三年湖南中考数学模拟题分类汇总之三角形

这是一份三年湖南中考数学模拟题分类汇总之三角形，共25页。
A．B．
C．D．
2．（2023•邵阳县二模）如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点，且AB＝4，BC＝7，则△ABD的周长是（ ）
A．10B．11C．12D．13
3．（2023•永定区一模）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠BB．∠C＝∠EC．AD＝BFD．AC＝BE
4．（2023•湖南模拟）将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．45°B．30°C．25°D．20°
5．（2022•开福区校级二模）如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为（﹣2，5），则线段DE的长为（ ）
A．4B．6C．6.5D．7
6．（2022•凤凰县模拟）如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O，若∠BCA＝70°，则∠BOE的度数是（ ）
A．60°B．55°C．50°D．40°
7．（2022•开福区校级二模）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．三个角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
8．（2021•荷塘区模拟）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2021•涟源市二模）将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠DFB的度数为（ ）
A．145°B．155°C．165°D．175°
二．填空题（共7小题）
10．（2023•新邵县二模）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝120°，∠B＝70°，则∠A＝ ．
11．（2023•荷塘区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若EF＝5，则CD的长为 ．
12．（2023•桑植县模拟）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，则∠DBC＝ °．
13．（2023•安化县二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D是BC上的一点，连接AD，BD＝5，AD＝4，则CD的长为 ．
14．（2022•攸县模拟）已知平面直角坐标系中不共线的三个点，分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），则由这三个点所围成的三角形的面积为S△ABC=12|x1y2+x2y3+x3y1﹣x3y2﹣x2y1﹣x1y3|．在平面直角坐标系中，不共线的三个点A（m，﹣1）、B（m+2，3）、C（m+6，1），则S△ABC＝ ．
15．（2022•攸县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E．∠A＝30°，AB＝8，则DE的长度是 ．
16．（2022•天心区校级三模）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为 ．
三．解答题（共6小题）
17．（2023•天心区校级三模）如图，已知AD平分∠BAC，且AD⊥BC．
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）若AB＝5，BD＝4，求△ABC的面积．
18．（2023•邵阳县一模）如图，在四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且DE＝BF，AD＝BC，AF＝CE，
（1）求证：△AFD≌△CEB．
（2）连接AE，CF．试判断四边形AECF的形状．
19．（2022•宁远县模拟）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）BC∥EF．
20．（2022•新田县一模）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝50°，求∠BAC的度数．
21．（2021•岳麓区校级模拟）如图，A、D、B、E四点在同一条直线上，AD＝BE，BC∥EF，BC＝EF．
（1）求证：AC＝DF；
（2）若CD为∠ACB的平分线，∠A＝25°，∠E＝71°，求∠CDF的度数．
22．（2021•张家界模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；
（3）若CD＝1，试求△AED的面积．
湖南三年（2021-2023）中考数学模拟题分类汇总--三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2023•衡山县二模）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】几何图形．
【答案】A
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
2．（2023•邵阳县二模）如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点，且AB＝4，BC＝7，则△ABD的周长是（ ）
A．10B．11C．12D．13
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，然后利用等量代换可得△ABD的周长＝AB+BC，进行计算即可解答．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵AB＝4，BC＝7，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD
＝AB+BD+CD
＝AB+BC
＝4+7
＝11，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
3．（2023•永定区一模）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠BB．∠C＝∠EC．AD＝BFD．AC＝BE
【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的判定．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断．
【解答】解：∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，
∴∠ADC＝∠BFE＝90°，
∵CD＝EF，
∴当添加AC＝BE时，根据“HL”判断Rt△ACD≌Rt△BEF．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
4．（2023•湖南模拟）将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．45°B．30°C．25°D．20°
【考点】等腰直角三角形；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB＝45°，再根据平行线的性质可知∠ACE＝∠1＝25°，然后由∠2＝∠ACB﹣∠ACE即可求出答案．
【解答】解：如图，
由题意可知，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠ACB=∠ABC=12×(180°−∠BAC)=45°，
由题意可知，AD∥CE，∠1＝25°，
∴∠ACE＝∠1＝25°，
∴∠2＝∠ACB﹣∠ACE＝45°﹣25°＝20°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
5．（2022•开福区校级二模）如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为（﹣2，5），则线段DE的长为（ ）
A．4B．6C．6.5D．7
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】由等腰直角三角形的性质得出OA＝BO，∠AOB＝90°，证明△ADO≌△OEB（AAS），由全等三角形的性质得出AD＝OE＝5，OD＝BE＝2，则可得出答案．
【解答】解：∵A（﹣2，5），AD⊥x轴，
∴AD＝5，OD＝2，
∵△ABO为等腰直角三角形，
∴OA＝BO，∠AOB＝90°，
∴∠AOD+∠DAO＝∠AOD+∠BOE＝90°，
∴∠DAO＝∠BOE，
在△ADO和△OEB中，
∠DAO=∠BOE∠ADO=∠OEBOA=BO，
∴△ADO≌△OEB（AAS），
∴AD＝OE＝5，OD＝BE＝2，
∴DE＝OD+OE＝5+2＝7．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
6．（2022•凤凰县模拟）如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O，若∠BCA＝70°，则∠BOE的度数是（ ）
A．60°B．55°C．50°D．40°
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵CE平分∠ACB，∠ACB＝70°，
∴∠DCO＝35°，
∴∠BOE＝∠COD＝90°﹣35°＝55°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
7．（2022•开福区校级二模）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．三个角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
8．（2021•荷塘区模拟）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】B
【分析】直接利用高线的概念得出答案．
【解答】解：在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是B，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键．
9．（2021•涟源市二模）将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠DFB的度数为（ ）
A．145°B．155°C．165°D．175°
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】利用三角形的外角性质可求出∠AFD的度数，再利用邻补角互补可求出∠DFB的度数．
【解答】解：∵∠CDF＝∠A+∠AFD，
∴∠AFD＝∠CDF﹣∠A＝45°﹣30°＝15°．
又∵∠DFB+∠AFD＝180°，
∴∠DFB＝180°﹣∠AFD＝180°﹣15°＝165°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外角性质以及邻补角，利用三角形外角的性质，求出∠AFD的度数是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
10．（2023•新邵县二模）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝120°，∠B＝70°，则∠A＝ 50° ．
【考点】三角形的外角性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用三角形的外角性质即可求解．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝120°，∠B＝70°，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
11．（2023•荷塘区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若EF＝5，则CD的长为 5 ．
【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半解答．
【解答】解：∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF是△ACB的中位线，
∴AB＝2EF＝2×5＝10，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴CD=12AB=12×10＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
12．（2023•桑植县模拟）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，则∠DBC＝ 15 °．
【考点】三角形的外角性质；平行线的性质；三角形内角和定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行线的性质求出∠ACM，根据平角求出∠BCD，根据三角形外角性质求出∠BDC，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵AB∥CF，∠A＝60°，
∴∠ACM＝∠A＝60°，
∵∠BCA＝30°，
∴∠BCD＝30°，
∵∠EFD＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDC＝∠E+∠EFD＝135°，
∴∠DBC＝180°﹣30°﹣135°＝15°，
故答案为：15．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，三角形外角性质等知识点，能求出∠BDC和∠BCD的度数是解此题的关键．
13．（2023•安化县二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D是BC上的一点，连接AD，BD＝5，AD＝4，则CD的长为 7 ．
【考点】等腰直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】7．
【分析】首先过点A作AE⊥BC于点E，根据等腰直角三角形的性质得AE=CE=12BC，再设CD＝x，由此可得CE=AE=12(5+x)，DE=12(5−x)，然后在Rt△AED中由勾股定理求出x即可．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC，
∴BE=CE=12BC，
又∵∠BAC＝90°，
∴AE=12BC，
∴AE＝CE，
设CD＝x，
∵BD＝5，AD＝4，
∴BC＝AD+CD＝5+x，
∴CE=AE=12(5+x)，
∴DE=CE−CD=12(x+5)−x=12(5−x)，
在Rt△AED中，AD＝4，AE=12（5+x），DE=12(5−x)，
由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
即：[12(5+x)]2+[12(5−x)]2=42，
解得：x=7（舍去负值），
∴CD的长为7．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质，解答此题的关键是理解等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线重合（三线合一），直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．特别提醒：当遇到等腰直角三角形时，作斜边上的高是常用的辅助线作法之一．
14．（2022•攸县模拟）已知平面直角坐标系中不共线的三个点，分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），则由这三个点所围成的三角形的面积为S△ABC=12|x1y2+x2y3+x3y1﹣x3y2﹣x2y1﹣x1y3|．在平面直角坐标系中，不共线的三个点A（m，﹣1）、B（m+2，3）、C（m+6，1），则S△ABC＝ 10 ．
【考点】三角形的面积；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；三角形；运算能力．
【答案】10．
【分析】把点A（m，﹣1）、B（m+2，3）、C（m+6，1）代入S△ABC=12|x1y2+x2y3+x3y1﹣x3y2﹣x2y1﹣x1y3|即可求得．
【解答】解：根据题意
S△ABC=12|x1y2+x2y3+x3y1﹣x3y2﹣x2y1﹣x1y3|
=12|3m+m+2﹣m﹣6﹣3m﹣18+m+2﹣m|
=12|﹣20|
＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，熟知坐标与图形的性质是解题的关键．
15．（2022•攸县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E．∠A＝30°，AB＝8，则DE的长度是 2 ．
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】2．
【分析】根据D为AB的中点可求出AD的长，再根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出DE的长度．
【解答】解：∵D为AB的中点，AB＝8，
∴AD＝4，
∵DE⊥AC于点E，∠A＝30°，
∴DE=12AD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
16．（2022•天心区校级三模）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为 3 ．
【考点】勾股定理；角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】3．
【分析】直接根据角平分线的性质求解．
【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，DB⊥AB，
∴DE＝DB＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
三．解答题（共6小题）
17．（2023•天心区校级三模）如图，已知AD平分∠BAC，且AD⊥BC．
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）若AB＝5，BD＝4，求△ABC的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）12．
【分析】（1）利用ASA证明△ABD≌△ACD即可；
（2）结合（1）利用勾股定理求出AD，进而可以求△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ABD和△ACD中，
∠BAD=∠CADAD=AD∠ADB=∠ADC，
∴△ABD≌△ACD（ASA）；
（2）解：∵△ABD≌△ACD，
∴BD＝CD＝4，
∴BC＝2BD＝8，
∵AB＝5，
∴AD=AB2−BD2=3，
∴△ABC的面积=12BC•AD=12×8×3＝12．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
18．（2023•邵阳县一模）如图，在四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且DE＝BF，AD＝BC，AF＝CE，
（1）求证：△AFD≌△CEB．
（2）连接AE，CF．试判断四边形AECF的形状．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．
【专题】证明题；图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）四边形AECF是平行四边形，理由见解答．
【分析】（1）利用SSS即可证明△AFD≌△CEB；
（2）由△AFD≌△CEB，可得∠AFD＝∠CEB，证得AF∥CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵DE＝BF，
∴DE﹣EF＝BF﹣EF，
∴DF＝BE，
在△AFD和△CEB中，
AD=BCAF=CEDF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SSS）；
（2）解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：
如图，连接AE，CF，
∵△AFD≌△CEB，
∴∠AFD＝∠CEB，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴AF∥CE，
∵AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解决本题的关键是得到△AFD≌△CEB．
19．（2022•宁远县模拟）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）BC∥EF．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出AC＝DF，根据SAS推出两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质推出∠BCA＝∠EFD，根据平行线的判定推出即可．
【解答】证明：（1）∵AF＝DC，
∴AF+CF＝DC+CF，
∴AC＝DF，
∵在△ABC和△DEF中
AB=DE∠A=∠DAC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）∵由（1）知△ABC≌△DEF，
∴∠BCA＝∠EFD，
∴BC∥EF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行．
20．（2022•新田县一模）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝50°，求∠BAC的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】图形的全等．
【答案】（1）证明见解析；
（2）100°．
【分析】（1）先证明△BED≌△CFD（AAS），根据全等三角形的性质即可得证；
（2）先求出∠B，再根据∠B＝∠C，求出∠C的值，然后根据三角形内角和即可求出∠BAC．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
在△BED和△CFD中，
∠BED=∠CFD∠B=∠CBD=CD，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
（2）解：由（1）∠BED＝90°，
∴∠B+∠BDE＝90°，
∵∠BDE＝50°，
∴∠B＝40°，
∵∠B＝∠C，
∴∠C＝40°，
△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，
∴∠BAC＝100°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，涉及等腰三角形，三角形内角和定理等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
21．（2021•岳麓区校级模拟）如图，A、D、B、E四点在同一条直线上，AD＝BE，BC∥EF，BC＝EF．
（1）求证：AC＝DF；
（2）若CD为∠ACB的平分线，∠A＝25°，∠E＝71°，求∠CDF的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得AC＝DF；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABC＝∠E＝71°，∠A＝∠FDE＝25°，由三角形内角和定理可求∠ACB＝84°，由角平分线的性质和外角的性质可求∠CDF的度数．
【解答】证明：（1）∵AD＝BE
∴AB＝DE
∵BC∥EF
∴∠ABC＝∠DEF，且AB＝BE，BC＝EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴AC＝DF
（2）∵△ABC≌△DEF
∴∠ABC＝∠E＝71°，∠A＝∠FDE＝25°
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝84°
∵CD为∠ACB的平分线
∴∠ACD＝42°＝∠BCD
∵∠CDB＝∠A+∠ACD＝∠CDF+∠EDF
∴∠CDF＝42°
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．
22．（2021•张家界模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；
（3）若CD＝1，试求△AED的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；梯形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABE+∠C＝180°，得出∠ABE＝90°＝∠C，再证出BE＝CD，由SAS证明△ABE≌△BCD即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE＝BD，证出∠ABF+∠BAE＝90°，得出∠AFB＝90°，即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质得出BE＝CD＝1，求出CE＝BC﹣BE＝1，得出CE＝CD，△AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠C，
∵E是BC的中点，
∴BC＝2BE，
∵BC＝2CD，
∴BE＝CD，
在△ABE和△BCD中，AB=BC∠ABE=∠CBE=CD，
∴△ABE≌△BCD（SAS）；
（2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：
由（1）得：△ABE≌△BCD，
∴AE＝BD，
∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∴AE⊥BD；
（3）解：∵△ABE≌△BCD，
∴BE＝CD＝1，
∵AB＝BC＝2CD＝2，
∴CE＝BC﹣BE＝1，
∴CE＝CD，
∴△AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积=12（1+2）×2−12×2×1−12×1×1=32．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、梯形面积公式以及三角形面积公式等知识；证明三角形全等是解题的关键。