（线段中垂线性质定理逆定理），
∴AH⊥DE，
∴∠DAH＝∠EAH＝30°，
∴∠CAG＝∠BAC+∠DAH＝60°，
∴G点在过点A，与AC所交角60°的直线上运动，
过点C作CG'⊥AG于点G'，则CG'为所求，
∵BC＝6，∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，
∴tan∠BAC=BCAC，
∴33=6AC，
∴AC＝63，
∵∠CAG'＝60°，∠CG'A＝90°，
∴sin∠CAG'=CG′AC，
∴32=CG′63，
∴CG'＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查含30度角的直角三角形和等边三角形的性质，利用已知得出点的轨迹是解本题的突破口，利用垂线段最短求出CG的最小值是解本题的关键．
15．（2021•江干区三模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为 4 ．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】4．
【分析】由等腰三角形的性质推出AD⊥BC，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可求得DE的长．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴DE=12AC=12×8＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质的运用，注意在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
16．（2021•宁波模拟）如图，点A是半径为2的⊙O上一点，点C是⊙O上一动点（不与点A重合），以C为直角顶点画等腰直角△ABC，O，C在直线AB的两侧，则线段OB长的最小值为 22−2 ．
【考点】等腰直角三角形；三角形中位线定理；勾股定理．
【专题】几何综合题；推理填空题；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】22−2．
【分析】通过证明△AOC∽△ADB，可求BD＝2，则当点B在OD上时，OB的最小值为22−2．
【解答】解：如图，连接AO，CO，过点O作OD⊥OA，交圆O于点D，连接BD，
∵OA＝OD，OD⊥OA，
∴AD=2OA，∠OAD＝45°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴AB=2AC，∠BAC＝45°＝∠OAD，
∴∠OAC＝∠BAD，
又∵ABAC=2=ADAO，
∴△AOC∽△ADB，
∴BDOC=2，
∴BD＝22，
在△BOD中，OB＞BD﹣OD，
当点B在OD上时，点B、O、D共线时，OB最小OB的最小值为22−2，
故答案为：22−2．
【点评】本题考查了等腰直角三角形、勾股定理、三角形中位线性质，熟练掌握这三个定理的综合应用，辅助线的做法是解题关键．
三．解答题（共6小题）
17．（2023•金东区三模）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC上一点，AE＝AB，连结DE．
（1）求证：△ABD≌△AED．
（2）已知AB＝9，△CDE周长为15，求△ABC的周长．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）33​．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，然后利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得DE＝BD，根据△CDE周长＝BC+CE＝15，进而可以得到△ABC的周长．
【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△AED中，
AB=AE∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△ABD≌△AED（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△AED，
∴DE＝BD，
∴△CDE周长＝DE+CD+CE＝BD+CD+CE＝BC+CE＝15，
∵AE＝AB＝9，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AB+AE+CE+BC＝9+9+15＝33．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABD≌△AED．
18．（2023•龙港市二模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，BE平分∠DEC．
（1）求证：BC＝CE．
（2）若CE＝AB，EA＝EB，求∠C的度数．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）36°．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DEB＝∠BEC，∠EBC＝∠BEC，根据平行线的性质得到∠DEB＝∠EBC，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）解根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠A，设∠C＝∠A＝x，根据三角形内角和定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠DEC，
∴∠DEB＝∠BEC，∠EBC＝∠BEC，
∴DE∥BC．
∴∠DEB＝∠EBC，
∴∠BEC＝∠EBC，
∴BC＝CE；
（2）解：∵BC＝CE，CE＝AB，
∴BC＝AB，
∴∠C＝∠A，
设∠C＝∠A＝x，
∵EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝x，
∴∠EBC＝∠BEC＝∠A+∠ABE＝2x，
∴2x+2x+x＝180°，
∴∠C＝x＝36°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
19．（2022•诸暨市二模）如果有两点到一条直线的距离相等，那么称这条直线为“两点的等距线”．
（1）如图1，直线CD经过线段AB的中点P，试说明直线CD是点A、B的一条等距线．
（2）如图2，A、B、C是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“A、B的等距线”．
（3）如图3，△ABC中，A（1，2），B（0，﹣1），C（﹣2，1）．x轴上是否存在点P，使S△APC＝S△BPC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】三角形综合题．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）图见解析；
（3）（3，0）或（−73，0）．
【分析】（1）分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足为E，F，利用AAS证明△AEP≌△AFP，得到AE＝BF即可证明直线CD是点A、B的一条等距线；
（2）根据两点等距线的定义直接作出图形；
（3）由S△APC＝SBPC可得A、B两点到直线PC的距离相等，再分两类进行讨论，由待定系数求出直线解析式即可求出点P的坐标．
【解答】（1）证明：分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足为E，F，
∴∠AEP＝∠BFP＝90°，
∵P是AB中点，
∴AP＝BP，
在△AEP和△AFP，
∠AEP=∠BFP=90°∠APE=∠BPFAP=BP，
∴△AEP≌△AFP（AAS），
∴AE＝BF，即直线CD是点A、B的一条等距线．
（2）解：如图2，直线m1、m2就是所有的直线；
（3）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，﹣2），B（0，﹣1），
∴k+b=2b=−1，
解得k=3b=−1，
∴直线AB的解析式为y＝3x﹣1，
∵S△APC＝S△BPC，
∴A、B两点到直线PC的距离相等，
①如图，当PC∥AB时，同理求出直线PC的解析式为y＝3x+7，
∴直线PC与坐标轴的交点为P（−73，0），
此时P满足条件．
②当直线CP过AB中点时，求得AB中点E（12，12），直线CE解析式为y=−15x+35，
当y＝0时，x＝3，
∴P（3，0）．
综上所述，点P的坐标为（3，0）或（−73，0）．
【点评】本题是三角形综合题，考查了点到直线的距离、全等三角形的判定与性质，待定系数法，一次函数解析式与坐标轴的交点等知识，解答本题的关键是理解两点间的等距线的定义．
20．（2022•下城区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上（不与点A，点C重合），连接BD，BD＝AB．
（1）设∠C＝50°时，求∠ABD的度数；
（2）若AB＝5，BC＝6，求AD的长．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）20°；
（2）145．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C＝50°，则可求出答案；
（2）过点B作BM⊥BC于点M，BN⊥AC于点N，由勾股定理可得出AM＝4，由勾股定理得出25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，则可得出答案．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝80°，
∵BD＝AB，
∴∠BDA＝∠A＝80°，
∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠BDA＝20°，
（2）解：过点A作AM⊥BC于点M，BN⊥AC于点N，
设AN＝x，则CN＝5﹣x，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴M是BC的中点，
∵AB＝5，BC＝6，
∴AM=AB2−BM2=4，
∵BN2＝AB2﹣AN2＝BC2﹣CN2，
∴25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，
∴x=75，
∴AD＝2AN=145．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
21．（2021•西湖区校级三模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．
（1）若∠A＝35°，求∠CBE的度数；
（2）若AE＝3，EC＝1，求△ABC的面积．
【考点】线段垂直平分线的性质；三角形的面积．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）20°；
（2）42．
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，求出∠EBA＝∠A＝35°，再求出答案即可；
（2）根据勾股定理求出BC，求出AC，再根据三角形的面积公式求出△ABC的面积即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝35°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝55°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠EBA＝∠A＝35°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠EBA＝55°﹣35°＝20°；
（2）在Rt△ECB中，∠C＝90°，EC＝1，BE＝AE＝3，
由勾股定理得：BC=BE2−EC2=32−12=22，
∵AE＝3，EC＝1，
∴AC＝AE+EC＝3+1＝4，
∴△ABC的面积是12×BC×AC=12×22×4=42．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，三角形的面积等知识点，能熟记线段垂直平分线的性质是解此题的关键．
22．（2021•西湖区校级二模）如图，D，E为△GCF中GF边上两点，过D作AB∥CF交CE的延长线于点A，AE＝CE．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若GB＝4，BC＝6，BD＝2，求AB的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）7．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠A＝∠ECF，则可证明△ADE≌△CFE（ASA）；
（2）证明△GBD∽△GCF，由相似三角形的性质得出GBGC=DBFC，求出CF＝5，由全等三角形的性质得出AD＝5，则可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AB∥CF，
∴∠A＝∠ECF，
在△ADE和△CFE中，
∠A=∠ECFAE=CF∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFE（ASA）；
（2）解：∵DB∥CF，
∴△GBD∽△GCF，
∴GBGC=DBFC，
∵GB＝4，BC＝6，BD＝2，
∴GC＝GB+BC＝10，
∴410=2CF，
∴CF＝5，
∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝5，
∴AB＝AD+BD＝5+2＝7．
【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键。